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第 02 讲 第二章 函数与基本初等函数（章节综合检测）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.）
1．（2023·浙江·统考模拟预测）函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据对数的定义域以及根式的性质即可求解.
【详解】由题意可知 的定义域需要满足 ，解得 ，
故定义域为 ，
故选：D
2．（2023·河南·校联考模拟预测）若函数 为奇函数，则 （ ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】利用 即可求出 ，即可求解
【详解】 ，
因为 为奇函数，所以 ，
即 ，所以
，
经检验， 满足题意,
所以 ，所以 .
故选：B.
3．（2023·广东佛山·校联考模拟预测）设 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分别由指数、对数、幂函数的性质可得 ， ， ，即可得出答案.
【详解】由题知， ， ，，所以 .
故选：A.
4．（2023秋·贵州贵阳·高三贵阳一中校考开学考试）设函数 ，则使得
的 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数解析式判断函数单调性和奇偶性，将外函数大小比较转换为内函数的大小比较，由此得
出答案.
【详解】函数 的定义域为 ，且
所以函数 为偶函数，
又因为当 时，函数 ， 单调递增，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
因为偶函数有 ，
所以由 可得 ，
所以 ，即 ，整理得： ，
解得： ，
所以 的取值范围为 .
故选：C.
5．（2023·天津南开·南开中学校考模拟预测）函数 的图象大致是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】根据函数解析式可判断出 为奇函数，其图象关于原点对称，再利用 时的取值即可判
断出正确选项.
【详解】由函数 可知，其定义域为 ，关于原点对称；
又对于定义域内任意 满足 ，
所以函数 为奇函数，其图象关于原点对称，因此排除B，
又根据不同函数的增长速度可知，当 趋近于 ， 趋近于 ，而非接近于0，所以排除
A；又 排除D
故选：C
6．（2023·北京大兴·校考三模）已知函数 对任意 都有 ，且 ，当
时， .则下列结论正确的是（ ）
A．函数 的图象关于点 对称
B．函数 的图象关于直线 对称
C．当 时，
D．函数 的最小正周期为2
【答案】D
【分析】根据 得到 ，所以 的周期为4，根据 得到
关于 对称，画出 的图象，从而数形结合得到AB错误；再根据 求出
时函数解析式；D选项，根据 的最小正周期，得到 的最小正周期.【详解】因为 ，所以 ，故 ，
所以 的周期为4，
又 ，所以 ，故 关于 对称，
又 时， ，故画出 的图象如下：
A选项，函数 的图象关于点 不中心对称，故A错误；
B选项，函数 的图象不关于直线 对称，B错误；
C选项，当 时， ，则 ，C错误；
D选项，由图象可知 的最小正周期为4，
又 ，故 的最小正周期为2，D正确.
故选：D
7．（2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚
战的意见》，某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐
减少．已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为 ，首次改良工艺后排放的废水中含有的
污染物数量为 ，第 次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量 满足函数模型
，其中 为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量， 为首次
改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量， 为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超
过 时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（ ）
(参考数据： )
A．14次 B．15次 C．16次 D．17次
【答案】C
【分析】依题运用特殊值 求得函数模型中 的值，然后运用函数模型得到关于 的不等式，通过指、
对运算求得 的取值范围，即可得解．
【详解】依题意， ， ，当 时， ，即 ，可得 ，
于是 ，由 ，得 ，即 ，则 ，又 ，因此 ，
所以若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要16次．
故选：C
8．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考模拟预测）已知函数 ，若方程
有四个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】方程 有四个不同的实数根，即直线 与曲线 ，作出函数图象，即
转化为 在 有两个不等实根，可得答案.
【详解】设 ，该直线恒过点 ，方程 有四个不同的实数根
如图作出函数 的图象，
结合函数图象，则 ，
所以直线 与曲线 有两个不同的公共点，
所以 在 有两个不等实根，
令 ，
实数 满足 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 .故选：D.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2023秋·高一单元测试）某同学求函数 的零点时，用计算器算得部分函数值如表所
示：
则方程 的近似解（精确度 ）可取为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】利用函数的性质及零点存在定理即得
【详解】因为函数 在其定义域上单调递增，结合表格可知，
方程 的近似解在（2.5，3），（2.5，2.75），（2.5，2.5625）内，又精确度0.1，
∴方程 的近似解（精确度0.1）可取为2.51，2.56.
