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重难点专题03 一次函数的图像与性质
模块一、一次函数的图像
重难点一、判断一次函数的图象
一次函数y=kx+b(k≠0)图像为直线，核心依据k、b 判断图像走向与截距。
k 决定直线倾斜方向，b 决定直线与y 轴交点位置。多函数图像共存题型，对比各解析式
k、b 正负，排除倾斜方向、纵截距矛盾的图像，快速锁定正确图像。
1．（25-26 八年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，下列函数图象可能是一次函数
2
3
y
x−
=
的图
象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.9
【知识点】判断一次函数的图象、根据一次函数解析式判断其经过的象限
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【分析】对于一次函数y
kx
b
=
+
( ,k b 为常数，
0
k
)，当
0
k
时，y 随x 的增 大而增大，当
0
k
时，y
随x 的增大而减小；当
0
b
时，图象与y 轴的正半轴相交，当
0
b
时，图象与y 轴的负 半轴相交，当
0
b =
时，图象经过原点，根据一次函数的性质逐项分析即可．
【详解】解：∵一次函数
2
3
y
x−
=
，
2
0
k =
，
∴y 随x 的增大而增大，
∴C、D 选项不符合题意；
∵
3
0
b = −
，
∴函数图象与y 轴的负半轴相交，
∴B 选项不符合题意，
综上，A 选项符合题意．
2．（2026·广西南宁·一模）已知某函数的图象如图所示，则该函数的表达式可能是（ ）．
A．
2
y
x
=
−
B．
2
y
x
=
−
C．
2
y
x
=
−
D．
2
y
x
=
+
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】判断一次函数的图象、带有字母的绝对值化简问题
【详解】解：对于选项A：
2
y
x
=
−
是一次函数，图象是一条直线，不符合题意；
对于选项B：当
0
x =
时，
2
y =
，不符合题意；
对于选项C：
2
y
x
=
−
的图象为“V”型，且交y 轴于点(
)
0, 2
−
，符合题意；
对于选项D：当
0
x =
时，
2
y =
，不符合题意．
3．（2026·湖南·模拟预测）已知一次函数
(
)
1
0
y
kx
k
=
−
的函数值y 随x 的增大而增大，则该函数图象大
致是（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】A
【难度】0.95
【知识点】判断一次函数的图象
【分析】根据一次函数表达式y
kx
b
=
+
中的k 值、b 值进行判断函数图象的大致趋势．
【详解】解：∵y 随x 的增大而增大，
∴函数图象呈上升趋势，
又∵当
0
x =
时，
1
y = −，
即函数与y 轴交点位于y 轴负半轴，
故选项A 满足函数图象．
4．（25-26 八年级下·黑龙江绥化·期末）在同一平面直角坐标系中，正比例函数y
kx
=
和一次函数
y
kx
k
= −
−
（k 为常数，且
0
k
）的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】判断一次函数的图象、正比例函数的图象、正比例函数的性质
【分析】先由正比例函数图象过原点得到各选项中的正比例函数图象，进而由图象性质得出k 的符号，再
由k
−的符号验证一次函数y
kx
k
= −
−
图象是否正确即可．
【详解】解：A、由正比例函数y
kx
=
图象过原点可知，选项中过原点的图象对应的
0
k
，
对于一次函数y
kx
k
= −
−
，
0
k
−
，即该函数图象从左到右看是上升的、且与y 轴交于正半轴上，则选
项中函数y
kx
k
= −
−
的图象符合要求；
B、由正比例函数y
kx
=
图象过原点可知，选项中过原点的图象对应的
0
k ，
对于一次函数y
kx
k
= −
−
，
0
k
−
，即该函数图象从左到右看是下降的、且与y 轴交于负半轴上，则选
项中函数y
kx
k
= −
−
的图象不符合要求；
C、由正比例函数y
kx
=
图象过原点可知，选项中过原点的图象对应的
0
k ，
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对于一次函数y
kx
k
= −
−
，
0
k
−
，即该函数图象从左到右看是下降的、且与y 轴交于负半轴上，则选
项中函数y
kx
k
= −
−
的图象不符合要求；
D、由正比例函数y
kx
=
图象过原点可知，选项中过原点的图象对应的
0
k
，
对于一次函数y
kx
k
= −
−
，
0
k
−
，即该函数图象从左到右看是上升的、且与y 轴交于正半轴上，则选
项中函数y
kx
k
= −
−
的图象不符合要求．
5．（25-26 八年级下·河北沧州·期末）已知函数y
kx
b
=
+
的图象如图所示，则函数y
bx
k
= −
+
的图象大致
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】判断一次函数的图象
【分析】观察已知一次函数y
kx
b
=
+
的图象，判断k 和b 的正负，由b 的正负推导b
−的正负，结合k 的正
负，确定目标函数y
bx
k
= −
+
的图象即可．
【详解】解： 对于原函数y
kx
b
=
+
，直线从左到右是下降的，
∴
0
k
，
∵直线与y 轴交于正半轴，
∴
0
b
，
目标函数y
bx
k
= −
+
，
∵
0
b
，
∴
0
b
−
，
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∴直线是下降的，
∵
0
k
，
∴直线与y 轴交于负半轴，
∴函数y
bx
k
= −
+
的图象为选项D．
重难点二、根据一次函数解析式判断其经过的象限
分四类规律记忆：k>0,b>0 过一、二、三象限；k>0,b<0 过一、三、四象
限；k<0,b>0 过一、二、四象限；k<0,b<0 过二、三、四象限。解题先分辨k、b 正负，对
照象限规律直接判定，特殊b=0 时退化为正比例函数简化判断。
1．（25-26 八年级下·广西防城港·期末）一次函数
4
y
x−
=
的图象不经过（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限
【分析】根据一次函数中k 和b 的符号即可判断图象经过的象限，即可求出不经过的象限．
【详解】解：∵ 一次函数
4
y
x
=
−
中，
1
0
k =
，
4
0
b = −
，
∴ 一次函数
4
y
x
=
−
的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限．
2．（25-26 八年级下·上海崇明·期末）将直线
2
y
x
=
向上平移1 个单位，平移后的新直线一定不经过的象
限是（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象平移问题
【分析】先根据一次函数图象平移规则求出平移后的解析式，再利用一次函数k 和b 的符号判断直线经过
的象限，即可得到不经过的象限．
【详解】解：直线
2
y
x
=
向上平移1个单位，根据平移“上加下减”的规则，可得平移后的解析式为
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2
1
y
x
=
+ ，
∵
2
0
k =
，
∴直线经过第一，三象限，
∵
1
0
b =
，
∴ 直线与y 轴交于正半轴，经过第二象限，
因此平移后的直线经过第一，第二，第三象限，一定不经过第四象限．
3．（25-26 八年级下·湖南岳阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，当
0
k
时，一次函数
2
y
kx
=
−的图象
可能经过的点是（ ）
A．点E
B．点F
C．点G
D．点H
【答案】B
【难度】0.75
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、已知函数经过的象限求参数范围
【分析】根据一次函数y
kx
b
=
+
中k 、b 的符号确定图象经过的象限及增减性，结合图象上各点的位置进
行判断．
【详解】解：一次函数
2
y
kx
=
−中，
2
b = −，
图象与y 轴交于点(
)
0, 2
−
，
0
k
，
y
随x 的增大而减小，图象经过第二、三、四象限，
当
0
x
时，
2
y −；当
0
x
时，
2
y −，
由图象得，点E 在第一象限，故A 选项不符合题意；
点H 在第四象限，且纵坐标大于2
−，故D 选项不符合题意；
点G 在第三象限，且纵坐标小于2
−，故C 选项不符合题意；
点F 在第二象限，且纵坐标大于2
−，故B 选项符合题意．
4．（25-26 八年级下·陕西延安·期末）若a 、b 为常数，且
0
ab
，则一次函数y
ax
b
=
+
与y
bx
a
=
+
在同
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一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限
【分析】根据一次函数中
(
)
0
y
kx
b k
=
+
，k ，b 的符号，结合图象逐一判断即可．
【详解】解：A 、①如图，由y
ax
b
=
+
图象可得
0
a
，
0
b
，由y
bx
a
=
+
图象可得
0
a
，
0
b
，不
符合题意；
②如图，由y
ax
b
=
+
图象可得
0
a
，
0
b
，由y
bx
a
=
+
图象可得
0
a
，
0
b
，
不符合题意；
B、①如图，由y
ax
b
=
+
图象可得
0
a
，
0
b
，由y
bx
a
=
+
图象可得
0
a
，
0
b
，符合题意；
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②如图，由y
ax
b
=
+
图象可得
0
a
，
0
b
，由y
bx
a
=
+
图象可得
0
a
，
0
b
，符合题意；
C 、由图象可知有一条直线经过原点，则
0
a =
或
0
b =
，不合题意，故选项不正
确，不符合题意；
D 、①如图，由y
ax
b
=
+
图象可得
0
a
，
0
b
，由y
bx
a
=
+
图象可得
0
a
，
0
b
，不符合题意；
②如图，由y
ax
b
=
+
图象可得
0
a
，
0
b
，由y
bx
a
=
+
图象可得
0
a
，
0
b
，不符合题意．
5．（25-26 八年级下·广东汕尾·期末）已知一次函数y
kx
b
=
+
（
0
k
，
0
b
），则该函数的图像不经过
第_________象限．
【答案】三
【难度】0.85
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限
【分析】根据已知的k 和b 的符号，结合一次函数的性质判断函数图像经过的象限，即可得到不经过的象
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限．
【详解】解：在一次函数y
kx
b
=
+
中，
0
k
，
函数图像经过第二，四象限，
又
0
b
，
函数图像与y 轴交于正半轴，图像又经过第一象限．
一次函数y
kx
b
=
+
的图像经过第一，二，四象限，即该函数图像不经过第三象限．
6．（25-26 八年级下·北京顺义·期末）在平面直角坐标系xOy 中，直线y
x
b
−
=
+
与
4
y
x
=
+ 的交点不可能
在第________象限．
【答案】
四
【难度】0.65
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限
【分析】根据一次函数图象与系数的关系，确定已知直线
4
y
x
=
+
经过的象限，结合交点在直线
4
y
x
=
+
上，即可得到结论．
【详解】解：对于直线
4
y
x
=
+
，由一次函数图象与系数的关系可知，
1
0
k =
，4
0
，
因此直线
4
y
x
=
+
经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
因为直线y
x
b
= −+
与
4
y
x
=
+
的交点一定在直线
4
y
x
=
+
上，所以交点不可能在第四象限．
重难点三、已知函数经过的象限求参数范围
根据图像经过象限反向推导k、b 正负，列出不等式组求解参数。例如图像
过一、二、四象限，则k<0，b>0。含参数的一次项、常数项分别构建不等式，联立求解
取值区间，算出后代入验证，确保解析式对应象限和题干条件一致。
1．（25-26 八年级下·吉林长春·期末）如图，某一次函数y
kx
b
=
+
的图象过图中A，B 两点，则下面结论
正确的是（ ）
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A．
0
k ，
0
b
B．
0
k ，
0
b
C．
0
k
，
0
b
D．
0
k
，
0
b
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】已知函数经过的象限求参数范围
【分析】根据图象在坐标平面内的位置确定k、b 的取值范围即可得答案．
【详解】解：如图，作直线AB ，则一次函数y
kx
b
=
+
的图象经过第一、二、四象限，
∴
0
k
，
0
b
．
2．（25-26 八年级下·广东广州·期末）已知一次函数y
kx
b
=
+
（
0
k
）的图象不经过第二象限，则下列
说法正确的是（ ）．
A．
0
k
B．
0
k
C．
0
b
D．
0
b
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】已知函数经过的象限求参数范围
【详解】解：∵一次函数
(
)
0
y
kx
b k
=
+
的图象不经过第二象限，
若
0
k
，当
0
b
时，图象经过一、二、四象限；当
0
b
时，图象经过二、三、四象限；两种情况均经过
第二象限，不符合题意，
∴
0
k ，B 错误，A 正确．
当
0
k 时，若图象不经过第二象限，可得
0
b
，故C、D 错误．
3．（25-26 八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）直线
1y
mx
n
=
+ 和直线
2y
nx
m
=
+
在同一平面直角坐标系内，其
图象的位置可能是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
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【难度】0.65
【知识点】已知函数经过的象限求参数范围
【分析】先根据函数经过的象限，判断出m
n
、的取值范围，再进行判断即可．
【详解】选项A，如图
在
1y 中
0
m
，
0
n
，在
2y 中
0
n
，
0
m
，前后矛盾，故A 不符合题意；
选项B，如图
在
1y 中
0
m
，
0
n
，在
2y 中
0
n
，
0
m
，前后矛盾，故B 不符合题意；
选项C，如图
在
1y 中
0
m
，
0
n
，在
2y 中
0
n
，
0
m
，前后矛盾，故C 不符合题意；
选项D，如图
在
1y 中
0
m
，
0
n
，在
2y 中
0
n
，
0
m
，故D 符合题意．
4．（25-26 八年级下·河南驻马店·期末）若正比例函数y
kx
=
的图象经过第二、第四象限，写出一个符合
条件的k 的值是_______．
【答案】1
−（答案不唯一，任意负数均可）
【难度】0.95
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【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、正比例函数的性质
【分析】根据正比例函数的性质，由图象经过第二、四象限可确定k 的取值范围，在取值范围内任取一个
值即可．
【详解】解：正比例函数y
kx
=
的图象经过第二、第四象限，
0
k
，
符合条件的k 的值可以为1
−（答案不唯一，任意负数均可）．
5．（2026·天津河东·三模）已知一次函数
(
)
3
1
y
a x
=
−
−的图像经过第一、三、四象限，那么a 的取值范
围为_________．
【答案】
3
a
【难度】0.85
【知识点】已知函数经过的象限求参数范围
【分析】本题考查一次函数的图像与性质，解题关键是掌握一次函数图像与系数的关系，对于一次函数
y
kx
b
=
+
，当
0
k
，
0
b
时，图像经过第一、三、四象限，本题中
1
0
b = −
，只需满足一次项系数大
于0 ，解不等式即可得到a 的取值范围.
