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专题 02 函数的基本性质(单调性+奇偶性+周期性+对称性）
及其综合应用
目录
一、函数的基本性质（基础特训）......................................1
1单调性..........................................................1
2奇偶性..........................................................6
3周期性..........................................................8
4对称性.........................................................10
二、函数的基本性质综合应用（精选高考模拟题）.......................13
三、函数的基本性质中的数学文化.....................................20
一、函数的基本性质（基础特训）
1单调性
1．（2023秋·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考期末）已知定义在 上的函数 满足
，在区间 上满足 ，则下列关系式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【分析】先利用函数单调性的定义判断得 在 上的单调性，再利用赋值法与 的单调性逐一
判断ABC；举反例排除D即可.
【详解】因为 在 上满足 ，
所以 在 上单调递增，
对于A，因为 ，
所以 ，即 ，故A错误；
对于B，因为 ，所以 ，即 ，
因为 在 上单调递增，
所以 ，即 ，故B正确；
对于C，因为 在 上单调递增，
所以 ，即 ，故C错误；
对于D，令 ，易得其满足题设条件，
但 ，故D错误.
故选：B.
2．（2023秋·重庆渝北·高三重庆市渝北中学校校考阶段练习）已知函数 同时满足性质：①
；②当 ， 时， ，则函数 可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由已知条件可得函数 为偶函数，且在 上单调递减，然后逐个分析判断即可
【详解】因为 ，所以 为偶函数，
因为当 ， 时， ，
所以 在 上单调递减，
对于A， 在 上单调递增，所以A错误，
对于B， 为非奇非偶函数，所以B错误，对于C，因为 ，所以 为偶函数，
由 ，得 ，
所以 在 上单调递增，所以C错误，
对于D，函数的定义域为 ，因为 ，所以 为偶函数，
当 时， ，令 ，则 ，
因为 在 上单调递减， 在定义域内单调递增，
所以 在 上单调递减，所以D正确，
故选：D
3．（2023秋·内蒙古赤峰·高三统考开学考试）已知 ，且 ，函数 在
上单调，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由函数解析式知函数在 上单调递减，建立不等关系解出即可.
【详解】因为函数 在 上单调，
由函数解析式可得函数在R上单调递增不满足题意，
故 在R上单调递减，
所以 ，
解得： .
故选：D.
4．（2023秋·高一课时练习）已知 为 上的减函数，则满足 的实数 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．【答案】B
【分析】根据函数的单调性得到 ，从而得到 ，即可求解.
【详解】因为 为 上的减函数，
所以由 ，得： ，
即 ，即 ，解得： ，
所以实数 的取值范围为 ，
故选：B.
5．（2023秋·云南昆明·高三云南省昆明市第十中学校考开学考试）设函数 在
上单调递增，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求出函数的定义域，然后根据复合函数的单调性列出不等式组解出即可.
【详解】由函数 ，得 ，
即函数 的定义域为 ，
令 ，
由函数 的对称轴为： ，开口向下，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
又 在 上单调递增，
所以当函数 在 上单调递增时，
所以根据复合函数的单调性可知： ，
解得 ，
故选：D.
6．（多选）（2023秋·高一课时练习）（多选）如果函数 在 上是增函数，那么对于任意的 、
，下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．若 ，则
D．
【答案】ABD
【分析】利用函数单调性的定义逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】对于ABD选项，因为 在 上是增函数，对任意的 、 ，
不妨设 ，则 ，则 ， ，
，ABD均对；
对于C选项，若 ，则 ，则 ，C错.
故选：ABD.
7．（多选）（2023春·福建福州·高一校联考期中）下列函数中满足“对任意 ，都有
”的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据题意可知 为 上的增函数，由函数单调性对选项进行判断即可.
【详解】因为“对任意 ，都有 ＞0” ，
所以 为 上的增函数.
对于A： 在 上为增函数，故A正确;
对于B： 在 上为减函数，故B错误;
对于C： 对称轴为 ，开口向上，
所以 在 上为增函数，故C正确;
对于D： ，因为 在 上为增函数， 在 上为增函数，
所以 在 上为增函数， 故D正确.
