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专题 01 基本不等式及其应用
目录
一、基本不等式基础特训（精选代表性类型）.........................................................1
二、基本不等式综合应用特训（精选高考模拟题）.................................................8
三、基本不等式与数学文化.......................................................................................14
一、基本不等式基础特训（精选代表性类型）
1．（2023秋·湖南株洲·高三株洲二中校考开学考试）已知正实数 ， ，满足 ，则下列不等式中
错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据基本不等式，逐一判断选项.
【详解】对于A：∵ ，当且仅当 时取等号，∴A正确；
对于B：∵ ，当且仅当 时取等号，∴B正确；
对于C， ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，∴C正确；
对于D，∵ ，当且仅当 时取等号，∴D错误；
故选：D.
2．（2023秋·四川巴中·高三统考开学考试）已知 且 ，则 的最小值为
（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7【答案】B
【分析】令 ，结合 可得 ，由此即得 ，
展开后利用基本不等式即可求得答案.
【详解】由题意 得， ，
令 ，则 ，
由 得 ，
故
，
当且仅当 ，结合 ，即 时取等号，
也即 ，即 时，等号成立，
故 的最小值为9，
故选：B
3．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考开学考试）已知 ，则 的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．4
【答案】B
【分析】根据 得到 ，然后利用基本不等式求最值即可.
【详解】设 ， ，则 ， ，
，当且仅当 ，即 ， 时，
等号成立.
故选：B.
4．（2023·全国·高一课堂例题）若正数x，y满足 ，则 的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】方法一 由 ，从而 ，利用基本不等式求解；方法二 对原条件式转化得 ，得到 ，利用基本不等式求解；
【详解】解：方法一 由条件得 ，
由 ， 知 ，
从而 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号．
故 的最小值为5．
方法二 对原条件式转化得 ，
则 ，
当且仅当 ， ，即 ， 时取等号．
故 的最小值为5．
故选：D
二、多选题
5．（2023秋·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考开学考试）已知 ， ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用基本不等式和不等式的性质对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】根据基本不等式可知 ，则 ，
当且仅当 ， 时，等号成立，故A正确；
因为 ， ， 变形得 ，
所以
当且仅当 ，即 ， 时，等号成立，所以 ，故B错误；
由 ， ， ，所以 ，即 ，故C正确；
由 ，可得 ，
根据前面分析得 ，即 ，所以 ，即 ，故D正确．
故选：ACD
6．（2023秋·河南·高三郑州一中校联考阶段练习）设某批产品的产量为 （单位：万件），总成本
（单位：万元），销售单价 （单位：元/件）．若该批产品全部售出，则总
利润（总利润 销售收入-总成本）最大时的产量为（ ）
A．7万件 B．8万件 C．9万件 D．10万件
【答案】B
【分析】表达出总利润关于 的关系式，变形后利用基本不等式求出最值，得到答案.
【详解】总利润
，当且仅当 ，
即 时， 最大，故总利润最大时的产量为8万件．
故选：B．
7．（2023秋·广东中山·高三中山市华侨中学校考阶段练习）下列命题中的真命题有（ ）
A．当x＞1时， 的最小值是3
B． 的最小值是2
C．当0＜x＜10时， 的最大值是5
D．若正数x，y为实数，若x+2y＝3xy，则2x+y的最大值为3
【答案】AC
【分析】对于A、C利用基本不等式分析判断，对于B由对勾函数的性质分析判断，
对于D根据基本不等式的变形分析判断.
【详解】对于选项A因为 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，故选项A正确；对于选项B因为 ，
等号成立的条件是 ，显然不成立，所以等号不成立，不能使用基本不等式，即最小值不为2，令
，则 在 上单调递增，所以 时取得最小值 ，故选项B错误；
对于选项C因为 ，则
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，故选项C正确；
对于选项D由 得 ，故
，当且仅当 时取
等号，故选项D错误.
故选：AC.
8．（2023春·云南曲靖·高二校考阶段练习）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把
“ ”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“ ”和“ ”符号，并逐步被数学界接受，不
等号的引入对不等式的发展影响深远．下列结论不正确的是（ ）
A．当 时，
B．当 时， 的最小值是2
C．当 时， 的最小值是
D．设 ， ，且 ，则 的最小值是
【答案】BC
【分析】利用基本不等式逐项求最值，结合不等式成立的条件逐项判断可得答案.
【详解】对于A，当 时， ，当且仅当 即 时等号成立，故A正确；
对于B，当 时， ， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
但显然 ，故等号不成立，故B错误；对于C，因为 ，取 ，则 ，故C错误；
对于D，设 ， ，且 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 即 时等号成立，故D正确.
故选：BC.
三、填空题
9．（2023秋·湖南株洲·高三校考阶段练习）已知实数 满足 ，则 的最大值为
．
【答案】
【分析】根据基本不等式的性质求解.