【详解】解：一次函数
(
)
3
1
y
a x
=
−
−的图像经过第一、三、四象限，
3
0
a
−
，
解得
3
a ，
故答案为
3
a
6．（25-26 八年级下·山东潍坊·期末）若关于x 的一次函数
2
3
y
ax
a
=
+
−的图象经过第一、三、四象限，
则a 的取值范围是_______．
【答案】
3
0
2
a
【难度】0.75
【知识点】已知函数经过的象限求参数范围
【分析】对于一次函数y
kx
b
=
+
（k 为常数，
0
k
），当
0
0
k
b
，
时，y
kx
b
=
+
的图象经过第一、
三、四象限，据此列出不等式组求解即可.
【详解】解：关于x 的一次函数
2
3
y
ax
a
=
+
−的图象经过第一、三、四象限，
0
2
3
0
a
a
−
，
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解不等式2
3
0
a −
，
可得：
3
2
a
，
3
0
2
a
．
7．（25-26 八年级下·江西赣州·期末）已知关于x 的函数
(
)
2
2
1
y
m
x
m
=
+
+
−．
(1)若这个函数的图象平行于直线
2
3
y
x
=
−，求m 的值；
(2)若这个函数是一次函数，且图象经过第一、三、四象限，求m 的取值范围．
【答案】(1)0
(2)
1
2
2
m
−
【难度】0.67
【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、根据一次函数的定义求参数
【分析】（1）根据函数的图象平行于直线
2
3
y
x−
=
，得
2
2
m+
=
，求m 的值即可；
（2 ）根据这个函数是一次函数，且图象经过第一、三、四象限，得到
2
0
2
1
0
m
m
+
−
，求m 的取值范围即
可；
【详解】（1）解：由题意得：
2
2
m+
=
，
∴
0
m =
；
（2）解：由题意得：
2
0
2
1
0
m
m
+
−
，
∴
1
2
2
m
−
．
重难点四、一次函数图象与坐标轴的交点问题
求与y 轴交点令x=0，算出y=b，交点(0,b)；求与x 轴交点令y=0，解方程
kx+b=0，得到
，交点
。常结合三角形面积出题，利用两交点到原点的距离
作为直角边计算面积，计算时注意坐标取绝对值。
1．（25-26 八年级下·重庆巴南·期末）一次函数
2
1
y
x
=
−的图象与y 轴的交点坐标是（ ）
A．1 ,0
2
B．
1 ,0
2
−
C．(
)
0,1
D．(
)
0, 1
−
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【答案】D
【难度】0.95
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】y 轴上所有点的横坐标为0，将
0
x =
代入一次函数解析式，即可求出对应的y 值，得到交点坐
标．
【详解】解：将
0
x =
代入
2
1
y
x
=
−得：
2 0 1
1
y =
−= −，
∴一次函数
2
1
y
x
=
−的图象与y 轴的交点坐标是(
)
0, 1
−
．
2．（25-26 八年级下·湖南郴州·期末）下列关于一次函数
2
8
y
x
= −
+
的图像信息正确的是（ ）
A．图像过二、三、四象限
B．图像过原点
C．与y 轴相交于点(0,4)
D．与x 轴相交于点(4,0)
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】根据k 和b 的取值判断函数图像经过的象限，再分别验证函数过定点和与坐标轴交点的情况，即
可选出正确选项．
【详解】解：对于一次函数
2
8
y
x
= −
+
，可得
2
k
−
=
，
8
b =
，
∵
0
k
，
0
b
，
∴ 函数图像经过一、二、四象限，故A 错误；
把
0
x =
代入函数得
8
0
=
y
，因此图像不经过原点，故B 错误；
求函数与y 轴交点，令
0
x =
，得
2 0
8
8
y = −+
=
，
∴ 函数与y 轴交于点(
)
0,8 ，故C 错误；
求函数与x 轴交点，令
0
y =
，得 0
2
8
x
= −
+ ，解得
4
x = ，
∴ 函数与x 轴交于点 (
)
4,0 ，故D 正确．
3．（2026·内蒙古通辽·二模）已知一次函数
(
)
0
y
kx
b k
=
+
的图象与x 轴交于点(
)
1,0 ，且不经过第二象
限，则3k
b
+ 的值（ ）
A．大于0
B．小于0
C．等于0
D．无法判断
【答案】A
【难度】0.65
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【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】因为函数图象过点(1,0) ，所以将点坐标代入y
kx
b
=
+
可得到k 与b 的关系式，用k 表示b ，因为
一次函数不经过第二象限，所以可判断k 和b 的取值范围，结合上一步得到的k 、b 关系，进一步明确k
的正负性，将3k
b
+ 用k 表示，结合k 的正负性判断3k
b
+ 的符号．
【详解】解：图象经过点(
)
1,0 ，代入解析式得，
0
k
b
+
=
，即b
k
= −，
y
kx
b
kx
k
=
+
=
−
，
当
0
k
时，一次函数y
kx
k
=
−
的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，符合题意，
(
)
3
3
2
0
k
b
k
k
k
−
+
=
+
=
；
当
0
k
时，一次函数y
kx
k
=
−的图象经过第一、二、四象限，不符合题意；
综上所述，3
0
k
b
+
．
4．（25-26 八年级下·重庆綦江·期末）直线
2
5
y
x
−
=
+
与y 轴的交点坐标是_________．
【答案】(
)
0,5
【难度】0.95
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】根据y 轴上点的坐标特征，y 轴上点的横坐标为0 ，因此令
0
x =
，计算得到对应的y 值，即可得
到直线与y 轴的交点坐标．
【详解】解：令
0
x =
，则
2 0
5
5
y = −+
=
．
因此直线
2
5
y
x
−
=
+ 与y 轴的交点坐标为(
)
0,5 ．
5．（25-26 八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）直线
2
3
y
x
=
+ 与x 轴相交于点A，则点A关于y 轴的对称点的
坐标是________．
【答案】3 ,0
2
【难度】0.85
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、坐标与图形变化——轴对称
【分析】先根据x 轴上点的纵坐标为0 的性质求出点A 的坐标，再根据关于y 轴对称的点的坐标特征计算
得到结果．
【详解】解：∵ 点A是直线
2
3
y
x
=
+ 与x 轴的交点，x 轴上点的纵坐标为0
∴令
0
y =
，代入
2
3
y
x
=
+ 得，
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0
2
3
x
=
+
解得
3
2
x = −
∴点A的坐标为
3 ,0
2
−
∵关于y 轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数，
∴点A关于y 轴的对称点坐标为3 ,0
2
．
6．（25-26 八年级下·黑龙江鸡西·期末）函数的图象如图所示，当
0
x =
时，y =_________．
【答案】3
【难度】0.85
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题
【详解】解：由图象可知：当
0
x =
时，
3
y =
．
7．（25-26 八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）若直线=
6
y kx +
与坐标轴围成的三角形的面积为9，则k =
__________．
【答案】2
【难度】0.65
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，分别求出直线
6
y
kx
=
+
与x 轴y 轴的交点坐标，根据
三角形面积公式列方程求解即可.
【详解】解：当
0
x =
时，
6
y =
，
当
0
y =
时，0
6
kx
=
+
，解得
6
x
k
= −
，
直线
6
y
kx
=
+
与x 轴y 轴的交点坐标分别为
6 ,0
k
−
，(
)
0,6 ；
根据题意得 1
6
6
9
2
k
−
=
，
整理得
18
9
k =
，
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解得
2
k =
，即
2
k = .
重难点五、用描点法画函数图象
描点法分三步：列表、描点、连线。列表选取 2-3 组易计算的x 值，算出
对应y；在坐标系中标出坐标对应点；用平滑直线连接各点，两端适当延伸。优先选取坐
标轴交点作为描点，减少计算量，画图规范标注坐标轴、关键点坐标与函数解析式。
1．（25-26 八年级下·全国·课后作业）在所给的平面直角坐标系中画出函数
1
2
y
x
=
的图象．（先填写下
表，再描点、连线）
x
3
−
2
−
1
−
0
1
2
3
y
【答案】
x
3
−
2
−
1
−
0
1
2
3
y
3
2
−
1
−
1
2
−
0
1
2
1
3
2
函数图象如图：
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【难度】0.85
【知识点】用描点法画函数图象、正比例函数的图象
【分析】本题考查用列表法画正比例函数图象，解题思路为将已知x 值代入函数解析式求出对应y 值完成
填表，再根据得到的点的坐标在坐标系中描点，最后连线即可得到函数图象，即可求解．
【详解】略
2．（25-26 八年级下·河北唐山·期中）某地海拔高度h（千米）与此高度处气温(
)
t ℃之间有下面的关系．
海拔高度h/千米
．．．
0
1
2
3
．．．
气温/t ℃
．．．
20
14
8
2
．．．
(1)随着海拔高度的升高，气温逐渐______（填“升高”或“下降”）；
(2)在如图所示的平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并用平滑的曲线连接各点；
(3)猜想气温t 是海拔高度h 的什么函数？并求t 与h 的函数关系式；
(4)若该地某处的气温为4
−℃，求该处的海拔高度．
【答案】(1)下降；
(2)见解析；
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(3)
20
6
y
h
=
−
；
(4)该处的海拔高度是4 千米．
【难度】0.83
【知识点】用描点法画函数图象、用关系式表示变量间的关系、求自变量的值或函数值、从函数的图象
获取信息
【分析】（1）结合表格中的数据作答即可；
（2）描点，连线，画图即可；
（3）气温t 是海拔高度h 的一次函数，由表格可知，海拔每上升1km ，气温下降6℃，即可得解；
（4）利用（3）所得关系式求解即可．
【详解】（1）解：由表格可知，随着海拔高度的升高，气温逐渐下降；
（2）解：描点，连线，画图如下：
（3）解：气温t 是海拔高度h 的一次函数，
由表格可知，海拔每上升1km ，气温下降6℃，
∴
20
6
y
h
=
−
；
（4）解：令
4
y
−
=
，得20 6
4
h
−
= −，
解得：
4
h =
，
∴该处的海拔高度是4 千米．
3．（25-26 八年级下·河北秦皇岛·期末）我们学习了一次函数，类比学习一次函数的方法，研究函数
1
y
x
=
−
的图象性质．
(1)画出函数
1
y
x
=
−
的图象；
第一步：列表
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x
3
−
1
−
0
1
2
3
…
1
y
x
=
−
4
2
1
0
1
2
…
第二步：描点
第三步：连线
(2)写出三条函数
1
y
x
=
−
的性质；
(3)当4
2
x
−
时，直接写出y 的取值范围．
【答案】(1)如图，
(2)①函数
1
y
x
=
−
的图象关于直线
1
x = 对称；②函数
1
y
x
=
−
的最小值为0；③当
1
x 时，y 随x 的增
大而增大
(3)0
5
y
【难度】0.7
【知识点】用描点法画函数图象、求自变量的值或函数值、从函数的图象获取信息
【分析】（1）在平面直角坐标系中描出点，进而连线即可；
（2）结合（1）中所作图象求解即可；
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（3）首先求出当
4
x = −时，
5
y =
；当
2
x =
时，
1
y = ，然后结合图象求解即可．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：当
4
x = −时，
1
4 1
5
y
x
=
−
= −−
=
；当
2
x =
时，
1
y = ，
∴由图象得，当4
2
x
−
时，y 的取值范围为0
5
y
．
4．（25-26 八年级下·广东汕头·期末）根据学习函数图形的经验，数学社团对函数
1
y
x
=
−
开展了数学探
究，请跟随数学社团一起完成下列探究任务．
(1)函数
1
y
x
=
−
自变量x 的取值范围是________；
(2)①函数
1
y
x
=
−
中x 、y 部分对应值如表所示，其中a =________；
x
…
2
−
1
−
0
1
2
3
4
…
1
y
x
=
−
…
3
a
1
0
1
2
3
…
②在平面直角坐标系中描点，并画出函数图象；
(3)结合函数图象，任意写出该函数图象的一条性质：_________________________．
【答案】(1)全体实数；
(2)①2 ；
②
；
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(3)答案不唯一，如：
1
x 时，y 随x 的增大而减小；当
1
x 时，y 随x 的增大而增大；函数的最小值为
0 ；图象关于直线
1
x = 对称．
【难度】0.72
【知识点】用描点法画函数图象、求自变量的取值范围、求自变量的值或函数值、从函数的图象获取信
息
【分析】（1）函数
|
1|
y
x
=
−
对任意实数x 均有意义，故自变量取值范围为全体实数．
（2）① 将
1
x = −代入解析式求出y 的值即可得到a ；
② 根据表格中的对应值描点，再用线段顺次连接得到图象．
（3）观察所画图象的升降趋势、最低点或对称性，写出一条性质即可．
【详解】（1）解： 函数
|
1|
y
x
=
−
中，x 取任意实数时解析式均有意义，
自变量x 的取值范围是全体实数．
（2）解：① 当
1
x = −时，
| 1 1| | 2 | 2
y = −−
= −
=
，
2
a
=
．
② 在平面直角坐标系中描出以下各点：( 2,3)
−
，( 1,2)
−
，(0,1)，(1,0) ，(2,1) ，(3,2) ，(4,3) ，再用线段
依次连接，得到函数
|
1|
y
x
=
−
的图象，
画图略．
（3）略．
重难点六、画一次函数图象
一次函数图像是直线，两点确定一条直线，无需多点描图。优先计算函数与
x 轴、y 轴的两个交点坐标，在坐标系标记两点，用直尺连接并延长直线即可。绘图完成
标注函数解析式、交点坐标，坐标轴标注刻度，区分正负半轴，保证图像规范清晰。
1．（25-26 八年级下·福建福州·期中）已知一次函数
2
4
y
x
−
=
+
，并完成下列问题
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(1)画出这个函数的图象；
(2)观察图象，当0
4
x
时，y 的取值范围是 ．
【答案】(1)
画出函数图象如下：
(2) 4
4
y
−
【难度】0.85
【知识点】画一次函数图象、比较一次函数值的大小
【分析】（1）求出直线与x 轴，y 轴的交点坐标，画出函数图象即可；
（2）根据图象，写出y 的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵
2
4
y
x
−
=
+
，
∴当
0
x =
时，
4
y =
，当
2
4
0
y
x
= −
+
=
时，
2
x =
，
∴直线与坐标轴的交点坐标为(
) (
)
0,4 , 2,0 ．
（2）解：由图象可知，当0
4
x
时，y 的取值范围是4
4
y
−
．
2．（25-26 八年级下·北京顺义·期末）在如图所示平面直角坐标系xOy 中，画出直线
3
3
y
x
= −
+ ．
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(1)若直线
3
3
y
x
= −
+ 与x ，y 轴分别交于A，B 两点，直接写出A，B 两点的坐标；
(2)求AOB
的面积．
【答案】(1)解：列表，
x
2
−
1
−
0
1
2
3
3
y
x
= −
+
9
6
3
0
3
−
描点，连线，
，
∴点
(
)
1,0
A
，(
)
0,3
B
；
(2) 3
2 ．
【难度】0.75
【知识点】画一次函数图象、一次函数图象与坐标轴的交点问题
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【分析】( )
1 通过列表、描点、连线的步骤即可画出函数图象，再由图象可得A，B 两点的坐标；
( )
2 由
(
)
1,0
A
，
(
)
0,3
B
，则
1
OA = ，
3
OB =
，然后通过AOB
的面积为1
2 OA OB
即可求解．
【详解】（1）解：画图略，
由图象可知，
(
)
1,0
A
，
(
)
0,3
B
；
（2）解：∵
(
)
1,0
A
，(
)
0,3
B
，
∴
1
OA = ，
3
OB =
，
∴AOB
的面积为1
1
3
1 3
2
2
2
OA OB
=
=
．
3．（22-23 八年级上·全国·期末）在同一直角坐标系中画出下列一次函数的图像：
(1)
2
2
y
x
=
−
，
2
1
y
x
=
+ ；
(2)
1
1
2
y
x
=
+ ，
2
1
y
x
−
−
=
【答案】(1)列表如下：
x
1
−
0
1
2
2
y
x
=
−
4
−
2
−
0
2
1
y
x
=
+
1
−
1
3
画图如下：
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(2)列表如下：
x
2
−
0
2
1
1
2
y
x
=
+
0
1
2
2
1
y
x
−
−
=
3
1
−
5
−
画图如下：
【难度】0.75
【知识点】画一次函数图象
【分析】（1）根据列表，描点，连线，即可求解；
（2）根据列表，描点，连线，即可求解．
【详解】（1）略
（2）略
4．（25-26 八年级下·山东滨州·期末）根据学习一次函数的经验，数学社团的同学对函数
1
1
y
x
=
+
−的图
象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整．
(1)自变量x 的取值范围是全体实数．如表是y 与x 的几组对应值：
x
…
4
−
3
−
2
−
1
−
0
1
2
3
4
…
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y
…
2
m
0
1
−
0
1
2
3
4
…
其中m = ______；
(2)在图中的平面直角坐标系xOy 中，描出表格中各对对应值为坐标的点，并画出该函数图象；
(3)判断函数
1
1
y
x
=
+
−有最大值还是最小值？并直接写出当x 为何值时，y 的最大值或最小值是多少？
(4)已知函数
1
y
x
n
=
+
−（其中
0
n
），当自变量的取值范围是3
3
x
−
时，该函数的最大值为4
n
−，
求n 的值．
【答案】(1)1
(2)如图所示：
(3)函数
1
1
y
x
=
+
−有最小值，当
1
x = −时，y 有最小值，最小值是1
−
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(4)
1
n =
【难度】0.52
【知识点】画一次函数图象、一次函数的规律探究问题、求一次函数自变量或函数值
【分析】（1）把
3
x = −代入函数解析式，进行求解即可；
（2）描点，连线，画出函数图象即可；
（3）直接根据图象作答即可；
（4）根据给定的函数解析式，推出当
3
x = 时，函数值最大，列出方程进行求解即可.
