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专题03 函数图象综合问题（精选高考模拟题）
目录
一、函数图象的识别..................................................1
二、根据实际问题作函数图象..........................................7
三、函数图象的应用.................................................14
四、根据函数图象选择解析式.........................................19
一、函数图象的识别
1．（2023·甘肃陇南·统考一模）函数
的图像大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用函数的定义域，奇偶性及其他性质判断即可.
【详解】
的定义域为
且
，
因为
，所以
为奇函数，排除A，D，
1
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当
时，
，B 错误，
故选：C.
2．（2023·四川成都·校联考二模）函数
的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】对函数化简后，利用排除法，先判断函数的奇偶性，再取特殊值判断即可
【详解】因为
，
，
所以
为偶函数，所以函数图象关于
轴对称，所以排除A，C 选项；
又
，所以排除B 选项，
故选：D．
3．（2024·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知
，则
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用函数的定义域以及特殊值检验即可求解.
【详解】由已知得函数
的定义域为
，由此排除选项
,
2
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由于
，由此排除选项
和
,
故选：
.
4．（2023·云南红河·云南省建水第一中学校考模拟预测）函数
的图像大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意，得到函数
的函数值的正负，可排除A、C 项；求得
，得出函数
的单调区间，可排除B 项，即可求解.
【详解】由函数
，令
，即
，解得
或
，
所以当
或
时，
；当
时，
，可排除A、C 项；
又由
，令
，可得
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
则可排除B 项，选项D 符合题意.
故选：D.
5．（2023·河北·统考模拟预测）将函数
的图像向左平移
个单位长度，得到函数
的
图像，则
的部分图像大致为（ ）
3
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用条件，变形化简得到
，再逐一对各个选项图形分析判断即可得出结果.
【详解】因为
，所以
，
选项A，因为
，又
，所以
，故
，根据图形知，选项A 错误；
选项B，因为
，所以
，即
不是偶函数，选项B 错误；
选项C，因为
，又
，所以
，故
，根据图
形知，选项C 错误；综上可知选项D 符合题意.
故选：D.
6．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）函数
的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
4
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【分析】求函数
的定义域，证明函数
为偶函数，排除CD，再证明当
时，
，
排除B，由此可得结论.
【详解】由题意可知，函数
的定义域为
，定义域关于原点对称，
又
，
所以
为偶函数，排除选项C，D；
当
时，
，所以
，则
，
所以
，排除B．
故选：A.
7．（2023·全国·模拟预测）函数
的大致图像为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，由函数的奇偶性可排除AD，再由
可排除C，即可得到结果.
【详解】因为
，其定义域为
，所以
，
所以
为偶函数，排除选项A，D，
又因为
，因为
，所以
，所以
，排除选项C.
故选：B.
5
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8．（2023·四川宜宾·宜宾市叙州区第一中学校校考模拟预测）函数
的图像是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，令
，可以排除AD，然后求导得
，即可排除C.
【详解】因为
，令
，则
，
即
，解得
，或
，解得
，
所以当
时，函数有1 个零点，当
时，函数有2 个零点，
所以排除AD；
当
时，
，
则
，当
时，
，
所以当
时，
，函数单调递增，所以B 正确；
故选：B.
9．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）函数
的图像大致为（ ）
A．
B．
6
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C．
D．
【答案】A
【分析】根据奇偶性和值域，运用排除法求解.
【详解】设
，则有
，
是奇函数，排除D；
，排除B；
当
时，
，排除C；
故选：A.
10．（2023·安徽芜湖·统考模拟预测）函数
在区间
的图像大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先根据函数解析式判断函数的奇偶性，发现是奇函数，排除C、D；观察A、B 两项，发现图像在
处的增减趋势不同，所以对函数进行求导，再把特殊值
代入导函数中判断即可.
【详解】因为
，所以
是奇函数，排除C、D 两项；
当
时，
，则
，
7
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所以
，
所以
在
处的切线斜率为负数，故排除A 项；
故选：B.
二、根据实际问题作函数图象
1．（2023·北京·人大附中校考模拟预测）如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15 分钟内的速度
（单位：米/分钟）与时间
（单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数”
为无人机在时间段
内的最大速度与最小速度的差，则
的图像为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据速度差函数的定义，分
四种情况，分别求得函数解析
式，从而得到函数图像.
【详解】由题意可得，当
时，无人机做匀加速运动，
，“速度差函数”
；
当
时，无人机做匀速运动，
，“速度差函数”
；
当
时，无人机做匀加速运动，
，“速度差函数”
；
当
时，无人机做匀减速运动，“速度差函数”
，结合选项C 满足“速度差函数”解析
8
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式，
故选：C.