【详解】由 ，可知 ，
因此 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，
则 ，当且仅当 时，取得最大值．
故答案为： ．
10．（2023秋·江苏淮安·高一统考期末）已知a，b为正实数，满足 ，则 的最小
值为 ．
【答案】
【分析】利用基本不等式求解即可.
【详解】 为正实数，满足 ，
，
，则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故 的最小值为 .
故答案为： .
11．（2023·全国·高一专题练习）函数 的最小值为 ．
【答案】【分析】将函数化为 ，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可.
【详解】由 ，又 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以原函数的最小值为 .
故答案为：
12．（2023·全国·高一专题练习）函数 在 上的最大值为 ．
【答案】
【分析】令 ，则 ，则 ，利用基本不等式计算可得.
【详解】解：因为 ， ，令 ，则 ，
则 ，
当且仅当 ， 即 时，等号成立．
故 的最大值为 ．
故答案为：
13．（2023春·江苏苏州·高二校考阶段练习）已知 ， ，且 ，则 的最小值为
.
【答案】8
【分析】由题意， ，所以代入化简得 ，将其化简为 的形式，利用均值不
等式即可求出其最小值．
【详解】因为 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 即 时取等．
则 的最小值为 .
故答案为： .
二、基本不等式综合应用特训（精选高考模拟题）
一、单选题
1．（2023·河南·校联考二模）若不等式 在 时恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】参变分离可得 ，再设 ，结合基本不等式求解 的最
小值即可.
【详解】解析依题意知， ，结合
，知 ，不等式转化为 ，须 .
设 ，由 ，知 ，设 ，当且
仅当 ，即 ， 时等号成立，因此实数 的取值范围是 .
故选：A
2．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）函数 的部分图象是（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【分析】先求得 ，令 ，对 求导结合基本不等式可得 ，则 在
区间 上为增函数，故排除选项BD，再求出 为偶函数即可得出答案.
【详解】由题意得 ，令 ，
则 （当且仅当 时，等号成立），
可知 为增函数．当 时， ，
则 在区间 上为增函数，故排除选项BD；
又 ，所以 的图象关于y轴对称，故排除选项C．
故选：A.
3．（2023·河南·校联考模拟预测）在 中， 是 边上的点，满足 ， 在线段 上（不
含端点），且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．8
【答案】B
【分析】利用平面向量的线性运算推导出 ，将代数式 与 相乘，展开后利用基本不
等式可求得 的最小值.
【详解】因为 是 边上的点，满足 ，则 ，
所以， ，
因为 在线段 上（不含端点），则存在实数 ，使得 ，
所以， ，
又因为 ，且 、 不共线，则 ，故 ，因为 ，则 ， ，
所以
，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
故 的最小值为 .
故选：B.
4．（2023·四川绵阳·三台中学校考一模）已知各项都为正数的等比数列 ，满足 ，若存在两
项 ， ，使得 ，则 最小值为（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】B
【分析】先利用等比数列的通项公式求得公比 ，从而推得 的值，由此利用基本不等式“1”的妙用即
可得解.
【详解】因为正项等比数列 满足 ，设其公比为 ，则 ， ，
所以 ，得 ，解得 ，
因为 ，所以 ，则 ，即 ，故 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，故 的最小值为 .
故选：B.
二、多选题5．（2023·重庆·统考模拟预测）下列选项正确的是（ ）
A．
B．若正实数a，b满足 ，则
C． 的最小值为
D．已知正实数a、b，若 ，则 的最小值为9
【答案】BD
【分析】根据基本不等式及取等条件可以判断B,C,D选项，特殊值法可以判断A选项.
【详解】当 时， ,A选项错误;
, , ,B选项正确;
,当 即 ,C选项错误;
正实数a、b，若 ，则 ,
,
即 时取等号，D选项正确.
故选:BD.
三、填空题
6．（2023·全国·高一专题练习）函数 的最小值为 ．
【答案】
【分析】将函数化为 ，利用基本不等式求其最小值，注意取值条件即可.
【详解】由 ，又 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以原函数的最小值为 .
故答案为：
7．（2023·全国·高一专题练习）函数 在 上的最大值为 ．【答案】
【分析】令 ，则 ，则 ，利用基本不等式计算可得.
【详解】解：因为 ， ，令 ，则 ，
则 ，
当且仅当 ， 即 时，等号成立．
故 的最大值为 ．
故答案为：
8．（2023·四川成都·校联考二模）平面向量 ， 满足 ，且 ，则 的最小值是
．
【答案】 /
【分析】运用向量的数量积、向量的夹角公式计算可得 ，结合基本不等式即可求得
结果.
【详解】由 两边平方得 ．
又因为 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 时取等号，
所以 的最小值是 .