【详解】（1）解：由题意，
3 1
1
1
m = −+
−= ；
（2）略
（3）略
（4）解：∵
1
y
x
n
=
+
−（其中
0
n
），
∴当x
n
= −时，函数有最小值为1
−，当x
n
−时，y 随着x 的增大而减小，当x
n
−时，y 随着x 的增大
而增大，
∵
0
n
，
∴
0
n
−
∵3
3
x
−
，
∴3
−到n
−的距离小于3 到n
−的距离，
∴当
3
x = 时，函数值最大为3
1
4
n
n
+ −=
−
，
解得
1
n = .
重难点七、一次函数图象平移问题
牢记平移口诀：左加右减自变量，上加下减常数项。直线平移只改变b，k
值保持不变。左右平移对x 整体加减，上下平移直接对常数项加减；已知平移后解析式反
推原函数，逆向使用口诀，符号反向操作，算完代入坐标验证平移距离是否匹配。
1．（25-26 八年级下·河北石家庄·期末）下列直线中，与直线
2
y
x
=
平行的是（ ）
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A．
2
3
y
x
=
+
B．
3
1
y
x
=
+
C．
2
2
y
x
= −
−
D．
1
1
2
y
x
= −
+
【答案】A
【难度】0.95
【知识点】一次函数图象平移问题
【分析】根据一次函数的性质，两条直线平行的条件是：一次项系数k 相等，常数项b 不相等，据此对比
各选项即可得出结果．
【详解】解：与直线
2
y
x
=
平行的是
2
3
y
x
=
+
2．（25-26 八年级下·福建福州·期末）将直线
1
1
2
y
x
=
−向下平移3 个单位长度得到直线l ，则直线l 的解
析式为（ ）
A．
1
4
2
y
x
=
−
B．
1
3
2
y
x
=
−
C．
1
2
2
y
x
=
+
D．
1
3
2
y
x
= −
−
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】一次函数图象平移问题
【分析】根据一次函数平移“上加下减”的规律即可求解．
【详解】解：将
1
1
2
y
x
=
−向下平移3 个单位长度，得到直线l 的解析式为：
1
1
1 3
4
2
2
y
x
x
=
−−=
−
．
3．（25-26 八年级下·河北唐山·期末）将直线
4
y
x
=
向下平移3个单位长度，所得直线的解析式为（ ）
A．
(
)
4
3
y
x
=
−
B．
(
)
4
3
y
x
= −
+
C．
4
3
y
x
=
−
D．
4
3
y
x
= −
+
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】一次函数图象平移问题
【分析】根据平移口诀，“左加右减，上加下减”进行判断即可．
【详解】解：由一次函数平移规律可得，直线
4
y
x
=
向下平移3个单位长度所得的直线的解析式为
4
3
y
x
=
−．
4．（24-25 八年级下·上海·阶段检测）若把一次函数
2
3
y
x−
=
，向上平移3 个单位长度，得到图象解析式
是（ ）
A．
3
y
x
= −−
B．
2
6
y
x
=
−
C．
5
3
y
x
=
−
D．
2
y
x
=
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【答案】D
【难度】0.95
【知识点】一次函数图象平移问题
【详解】解：∵原一次函数解析式为
2
3
y
x−
=
，需向上平移3 个单位长度，
根据平移规律“上加下减”，
∴平移后所得图象的解析式为
2
3
3
2
y
x
x
=
−+
=
．
5．（25-26 八年级下·河北邢台·期末）在平面直角坐标系中，有一点
(
)
1,3
P
．要使直线l：
4
y
x
=
+ 经过图
形变换得到的直线l过点P，两位同学给出了如下两个方案，对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是
（ ）
方案Ⅰ：将直线l 沿y 轴向下平移2 个单位长度得到直线l；
方案Ⅱ：作直线l 关于y 轴对称的直线l
A．Ⅰ、Ⅱ都可行
B．Ⅰ、Ⅱ都不可行
C．Ⅰ可行、Ⅱ不可行
D．Ⅰ不可行、Ⅱ可行
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】一次函数图象平移问题、坐标与图形变化——轴对称
【分析】分别根据平移变换、轴对称变换的规则得到变换后直线l的方程，再验证点P 是否在l上，即可
判断两个方案是否可行．
【详解】解：原直线l ：
4
y
x
=
+ ，需验证变换后l是否过
(
)
1,3
P
．
1、验证方案Ⅰ
∵直线沿y 轴向下平移2 个单位，根据平移“上加下减”规则，得l的方程为：
4
2
2
y
x
x
=
+
−
=
+
，
将
1
x = 代入方程，得
1
2
3
= +
=
y
，与点P 纵坐标相等，
∴
(
)
1,3
P
在l上，方案Ⅰ可行．
2、验证方案Ⅱ
∵直线关于y 轴对称时，将原方程中x 替换为
x
−即可得到对称后直线方程，
∴l的方程为：
4
y
x
−
=
+
，
将
1
x = 代入方程，得
1
4
3
y = −+
= ，与点P 纵坐标相等，
∴
(
)
1,3
P
在l上，方案Ⅱ可行．
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因此方案Ⅰ、Ⅱ都可行．
6．（25-26 八年级下·黑龙江鸡西·期末）将直线
3
2
y
x
=
+
向下平移5个单位长度后得到的直线的解析式为
（ ）
A．
3
3
y
x
=
−
B．
3
7
y
x
=
+
C．
3
5
y
x
=
+
D．
3
7
y
x
=
−
【答案】A
【难度】0.74
【知识点】一次函数图象平移问题
【分析】根据一次函数上下平移“上加下减”的规律求解．
【详解】解：将直线
3
2
y
x
=
+
向下平移5个单位长度后得到的直线的解析式为
3
2
5
3
3
y
x
x
=
+
−
=
−．
7．（25-26 八年级下·吉林延边·期末）正比例函数
2
y
x
=
的图象向下平移1个单位长度，所得图象对应的
函数解析式为______．
【答案】
2
1
y
x
=
−/
1
2
y
x
= −+
【难度】0.85
【知识点】一次函数图象平移问题
【分析】根据函数图象平移的“上加下减”原则求解即可．
【详解】解：将正比例函数
2
y
x
=
的图象向下平移1个单位长度，根据平移原则可得所得图象对应的函数
解析式为
2
1
y
x
=
−．
8．（25-26 八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）将直线
4
3
y
x
= −
+
向上平移4 个单位，得到的直线解析式是
_________．
【答案】
4
7
y
x
= −
+
【难度】0.85
【知识点】一次函数图象平移问题
【详解】解：将直线
4
3
y
x
= −
+
向上平移4 个单位，根据平移规律，向上平移在常数项上加平移单位长
度，可得平移后的直线解析式为：
4
3
4
y
x
= −
+ +
，
整理得
4
7
y
x
= −
+
．
重难点八、一次函数图象与对称问题
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分三类对称规律：关于x 轴对称，k、b 全部取相反数；关于y 轴对称，k 取
反、b 不变；关于原点对称，k 不变、b 取反。解题先确定对称轴类型，套用符号变换规
则写出对称后解析式，也可取直线上两点，求出对称点再用待定系数法求解析式，双重核
对避免符号出错。
1．（25-26 九年级下·陕西西安·期中）若将一次函数
2
y
x
b
=
+
的图象关于x 轴对称，对称后所得的图象经
过点(
)
2,1 ，则b 的值是（ ）
A．3
−
B．3
C．5
−
D．5
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】坐标与图形变化——轴对称、一次函数图象与对称问题
【分析】根据题意得出一次函数
2
y
x
b
=
+
的图象经过点(
)
2, 1
−
，代入计算即可．
【详解】解：∵将一次函数
2
y
x
b
=
+
的图象关于x 轴对称，对称后所得的图象经过点(
)
2,1 ，
∴一次函数
2
y
x
b
=
+
的图象经过点(
)
2, 1
−
，
∴2 2
1
b
+
= −，
解得
5
b = −．
2．（2025·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，若直线
1
y
kx−
=
与直线
7
y
x
b
= −
+
关于y 轴对称，
则一次函数y
kx
b
=
+
的图象不经过（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与对称问题
【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，根据轴对称的性质得出k，b 的值，然后进行解答
即可．
【详解】解：∵直线
1
y
kx−
=
与直线
7
y
x
b
= −
+
关于y 轴对称，
∴
7,
1
k
b
=
= −
∴一次函数y
kx
b
=
+
即=7
1
y
x−，的图象不经过第二象限，
故选：B．
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3．（2026·陕西咸阳·模拟预测）一个正比例函数的图象经过点
(
)
, 6
P a −
和点
(
)
3,
Q
b
−
，若点P 与点Q 关于
原点对称，则这个正比例函数的表达式为（ ）
A．
3
y
x
= −
B．
3
y
x
=
C．
2
y
x
−
=
D．
2
y
x
=
【答案】C
【难度】0.75
【知识点】一次函数图象与对称问题
【分析】先根据对称关系求出a 和b 的值，再用待定系数法求解正比例函数解析式即可．
【详解】解：∵点
(
)
, 6
P a −
与点
(
)
3,
Q
b
−
关于原点对称，
∴关于原点对称的点横纵坐标均互为相反数，
可得
(
)
3
3
a = −−
=
，6
b
−= −，
即
6
b =
，
∴点P 的坐标为(
)
3, 6
−
，
设正比例函数表达式为
(
)
0
y
kx k
=
，
将
(
)
3, 6
P
−
代入得6
3k
−=
，
解得
2
k
−
=
，
∴这个正比例函数的表达式为
2
y
x
−
=
．
4．（2026·江苏南京·一模）一次函数
2
3
y
x−
=
的图象关于y 轴对称的直线的表达式是_____________．
【答案】
2
3
y
x
= −
−
【难度】0.85
【知识点】一次函数图象与对称问题
【分析】先在原一次函数图象上选取两个点，利用关于y 轴对称的点的坐标规律得到对称点的坐标，再
利用待定系数法求出对称后直线的函数表达式．
【详解】解：在一次函数
2
3
y
x−
=
的图象上取两点：
当
0
x =
时，
2 0
3
3
y =
−
= −，可得点(
)
0, 3
−
当
1
x = 时，
2 1 3
1
y =
−
= −，可得点(
)
1, 1
−
关于y 轴对称的点的坐标规律为：横坐标互为相反数，纵坐标不变，因此上述两点关于y 轴对称的点分别
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为(
)
0, 3
−
，(
)
1, 1
−
−
设所求直线的表达式为y
kx
b
=
+
，
将(
)
0, 3
−
，(
)
1, 1
−
−
代入表达式得
3
1
b
k
b
= −
−+
= −
把
3
b = −代入
1
k
b
−+
= −，得
3
1
k
−−= −
解得
2
k
−
=
因此所求直线的表达式为
2
3
y
x
= −
−
5．（2025 八年级上·全国·专题练习）若一次函数
3
y
mx
=
+
与
2
y
x
n
=
+
的图像关于y 轴对称，则m =
______ ，n =______．
【答案】
2
− 3
【难度】0.85
【知识点】一次函数图象与对称问题
【分析】此题考查了一次函数的图象与几何变换，关键是能准确理解题意，运用对称性求得m、n 的值是
解题的关键．
根据函数图像关于y 轴对称的性质，对应点坐标满足横坐标互为相反数、纵坐标相等，直线
3
y
mx
=
+
关
于y 轴对称的直线为
3
y
mx
= −
+
，然后通过系数比较即可求解．
【详解】解：直线
3
y
mx
=
+
关于y 轴对称的直线为
3
y
mx
= −
+
，
∵一次函数
3
y
mx
=
+
与
2
y
x
n
=
+
的图像关于y 轴对称，
∴
2
3
m
n
= −
=
，
，
故答案为：2
−，3．
6．（25-26 八年级上·江苏盐城·阶段检测）将一次函数
3
y
x
=
+
的图象以y 轴为对称轴翻折，翻折后的图
象函数表达式是_______．
【答案】
3
y
x
= −+
【难度】0.85
【知识点】一次函数图象与对称问题
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，坐标与图形变化—轴对称，设点(
)
,
m n 为翻折后的函数图象
上一点，则点(
)
,
m n
−
是一次函数
3
y
x
=
+
的图象上一点，再把(
)
,
m n
−
代入
3
y
x
=
+
中求出n 关于m 的函
数关系式即可得到答案．
【详解】解：设点(
)
,
m n 为翻折后的函数图象上一点，则点(
)
,
m n
−
是一次函数
3
y
x
=
+
的图象上一点，
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∴
3
n
m
= −
+ ，
∴翻折后的图象函数表达式是
3
y
x
= −+
，
故答案为：
3
y
x
= −+
．
7．（22-23 八年级上·全国·期末）（1）将一次函数
2
4
y
x
−
=
+
的图象向左平移2 个单位，所得函数图象
的解析式是___________；
（2）将一次函数
1
1
2
y
x
=
+ 的图象作关于x 轴对称的变换，所得函数图象的解析式是______________．
【答案】
2
y
x
−
=
1
1
2
y
x
= −
−
【难度】0.75