2．（2021·重庆·统考模拟预测）匀速地向一底面朝上的圆锥形容器注水，则该容器盛水的高度h 关于注水
时间t 的函数图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设出圆锥底面圆半径r，高H，利用圆锥与其轴垂直的截面性质，建立起盛水的高度h 与注水时间
t 的函数关系式即可判断得解.
【详解】设圆锥PO 底面圆半径r，高H，注水时间为t 时水面与轴PO 交于点
，水面半径
，此时
水面高度
，如图：
由垂直于圆锥轴的截面性质知，
，即
，则注入水的体积为
，
令水匀速注入的速度为，则注水时间为t 时的水的体积为
，
于是得
，
而
都是常数，即
是常数，
9
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所以盛水的高度h 与注水时间t 的函数关系式是
，
，
，函
数图象是曲线且是上升的，随t 值的增加，函数h 值增加的幅度减小，即图象是先陡再缓，
A 选项的图象与其图象大致一样，B，C，D 三个选项与其图象都不同.
故选：A
3．（2020·安徽阜阳·校考模拟预测）小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，
后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先研究四个选项中图象的特征，再对照小明上学路上的运动特征，两者对应即可选出正确选项.
【详解】考查四个选项，横坐标表示时间，纵坐标表示的是离开学校的距离，由此知，此函数图象一定是
下降的，由此排除A；
再由小明骑车上学，开始时匀速行驶可得出图象开始一段是直线下降型，又途中因交通堵塞停留了一段时
间，故此时有一段函数图象与x 轴平行，由此排除D，
之后为了赶时间加快速度行驶，此一段时间段内函数图象下降的比较快，由此可确定C 正确，B 不正确．
故选C．
4．（2017·吉林·统考二模）如图所示，点
从点
出发，按逆时针方向沿边长为
的正三角形
运动一
周，
为△
的中心，设点
走过的路程为
，△
的面积为
（当
、
、
三点共线时，记面
积为0），则函数
的图象大致为（ ）
10
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】当
时,
，为一次递增函数,去掉B；当
(BC 中点) 时
为一次递减函数，去掉C,D；所以选A.
点睛：(1)运用函数性质研究函数图像时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)
在运用函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关
系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可
实现去
，即将函数值的大小转化自变量大小关系
5．（2019·安徽马鞍山·统考二模）某饲料厂原有陈粮10 吨，又购进新粮x 吨，现将粮食总库存量的一半精
加工为饲料.若被精加工的新粮最多可用
吨，被精加工的陈粮最多可用y2吨，记
，则函数
的图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据条件，利用特殊值分别验证当
，10，20 时，函数图象的对应值，利用排除法进行求解
即可.
【详解】若
，则此时库存为10 吨，则库存的一半为5 吨加工成饲料，则
，
，
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此时
，排除A，
若
，则此时库存为
吨，则库存的一半为10 吨加工成饲料，
若全部被加工的是陈粮，则
，若全部被加工的是新粮，则
，
此时
，
若
，则此时库存为
吨，则库存的一半为15 吨加工成饲料，
若全部被加工的是陈粮，则y2=10，若全部被加工的是新粮，则
，
此时
，排除D，
因为
，
，
三点不共线，所以不可能是直线，故排除C，
故选：B.
6．（2020·全国·校联考模拟预测）（5 分）函数
的图象大致为
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题可得函数
的定义域为
，因为
，所以函数
为奇函数，排除选项B；又
，
，所以排除选项A、C，故选D．
7．（2011·广东·统考一模）如图所示，设点
是单位圆上的一定点，动点
从点
出发在圆上按逆时针方
向旋转一周，点
所旋转过的
的长为，弦
的长为
，则函数
的图象大致是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】取
的中点为
，设
，在直角三角形求出
的表达式，根据弧长公式求出的表达
式，再用表示
，再根据解析式得答案.
【详解】取
的中点为
，设
，
则
，
，
所以
，即
，根据正弦函数的图象知，C 中的图象符合解析式.
故选：C.
8．（2011·江苏·统考一模）如图放置的边长为的正三角形
沿
轴滚动.设顶点
的纵坐标与横坐
标的函数关系式是
，记
的最小正周期为
；
在其两个相邻零点间的图象与
轴所围
区域的面积记为，则
．
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【答案】
【分析】由图象我们易分析出f（x）的最小正周期T 的值，；
由其点P 的轨迹图象可以得出其轨迹与x 轴所围成的图形是一个个相邻的圆弧，
即两零点之间的图象与x 轴围成的图形是2 个
圆，由公式计算出面积即可．
【详解】由已知中边长为1 的正三角形PAB 沿 x 轴滚动，则滚动二次后，P 点的纵坐标和起始位置一样，
第三次滚动时以点P 为圆心，故点P 不动，故函数y＝f（x）是以3 为周期的周期函数，即T＝3，
两个相邻零点间的图象与x 轴所围区域的面积如下图所示：
由图可知，其两个零点之间所围成的面积为以1 为半径的2 个
圆再加上一个边长为1 的正三角形的面
积，
故其面积是
，即S＝
，所以S×T＝2π+
.