故选：ACD
8．（2023秋·福建厦门·高三厦门市松柏中学校考阶段练习）已知函数 在
上是增函数，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据函数的单调性，得出每一段函数单调递增，且在 处，左侧函数值小于等于右侧函数值.
【详解】依题意函数 在 上单调递增，此二次函数开口向下，
所以对称轴 ，解得 ；
函数 在 上单调递增，所以 ；
把 分别代入两段函数，则 ，解得 .
综上，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
2奇偶性
1．（2023秋·河北衡水·高三河北武强中学校考开学考试）设奇函数 在 上为增函数，且
，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】数形结合，根据奇偶性以及单调性解不等式.
【详解】奇函数 在 上为增函数，
所以 ，即 ，
又 ，则 ，大致图象如下，所以当 时， .
故选：C.
2．（2023秋·安徽·高三安徽省宿松中学校联考开学考试）已知函数 为奇函数，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据奇函数的知识求得 ，进而求得 .
【详解】
，
因为 是奇函数，所以 ，
即 ，解得 ，
故 .
故选：D
3．（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）已知 ，若 ，则 .
【答案】
【分析】利用函数奇偶性求解即可.
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，又因为 ，所以 ，
故答案为：
4．（2023秋·江西南昌·高三南昌市八一中学校考阶段练习）已知函数 是奇函数，则
．
【答案】 /0.5
【分析】根据奇函数的定义求解.
【详解】因为函数 是奇函数， ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
即 ，
所以 .
故答案为：
5．（2023秋·新疆·高三八一中学校考阶段练习）若 为偶函数，则实数 .
【答案】0
【分析】由 求出 的值，然后再检验即可.
【详解】因为定义域为 ，关于原点对称，而函数 为偶函数，
所以由 得 ，解得： .
当 时， ，符合题意.
故答案为：
3周期性
1．（2023春·广西玉林·高二统考期末）若函数 满足 ，且当 时，，则 （ ）
A．10 B．4 C．2 D．
【答案】B
【分析】根据条件 ，得出 是周期函数，从而得到 ，再根据条件即可
求出结果.
【详解】因为 ，所以函数 是周期函数，且它的一个周期为4，
所以 ，又当 时， ，
所以 ，故 .
故选：B.
2．（2023秋·江苏盐城·高一江苏省射阳中学校考期末）已知定义在 上的函数 满足
，当 时， ，则 .
【答案】1
【分析】根据函数的周期性求解即可.
【详解】因为定义在R上的函数 满足 ，
所以函数的周期为 ，所以 ．
因为当 时， ，
所以 .
故答案为：1．
3．（2023春·河南开封·高二校联考期末）已知定义在 上的函数 的周期为2，当 时，
，则 .
【答案】1
【分析】由周期性可知 ，代入函数解析式求值即可.
【详解】由题设， 是周期为2的偶函数，
所以
.
故答案为：1
4．（2023春·安徽亳州·高一涡阳县第二中学校联考期末）定义在R上的函数 满足
，则 ．【答案】0
【分析】根据题意得到4为函数 的周期，求出 得到 .
【详解】由 ，
代入 得， ．
两式相减得， ，即 ，所以4为函数 的周期．
因此 ，
在 中，令 ，则 ，
所以 ，即 ．
故答案为：0
5．（2023秋·江苏镇江·高三统考开学考试）已知函数 是奇函数， 是偶函数，当
时， ，则 .
【答案】0
【分析】由已知奇偶性得出对称性，从而又得出周期性，然后由对称性计算 ，由周期性计算和．
【详解】函数 是奇函数，则 的图象关于点 对称，即 ，函数 是偶
函数，则 的图象关于直线 对称，即 ，
∴ ，从而 ，∴ ，
所以 是周期函数，其中4是它的一个周期，
由已知 ， ，则 ， ，
∴ ，
∴
，
故答案为：0.
6．（2023秋·陕西咸阳·高三校考开学考试）已知 是定义域为 的奇函数，满足
．若 ，则 ．
【答案】0
【分析】根据题意结合奇函数的定义分析可得 是意为周期的周期函数，且 ，
，利用周期性运算求解即可.