【知识点】一次函数图象平移问题、一次函数图象与对称问题
【分析】（1）利用函数“左加右减”的平移规律计算即可得到结果；
（2）利用关于x 轴对称的点的坐标特征，横坐标不变，纵坐标变为原数的相反数，代入原解析式整理即
可．
【详解】解：（1）根据一次函数图象平移“左加右减”的规律，
函数
2
4
y
x
= −
+
，向左平移2 个单位，所得函数图象的解析式为
(
)
2
2
4
y
x
= −
+
+
，即
2
y
x
= −
；
（2）函数图象关于x 轴对称时，对称后点的横坐标与原对应点相同，纵坐标互为相反数，
因此将原解析式中的y 替换为
y
−，
原解析式为
1
1
2
y
x
=
+ ，代入得
1
1
2
y
x
−=
+ ，
整理得
1
1
2
y
x
= −
−．
8．（22-23 八年级上·全国·期末）对于直线
2
4
y
x
= −
+
，与它
(1)关于x 轴成对称的直线解析式为 ．
(2)关于y 轴成对称的直线解析式为 ．
(3)关于直线y
x
=
成对称的直线解析式为 ．
【答案】(1)
2
4
y
x
=
−
(2)
2
4
y
x
=
+
(3)
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1
2
2
y
x
= −
+
【难度】0.77
【知识点】一次函数图象与对称问题
【分析】（1）根据关于x 轴成对称的直线上的对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，得到点(
)
,x
y
−
在直线
2
4
y
x
= −
+
上，代入即可得出结果；
（2）根据关于y 轴成对称的直线上的对应点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，得到点(
)
,x y
−
在直线
2
4
y
x
= −
+
上，代入即可得出结果；
（3）根据关于直线y
x
=
成对称的对应点的横纵坐标位置互换，得到点(
)
,y x 在直线
2
4
y
x
= −
+
上，代入
即可得出结果.
【详解】（1）解：关于x 轴成对称的直线上的对应点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，
设点(
)
,x y 在对称的直线上，则点(
)
,x
y
−
在直线
2
4
y
x
= −
+
上，
∴
2
4
y
x
−
= −
+
，
∴
2
4
y
x
=
−
；
（2）解：关于y 轴成对称的直线上的对应点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，
设点(
)
,x y 在对称的直线上，则点(
)
,x y
−
在直线
2
4
y
x
= −
+
上，
故
(
)
2
4
y
x
= −
−
+
，
∴
2
4
y
x
=
+
；
（3）解：关于直线y
x
=
成对称的直线上的对应点的横纵坐标位置互换，
设点(
)
,x y 在对称的直线上，则点(
)
,y x 在直线
2
4
y
x
= −
+
上，
故
2
4
x
y
= −
+
，
∴
1
2
2
y
x
= −
+
.
模块二、一次函数的性质
重难点一、判断一次函数的增减性
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增减性仅由一次项系数k 决定，与常数项b 无关。k>0 时，y 随x 的增大而
增大，图像从左下向右上倾斜；k<0 时，y 随x 的增大而减小，图像从左上向右下倾斜。
仅给出图像时，观察直线倾斜走向即可快速判断增减性。
1．（25-26 八年级下·河北唐山·期末）对于一次函数
2
1
y
x
=
−，下列结论正确的是（ ）
A．图象与y 轴交点为(
)
1,0
−
B．y 随x 的增大而减小
C．图象经过第一、三、四象限
D．当
0
x
时，
1
y −
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】判断一次函数的增减性、根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的
交点问题
【分析】利用一次函数的图象与性质，根据一次函数中k ，b 的符号，结合坐标轴交点的求解方法，逐一
判断各选项即可得到结果．
【详解】解：∵一次函数解析式为
2
1
y
x
=
−，
选项A，令
0
x =
，得
1
y
−
=
， ∴图象与y 轴交点为(
)
0, 1
−
，故A 错误；
选项B，∵解析式中
2
0
k =
， ∴y 随x 的增大而增大，故B 错误；
选项C，∵
2
0
k =
，
1
0
b = −
， ∴一次函数
2
1
y
x
=
−的图象经过第一、三、四象限，故C 正确；
选项D，当
0
x
时，2
0
x
，则
2
1
1
y
x
=
−−，故D 错误．
2．（25-26 八年级下·云南昆明·期末）已知正比例函数
2
y
x
−
=
，下列说法正确的是（ ）
A．图象与坐标轴有两个交点
B．图象经过第二、第四象限
C．图象经过点(
)
1, 2
−−
D．y 随x 的增大而增大
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】判断一次函数的增减性、根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象与坐标轴的
交点问题、正比例函数的性质
【详解】解：对于正比例函数
2
y
x
= −
，系数
2
k = −，
∵正比例函数图象恒过原点，
∴该函数图象与坐标轴只有1 个交点，故A 错误；
∵
2
0
k = −
，
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∴正比例函数
2
y
x
= −
的图象经过第二、第四象限，故B 正确；
将
1
x = −代入
2
y
x
= −
，得
(
)
2
1
2
2
y = −−
=
−，
∴图象不经过点(
)
1, 2
−−
，故C 错误；
∵
2
0
k = −
，
∴y 随x 的增大而减小，故D 错误．
3．（25-26 八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）对于一次函数
2
4
y
x
−
=
+
，下列结论错误的是（ ）
A．函数的图象不经过第三象限
B．函数的图象与x 轴的交点坐标是(
)
2,0
C．函数值随自变量的增大而减小
D．函数的图象向下平移4 个单位长度得
2
4
y
x
= −
−
的图象
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】判断一次函数的增减性、根据一次函数解析式判断其经过的象限、一次函数图象平移问题、
一次函数图象与坐标轴的交点问题
【分析】根据一次函数的性质，一次函数与坐标轴的交点计算方法，以及一次函数图象的平移规律，逐
一判断各选项的正误即可得出答案．
【详解】解：已知一次函数
2
4
y
x
= −
+
对于A 选项，∵
2
0
k = −
，
4
0
b =
，
∴函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，A 结论正确；
对于B 选项，令
0
y =
，则0
2
4
x
= −
+ ，解得
2
x =
，
∴函数图象与x 轴的交点坐标是(
)
2,0 ，B 结论正确；
对于C 选项，∵
2
0
k = −
，
∴函数值随自变量的增大而减小，C 结论正确；
对于D 选项，将函数图象向下平移4 个单位长度，根据平移规律可得新函数解析式为
2
4
4
2
y
x
x
= −
+
−
= −
，不是
2
4
y
x
= −
−
，D 结论错误．
4．（25-26 八年级下·河北唐山·期末）函数
1
y
x
=
−
的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
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A．当
1
x = −时，
2
y =
B．图象与x 轴的交点坐标为(
)
1,0
C．当
0
x
时，y 随x 的增大而增大
D．函数的最小值为0
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】判断一次函数的增减性、一次函数图象与坐标轴的交点问题、从函数的图象获取信息
【分析】将绝对值函数拆分为分段函数分析增减区间，代入自变量求值，结合图象最低点判断函数最
值，令
0
y =
求解与x 轴交点．
【详解】解：A、将
1
x = −代入
|
1|
y
x
=
−
，
| 1 1| | 2 | 2
y = −−
= −
=
，此选项说法正确，不符合题意；
B、令
0
y =
，则|
1| 0
x −
=
，解得
1
x = ，图象与x 轴交点为(1,0) ，此选项说法正确，不符合题意；
C、
1
(
1)
1
1
(
1)
x
x
y
x
x
x
−+
=
−
= −
，当0
1
x
时，y 随x 增大而减小，并非
0
x
时y 随x 增大而增大，此选
项说法错误，符合题意；
D、由绝对值非负可知|
1| 0
x −
，函数最小值为0 ，此选项说法正确，不符合题意．
5．（25-26 八年级下·吉林·期末）如图，若函数图象上任意两点
(
)
1
1
,
P x y
，
(
)
2
2
,
Q x
y
均满足
(
)(
)
2
1
2
1
0
x
x
y
y
−
−
，下列四个函数图象中所有正确的函数图象的序号是（ ）
A．①②
B．②④
C．①③
D．③④
【答案】B
【难度】0.65
【知识点】判断一次函数的增减性
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【分析】根据不等式(
)(
)
2
1
2
1
0
x
x
y
y
−
−
判断出函数的增减性，再结合各函数图象的性质进行判断即可．
【详解】解：
(
)(
)
2
1
2
1
0
x
x
y
y
−
−
，
2
1
x
x
−
与
2
1
y
y
−
同号，
即当
2
1
x
x
时，
2
1
y
y
， 当
1
2
x
x
时，
1
2
y
y
，
∴函数图象上y 随x 的增大而增大．
由图①可知，y 随x 的增大而减小，故不符合题意；
由图②可知，y 随x 的增大而增大，故②符合题意；
由图③可知，当
0
x
时，y 随x 的增大而减小，故③不符合题意；
由图④可知，在图象所示范围内，y 随x 的增大而增大，故④符合题意；
综上所述，正确的函数图象序号是②④．
6．（25-26 八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）直线a：y
kx
k
=
+
（
0
k
），下列结论正确的有（ ）个
①点(
)
0,k 在直线a 上；②直线a 经过定点(
)
1,0
−
；③当
0
k 时，y 随着x 的增大而增大；④直线a 经
过第一、第二、第三象限
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】判断一次函数的增减性、根据一次函数解析式判断其经过的象限、求一次函数自变量或函数
值
【分析】通过代入点坐标验证结论①②，结合一次函数的增减性和图象性质判断③④，统计正确结论
的个数得到最终结果．
【详解】解：①判定：将
0
x =
代入y
kx
k
=
+
，得
0
y
k
k
k
=
+
=
，点(
)
0,k 满足直线方程，因此①正
确．
②判定：将
1
x = −代入y
kx
k
=
+
，得
(
)
1
0
y
k
k
=
−
+
=
，该结果对任意
0
k
都成立，因此直线经过定点
(
)
1,0
−
，②正确．
③判定：根据一次函数的性质，当一次项系数
0
k 时，y 随着x 的增大而增大，因此③正确．
④判定：当
0
k
时，一次项系数
0
k
，直线与y 轴交点(
)
0,k 在y 轴负半轴，此时直线经过第二、第
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三、第四象限，不经过第一象限，因此④错误．
综上，正确的结论共有3个．
重难点二、根据一次函数增减性求参数
由增减性锁定k 的正负，列出不等式求解参数。若函数y 随x 增大而增大，
则一次项系数k>0；反之则k<0。解析式含参数时，整理出一次项系数代数式，构建不等
式解参数范围，求出取值后代入原式验证增减性，防止漏看系数化简隐藏条件。
1．（2022 八年级下·青海西宁·竞赛）已知一次函数
(
)
0
y
kx
b b
=
+
，若函数值y 随自变量x 的增大而增
大，则该函数的图象经过（ ）
A．第一、二、三象限
B．第一、二、四象限
C．第一、三、四象限
D．第二、三、四象限
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、根据一次函数增减性求参数
【详解】解：∵一次函数y
kx
b
=
+
中，函数值y 随自变量x 的增大而增大，
∴
0
k ，
∴该函数图象必经过第一、三象限．
∵
0
b
，
∴函数图象经过第一、二、三象限．
2．（22-23 八年级上·全国·期末）已知一次函数
(
)
1
y
a
x
b
=
−
+
的图象如图所示，那么a 的取值范围是
（ ）
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A．
1
a
B．
1
a
C．
0
a
D．<0
a
【答案】B
【难度】0.75
【知识点】根据一次函数增减性求参数
【分析】由图象看出：y 随x 的增大而减小，由此可以确定
1
0
a−
，然后即可法求出a 的取值范围．
【详解】解：观察图象可得，y 随x 的增大而减小，
则有
1
0
a−
，即
1
a ．
3．（25-26 八年级下·江苏南通·期末）一次函数
3
y
kx
=
+ ，若y 随着x 的增大而增大，请写出一个符合条
件的k 值______．
【答案】
1（答案不唯一，任意满足
0
k
的值均可）
【难度】0.85
【知识点】根据一次函数增减性求参数
【分析】根据一次函数的性质，一次函数
3
y
kx
=
+ 中y 随x 增大而增大时，可得
0
k
，写出一个符合条
件的正数即可.