故答案为：2π+
.
三、函数图象的应用
1．（2023·江西南昌·南昌县莲塘第一中学校联考二模）为了预防某种病毒，某学校需要通过喷洒药物对教
室进行全面消毒．出于对学生身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25 毫克/立
方米时，学生方可进入教室．已知从喷洒药物开始，教室内部的药物浓度y（毫克/立方米）与时间t（分
钟）之间的函数关系为
，函数的图像如图所示．如果早上7：30 就有学生进入教室，那
么开始喷洒药物的时间最迟是（ ）
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A．7：00
B．6：40
C．6：30
D．6：00
【答案】A
【分析】函数的图像过点
，代入函数的解析式求得未知系数a，解函数不等式即可.
【详解】根据函数的图像，可得函数的图像过点
，
由函数图像连续，代入函数的解析式，可得
，解得
，
所以
，
令
，可得
或
，
解得
或
．
所以如果7：30 学生进入教室，那么开始喷洒药物的时间最迟是7：00．
故选：A．
2．（2023·湖南邵阳·统考二模）已知函数
若存在实数
，
，
，
，满足
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据分段函数的性质，画出图象，即可图象以及函数的对称性即可求解临界位置， 即可求解.
【详解】画出
的图象如下图：
由题意可知
，
，由图象可知
关于直线
对
称，所以
，因此
，
当
时，
，此时
，
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当
时，
，此时
，
当存在
，
，
，
使得
时，此时
，
故选：C
3．（2023·四川成都·校考模拟预测）定义：设不等式
的解集为M，若M 中只有唯一整数，则称M
是最优解．若关于x 的不等式
有最优解，则实数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】将不等式转化为
.设
，
，根据
的取值范围分
类，作出
的图象，结合图象，即可求得
的取值范围.
【详解】
可转化为
.
设
，
，则原不等式化为
.
易知m＝0 时不满足题意.
当m>0 时，要存在唯一的整数
，满足
，
在同一平面直角坐标系中分别作出函数
，
的图象，如图1 所示
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则
，即
，解得
.
当m<0 时，要存在唯一的整数
，满足
，
在同一平面直角坐标系中分别作出函数
，
的图象，如图2 所示
则
，即
，解得
.
综上，实数m 的取值范围是
.
故选：D
4．（2023·陕西咸阳·统考模拟预测）已知函数
，则函数
的零点个数
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数解析式画出图像，利用换元法令
，可知
；结合函数图像及解析式可求得
的值，再结合图像即可确定方程解的个数，即为函数零点的个数.
【详解】函数
，
17
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对
，令
，令
，
可知
在
上单调递增，在
上单调递减，
且
趋向负无穷时，
，
时，
，
故结合对数函数图象，可画出函数
图像如下图所示：
函数
的零点，即
，令
，代入可得
，
由图像可知
，即
，
结合函数图像可知，
有1 个解，
综合可知，函数
的零点有1 个，
故选：A.
5．（多选）（2023·湖南岳阳·统考二模）设函数
在
上的最小值为
，函数
在
上的最大值为
，若
，则满足条件的实数
可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】根据对数函数和正弦函数的图象，对a 分类讨论，结合对数函数、正弦函数的单调性求解即可.
【详解】函数
和
的图象，如图，
当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
，
函数
在
上单调递增，所以
，
18
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所以
，解得
；
当
时，函数
在
上单调递增，所以
，
由图可知，函数
在
上，有
，得
所以
，解得
，
结合选项，实数a 可以是
和
.
故选：BD.
6．（2023·贵州黔东南·凯里一中校考模拟预测）设函数
，则满足条件“方程
有三个实数解”的实数a 的一个值为 .
【答案】3（答案不唯一，只要满足
均可）．
【分析】作出函数
的图象，结合图象即可得解．
【详解】由于函数
为对勾函数，且
，当且仅当
取等号，
函数
为单调递增函数，且
，
作出函数
的图象如下图所示，
由图象可知，要使方程
有三个实数解，则需
，
则符合题意的一个
的值为3．
故答案为：3（答案不唯一，只要满足
均可）．
四、根据函数图象选择解析式
1．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知
的图象如图，则
的解析式可能是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据图象确定函数
的定义域，奇偶性，以及函数值的大小即可求解.