故答案为： .
9．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知函数 且 过定点 ，
且定点 在直线 上，则 的最小值为 ．【答案】
【分析】根据对数函数的性质得 ，代入直线方程得 ，再根据基本不等式可求出结果.
【详解】令 ，即 ，得 ，故 ，
由 在直线 上，得 ，即 ，
因为 且 ， ，所以 且 ， ，
所以 .
当且仅当 ，即 ，即 ， 时，等号成立.
故 的最小值为 .
故答案为：
10．（2023·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考模拟预测）已知函数 ，其中 ，若
曲线 在 处的切线斜率为1，则 的最小值为 ．
【答案】 /
【分析】根据导数的几何意义可得 ，再结合基本不等式运算求解.
【详解】因为 的定义域为 ，且 ，
由题意可得： ，
又因为 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
11．（2023·上海黄浦·格致中学校考三模）关于x的不等式 的解集是 ，则实数a的
取值范围为 ．
【答案】
【分析】构造 ，利用函数的性质，将问题转化成在 上恒成立，再通过分离常转
化成求函数的最值即可求出结果.
【详解】因为关于x的不等式 的解集是 ，所以 在 上恒成立，令 ，易知 为偶函数，所以 在 上恒成立，即
在 上恒成立，
所以，当 时，由 ，得到 ，
当 时，由 ，得到 ，又因为 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，
综上，实数 的取值范围为 .
故答案为： .
三、基本不等式与数学文化
一、单选题
1．（2023春·云南红河·高二开远市第一中学校校考阶段练习）公元前 世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结
合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面
轨迹的问题，例如:平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿
波罗尼斯圆.已知平面内有两点 和 ，且该平面内的点P满足 ，若点P的轨迹关
于直线 对称，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意计算得 的轨迹方程为 ，根据对称性可得圆心在直线方程上，即
，从而利用乘“1”法即可得到最值.
【详解】设点 的坐标为 ，因为 ，则 ，
即 ，
所以点 的轨迹方程为 ，
因为 点的轨迹关于直线 对称，所以圆心 在此直线上，即 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值是 .
故选：B.
2．（2023春·陕西西安·高二校考阶段练习）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这
种方法是数学家处理问题的重要依据，很多代数公理、定理都可以根据这一原理实现证明，也称为“无字
证明”．如图， 是圆 的直径，点 为圆心，点 是线段 上的一点，且 ．过点 作
垂直于 的半弦 ，连接 ，过点 作 垂直 于点 ，则根据该图形我们可以完成的无
字证明有：（ ）
① ②
③ ④
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
【答案】D
【分析】根据给定条件结合圆的有关性质、直角三角形射影定理用m，n表示出相关线段长即可判断作答.
【详解】在给定的图中没有表示 的几何量，即①③不能根据给定图形完成无字证明；
对于②， ， ，由直角三角形射影定理得 ，
则 ，由于圆上任意弦的长度不大于直径，即 ，
于是得 ，即 ，②能完成无字证明；
对于④，因 ， ，由直角三角形射影定理得 ，
，又 ，那么 ，
④能完成无字证明.
故选：D3．（2023春·浙江台州·高一统考期末）我国南宋数学家秦九韶，发现了三角形面积公式，即
，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积.若某三角形三边a，b，
c，满足 ， ，则该三角形面积S的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把给定数据代入公式，再利用均值不等式求解作答.
【详解】依题意， ，当且仅当 时取等号，
所以该三角形面积S的最大值为 .
故选：B
4．（2023·全国·高三专题练习）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学
著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五
五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：被3除余2的正整数按照从小到大的
顺序排成一列，构成数列 ，记数列 的前 项和为 ，则 的最小值为（ ）
A．20 B．25 C． D．40
【答案】B
【分析】先由根据题意得到等差数列的首项与公差，计算出 ，再应用基本不等式求得 的最小
值.
【详解】被 除余 的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为 ，公差为 的等差数列 ，
则
∴
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故选：B.
二、填空题
5．（2023春·江西九江·高二统考期末）在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特
例，其中“弦”指的是直角三角形的斜边.现将两个全等的直角三角形拼接成一个矩形，若其中一个三角形
“弦”的长度为 ，则该矩形周长的最大值为 .【答案】8
【分析】矩形的一组邻边长为 ，则该矩形的周长为 ，且 ，由基本不等式的结论可求
的范围，进而可求．
【详解】解法一：设矩形的一组邻边长为 ，则该矩形的周长为 ，且 ，而
，即 ，当且仅当 时取
等号，所以 ，即该矩形周长的最大值为8.
解法二：设矩形的一组邻边长为 ，则该矩形的周长为 ，且 ，由不等式得
，当且仅当 时取等号，所以 ，所以 ，即该矩形周长
的最大值为8.
故答案为：8.