【详解】解：∵一次函数y=kx+3 中，y 随着x 的增大而增大，
∴
0
k
，
任意取一个大于0 的实数作为k ，例如
1
k = .（答案不唯一）
4．（25-26 八年级下·江西上饶·期末）若一次函数
(
)
2
3
y
k
x
=
+
−的函数值y 随自变量x 的增大而减小，则
实数k 的取值范围是___________．
【答案】
2
k −
【难度】0.85
【知识点】根据一次函数增减性求参数
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【详解】解：一次函数
(
)
2
3
y
k
x
=
+
−的函数值y 随自变量x 的增大而减小，
2
0
k
+
，解得
2
k −．
5．（2022·四川自贡·三模）已知一次函数y
kx
k
=
+
，若y 随x 的增大而增大，则它的图象经过第
_________象限．
【答案】一、二、三
【难度】0.75
【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、根据一次函数增减性求参数
【分析】根据y 随x 的增大而增大得到k 的取值范围，结合一次函数解析式进而确定该函数的图象经过的
象限．
【详解】解：∵在一次函数y
kx
k
=
+
中，y 随x 的增大而增大，
∴
0
k ，
∴该一次函数的一次项系数大于0，常数项大于0，
∴该一次函数的图象经过第一、二、三象限．
6．（25-26 八年级下·河北衡水·阶段检测）一次函数
1
1
y
k x
b
=
+
，
2
2
y
k x
b
=
+ 与
3
3
y
k x
b
=
+
的图象如图所
示，
1k ，
2k ，
3k 的大小关系是____________（用“”连接）
【答案】
2
3
1
k
k
k
【难度】0.7
【知识点】根据一次函数增减性求参数
【分析】由函数图象可得，
1
0
k
，
2
0
k
，
3
0
k
，再结合函数
1
1
y
k x
b
=
+
的图象倾斜度比函数
3
3
y
k x
b
=
+
的图象倾斜度大，得出
1
3
k
k
，即可得出结果．
【详解】解：由函数图象可得，
1
0
k
，
2
0
k
，
3
0
k
，
∵函数
1
1
y
k x
b
=
+
的图象倾斜度比函数
3
3
y
k x
b
=
+
的图象倾斜度大，
∴
1
3
k
k
，
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∴
2
3
1
k
k
k
．
7．（2021 九年级上·甘肃天水·竞赛）已知函数
(
)
(
)
2
2(
0)
1
1
0
2
x
x
y
a
x
a
x
+
=
−
+
−
的值随x 的增大而增大，则a 的
取值范围为 _____．
【答案】
5
1
2
a
【难度】0.5
【知识点】根据一次函数增减性求参数、求一次函数自变量或函数值
【分析】先根据一次函数的增减性得到
1
0
a−
，再根据在函数
2
2
y
x
=
+
中，当
0
x =
时，y 的值大于或
等于在函数
(
)
1
1
2
y
a
x
a
=
−
+
−
中，当
0
x =
时，y 的值，即可求出a 的取值范围．
【详解】解：∵函数
(
)
1
1
2
y
a
x
a
=
−
+
−
，y 的值随x 的增大而增大，
∴
1
0
a−
，解得
1
a ，
在函数
2
2
y
x
=
+
中，当
0
x =
时，
2
y =
，
在函数
(
)
1
1
2
y
a
x
a
=
−
+
−
中，当
0
x =
时，
1
2
y
a
=
−
，
∴
1
2
2
a −
，解得
5
2
a
，
∴
5
1
2
a
．
8．（24-25 八年级下·四川南充·期中）已知一次函数
(
)
1
2
y
k
x
=
+
+
，当1
3
x
−
时，y 有最大值5，则
k =_______．
【答案】
0 或4
−
【难度】0.4
【知识点】根据一次函数增减性求参数
【分析】本题根据一次函数的增减性，对一次项系数分大于0 和小于0 两种情况讨论，结合给定区间内y
的最大值为5，分别计算得到k 的值，排除一次项系数为0 的不符合情况即可．
【详解】解：已知一次函数为
(
1)
2
y
k
x
=
+
+
，自变量范围为1
3
x
−
，y 的最大值为5．
当
1
0
k +
，即
1
k −时，y 随x 的增大而增大，
∴
3
x = 时，y 取得最大值，
代入得3(
1)
2
5
k +
+
=
，
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解得
0
k =
；
当
1
0
k +
，即
1
k −时，
y 随x 的增大而减小，
∴
1
x = −时，y 取得最大值，
代入得(
1)
2
5
k
−
+
+
=
，
解得
4
k = −；
当
1
0
k + =
，即
1
k = −时，
2
y =
，
不符合最大值为5，舍去．
故k 的值为0 或4
−．
9．（25-26 八年级下·河北张家口·期末）已知一次函数
2
y
x
b
= −
+
，当
2
m
x
m
+
时，
0
a
y
，则a
的值为______．
【答案】4
−
【难度】0.4
【知识点】根据一次函数增减性求参数
【分析】根据一次函数的性质可得y 随x 的增大而减小，即可求解．
【详解】解：∵2
0
−
，
∴y 随x 的增大而减小，
∵当
2
m
x
m
+
时，
0
a
y
，
∴当
2
x
m
=
+ 时，
(
)
2
2
2
4
y
m
b
m
b
a
= −
+
+
= −
+
−
=
，
当x
m
=
时，
2
0
y
m
b
= −
+
=
，
∴
0
4
4
a =
−
= −．
10．（25-26 八年级下·上海·期末）已知一次函数
(
)
9
3
8
y
m x
n
=
+
+
−，
(1)m 为何值时，y 随x 的增大而减小？
(2)m，n 为何值时，函数图像与y 轴交点在x 轴的上方？
【答案】(1)
3
m
−
(2)
3
m
−
且
8
n
【难度】0.62
【知识点】根据一次函数增减性求参数、根据一次函数的定义求参数、一次函数图象与坐标轴的交点问
题
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【分析】（1）根据一次函数的增减性可得一次项系数小于0，据此建立不等式求解即可；
（2）求出函数图像与y 轴交点的坐标，根据交点在x 轴的上方得到交点的纵坐标大于0，据此建立不等
式求出n 的取值范围，再根据一次函数的定义得到一次项系数不为0，则可求出m 的取值范围．
【详解】（1）解：∵在
(
)
9
3
8
y
m x
n
=
+
+
−中，y 随x 的增大而减小，
∴9
3
0
m
+
，
∴
3
m
−
；
（2）解：在
(
)
9
3
8
y
m x
n
=
+
+
−中，当
0
x =
时，
8
y
n
=
−
，
∴一次函数
(
)
9
3
8
y
m x
n
=
+
+
−与y 轴交点的坐标为(
)
0,
8
n −
，
∵一次函数
(
)
9
3
8
y
m x
n
=
+
+
−与y 轴交点在x 轴的上方，
∴
8
0
n −
，
∴
8
n ；
又∵9
3
0
m
+
，
∴
3
m
−
；
∴当
3
m
−
且
8
n 时，函数图像与y 轴交点在x 轴的上方．
重难点三、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况
已知函数增减性，反向推导自变量变化：k>0，函数值变大则自变量增大，
函数值变小则自变量减小；k<0 规律相反，函数值变大对应自变量减小。无需代入数值计
算，直接依靠k 正负对应的增减规律判断，快速得出自变量增减变化。
1．（25-26 八年级下·陕西延安·期末）若一次函数y
kx
b
=
+
（k 、b 为常数，且
0
k
）的图象经过点
(
)
1,2
−
，则关于x 的不等式
2
kx
b
+
的解集为（ ）
A．
1
x −
B．
1
x
−
C．
2
x
D．
2
x
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】判断一次函数的增减性、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况
【分析】利用一次函数增减性与已知点的函数值直接求解，无需计算解析式．
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【详解】解：∵一次函数y
kx
b
=
+
中
0
k
，
∴y 随x 的增大而减小，
∵函数图象经过点(
)
1,2
−
，即当
1
x = −时，
2
kx
b
+
=
，
∴不等式
2
kx
b
+
的解集为
1
x −．
2．（25-26 八年级下·山东潍坊·期末）已知关于x 的一次函数
1y
mx
n
=
+ 和
2y
ax
b
=
+ 的图象如图所示，下
列结论错误的是（ ）
A．
0
ab
B．a
b
m
n
+
+
C．(
)
2 a
m
b
n
−
=
−
D．点
(
)
1
1
,
P x y
，
(
)
2
2
,
Q x
y
是直线
2y
ax
b
=
+ 上不重合的两点，则(
)(
)
1
2
1
2
0
x
x
y
y
−
−
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】判断一次函数的增减性、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况、比较一次函数值的
大小
【详解】
1y
mx
n
=
+ 的图象从左到右上升，则
0
m
；与y 轴交点在正半轴，则
0
n
．
2y
ax
b
=
+ 的图象从左到右下降，则
0
a
；与y 轴交点在负半轴，则
0
b
．
对于A，
0
a
，
0
b
，
0
ab
，选项A 正确，不符合题意；
对于B，当
1
x = 时，
1y
m
n
=
+
，
2y
a
b
=
+ ，此时
1y 的图象在
2y 的上方，即
1
2
y
y
，
a
b
m
n
+
+
，选项B 正确，不符合题意；
对于C，已知两条直线的交点横坐标是
2
x = −，
当
2
x = −时，
1
2
y
y
=
，即2
2
m
n
a
b
−
+
= −
+ ，
2
2
a
m
b
n
−
=
−，
(
)
2 a
m
b
n
−
=
−
，选项C 正确，不符合题意；
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对于D，
0
a
，
2y
随x 的增大而减小，
若
1
2
x
x
，则
1
2
y
y
，此时
1
2
0
x
x
−
，
1
2
0
y
y
−
，则(
)(
)
1
2
1
2
0
x
x
y
y
−
−
，
若
1
2
x
x
，则
1
2
y
y
，此时
1
2
0
x
x
−
，
1
2
0
y
y
−
，则(
)(
)
1
2
1
2
0
x
x
y
y
−
−
，
(
)(
)
1
2
1
2
0
x
x
y
y
−
−
，选项D 错误，符合题意．
3．（25-26 八年级上·浙江杭州·期末）已知(
) (
) (
)
1
1
2
2
3
3
,
,
,
,
,
x y
x
y
x
y
为直线
2
1
y
x
= −
+ 上的三个点，且
1
2
3
y
y
y
，则以下判断正确的是（ ）
A．若
1
3
0
y y
，则
1
2
0
x x
B．若
1
2
0
y y
，则
2
3
0
x x
C．若
2
3
0
y y
，则
1 3
0
x x
D．若
2
3
0
y y
，则
1
2
0
x x
【答案】D
【难度】0.4
【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况
【分析】本题主要考查了一次函数的增减性．根据一次函数
2
1
y
x
= −
+ 的增减性，逐项分析判断即可解
答．
【详解】解：∵直线
2
1
y
x
= −
+ 中，
2
0
k = −
，∴y 随x 增大而减小，
∵
1
2
3
y
y
y
，∴
1
2
3
x
x
x
，
A、若
1
3
0
y y
，则
1
0
y
，
3
0
y
，对于
2
1
y
x
= −
+ ，当
0
y =
时，
1
2
x =
，当
0
y
时，
1
2
x
，当
0
y
时，
1
2
x
，∴
1
1
2
x
，
3
1
2
x
，而
2x 的符号不能确定，∴不能判定
1
2
0
x x
，故A 错误，不符合题意；
B、若
1
2
0
y y
，则
1y 与
2y 同号，若同为负数时，∵
1
2
3
y
y
y
，∴
1
0
y
，
2
0
y
，同理
1
1
2
x
，
2
1
2
x
，
而
3x 的符号不能确定，∴不能判定
2
3
0
x x ，
若同为正数时，当
1
2
0
y
y
时，可以取
1
2
3
0.5,
0.8,
3
y
y
y
=
=
=
，此时
1
2
3
0.25,
0.1,
1
x
x
x
=
=
= −，满足
1
2
3
x
x
x
，但
2
3
0
x x
，
综上，B 错误，不符合题意；
C、若
2
3
0
y y
，则
3y 与
2y 异号，∵
1
2
3
y
y
y
，∴
2
0
y
，
3
0
y
，同理
2
1
2
x
，
3
1
2
x
，而
1
2
x
x
，∴
1
1
2
x
，∴不能判定
1 3
0
x x
，故C 错误，不符合题意；
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D、若
2
3
0
y y
，则
3y 与
2y 异号，∵
1
2
3
y
y
y
，∴
2
0
y
，
3
0
y
，同理
2
1
2
x
，
3
1
2
x
，而
1
2
x
x
，∴
1
1
2
x
，∴能判定
1
2
0
x x
，故D 正确，符合题意；
故选：D．
4．（25-26 八年级下·山东临沂·期末）已知点(
)
1
1
,
x
y
，(
)
2
2
,
x
y
在一次函数
(
)
0
y
x
b b
= −+
的图象上，且
1
2
y
y
，则
1x __________
2x （填“”或“”）．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况
【详解】解：∵在一次函数
(
)
0
y
x
b b
= −+
中，一次项系数
1
0
k
−
=
，
∴y 随x 的增大而减小，
∵
1
2
y
y
，
∴
1
2
x
x
．
5．（25-26 八年级下·广东潮州·期末）已知一次函数
4
7
y
x
=
+
，当
2
x
时，则函数值y 的取值范围是
_______
【答案】
15
y
【难度】0.96
【知识点】判断一次函数的增减性、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况
【分析】先判断一次函数的增减性，再代入
2
x =
计算边界函数值，即可得到y 的取值范围．
【详解】解：∵ 一次函数
4
7
y
x
=
+
中，4
0
，
∴ y 随x 的增大而增大，
当
2
x =
时，
4
2
7
15
y =
+
=
，
∵
2
x
，
∴
15
y
．
6．（25-26 八年级下·上海·期中）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数的图像如图所示，且经过点