【详解】由函数的图象可知函数的定义域为
，
而选项B，
的定义域为
，由此即可排除选项
；
函数图象关于原点对称，即为奇函数，
而选项A,
，
，
所以
为偶函数，由此可排除选项A；
根据图象可知
，而选项D,
，
, 由此可排除D，选项C 满足图象特征.
故选：C.
2．（2023·浙江温州·统考二模）某个函数的大致图象如图所示，则该函数可能是（ ）
A．
B．
20
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C．
D．
【答案】B
【分析】根据函数的奇偶性可判断C，根据
和
即可排除AD.
【详解】4 个选项函数定义域均为R，对于A,
，故
为
奇函数，且
对于B,
故
为奇函数，
，
对于C,
,故
为偶函数，
对于D，
故
为奇函数，
，
由图知为奇函数，故排除C；由
，排除A,由
，排除D,
故选：B．
3．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知函数
的大致图象如图所示，则其解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据图象的对称性排除C D；根据函数的最值排除B，从而可得答案.
【详解】由图象关于
轴对称可知，函数
为偶函数，
因为
与
为奇函数，所以排除C D；
因为
，当且仅当
时，等号成立，
所以
在
时取得最小值，由图可知
在
时取得最大值，故排除B.
故选：A
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4．（2023·湖南长沙·长沙一中校考一模）已知函数
的局部图象如图所示，则
的解析式可以是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用排除法，根据奇偶性和
在
时的函数值正负可排除.
【详解】由图可得
的图象关于
轴对称，即
为偶函数，
其中A 选项，
，故
为奇函数，与图象不符，故排除A；
C 选项，
，故
为奇函数，与图象不符，故排除C；
B 选项，当
时，
，
，则
，与图象不符，故排除B.
故选：D.
5．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知函数
，
，如图是下列四个函数中某个函
数的大致图象，则该函数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数图象得到对应的函数的定义域为
和当
时，
，再一一判断各
个选项即可.
【详解】由图象可得，该图象对应的函数的定义域为
，
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对于A 选项：
的定义域为
，所以A 选项错误；
对于B 选项：
的定义域为
，所以B 选项错误；
又知当
时，
，
对于C 选项，
的定义域为
，
当
时，
，所以C 选项错误；
对于D 选项，
的定义域为
，
当
时，
，所以D 选项符合题意.
故选：D.
6．（2023·广东惠州·统考一模）岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展．下图
是番禺区某风景优美的公园地图，其形状如一颗爱心．图
是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个
图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在
轴上方的图象对应的函数解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式可求得
，知A 错误；由
时，
可知B 错
误；根据
、图象中的特殊点及函数的奇偶性、单调性可知C 正确；根据函数定义域可知
D 错误.
【详解】对于A，
（当且仅当
，即
时
取等号），
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在
上的最大值为
，与图象不符，A 错误；
对于B，当
时，
，与图象不符，B 错误；
对于C，
，
当
时，
；
又
过点
；
由
得：
，解得：
，即函数定义域为
；
又
，
为定义在
上的偶函数，图象关于
轴对称；
当
时，
，则函数在
上单调递增，在
上单调递减；
综上所述：
与图象相符，C 正确；
对于D，由
得：
，
不存在
部分的图象，D 错误.
故选：C.
7．（2023·安徽六安·六安一中校考模拟预测）曲线是造型中的精灵，以曲线为元素的LOGO 给人简约而不
简单的审美感受，某数学兴趣小组设计了如图所示的双J 型曲线LOGO，以下4 个函数中最能拟合该曲线
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分别从函数奇偶性、单调性、及函数值的符号来逐项判断即可.
【详解】对于A 项，设
，定义域为
，
又因为
，所以
为奇函数，
当
时，
，则
，
，
，
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所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
当x 趋近于0 时，
趋近于0；当x 趋近于
时，
趋近于
；
又因为
，故符合图象，故A 项正确；
对于B 项，设
，定义域为
，
又因为
，所以
为偶函数，而图象曲线是一个奇函数，故B 项不符
合；
对于C 项，设
，定义域为
，
当
时，
，则
，
，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，这与图象不符，故C 项不符合；
对于D 项，设
，定义域为
，
因为
，这与图象中
相矛盾，故D 项不符合.
故选：A.
8．（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）若某函数在区间
上的大致图像如图所示，则该函数的解析
式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】通过函数在区间内的正负性，范围及零点情况排除选项.
【详解】A 选项，设
，则当
时，
，
则
，不符合图像，排除A；
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C 选项，设
，当
时，
，且
，
，
，所以
．
所以
，不符合图像，排除C；
D 选项，设
，令
，解得
或
，与图像不符，排除D.
故选：B．
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