第 03 讲 导数与函数的极值、最值
（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
4年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2023年新I卷，第11题,5分 函数极值点的辨析 函数的性质、奇偶性的定义与判断
基本(均值)不等式的应用、求平面轨迹
2023年新I卷，第22题,12分 由导数求函数的最值 (不含参)
方程、求直线与地物线相交所得弦的弦长
2023年新Ⅱ卷，第11题,5分 根据极值求参数 根据二次函数零点的分布求参数的范围
利用导数求函数的单调区间 (不含参)
2023年新Ⅱ卷，第22题,12分 根据极值点求参数 利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的零点
锥体体积的有关计算球的体积的有关计算
2022年新I卷，第8题,5分 由导数求函数的最值 (不含参)
多面体与球体内切外接问题
求在曲线上一点处的切线方程 (斜率）
2022年新I卷，第10题,5分 求已知函数的极值点
利用导数研究函数的零点
2022年新I卷，第22题,12分 由导数求函数的最值 (含参) 利用导数研究方程的根
2021年新I卷，第15题,5分 由导数求函的最值 (不含参) 无
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为12分
【备考策略】1.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件
2能够利用导数求函数的极大值、极小值以及在给定闭区间上的最大值、最小值
3体会导数与极大(小)值、最大(小)值的关系
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，会结合导数来判断或证明函数的单调性，从而求得函数的
极值或给定区间上的最值，热点内容，需综合复习知识讲解
1. 函数的极值与导数
(1)函数的极小值与极小值点
若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小， ，
而且在点x＝a附近的左侧 ，右侧 ，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函
数的极小值．
(2)函数的极大值与极大值点
若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大， ，
而且在点x＝b 附近的左侧 ，右侧 ，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做
函数的极大值．
（3）极值与导数的关系
是极值点
是极值点，即： 是 为极值点的必要非充分条件
2. 函数的最值与导数
(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最
小值．
(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤
①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，
最小的一个是最小值．考点一、 求函数的极值或极值点
1．（天津·高考真题）已知函数 在 上满足 ，当 时 取得
极值 .
（1）求 的单调区间和极大值；
（2）证明：对任意 、 ，不等式 恒成立.
【答案】（1）单调递增区间为 、 ，单调递减区间为 ，极大值为 ；（2）证明见解析.
【分析】（1）由 可求得 ，由题意得出 可解出 、 的值，可得出函数
的解析式，然后利用导数可求得函数 的单调区间和极大值；
（2）求得函数 在区间 上的最大值 ，最小值 ，由此可得出 ，
进而可证得结论.
【详解】（1） ，由 ，得 ，可得 .
， ，
由于函数 在 处取得极值 ，则 ，解得 ，
，
，从而 .
当 时， ，则函数 在 上是增函数；
在 时， ，则函数 在 上是减函数；
当 时， ，则函数 在 上是增函数.
所以，函数 在 处取得极大值，即 ；
（2）由（1）知，函数 在 上是减函数，
当 时， ， .
所以，对任意 、 ，不等式 .
【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间和极值，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查计
算能力与推理能力，属于中等题.2．（全国·高考真题）已知函数 （ 为自然对数的底数）
（1）若曲线 在点 处的切线平行于 轴，求 的值；
（2）求函数 的极值；
（3）当 时，若直线 与曲线 没有公共点，求 的最大值.
【答案】（1） （2）当 时，函数 无极小值；当 ， 在 处取得极小值 ，
无极大值（3） 的最大值为
【分析】（1）求出 ，由导数的几何意义，解方程 即可；（2）解方程 ，注意分类讨
论，以确定 的符号，从而确定 的单调性，得极大值或极小值（极值点多时，最好列表表示）；
（3）题意就是方程 无实数解，即关于 的方程 在 上没有实数解．一般是分类讨
论， 时，无实数解， 时，方程变为 ，因此可通过求函数 的值域来求得 的范
围．
【详解】（1）由 ,得 ．
又曲线 在点 处的切线平行于 轴,
得 ,即 ,解得 ．
（2） ,
①当 时, , 为 上的增函数,
所以函数 无极值．
②当 时,令 ,得 , ．
, ; , ．
所以 在 上单调递减,在 上单调递增,
故 在 处取得极小值,且极小值为 ,无极大值．
综上,当 时,函数 无极小值
当 , 在 处取得极小值 ,无极大值．
（3）当 时,
令 ,则直线 : 与曲线 没有公共点,
等价于方程 在 上没有实数解．
假设 ,此时 , ,
又函数 的图象连续不断,由零点存在定理,可知 在 上至少有一解,与“方程 在 上没
有实数解”矛盾,故 ．
又 时, ,知方程 在 上没有实数解．
所以 的最大值为 ．
解法二:
（1）（2）同解法一．
（3）当 时, ．
直线 : 与曲线 没有公共点,
等价于关于 的方程 在 上没有实数解,即关于 的方程:
（*）
在 上没有实数解．
①当 时,方程（*）可化为 ,在 上没有实数解．
②当 时,方程（*）化为 ．
令 ,则有 ．
令 ,得 ,
当 变化时, 的变化情况如下表:
减 增
当 时, ,同时当 趋于 时, 趋于 ,从而 的取值范围为 ．
所以当 时,方程（*）无实数解, 解得 的取值范围是 ．
综上,得 的最大值为 ．
考点：导数的几何意义，极值，导数与单调性、值域，方程根的分布．
3．（天津·高考真题）已知函数
（Ⅰ）求函数 的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，证明当 时，
（Ⅲ）如果 ，且 ，证明
【答案】（Ⅰ）f(x)在( )内是增函数，在( )内是减函数．函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=
（Ⅱ）见解析（Ⅲ）见解析
【详解】（Ⅰ）解：f’
令f’(x)=0,解得x=1
当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表
X ( ) 1 ( )
f’(x) + 0 -
极大
f(x)
值
所以f(x)在( )内是增函数，在( )内是减函数．
函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=
（Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)
令F(x)=f(x)-g(x),即
于是
当x>1时，2x-2>0,从而 ’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数．
又F(1)=0，所以x>1时，有F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).