故选：AB．
10．（2023春·安徽芜湖·高一安徽师范大学附属中学校考期中）狄利克雷是解析数论的创始人之一，对数
学分析和数学物理有突出贡献，以其有关的函数 ，称为类狄利克雷函
数，以下关于类狄利克雷函数的说法正确的是（ ）
A．是偶函数 B．
C．值域是 D．函数 值域包含正整数集
【答案】AB
【分析】根据狄利克雷函数的解析式，结合函数的奇偶性的定义和运算，可判定A、B正确，C错误；结合
函数 的值域中不含有4，可判定D错误.
【详解】由题意，函数 的定义域是 ，
若 是有理数则 也是有理数，若 是无理数则 也是无理数，
所以 ，函数为偶函数，所以A正确；
当 是无理数时， ；当 是有理数时， ，
所以B正确；
由函数 值域是 ，所以C错误；函数 ，
由 ，可得 ，此时 为无理数，所以 ，
由 ，可得 ，此时 为有理数，所以 ，
综上可知，函数 的值域内不含有 ，所以D错误.
故选：AB.
11．（2023秋·云南红河·高一统考期末）已知幂函数 的图象经过点 ，则下列说法正确的是
（ ）
A．函数 为增函数
B．函数 为偶函数
C．当 时，
D．当 时，
【答案】ACD
【分析】根据给定条件，求出幂函数 的解析式，再逐项分析判断作答.
【详解】设幂函数 ，则 ，解得 ，所以 ，
对于A， 的定义域为 ， 在 上单调递增，A正确；
对于B，因为 的定义域不关于原点对称，函数 不是偶函数，B错误；
对于C，当 时， ，C正确；
对于D，当 时，
，
又 ，所以 ，D正确．
故选：ACD
12．（2023春·福建福州·高一福州三中校考期中）已知函数 ，若方程
有四个不同的实数解，它们从小到大依次记为 ， ， ， 则（ ）A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】将方程的实数解个数问题转换为两个函数的交点问题，即可求出k的取值范围，并得到 ， ，
， 之间的关系，其中 ， 是方程 的实数根，根据二元一次方程和韦达定理即可找到关
系； ， 满足等式 .
【详解】当 时， ，在 单调递减， ，在 单调递
增， ；
当 时， ，在 单调递减， ，在 单调递增，
，若 有四个不同的实数解，则 ，A正确；
因为 ，所以 ， ，所以 ，B错
误；
，根据韦达定理可知 中 ，C正确；
， ，所以 ，D正
确.
故选：ACD
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3
分.）
13．（2023春·江苏宿迁·高一统考期中）函数 在 上存在零点，则整数t的值为
．
【答案】1
【分析】得到 的单调性，结合零点存在性定理及特殊值求出答案.
【详解】 在R上单调递增，由零点存在性定理可知，
，
由于 ，故整数 .
故答案为：1
14．（2023·全国·高三专题练习）函数 且 的图象恒过定点A，若点A在直线
上，其中 ， ，则 的最小值为 .
【答案】
【分析】先利用指数函数的性质得到定点 ，从而得到 ，再利用基本不等式“1”的妙用即
可得解.
【详解】令 ，即 ，则 ，
所以 的图象恒过定点 ，
因为点 在直线 上，所以 ，又 ，
所以 ，
当且仅当 且 ，即 ， 时取等号，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
15．（2023秋·广东湛江·高三校联考阶段练习）设函数 在 单调递增，则 的
取值范围为 ．
【答案】
【分析】由复合函数单调性“同增异减”原则，函数 在 上单调递增，且 在
上恒成立，建立不等式求解即可.
【详解】由复合函数单调性“同增异减”原则，
函数 在 上单调递增，且 在 上恒成立，
已知二次函数 的对称轴为 ，所以 ，解得 ．
故答案为： ．
16．（2023·全国·高三专题练习）对 ，记 ，若函数
，则方程 有2个不同的实根时 的取值范围是 ， 的解集是
.
【答案】
【分析】作出函数图象，易得 的解的个数，设 ，解不等式 ，可根据函数的解析
式分类求解．
【详解】作出函数图象，如图，由图可得 有两个解，则 或 ，
不等式 中，令 ，则 ，
由图象知，当 时， ， , ，即 ， ，
即 时， ， ， ， ， ， ，
时， ，不等式 为 ， ， ，
， ，
综上， 或 ．
故答案为： ； ．
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字
说明､证明过程或演算步骤.）17．（2023秋·高一单元测试）计算下列各题．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）根据指数幂的运算法则可求出结果；
（2）根据对数的运算性质可求出结果.
【详解】（1）原式
.
（2）原式＝
.
