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第 08 讲 利用导数研究方程的根
（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
4年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2022年新I卷，第22题,12分 利用导数研究方程的根 由导数求函数的最值 (含参)
求离散型随机查量的均值
2021年新Ⅱ卷，第21题,12分 利用导数研究方程的根
均值的实际应用
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为12分
【备考策略】1能用导数证明函数的单调性
2能结合方程的根的定义用导数解决方程的根的问题
【命题预测】导数的综合应用是高考考查的重点内容,也是高考压轴题之一近几年高考命题的趋势，是稳中
求变、变中求新、新中求活，纵观近几年的高考题,导数的综合应用题考查多个核心素养以及综合应用能力,
有一定的难度,一般放在解答题的最后位置，对数学抽象、数学运算、逻辑推理等多个数学学科的核心素养
都有较深入的考查，需综合复习
知识讲解
利用导数研究函数方程的根的方法
(1)通过最值(极值)判断零点个数（方程的根）的方法
借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断
零点个数（方程的根）或者通过零点个数（方程的根）求参数范围.
(2)数形结合法求解零点（方程的根）
对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图
数形结合确定其中参数的范围.
(3)构造函数法研究函数零点（方程的根）
①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数（方程的
根）寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解.
②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现
转化与化归的思想方法．考点一、 利用导数研究方程的根
1．（2021·全国·统考高考真题）已知 且 ，函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
（2）若曲线 与直线 有且仅有两个交点，求a的取值范围．
2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 和 有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交
点的横坐标成等差数列．
3．（2022·浙江·统考高考真题）设函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)已知 ，曲线 上不同的三点 处的切线都经过点 ．证
明：
（ⅰ）若 ，则 ；
（ⅱ）若 ，则 ．
（注： 是自然对数的底数）
1．（2023·湖南·校联考二模）已知函数 ．
(1)求 的最小值；
(2)证明：方程 有三个不等实根．
2．（2023·吉林长春·统考模拟预测）函数 ．
(1)求证 ： ；
(2)若方程 恰有两个根，求证： ．3．（2023·云南·校联考模拟预测）已知函数 ， .
(1)求函数 的极值；
(2)请在下列①②中选择一个作答（注意：若选两个分别作答则按选①给分）.
①若 恒成立，求实数 的取值范围；
②若关于 的方程 有两个实根，求实数 的取值范围.
4．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）已知函数 ， 为 的导函数.
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时， 有且只有两根 ， （ ）.
①若 ，求实数a的取值范围；
②证明： .
5．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数 和 在同一处取得相同的最大值．
(1)求实数a；
(2)设直线 与两条曲线 和 共有四个不同的交点，其横坐标分别为 （
），证明： ．
【基础过关】
1．（2023·江西南昌·统考一模）已知函数 ．
(1)若 时，函数 有2个极值点，求 的取值范围；
(2)若 ， ，方程 有几个解？
2．（2023·江西宜春·校联考模拟预测）设 ， ，且a、b为函数 的极值点
(1)判断函数 在区间 上的单调性，并证明你的结论；
(2)若曲线 在 处的切线斜率为 ，且方程 有两个不等的实根，求实数m的取值
范围.
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数 ， 的导函数为 ．(1)讨论 的极值点的个数；
(2)当 时，方程 有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
4．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)若关于 的方程 有两个不相等的实数根，记较小的实数根为 ，求证： .
5．（2023·四川成都·统考二模）已知函数 ，其中 ， ．
(1)当 时，求函数 的单调区间；
(2)若方程 恰有两个不相等的实数根，求 的取值范围．
【能力提升】
1．（2023·广西桂林·统考一模）已知函数 .
(1)当 时，求函数 的最大值；
(2)若关于x的方 1有两个不同的实根，求实数a的取值范围.
2．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数 ， 为其导函数.
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若关于 的方程 有两个不相等的实根，求实数 的取值范围.
3．（2023·陕西宝鸡·统考一模）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若函数 的图像与 的图像最多有一个公共点，求实数 的取值范围.
4．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)证明： ；
(2)若存在直线 ，其与两条曲线 和 共有四个不同的交点，设从左到右的四个交点的
横坐标分别为 ， ， ， ，证明： ．
5．（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）设函数 .
(1)求函数 的单调区间；(2)若方程 有两个不相等的实数根 ， ，证明： .
6．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知函数 ．
(1)求函数 在区间 上的最大值；
(2)若关于 的方程 有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围．
7．（2023·山西阳泉·统考二模）已知函数 在点 处的切线方程为
，
(1)求 的值域；
(2)若 ，且 ， ，证明：① ；② .
8．（2023·山东济宁·统考二模）已知函数 为实数．
(1)若 恒成立，求实数 的取值范围;
(2)若方程 恰有3个不同的实数根，求实数 的值
9．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知函数 （其中 ）， ．
(1)证明：函数 在区间 上单调递增；
(2)判断方程 在R上的实根个数．
10．（2023·河北衡水·河北枣强中学校考模拟预测）已知函数 和 有相同的最小
值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交
点的横坐标成等差数列．
【真题感知】
1．（·全国·高考真题）已知函数 .证明：
（1） 存在唯一的极值点；
（2） 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
2．（福建·高考真题）已知函数
（1）求 在区间 上的最大值
（2）是否存在实数 使得 的图象与 的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出
的取值范围；若不存在，说明理由．3．（福建·高考真题）已知函数 （ 为自然对数的底数）
（1）若曲线 在点 处的切线平行于 轴，求 的值；
（2）求函数 的极值；
（3）当 时，若直线 与曲线 没有公共点，求 的最大值.