（Ⅲ）证明：（1）
若
（2）若
根据（1）（2）得由（Ⅱ）可知， > ,则 = ，所以 > ,从而 > .因为 ，所
以 ，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内事增函数，所以 > ,即 >2.
4．（山东·高考真题）设函数 ，其中 .
（Ⅰ）讨论函数 极值点的个数，并说明理由；
（Ⅱ）若 成立，求 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ） 的取值范围是 .
【详解】试题分析：（Ⅰ）先求 ，令
通过对 的取值的讨论，结合二次函数的知识，由导数的符号得到函数 的单调区间；（Ⅱ）根据
（1）的结果 这一特殊性，通过对参数的讨论确定 的取值范围.
试题解析：函数 的定义域为
令 ，
（1）当 时， ， 在 上恒成立
所以，函数 在 上单调递增无极值；
（2）当 时，
①当 时， ，
所以， ，函数 在 上单调递增无极值；
②当 时，
设方程 的两根为
因为
所以，
由 可得：
所以，当 时， ，函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减；当 时， ，函数 单调递增；
因此函数 有两个极值点．
（3）当 时，
由 可得：
当 时， ，函数 单调递增；
当 时， ，函数 单调递减；
因此函数 有一个极值点．
综上：
当 时，函数 在 上有唯一极值点；
当 时，函数 在 上无极值点；
当 时，函数 在 上有两个极值点；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
（1）当 时，函数 在 上单调递增，
因为
所以， 时， ，符合题意；
（2）当 时，由 ，得
所以，函数 在 上单调递增，
又 ，所以， 时， ，符合题意；
（3）当 时，由 ，可得
所以 时，函数 单调递减；
又
所以，当 时， 不符合题意；
（4）当 时，设
因为 时，
所以 在 上单调递增，
因此当 时，即：
可得：
当 时，
此时， 不合题意.
综上所述， 的取值范围是
考点：1、导数在研究函数性质中的应用；2、分类讨论的思想.
1．（2023·湖北黄石·统考模拟预测）已知 ，函数 ， .
(1)求函数 的单调区间和极值；
(2)设 较小的零点为 ，证明： .
【答案】(1)单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；极小值 ，无极大值
(2)证明见解析
【分析】（1）由导数法求极值及单调区间即可；
（2）先由零点存在定理说明 存在两个零点 ，
法一：由导数法证 ， ，结合函数单调性即可证明；
法二：由导数法证明证明当 时， ，再令 代入不等式化简得证.
【详解】（1）因为 ， ，所以 ，
当 时， ；当 时， ，所以函数 的单调递减区间为 ，单调
递增区间为 ，
故 有极小值 ，无极大值；
（2）因为当 时， ，所以 ，
所以 ，又 时， ； 时， ，
所以 有两个零点 ；
法1：下面证明 ， ，
设 ，
则 ，所以 在 上递增，
又 时， ，所以 对 成立，
所以 得证 ，
，
令 ，则 ， ， ，∴ .
设 ， ，
则 ，所以 在 上递减，
所以 ，所以 ，
所以 得证 ，
因为函数 区间 单调递减，
又 ， ， ， 、 、 ，
所以 ；
法2：下面证明当 时， ，
设 ， ，，
所以 在 上递增，
所以 ，所以 ，
再设 ， ，
，
所以 在 上递增，
所以 ，所以 ，
综上，当 时， ，
现有 ，所以 ，
故 得 ，
故 得 ，
所以 .
【点睛】证明零点所在区间问题：
（1）可结合零点存在定理说明在区间端点处异号及函数单调性证明；
（2）通过将结论不等式变形，构造成题设函数的形式，从而将问题转化为证明不等式成立. 如本题
变形成 ， 变形成 ，则可转化为证
；（3）证明不等关系可通过构造函数，结合导数法证明.
2．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知函数 .