(
)
2,1
P
，那么当x ________时，
1
y ．
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【答案】
2
x
【难度】0.85
【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况、从函数的图象获取信息
【分析】利用一次函数的增减性，结合已知点的坐标，直接判断不等式的解集．
【详解】解：根据题图可知，该一次函数的y 随x 的增大加而增大，且点P 的坐标为(
)
2,1 ，
故当
2
x
时，
1
y ．
7．（25-26 八年级下·河北保定·期末）已知一次函数
(
)
2
3
y
m
x
m
=
−
+ −
的图象不经过第三象限，且m 为
正整数．
(1)求m 的值；
(2)画出该一次函数的图象；
(3)当4
0
y
−
时，根据函数图象，求x 的取值范围，
【答案】(1)
1
m =
(2)一次函数图象，如图所示：
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(3)2
6
x
【难度】0.65
【知识点】画一次函数图象、根据一次函数解析式判断其经过的象限、根据一次函数的增减性判断自变
量的变化情况
【分析】（1）根据一次函数不经过第三象限，列出关于m 的不等式组，再结合m 为正整数即可求解；
（2）根据一次函数解析式，描点(
)
0,2 和(
)
2,0 连线即可；
（3）由函数图象，y 随x 增大而减小，令
4
y = −时，
6
x =
，令
0
y =
时，
2
x =
，即可求得x 的取值范
围．
【详解】（1）解：一次函数
(
)
2
3
y
m
x
m
=
−
+ −
的图象不经过第三象限，
2
0
3
0
m
m
−
−
，解得
2
m
，
m 为正整数，
1
m
= ；
（2）解：由（1）得一次函数
2
y
x
= −+
，
令
0
x =
，则
2
y =
；令
0
y =
，则
2
x =
，
一次函数
2
y
x
= −+
过点(
)
0,2 和(
)
2,0 ，
在直角坐标系中描出点(
)
0,2 和(
)
2,0 ，过这两点作直线即可．
（3）解：一次函数
2
y
x
= −+
，
由（2）一次函数图象可知，y 随着x 增大而减少，
当
4
y = −时，
2
4
x
−+
= −，解得
6
x =
，
当
0
y =
时，
2
0
x
−+
=
，解得
2
x =
，
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∴当4
0
y
−
时，x 的取值范围为2
6
x
．
8．（25-26 八年级下·河北沧州·期末）已知关于x 的函数
(
)
2
3
y
m
x
m
=
+
+ −
，
(1) m 为何值时，函数的图象经过坐标原点；
(2)若函数图象经过第一、二、三象限，求m 的取值范围；
(3)若
4
m = −，当1
2
x
−
时，请直接写出y 的取值范围．
【答案】(1)
3
m =
(2)
2
3
m
−
(3)
3
9
y
【难度】0.65
【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况、一次函数
图象与坐标轴的交点问题
【分析】（1）根据函数
(
)
2
3
y
m
x
m
=
+
+ −
的图象经过坐标原点，可得3
0
m
−
=
，解方程求出m 的值；
（2）根据函数
(
)
2
3
y
m
x
m
=
+
+ −
的图象经过第一、二、三象限，可得关于m 的不等式组，解不等式组
求出m 的取值范围；
（3）当
4
m = −时，函数解析式为
2
7
y
x
= −
+
，根据x 的取值范围求出y 的取值范围．
【详解】（1）解：函数
(
)
2
3
y
m
x
m
=
+
+ −
的图象经过坐标原点，
3
0
m
−
=
，
解得：
3
m =
；
（2）解：函数
(
)
2
3
y
m
x
m
=
+
+ −
的图象经过第一、二、三象限，
2
0
3
0
m
m
+
−
，
解得：2
3
m
−
；
（3）解：当
4
m = −时，函数解析式为
2
7
y
x
= −
+
，
当1
2
x
−
时，
可得：3
2
7
9
x
−
+
，
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即3
9
y
．
9．（25-26 八年级下·山东烟台·期末）已知一次函数
2
4
y
x
=
+
，完成下列问题：
(1)其图象与x 轴交点A的坐标为（________）、与y 轴交点B 的坐标为（________）；
(2)画出该函数的图象，并根据图象回答：
①当x _________时，
0
y
；
②当
1
x
−
时，y 的取值范围为_________；
③当3
0
x
−
时，y 的取值范围_________．
【答案】(1)(
)
2,0
−
，(
)
0,4 ；
(2)解：列表，
x
3
−
2
−
1
−
0
1
2
4
y
x
=
+
2
−
0
2
4
6
描点，连线，
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①
2
−；②
2
y
；③
2
4
y
−
；
【难度】0.62
【知识点】画一次函数图象、根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况、一次函数图象与坐标轴的
交点问题、比较一次函数值的大小
【分析】( )
1 由一次函数
2
4
y
x
=
+
即可得出与x 轴交点A的坐标，与y 轴交点B 的坐标；
( )
2 先画出图象，再根据函数图象即可求解．
【详解】（1）解：由一次函数
2
4
y
x
=
+
得
当
0
y =
时，2
4
0
x +
=
，
解得
2
x = −；
当
0
x =
时，
4
y =
，
∴点A的坐标为(
)
2,0
−
，与y 轴交点B 的坐标为(
)
0,4 ，
（2）解：①由图象可知：当
2
x
−
时，
0
y
，
②由图象可知：当
1
x
−
时，y 的取值范围为
2
y
，
③由图象可知：当3
0
x
−
时，y 的取值范围2
4
y
−
，
10．（25-26 八年级下·吉林长春·期中）对于一次函数
(
)
0
y
kx
b k
=
+
，我们称函数
(
)
(
)
m
kx
b x
m
y
kx
b x
m
−
−
=
+
为它的m 阶明珠函数（其中m 为常数），例如，当
2
m =
时，正比例函数y
x
=
的2 阶明珠函数为
(
)
(
)
2
2
2
x x
y
x x
−
=
．
(1)点
(
)
1
M
t
−，
在一次函数
4
2
y
x−
=
的1 阶明珠函数的图象上，求t 的值；
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(2)点
(
)
3
N a，在正比例函数
1
2
y
x
=
的-1 阶明珠函数的图象上，求a 的值；
(3)已知一次函数
4
y
x−
=
．
①当2
10
x
−
时，直接写出这个一次函数的2 阶明珠函数的函数值y 的取值范围；
②当1
x
n
−
时，若这个一次函数的2 阶明珠函数的函数值y 的取值范围是2
5
y
−
，则直接写出字母
n 的取值范围．
【答案】(1)
6
t =
(2)
6
a = −或6
(3)①y 的取值范围是2
6
y
−
;②n 的取值范围是6
9
n
【难度】0.4
【知识点】根据一次函数的增减性判断自变量的变化情况、求一次函数自变量或函数值
【分析】（1）先写出
4
2
y
x−
=
的1 阶明珠函数，根据点的横坐标判断所属分段，代入解析式求t ；
（2）写出
1
2
y
x
=
的1
−阶明珠函数，分情况讨论a 的取值；
（3）①写出
4
y
x−
=
的2 阶明珠函数，分别求两段在对应区间内的取值范围，再合并；②根据函数单
调性，结合给定的y 的取值范围反推n 的取值范围．
【详解】（1）解：一次函数
4
2
y
x−
=
的1 阶明珠函数为
(
)
1
4
2
1
4
2
(
1)
x
x
y
x
x
−
+
=
−
．
点
( 1, )
M
t
−
中1 1
−，
将
1
x = −代入
4
2
y
x
= −
+
，得
4 ( 1)
2
6
t = −−
+
=
．
故
6
t =
．
（2）解：正比例函数
1
2
y
x
=
的-1 阶明珠函数为
(
)
1
1
1
2
1
(
1)
2
x
x
y
x
x
−
−
−
=
−
．
当
1
a
−
时，
1
3
2 a
= −
，解得
6
a = −；
当
1
a
−
时，
1
3
2 a
=
，解得
6
a =
．
综上，
6
a = −或6 ．
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（3）解：一次函数
4
y
x−
=
的2 阶明珠函数为
(
)
2
4
2
4
(
2)
x
x
y
x
x
−+
=
−
．
①当2
2
x
−
时，
4
y
x
−
=
+
随x 增大而减小，
2
x = −时，
6
y =
；
2
x =
时，
2
y =
，
2
6
y
；
当2
10
x
时，
4
y
x−
=
随x 增大而增大，
x 趋近2 时，y 趋近2
−；
10
x =
时，
6
y =
，
2
6
y
−
；
综上，当2
10
x
−
时，y 的取值范围是2
6
y
−
．
②当1
2
x
−
时，
4
y
x
−
=
+
随x 增大而减小，
当
1
x = −时，
( 1)
4
5
y = −−
+
=
，
当
2
x =
时，
2
4
2
y = −+
=
，
此时2
5
y
，
∵当1
x
n
−
时，y 的取值范围是2
5
y
−
，
∴
2
n
，
当2
x
n
时，
4
y
x−
=
随x 增大而增大，
x 趋近2 时，y 接近2
−；x
n
=
时，
4
y
n
=
−
．
则2
x
n
时，2
4
y
n
−
−
，
∵当1
x
n
−
时，y 的取值范围是2
5
y
−
，
且1
2
x
−
时，2
5
y
；，
∴2
4
5
n
−
，
解得6
9
n
，
故n 的取值范围是6
9
n
．
11．（25-26 八年级上·山东济南·期中）学习一次函数时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，
并积累了一些经验和方法．请根据学习函数的经验，对函数
2
(
1)
3
y
x
=
−
−
的图象与性质进行探究，并
解决相关问题．
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(1)下表是y 与x 的几组对应值，则表格中m = ____________；
x
…
2
−
1
−
0
1
2
3
4
…
y
…
0
1
−
2
−
m
2
−
1
−
0
…
(2)在平面直角坐标系xOy 中，描出以表中各对对应值为坐标的点；根据描出的点，画出该函数的图象；
(3)结合函数图象，解决问题：
①方程
2
(
1)
3
1
x −
−
= 有____________个解；
②当1
4
x
−
时，y 的取值范围是____________；
(4)进一步研究：若点
(
)
(
)
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
是函数
2
(
)
3
y
x
t
=
−
−图象上的任意两点，若对于
1
2
1
2,2
3
x
x
，都有
1
2
y
y
，则t 的取值范围是____________．
【答案】(1) 3
−
(2)
函数的图象，如图所示：
(3)①2；②3
0
y
−
(4)
3
2
t
【难度】0.4
【知识点】求一个数的算术平方根、判断一次函数的增减性、用描点法画函数图象、根据一次函数的增
减性判断自变量的变化情况
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【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象、一次函数的性质，解题时要
熟练掌握并能灵活运用是关键．
（1）把
1
x = 代入
2
(
1)
3
y
x
=
−
−
中，求出y 值即为m 值；
（2）用描点法作出函数图象即可；
（3）①根据函数
2
(
1)
3
y
x
=
−
−
的图象与直线
1
y = 有两个交点，可得方程
2
(
1)
3
1
x −
−
= 有2 个解；
②根据图象可知：当
1
x = −时，
1
y
−
=
，当
1
x = 时，
3
y
−
=
，当
4
x = 时，
0
y =
，又当
1
x 时，y 随x 增
大而减小，当
1
x 时，y 随x 增大而增大，可得出答案；
（4）对于函数
(
)
2
1
y
x
t
=
−
+ 的图象的对称轴是直线x
t
= ，x
t
时，y 随x 的增大而减小，而x
t
时，y
随x 的增大而增大；函数图象上的点离对称轴直线x
t
= 越近，函数值越小．当
1
1
2
x
，
2
2
3
x
，都
有
1
2
y
y
，故M 在左侧，N 在右侧，MN 的中点一定在对称轴直线x
t
= 的右侧，则
1
2
2
x
x
t
+
，由于
1
1
2
x
，
2
2
3
x
，则
1
2
3
5
2
2
2
x
x
+
，从而可求出t 的范围．
【详解】（1）解：把
1
x = 代入
2
(
1)
3
y
x
=
−
−
得：
(
)
2
1 1
3
3
y =
−
−= −，
∴
3
m
−
=
；
由二次根式的意义条件，得(
)
2
3
0
x −
解得：x 为一切实数，
∴函数
(
)
2
3
1
y
x
=
−
+ 中自变量x 的取值范围是一切实数
故答案为：一切实数．
（2）略
（3）解：如图，
①∵函数
2
(
1)
3
y
x
=
−
−
的图象与直线
1
y = 有两个交点，
∴方程
2
(
1)
3
1
x −
−
= 有2 个解；
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②由图可得：当
1
x = −时，
1
y
−
=
，
当
1
x = 时，
3
y
−
=
，
当
4
x = 时，
0
y =
，
又当
1
x 时，y 随x 增大而减小，当
1
x 时，y 随x 增大而增大，
∴当1
4
x
−
时，y 的取值范围是3
0
y
−
．
（4）解：对于函数
(
)
2
1
y
x
t
=
−
+ 的图象的对称轴是直线x
t
= ，
x
t
时，y 随x 的增大而减小，而x
t
时，y 随x 的增大而增大；
函数图象上的点离对称轴直线x
t
= 越近，函数值越小．
∵对于
1
1
2
x
，
2
2
3
x
，都有
1
2
y
y
，
∴M 在左侧，N 在右侧，MN 的中点一定在对称轴直线x
t
= 的右侧，
∴
1
2
2
x
x
t
+
∵
1
1
2
x
，
2
2
3
x
，
∴
1
2
3
5
2
2
2
x
x
+
，
∴
3
2
t
．
重难点四、比较一次函数值的大小
两种解题方法：一是代入自变量算出函数值直接对比；二是利用增减性快速
判断，k>0 时自变量越大函数值越大，k<0 时自变量越大函数值越小。自变量数值差距大