【详解】因为 ，即 ，
又因为 是定义域为 的奇函数，则 ，可得 ，
所以 是以4为周期的周期函数，
且 ， ， ，
可得 ，
因为 ，
所以 .
故答案为：0.
4对称性
1．（2023秋·河南·高三校联考开学考试）已知函数 ，则（ ）
A． 为奇函数
B． 为偶函数
C． 图象关于 中心对称
D． 图象关于 轴对称
【答案】C
【分析】对于选项AB：根据函数的奇偶性定义对其判断；对于选项CD：根据函数中心对称或轴对称定义
对其判断.
【详解】对于选项A： ，则 不是奇函数，故A错误；
对于选项B： ，则 不是偶函数，故B错误；
对于选项C： ，
故 的图象关于点 中心对称，故C正确；
对于选项D： ，则 的图象不关于直线 轴对称，故D错误；
故选：C.
2．（2023春·河南郑州·高二统考期末）对于三次函数 ，现给出定义：设是函数 的导数， 是 的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数
的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三
次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数 ，则
（ ）
A． B． C．17 D．34
【答案】C
【分析】根据题意求得函数 的对称中心为 ，得到 ，结合计算规律，即可求解.
【详解】由函数 ，可得 ，所以 ，
令 ，可得 ，
又由 ，即函数 的对称中心为 ，
所以 ，
则
.
故选：C.
3．（多选）（2023·河北衡水·河北衡水中学校考一模）已知函数 的图象的对称轴方程为 ，则函
数 的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】依次验证各选项中的函数是否满足 即可.
【详解】若 的图象的对称轴方程为 ，则 ；
对于A， ，A错误；
对于B， ，B正确；对于C， ， ， ，
即 不恒成立，C错误；
对于D， ，D正确.
故选：BD.
4．（2023秋·福建漳州·高三福建省华安县第一中学校考开学考试）若函数 的值域为 ，且满足
，则 的解析式可以是 .
【答案】 （答案不唯一）
【分析】取 ，求出函数 的值域，验证 成立，即可得出结果.
【详解】取函数 ，因为 ，则 ，即函数 的值域为 ，
因为 ， ，则 ，
所以，函数 的解析式可以为 .
故答案为： （答案不唯一）.
5．（2023春·上海黄浦·高一统考期末）函数 图像的对称中心的坐标为 ．
【答案】
【分析】将函数解析式分离常数变形后，利用反比例函数的对称性，结合函数图像的平移变换即可得答
案．
【详解】 ，
它的图像是由函数 的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到的，
因为函数 的图像对称中心的坐标为 ，
所以函数 图像的对称中心的坐标为 ．
故答案为： ．二、函数的基本性质综合应用（精选高考模拟题）
1．（2023·河南开封·统考三模）已知 是定义在R上的奇函数， 的图象关于 对称，
，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【分析】首先根据函数对称性可以得到 ，利用函数为奇函数可求出函数的周期，利用周期
进一步计算即可求出函数值.
【详解】因为 的图象关于 对称，
所以 ，于是 ，
又 是定义在 上的奇函数，所以 ，
则 ，即 ，
所以 的周期为4，
所以 ，
又因为 是定义在 上的奇函数，所以 .
故选： .
2．（2023·西藏昌都·校考模拟预测）已知函数f（x）的图象关于原点对称，满足 ．若
，则 等于（ ）
A．－50 B．50 C． D．2
【答案】D
【分析】运用函数奇偶性、对称性可得函数周期为4，运用赋值法可得 、 、 的值进而运用周
期性可求得结果.
【详解】因为 图象关于原点对称，
所以 且
又因为 ，①
所以 ，
所以 ， ②
所以 ，
所以 ，③即 的周期为4，
将 代入①得： ，
将 代入②得： ，
又因为 ，
所以 ，
将 代入③得： ，
所以 ，
所以 ，
故选：D.