18．（2023秋·高一单元测试）小明在调查某班小学生每月的人均零花钱时，得到了下列一组数据：
x/月份 2 3 4 5 6 …
y/元 1.40 2.56 5.31 11 21.30 …
小明选择了模型 ，他的同学却认为模型 更合适．
(1)试问用哪个函数模型更合适？
(2)大约在几月份小学生零花钱超过100元？（参考数据： ， ）
【答案】(1)用 这一模型更符合；
(2)9月份.【分析】（1）在同一坐标系内作出两个模型函数的图象，描出表格中的数据对应的点，再比对即可作答.
（2）由（1）的结论及已知，建立不等式即可求解作答.
【详解】（1）在同一坐标系内作出函数 ， 的图象，并在此坐标系内描出表格提供的数据对应
的点，如图，
观察图象知，这些点基本上都落在函数 的图象上或附近，
所以用 这一模型更符合.
（2）当 时， ，因此 ，而 ，则 ，
所以大约在9月份小学生的平均零花钱会超过100元.
19．（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）已知函数 是定义域为 的奇函数，且
(1)求实数a，b的值．
(2)判断 在 上的单调性，并用定义法证明．
(3)解不等式： .
【答案】(1) ；
(2) 在 上为增函数，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据题意列出方程组，求出 ；
（2）利用定义法求解函数单调性步骤：取点，作差，变形判号，下结论；
（3）根据函数奇偶性和单调性，结合函数定义域得到不等式组，求出解集.【详解】（1）由题意得 ，解得 ，经验证满足题设；
（2） 在 上是增函数，
证明如下：在 上任取两数 且 ，
则 ，
因为 ，所以 ， ，
故 ，即 ，
所以 在 上为增函数；
（3） 为奇函数，定义域为 ，
由 得 ，
∵ 在 上为增函数，
∴ ，解得 .
所以原不等式的解集为
20．（2023秋·四川遂宁·高一射洪中学校考阶段练习）已知函数 是定义域为 的奇函数，当
时， .
(1)求出函数 在 上的解析式；
(2)画出函数 的图象，并根据图象写出 的单增区间；
(3)已知 有三个零点，求实数 的取值范围.【答案】(1)
(2)图像见详解，单调增区间： ；
(3) .
【分析】（1）通过①由于函数 是定义域为 的奇函数，则 ；②当 时， ，利用
是奇函数， ．求出解析式即可；
（2）利用函数的奇偶性以及二次函数的性质画出函数的图象，写出单调增区间，单调减区间；
（3）利用函数的图像，直接观察得到 的范围即可．
【详解】（1）①由于函数 是定义域为 的奇函数，则 ；
②当 时， ，因为 是奇函数，所以 ．
所以 ．
综上： ．
（2）函数图像如下所示：
由函数图像可知，函数的单调增区间为 和 ．
（3）因为函数 有三个零点，即方程 有三个不同的解，由图像可知， ，
即 ．
21．（2023秋·福建莆田·高三莆田二中校考开学考试）已知函数 的定义域为R，并且满足下列条件：
对任意x，y∈R，都有 ，当 时， .
(1)证明： 为奇函数；(2)若 ，解不等式 .
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）结合已知条件令 和 ，根据奇偶性的定义即可判断；
（2）根据已知条件将不等式化为 的形式，再判断并利用 的单调性即可求解.
【详解】（1）∵函数 的定义域为 ，则定义域关于原点对称．
∵对任意x，y∈R，都有 ，
故令 ，则 ， ，
令 ，则 ，即 ，
是奇函数；
（2）任取 ，且 ，由题意得， ， ，
，
，
，
在 上为减函数．
因 ，∴ ，
∴
，
解得 ，
∴ 的解集为： ．
22．（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知函数 .
(1)若函数 是偶函数，求实数m的值；
(2)若 ，使得 .成立，求实数m的取值范围.
【答案】(1)1
(2)【分析】（1）由 ，即 恒成立可求出 ；
（2）由 得 ， ，再根据指数函数的单调性可求出 的范围.
【详解】（1）由函数 是偶函数知， .
故 ，即 ，
化简得， 恒成立.
故 ，实数m的值为1.
（2）方法一：
若 ，使得 ，则 ，
即 ， 能成立.
于是， ， ，
由指数函数单调性，得 ，
故实数m的取值范围为 .
方法二：
若 ，使得 ，则 ，
即 ， 能成立.
于是， ， ，
由指数函数单调性，得
解得 ，故实数m的取值范围为 .