时优先用增减性判断，省去计算步骤；含参数题型结合参数范围确定k 正负后再比较。
1．（25-26 八年级下·山东日照·期末）若点
(
)
1
1,
A
y
−
和点
(
)
2
2,
B
y
，在函数
(
)
2
1
5
y
a
x−
=
+
（a 为任意实
数）的图像上，则
1y ，
2y 的大小关系为（ ）
A．
1
2
y
y
B．
1
2
y
y
=
C．
1
2
y
y
D．不能比较
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】比较一次函数值的大小
【分析】先判断一次函数的增减性，再比较两点横坐标的大小，即可得到函数值的大小关系．
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【详解】解：∵对任意实数a ，都有
2
0
a
，
∴
2
1
0
a +
，
∴函数
(
)
2
1
5
y
a
x−
=
+
为一次函数，且y 随x 的增大而增大，
∵1
2
−
，
∴
1
2
y
y
．
2．（25-26 八年级下·河南信阳·期末）已知点
(
)
1
7,
A
y
−
，
(
)
2
2,
B
y
都在直线
4
8
5
y
x
= −
+ 上，则
1y 与
2y 的
大小关系是（ ）
A．
1
2
y
y
B．
1
2
y
y
C．
1
2
y
y
=
D．
1
2
y
y
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】比较一次函数值的大小
【分析】先根据一次项系数判断函数增减趋势，再比较两点横坐标大小，即可得到纵坐标的大小关系．
【详解】解：∵ 直线解析式为
4
8
5
y
x
= −
+
，一次项系数
4
0
5
k = −
，
∴ y 随x 的增大而减小．
∵
7
2
−
，
∴
1
2
y
y
．
3．（25-26 八年级下·河南洛阳·期末）已知点(
)
1
5, y
−
，(
)
2
1, y
都在直线
2
3
y
x
b
= −
+
上，则
1y ，
2y ，b 的
大小关系是（ ）
A．
2
1
y
b
y
B．
2
1
y
y
b
C．
1
2
y
b
y
D．
2
1
b
y
y
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】比较一次函数值的大小
【分析】先根据一次函数系数判断y 随x 的变化趋势，再将b 转化为
0
x =
时的函数值，比较横坐标大小
即可得到对应函数值的大小关系．
【详解】解：∵在直线
2
3
y
x
b
= −
+
中，
2
0
3
k = −
，
∴y 随x 的增大而减小，
∵b 是
0
x =
时y 的取值，三个横坐标满足
5
0
1
−
，
∴对应函数值满足
1
2
y
b
y
，即
2
1
y
b
y
．
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4．（25-26 八年级下·河南郑州·期末）已知
max
,a b 定义为：
(
)
(
)
max
,
a a
b
a b
b a
b
=
．例如
max 2,3
3
=
，若关于x 的函数
max
5,
1
y
x
x
=
−+
+
，则y 的最小值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】判断一次函数的增减性、比较一次函数值的大小
【分析】先根据max 的定义，求出两个一次函数相等时的x 的值，再分情况得到y 的表达式，结合一次函
数的增减性得到y 的取值范围，即可求出最小值．
【详解】解：由题意，令
5
1
x
x
−+ =
+ ，解得
2
x =
，
(
) (
)
5
1
4
2
x
x
x
−+
−
+
=
−
，
当
2
x
时，4
2
0
x
−
，即
5
1
x
x
−+
+ ，
1
y
x
=
+ ，
一次项系数1
0
，y 随x 增大而增大，
当
2
x
时，此时
2 1
3
y
+ =
，
当
2
x
时，4
2
0
−
x
，即
5
1
x
x
−+
+ ，
5
y
x
= −+ ，
一次项系数1
0
−
，y 随x 增大而减小，
当
2
x
时，此时
2
5
3
y −+
= ，
综上，
3
y
，因此y 的最小值为3．
5．（25-26 八年级下·陕西西安·期末）已知(
) (
) (
)
1
2
3
1,
,
2,
, 3,
y
y
y
−
−
是直线
(
)
y
kx
b k
b
=
+
−
(
)
0
k
上的三个
点，当
1
2
y
y
时，
1
2
3
,
,
y y
y 的大小关系为（ ）
A．
3
1
2
y
y
y
B．
1
3
2
y
y
y
C．
1
2
3
y
y
y
D．无法确定
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】判断一次函数的增减性、根据一次函数增减性求参数、比较一次函数值的大小
【分析】先根据已知条件判断k 的正负，再根据横坐标的大小比较纵坐标的大小．
【详解】解：三个点横坐标分别为2, 1,3
−−
，满足2
1
−
−
，且已知
1
2
y
y
，
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对于直线
(
)
0
y
kx
b k
=
+
，y 随x 的增大而减小，
可得
0
k
．
又三个点横坐标大小关系为2
1
3
−−，且
0
k
时y 随x 增大而减小，
3
1
2
y
y
y
．
6．（25-26 八年级上·浙江宁波·期末）已知(
)
1
1, y
−
，(
)
2
2, y
−
，(
)
3
13, y
是直线y
x
b
−
=
+
（b 为常数）上的
三个点，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若
1
2
0
y y
，则
1
3
0
y y
B．若
1
2
0
y y
，则
1
3
0
y y
C．若
1
2
0
y y
，则
2
3
0
y y
D．若
1
2
0
y y
，则
2
3
0
y y
【答案】A
【难度】0.4
【知识点】判断一次函数的增减性、比较一次函数值的大小
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征．根据所给一次函数解析式，结合一次函数的性
质得出y 随x 的增大而减小，据此多所给选项依次进行判断即可．
【详解】解：因为一次函数解析式为y
x
b
−
=
+ ，1
0
−
，
所以y 随x 的增大而减小．
因为(
)
1
1, y
−
，(
)
2
2, y
−
，(
)
3
13, y
在直线y
x
b
−
=
+ 上，且2
1 13
−−
，
所以
2
1
3
y
y
y
．
当
1
2
0
y y
时，
3
0
y
则
1
0
y
，
2
0
y
，
所以，
则
1
3
0
y y ．
故A 选项符合题意，B 选项不符合题意；
当
1
2
0
y y
时，
则
1
0
y
，
2
0
y
或
1
0
y
，
2
0
y
．
当
1
0
y
，
2
0
y
时无法得出
3y 的正负，
所以无法得出
2
3
y y 的正负，
所以CD 选项不符合题意．
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故选：A．
7．（25-26 八年级下·河南省直辖县级单位·期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知
(
)
1
1,
A
y
−
，
(
)
2
2,
B
y
两
点在直线
3
y
x
b
=
−
上，则
1y 与
2y 大小关系是________．
【答案】
1
2
y
y
/
2
1
y
y
【难度】0.85
【知识点】比较一次函数值的大小
【分析】先根据一次函数解析式判断函数的增减性，再结合两点横坐标的大小关系，即可比较纵坐标
1y
和
2y 的大小．
【详解】解：对于直线
3
y
x
b
=
−
，一次项系数
3
0
k =
，
∴y 随x 的增大而增大，
∵
(
)
1
1,
A
y
−
，
(
)
2
2,
B
y
，两点横坐标满足1
2
−
，
∴
1
2
y
y
．
8．（25-26 八年级下·北京大兴·期末）若点
(
)
1
2,
M
y
−
，
(
)
2
1,
N
y
在一次函数
2
1
y
x
= −
+ 的图象上，则
1y 与
2y 的大小关系是
1y ________
2y （填“”“ = ”或“”）．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】比较一次函数值的大小
【分析】根据一次函数的性质判断函数增减性，再结合两点横坐标大小判断纵坐标大小.
【详解】解：在一次函数
2
1
y
x
= −
+ 中，
2
0
k = −
，
∴y 随x 的增大而减小，
∵点
(
)
1
2,
M
y
−
，
(
)
2
1,
N
y
，在一次函数
2
1
y
x
= −
+ 的图象上，且2
1
−，
∴
1
2
y
y
.
9．（25-26 八年级下·四川达州·阶段检测）已知
1
2
2
5,
2
3
y
x
y
x
=
−
= −
+ ，如果
1
2
y
y
，则x 的取值范围是
___________．
【答案】
2
x
【难度】0.75
【知识点】比较一次函数值的大小
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【分析】根据
1
2
y
y
列出一元一次不等式，再依据解一元一次不等式的法则求解即可．
【详解】解：依题意，2
5
2
3
x
x
−−
+ ，
移项，得2
2
3 5
x
x
+
+ ，
合并同类项，得4
8
x ，
系数化为1，得
2
x
．
10．（25-26 八年级上·江苏泰州·期末）已知一次函数
1
2
y
kx
k
=
+ −
，
2y
x
b
=
+
（
0
k
，k，b 为常数）的
图象分别记为1l ，2l ，当
1
x = 时，
1
2
y
y
=
．
(1)求b 的值；
(2)若点
( , )
A m p 在1l 上，点
( , )
B n q 在2l 上．
①当n
m
=
时，若
1
k ，
1
m ，比较p、q 大小，并说明理由；
②当
2
n
m
=
+ 时，p
q
=
．若k，m 都为整数，求q 的最大值．
【答案】(1)
1
b =
(2)
解：①p
q
，理由如下：
由题意：
2
p
km
k
=
+
−
，
1
q
n
=
+ ，
n
m
=
，
1
q
m
=
+ ，
(
2
)
(
1)
p
q
km
k
m
−
=
+
−
−
+
2
1
km
k
m
=
+ −
−
−
1
km
k
m
=
−−
+
(
1)
(
1)
k m
m
=
−
−
−
(
1)(
1)
m
k
=
−
−
，
1
k
，
1
m ，
1
0
k
−
，
1
0
m−
，
(
1)(
1)
0
m
k
−
−
，
0
p
q
−
，
p
q
；
②q 的最大值为6
【难度】0.4
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【知识点】比较一次函数值的大小、求一次函数自变量或函数值
【分析】本题考查了一次函数的交点问题．
（1）将
1
x = 代入两函数解析式得到
1
2
y =
，
2
1
y
b
= + ，根据
1
2
y
y
=
列方程求解即可；
（2）①根据“点
( , )
A m p 在1l 上，点
( , )
B n q 在2l 上”得到
2
p
km
k
=
+
−
，
1
q
n
=
+ ，根据n
m
=
得到
1
q
m
=
+ ，计算p
q
−得到(
1)(
1)
m
k
−
−
，结合
1
k ，
1
m 判断(
1)(
1)
m
k
−
−
正负即可；
②同①得到
3
q
m
=
+ ，根据p
q
=
得到
2
3
km
k
m
+ −
=
+ ，求出
2
1
1
k
m
= +
−，可知
2
1
m −为整数，即
1
m−
是2 的因数，根据
3
q
m
=
+ 可知，求出m 最大值即可求出q 的最大值．
【详解】（1）解：当
1
x = 时，
1
2
y =
，
2
1
y
b
= + ，
1
2
y
y
=
，
1
2
b
+
=
，
1
b
= ；
（2）①略
②由题意：
2
p
km
k
=
+
−
，
1
q
n
=
+ ，
2
n
m
=
+
，
∴
1
2 1
3
q
n
m
m
=
+ =
+
+ =
+ ，
p
q
=
，
2
3
km
k
m
+ −
=
+ ，
1
1 2
2
1
1
1
1
m
m
k
m
m
m
+
−+
=
=
= +
−
−
−，
k，m 都为整数，1 为整数，
2
1
m
−为整数，
1
m
−是2 的因数，
1
1
m
−
= 或1
−或2 或2
−，
2
m
=
或0 或3 或1
−，
又
2
1
1
k
m
= +
−
且
0
k
，
当
1
m
−
=
时，
0
k =
，不合题意，故舍去，
m
的取值为0，2，3，
3
q
m
=
+
，
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又
1
0
，
q 随m 的增大而增大，
当
3
m =
时，q 的最大值为6．
重难点五、一次函数的规律探究问题
先代入前几组自变量，算出对应函数值，列出坐标序列。横向观察坐标数字
变化，拆分等差、循环类规律，用含n 的代数式总结通用坐标或函数式。总结规律后代入
已知点验证，确认规律成立，再利用推导的通用式子求解目标项，分步梳理避免规律找
错。
1．（25-26 八年级上·广东茂名·阶段检测）将正方形
1
1
1
A BC O ，
2
2
2
1
A B C C ，
3
3
3
2
A B C C 按如图所示方式放
置，点
1A ，
2
A ，
3A ……和点
1
C ，
2
C ，
3
C ，……分别在直线
1
y
x
=
+ 和x 轴上，则
2025
B
的坐标是______．
【答案】(
)
2025
2024
2
12
−,
【难度】0.85
【知识点】点坐标规律探索、一次函数的规律探究问题
【分析】本题考查了一次函数，点的坐标规律探索，解题的关键是总结规律．
根据题意写出前几个点的坐标，总结规律，代入计算即可．
【详解】解：在
1
y
x
=
+ 中，当
0
x =
时，
1
y = ，
∴
(
)
1 0,1
A
，
∵四边形
1
1
1
A B C O 为正方形，
小学
初中
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∴
(
)
1 1,1
B
，
在
1
y
x
=
+ 中，当
1
x = 时，
2
y =
，
∴
(
)
2 1,2
A
，
∵四边形
2
2
2
1
A B C C 为正方形，
∴
(
)
2 3,2
B
，
同理可得，
(
)
3 7,4
B
，
3
3 1
2
7
2
1,4
2
2
−
=
−
=
=
，
(
)
4 15,8
B
，
4
4 1
3
15
2
1,8
2
2
−
=
−
=
=
，
(
)
5 31,16
B
，
5
5 1
4
31
2
1,16
2
2
−
=
−
=
=
，
......，
(
)
1
2
1,2
n
n
n
B
−
−
，（n 为正整数），
∴点
2025