3．（2023·广西南宁·南宁三中校考一模）已知 ， 分别为定义在R上的 ， 的导函数，
且 ， ，若 是偶函数，则下列结论一定正确的是（ ）
A．函数 的图象关于点 对称
B．函数 的图象关于直线 对称
C．3是 的一个周期
D．
【答案】B
【分析】根据求导法则，利用函数的对称性、奇偶性、周期性，即可求出 、 、 、 的
性质，进而判断各选项的正误.
【详解】因为 ， ，所以 ，
所以函数 的对称中心为点 ，又 ，
所以函数 的图象关于点 对称，A不正确；
是偶函数，所以 ，所以 ，
即 为奇函数，对称中心为 ，函数 的另一个对称中心为点 ，
所以 的周期为2，C不一定正确；
函数 及 的周期与 相同，周期为2． 的图象关于点 对称，
，所以 ，函数 的图象关于直线 对称，则 的图象关
于直线 对称，B正确；
因为 ， ，故 ，D不正确．
故选：B.4．（2023·广西梧州·统考一模）已知定义在R上的函数 在 上单调递增，若函数 为偶函
数，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知，函数 关于 对称，作出函数的图象，数形结合可求解.
【详解】由函数 为偶函数，知函数 关于 对称，
又函数 在 上单调递增，知函数 在 上单调递减，
由 ，知 ，作出函数的图象，如下：
由图可知，当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ；
所以不等式 的解集为： 或 ，
故选：C
5．（2023·云南曲靖·校考三模）已知定义在R上的函数 在 上单调递增，且 为偶函数，
则不等式 的解集为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件，可得 对称轴为 ，且在 上单调递减.根据函数的对称性与单调性，
可得只需 即可，解出不等式即可.
【详解】由题意可得， 对称轴为 ，且在 上单调递减.则由 ，可得出
，即 ，
即 ，解得 或 .所以，不等式 的解集为 .
故选：B.
6．（2023·陕西渭南·统考一模）已知函数 满足：①定义域为 ，② 为偶函数，③ 为
奇函数，④对任意的 ，且 ，都有 ，则
的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由②得 关于x=1对称，由③得 关于 对称，由④得 在 上单增，根据得出的信
息得 的周期并画出 的草图，将其都转化到同一个单调区间上看图即可得结果.
【详解】∵ 在R上为偶函数，
∴ ，
∴ 关于x=1对称.
∵ 在R上为奇函数，
∴ ，
∴ 关于 对称，且
∵ ，∴ （将上式中的x换成x-1）①
又∵ ，∴ ②
∴由①②得： ③
∴由③得： ④ （将③中的x换成x+2）
∴由③④得：
∴ 的一个周期为 ，且 ， 关于 对称
又∵对任意的 ，且 ，都有 ，
∴ 在 上单调递增.
∴ 在一个周期内的草图为：∴ ，
，
∴如图所示： ，
即： ，
故选：C.
7．（多选）（2023·江西·校联考模拟预测）设函数 的定义域为 ， 为奇函数， 为偶
函数，当 时， ．则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】由 为奇函数与 为偶函数，得到函数 的对称性与周期性，先由特值待定 ，
再根据性质求值即可， CD选项结合周期特点进行数列求和，使用并项求和法.
【详解】由 为奇函数，
得 关于 对称，且满足 ；
由 为偶函数，
得 关于直线 对称，且满足 .
故 ，
所以 是周期函数，且周期 .
对选项A，由 ，
令 ，解得 ，故A错误；
对选项B，已知当 时， ，
则 ，故当 时， .
则 ，故B错误；
对选项C， ， ，
， ，且 周期 .
则 ，故C正确．
对选项D，
，故D正确．
故选：CD．
8．（2023·广东·统考一模）已知 是定义在 上的奇函数，且 在 上单调递减， 为偶
函数，若 在 上恰好有4个不同的实数根 ，则 .
【答案】24
【分析】由题设可得 的周期为8，且关于 对称的奇函数，结合区间单调性判断 上单调情
况，根据 与 有4个交点，及函数的对称性求根的和.
【详解】由 为偶函数，则 ，故 ，
又 是定义在 上的奇函数，则 ，
所以 ，故 ，即有 ，
综上， 的周期为8，且关于 对称的奇函数，
由 在 上单调递减，结合上述分析知：在 上递增， 上递减， 上递增，
所以 在 的大致草图如下：
要使 在 上恰好有4个不同的实数根，即 与 有4个交点，
所以，必有两对交点分别关于 对称，则 .
故答案为：249．（2023·河南·校联考模拟预测）已知定义在R上的函数 满足：
．且当 时， ，给出下列命题，① 是奇
函数；② 是周期函数；③ 的值域为 ；④ 在区间 内无零点．其中真命题
是 （写出所有真命题的序号）
【答案】①②④
【分析】根据 可判断①；
，可判断②；根据 时 ，再由
的对称性，周期性可判断③；当 时 ．再由 的图象关于直线 对称可判断
④．
【详解】因为 ，即 ，故 是奇函数，故①正确；
，即 ，故 是以4为周
期的周期函数，故②正确；
当 时， ，再由 的对称性，周期性，可知1不是 的最大值，故③
错误；
当 时， ，则 ．再由 的图象关于直线 对称，知 在 内恒
正．又 ，故 在区间 内无零点，故④正确．故真命题有
①②④．
故答案为：①②④．
10．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）已知函数 ，若
，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【分析】首先判断 的奇偶性，令 ，利用导数说明 的单调性，即可得到
的单调性，结合函数的奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】因为 ，定义域为 ，
由 ，可知函数 为偶函数，函数图象关于 轴对称，又由 ，
令 ，由 可知函数 为奇函数，
又由 ， （当且仅当 时取等号），
可得函数 单调递增，且当 时 ，
由一次函数 在区间 单调递增且函数值恒为正，可知函数 在区间 单调递增，
又由函数 为偶函数，可得函数 的增区间为 ，减区间为 ，
不等式 可化为 ，
必有 ，平方后整理为 ，解得 或 ，
即实数 的取值范围为 .
故答案为：
三、函数的基本性质中的数学文化
1．（2023·江苏南通·高三校联考阶段练习）双曲函数起初用来描述一些物理运动过程，后来又大量应用于
计算机科学､经济和金融领域．若双曲正切函数为 ，则 （ ）
A．是偶函数，且在 上单调递减 B．是偶函数，且在 上单调递增
C．是奇函数，且在 上单调递减 D．是奇函数，且在 上单调递增
【答案】D
【分析】令 ，定义域为 ，根据奇偶函数的定义判断奇偶性，根据导数的正负判断单调
性，即可得出答案．
【详解】令 ，定义域为 ，
因为 ，
为奇函数，又 ，
在 上单调递增，
故选：D．
2．（2021·陕西榆林·校考模拟预测）已知定义在R上的函数 ，其中 表示不超过 的最大
整数， ，给出下列三种说法：
① ， 是一个增函数；
② ， 是一个奇函数；
③ ， 在区间 上有唯一零点．
其中正确的说法个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【分析】根据 的定义分别取特殊值即可判断①②，根据 时的解析式及 ，即可判断③.
【详解】解：因为 ，而 ，
所以 ，故 不是一个增函数，即①错误，
若 是一个奇函数，则 且 ，
即 且 ，即 且 ，
故m不存在，即②错误；
当 ，当 ，
若 在区间 上有唯一零点，则 ，
即 ，故③正确.
故选：C
3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知定义在R上的函数 满足：
．且当 时， ，给出下列命题，① 是奇
函数；② 是周期函数；③ 的值域为 ；④ 在区间 内无零点．其中真命题
是 （写出所有真命题的序号）
【答案】①②④【分析】根据 可判断①；
，可判断②；根据 时 ，再由
的对称性，周期性可判断③；当 时 ．再由 的图象关于直线 对称可判断
④．
【详解】因为 ，即 ，故 是奇函数，故①正确；
，即 ，故 是以4为周
期的周期函数，故②正确；
当 时， ，再由 的对称性，周期性，可知1不是 的最大值，故③
错误；
当 时， ，则 ．再由 的图象关于直线 对称，知 在 内恒
正．又 ，故 在区间 内无零点，故④正确．故真命题有
①②④．
故答案为：①②④．