B
的坐标为(
)
2025
2024
2
1,2
−
，
故答案为：(
)
2025
2024
2
1,2
−
．
2．（23-24 八年级下·山东日照·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线
1
l
y
x
=
−
：
与x 轴交于点
1A ，以
1
OA 为一边作正方形
1
1
1
OA BC ，使得点
1
C 在y 轴正半轴上，延长
1
1
C B 交直线于点
2
A ，按同样方法依次作正
方形
1
2
2
2
C A B C 、正方形
2
3
3
3
C A B C
、、正方形
1
n
n
n
n
C
A B C
−
．使得点
1
2
3
n
A
A
A
A
、、、、
均在直线l 上，点
1
2
3
n
C
C
C
C
、
、
、、
在y 轴正半轴上，则点
2024
A
的纵坐标是___________．
【答案】
2023
2
1
−
【难度】0.85
【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数的规律探究问题
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标，根据一次函
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数图象上点的坐标特征结合正方形的性质，可得出点
1A 、
1
B 的坐标，同理可得出
2
A 、
3A 、
4A 、
5A 、
的坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律，依此规律即可得出结论．
【详解】解：当
0
y =
时，有
1
0
x −= ，
解得
1
x = ，
∴点
1A 的坐标为(1,0) ．
∵四边形
1
1
1
A B C O 为正方形，
∴点
1
B 的坐标为(1,1) ．
当
1
y = 时，有
1 1
x −= ，解得：
2
x =
，
∴点
2
A 的坐标为(2,1) ．
同理，可得出：
3
4
5
(4,3),
(8,7),
(16,15),
A
A
A
，
∴
n
A 的纵坐标为
1
2
1
n−−（n 为正整数），
∴点
2024
A
的纵坐标是
2023
2
1
−．
故答案为：
2023
2
1
−．
3．（22-23 八年级下·四川广安·阶段检测）正方形
1
1
1
2
2
2
1
3
3
3
2
A BC O A B C C A B C C
,
,
,…按如图所示的方式放置，
点
1
2
3
A A A
,
,
和点
1
2
3
C C C
,
,
分别在直线
(
)
0
y
kx
b k
=
+
和x 轴上，已知点
(
)
(
)
1
2
1,1 ,
3,2
B
B
，则
2023
B
的坐
标是___．
【答案】(
)
2023
2022
2
1,2
−
【难度】0.85
【知识点】一次函数的规律探究问题
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，找到规律是关键．
根据一次函数图象上点的坐标特征找到规律，由规律解答即可．
【详解】解：∵点
1(1,1)
B
，
(
)
2 3 2,
B
，
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1(0,1)
A
，
(
)
2 1 2
A
,
，
将
1(0,1)
A
，
(
)
2 1 2
A
,
代入y
kx
b
=
+
得
1
2
b
k
b
=
=
+
，解得：
1
1
b
k
=
=
，
∴一次函数解析式为
1
y
x
=
+ ，
2(3,2)
B
，
3
3
(3,4),
(7,4)
A
B
，
同理
(
)
4
4 1
4 2
1,2
B
−
−
，
则
(
)
1
2
1,2
n
n
n
B
−
−
，
∴
(
)
2023
2022
2023 2
1,2
B
−
，
故答案为：(
)
2023
2022
2
1,2
−
．
4．（24-25 八年级上·甘肃白银·阶段检测）如图，点
1A 的坐标为(
)
1,0 ，过点
1A 作x 轴的垂线交直线
:
3
l y
x
=
于点
1
B ，以原点O 为圆心，
1
OB 的长为半径画弧交x 轴正半轴于点
2
A ；再过点
2
A 作x 轴的垂线
交直线l 于点
2
B ，以原点O 为圆心，以
2
OB 的长为半径画弧交x 轴正半轴于点
3A ；…，按此作法进行下
去，则
2018
B
的横坐标是______．
【答案】
2017
2
【难度】0.85
【知识点】一次函数的规律探究问题、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了勾股定理，正比例函数的图象，点的坐标规律，先求得
1
B ，
2
B ，
3
B 的横坐标，由特
殊情况得到一般规律，得到
n
B 的横坐标是
1
2n−，再得出
2018
B
的横坐标，即可作答．
【详解】解：点
1A 的坐标为(
)
1,0 ，
1
1
OA = ，
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依题意，当
1
x = 时，
3 1
3
y =
=
，
1
B 的坐标是(
)
1, 3 ，
即
1
B 的横坐标为
1 1
1
2 −
=
；
依题意，
2
1
3 1
2
OA
OB
=
=
+ =
；
同理，当
2
x =
时，
3
2
2 3
y =
=
，
2
B 的坐标是(
)
2,2 3 ，
即
2
B 的横坐标为
2 1
2
2 −
=
；
依题意，
3
2
12
4
4
OA
OB
=
=
+
=
；
同理，当
4
x = 时，
3
4
4 3
y =
=
，
3
B 的坐标是(
)
4,4 3 ，
即
3
B 的横坐标为
3 1
4
2 −
=
，
……
以此类推，得
n
B 的横坐标是
1
2n−，
2018
B
的横坐标是
2018 1
2017
2
2
−=
故答案为：
2017
2
5．（2026·江苏盐城·模拟预测）如图，直线l 的函数表达式为
1
y
x−
=
，在直线l 上顺次取点
(
)
1 2,1
A
，
(
)
2 3,2
A
，
(
)
3 4,3
A
，
(
)
4 5,4
A
，…，
(
)
1,
n
A
n
n
+
，构成形如“
”的图形的阴影部分面积分别表示为
1S ，
2
S ，
3
S ，…，
n
S ，则
2026
S
=______．
【答案】4054
【难度】0.76
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【知识点】一次函数的规律探究问题
【分析】根据题意，分别求出
1S ，
2
S ，
3
S ，然后找出规律，即可求出结果．
【详解】解：∵
(
)
1 2,1
A
，
(
)
2 3,2
A
，
(
)
3 4,3
A
，
(
)
4 5,4
A
，…，
(
)
1,
n
A
n
n
+
，
∴
1
3 2
2 1
4
2 1 2
S = −=
= +
，
2
4 3 3 2
6
2 2
2
S = −
=
= +
，
3
5 4
4 3
8
2 3
2
S = −=
= +
，
……
∴
2
2
n
S
n
=
+
，
∴
2026
2 2026
2
4054
S
=
+
=
．
6．（2026·山东济宁·二模）如图，直线
3
3
2
y
x
−
=
+ 与x 轴，y 轴分别交于A，B 两点，一动点从点
(
)
1 0,2
M
出发，沿平行于x 轴的直线运动，到达直线AB 上的点
2
M 处，再沿平行于y 轴的直线运动，到达
直线OA上的点
3
M 处，再沿平行于AB 的直线运动，到达直线OB 上的点
4
M 处，再沿平行于x 轴的直线
运动，到达直线AB 上的点
5
M 处……如此运动下去，则点
2026
M
的坐标为______．
【答案】(
)
0,1
【难度】0.65
【知识点】点坐标规律探索、一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数的规律探究问题
【分析】首先求出(
)
0,3
B
，如图，根据题意作出点
6
M ，连接
1
6
M M ，求出
2
2 ,2
3
M
，得到
2
3
2
M M =
，
得到四边形
2
3
4
BM M M ，
1
2
3
OM M M ，
4
5
6
OM M M 都是平行四边形，得到
6
1
M M
AB
∥
，动点每运动6 次为
一个循环，然后结合2026
337 6
4
=
+ 求解．
【详解】解：对于
3
3
2
y
x
−
=
+ ，
令
0
x =
，得
3
y =
，
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(
)
0,3
B
，
如图，根据题意作出点
6
M ，连接
1
6
M M ，
∵
(
)
1 0,2
M
将
2
y =
代入
3
3
2
y
x
−
=
+ 得，
3
2
3
2 x
= −
+
解得
2
3
x =
∴
2
2 ,2
3
M
∴
2
3
2
M M =
根据题意得，四边形
2
3
4
BM M M ，
1
2
3
OM M M ，
4
5
6
OM M M 都是平行四边形，
∴
4
2
3
1
2
BM
M M
OM
=
=
=
∴
4
1
1
3
2
1
OM
BM
OB
OM
=
=
−
= −
= ，即
∴
5
6
4
1
1
M M
OM
BM
=
= =
∵
5
6
1
M M
BM
∴四边形
5
6
1
M M M B 是平行四边形，
(
)
4 0,1
M
∴
6
1
M M
AB
∥
∴点
7
M 与点
1
M 重合，
∴动点每运动6 次为一个循环，
2026
337 6
4
=
+
，
∴点
2026
M
与点
4
M 重合，即点
2026
M
的坐标为(
)
0,1 ．
7．（2026·山东济宁·二模）正方形
1
1
2
1
N M M Q ，
2
2
3
2
N M M Q ，
3
3
4
3
N M M Q 按如图所示的方式放置，点
1
N ，
2
N ，
3
N 和点
1
M ，
2
M ，
3
M ，
4
M 分别在直线y
kx
=
（
0
k ）和x 轴上，已知点
(
)
1 3,2
Q
，点
2026
Q
的坐标是________．
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【答案】(
)
2026
2025
3
,2 3
【难度】0.71
【知识点】点坐标规律探索、一次函数的规律探究问题
【分析】首先求出
(
)
1 1,2
N
，根据待定系数法，可得直线的解析式，然后求出
(
)
2 3,6
N
，
(
)
2 9,6
Q
，
(
)
3 9,18
N
，
(
)
3 27,18
Q
，得到点Q 横纵坐标的规律，进而求解即可．
【详解】解：∵
(
)
1 3,2
Q
∴
1
1
1
2
1
2
2
N M
Q M
M M
=
=
=
，
2
3
OM =
∴
1
2
1
2
3 2
1
OM
OM
M M
=
−
= −
=
∴
(
)
1 1,2
N
将
(
)
1 1,2
N
代入y
kx
=
，得
2
k =
∴直线
1
2
N N 的解析式是
2
y
x
=
将
3
x = 代入
2
2 3
6
y
x
=
=
=
∴
(
)
2 3,6
N
，
∴
2
2
2
3
6
N M
Q M
=
=
，
3
3
6
9
OM = +
=
，
∴
(
)
2 9,6
Q
，
同理可得，
(
)
3 9,18
N
，
(
)
3 27,18
Q
．．．．．．，
∴
(
)
1
3 ,2 3
n
n
n
Q
−
．
∴点
2026
Q
的坐标是(
)
2026
2025
3
,2 3
．
8．（2026·黑龙江绥化·模拟预测）如图， 在平面直角坐标系中，直线1
1
:
1
2
l
y
x
= −
+ 与直线
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2
3
:
3
2
l
y
x
−
=
+ 分别交y 轴于点A，B．以AB 为直角边在其左侧作Rt ABC
，且另一直角边满足
1
2
BC
AB
=
，过点C 作
1
1
A B
AB
分别交直线1l 与2l 于点
1
1
A
B
，
；以
1
1
A B 为直角边在其左侧作
1
1
1
Rt A BC
，
且另一直角边满足
1
1
1
1
1
2
BC
A B
=
，过点
1
C 作
2
2
1
1
A B
A B
分别交直线1l 与2l 于点
2
2
A
B
，
；以
2
2
A B 为直角边在
其左侧作
2
2
2
Rt A B C
，且另一直角边满足
2
2
2
2
1
2
B C
A B
=
照此规律进行下去，则
2026
2026
2026
A
B
C
的面积为
_____ ．
【答案】
4052
3
2
【难度】0.4
【知识点】一次函数的规律探究问题
【分析】根据题意分别算出
,
AB BC 的值得到
0
9
1
4
ABC
S
= =
，
1 1 1
1
9
4
A B C
S
=
，
2
2
2
2
9
4
A B C
S
=
，由此即可
求解．
【详解】解：在直线1
1
:
1
2
l
y
x
= −
+ 中，当
0
x =
时，
1
y = ，则
(
)
0,1
A
，
在直线2
3
:
3
2
l
y
x
= −
+ 中，当
0
x =
时，
3
y =
，则(
)
0,3
B
，
∴
3 1
2
AB = −=
，
∴
1
1
2
1
2
2
BC
AB
=
=
= ，
(
)
1,3
C −
，
∴
1
1
2 1 1
2
2
ABC
S
AB BC
=
=
=
，
∵
1
1
A B
AB
，
∴点
1
1
,
A B 的横坐标为1
−，
在直线1
1
:
1
2
l
y
x
= −
+ 中，当
1
x = −时，
(
)
1
3
1
1
2
2
y = −
−
+ =
，则
1
3
1, 2
A
−
，
75 / 75
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在直线2
3
:
3
2
l
y
x
= −
+ 中，当
1
x = −时，
(
)
3
9
1
3
2
2
y = −
−
+
=
，则
1
9
1, 2
B
−
，
∴
1
1
9
3
3
2
2
A B =
−
= ，则
1
1
1
1
1
3
2
2
BC
A B
=
=
，
1
5 9
,
2 2
C
−
，
∴
1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
3
9
9
3
2
2
2
4
4
A B C
S
A B B C
=
=
=
=
，
同理，
2
2
5 9
5 27
,
,
,
2 4
2
4
A
B
−
−
，
2
2
27
9
9
4
4
2
A B =
−
=
，
2
2
2
2
1
1
9
9
2
2
2
4
B C
A B
=
=
=
，
∴
5
9
23
1
2
4
4
−−
−
= −
，则
2
23 27
,
4
4
C
−
，
∴
2
2
2
2
1
9
9
81
9
2
2
4
16
4
A B C
S
=
=
=
，
，
∴
2026
2026
2026
2026
4052
9
3
4
2
A
B
C
S
=
=
．