(1)求函数 的极值点个数；
(2)若不等式 在 上恒成立，求 可取的最大整数值.
【答案】(1)极值点个数为1
(2)4
【分析】（1）求出 ，然后证明 只有一个变号零点即
可；
（2）条件不等式可转化为 ，然后求出 ，分 、 两种情况得到
的单调性，然后可得到 成立，然后利用导数可分析出答案.
【详解】（1）已知 ，
可得
令 ，则 ，
函数 单调递减，且当 时， ，故函数 先增后减，
当 时， ，
其中 ，∴ ，∴
当 时， ，
∴函数 只有一个零点，∴函数 的极值点个数为1.
（2） 变形，得 ，
整理得 ，
令 ，则 ，∵ ，∴ ，
若 ，则 恒成立，即 在区间 上单调递增，
由 ，∴ ，∴ ，∴ ，此时 可取的最大整数为2，
若 ，令 ，则 ，令 ，则 ，所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，
所以 在区间 上有最小值， ，
于是问题转化为 成立，求 的最大值，
令 ，则 ，∵当 时， ， 单调递减，
当 时， 单调递增，∴ 在 处取得最大值，
∵ ，∴ ，∵ ， ，
，此时 可取的最大整数为4.
综上， 可取的最大整数为4.
3．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）已知函数 ， ．
(1)求函数 的极值点；
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) 是 的极大值点，无极小值点
(2)
【分析】（1）首先利用导数判断函数的单调区间，再确定函数的极值点；
（2）解法一，首先构造函数 ， ，再根据函数的导数，判断
函数的最大值，即可求解 ；解法二，首先证明 ，即可得 ，即
，不等式恒成立，转化为 ，即可求解 .
【详解】（1）由已知可得，函数 的定义域为 ，且 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
所以 是 的极大值点，无极小值点．
（2）解法一：设 ， ，
则 ，
令 ， ，则 对任意 恒成立，
所以 在 上单调递减．
又 ， ，所以 ，使得 ，即 ，则 ，即 ．
因此，当 时， ，即 ，则 单调递增；
当 时， ，即 ，则 单调递减，
故 ，解得 ，
所以当 时， 恒成立．
解法二：令 ， ，当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，即 ．
因为 ，所以 ，当 时等号成立，
即 ，当 时等号成立，
所以 的最小值为1．
若 恒成立，则 ，
所以当 时， 恒成立．
4．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）设函数 .
(1)求 的极值；
(2)已知 ， 有最小值，求 的取值范围.
【答案】(1)极大值为 ，无极小值
(2)
【分析】（1）求导后，根据 正负可得 单调性，结合极值定义可求得结果；
（2）由 可得 ，令 ，可将 表示为 ；构造函数
，求导后，分别在 和 的情况下，讨论得到 单调性，进而确定符合题意
的 的取值范围.
【详解】（1）由题意知： 定义域为 ， ，
， ，
当 时， ；当 时， ；在 上单调递增，在 上单调递减；
的极大值为 ，无极小值.
（2） 可化为 ，
为单调递增函数，
由 可得： ，即 ，
令 ，则 ， ， ， ，
，
令 ，
，
令 ，
；
①当 时， 恒成立， 在 上单调递增，
，即 ， 在 上单调递增，
此时 在 上不存在最小值，即 不存在最小值，不合题意；
②当 时，若 ，则 ；若 ，则 ；
在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ，又 ，
存在 ，使得 ，且当 时， ，即 ；当 时， ，
即 ；
在 上单调递减，在 上单调递增，
，即 有最小值；
综上所述：实数 的取值范围为 .
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解函数极值、多变量问题的求解；求解多变量问题的关键是能够通过引入第三变量 ，将 利用 来表示，从而减少变量个数，将问题转化为关于 的函数的单调
性的讨论问题.
5．（2023·山东青岛·统考二模）已知函数 ， .
(1)讨论 极值点的个数；
(2)若 恰有三个零点 和两个极值点 .
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）若 ，且 ，证明： .
【答案】(1)当 时, 无极值点;当 时,所以 有两个极值点；
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析.
【分析】（1）先求导，对 进行讨论，研究单调性可得函数的极值；
（2）(i)由(1)知: ,且 ,,又得出 ，即可得证；
(ii)易得 ，令 ,可得 ，要证明: ，只需证:
，只需证: (显然,易证 )，即证明: ，又
因为 ,所以 ，令 , ,利用导数证明 即可.
【详解】（1）由题知: ，
设函数 ,
当 时, 开口向上, ,
所以 , 在 上单调递减,无极值点；
当 时, 在 上有两个解 ,
又因为 ,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增,在 上单调递减.
所以 有两个极值点.综上:当 时, 无极值点;当 时,所以 有两个极值点.
（2）(i)由(1)知: ,且 ,
又因为 ,
所以 .
(ii)由(i)知: , , ,
所以 ,所以 .
令 , ,
所以 在 上单调递减,在 上单调递增.
因为 时, >0; 时, <0.
所以 .
所以,要证明: ,
只需证: ,
只需证: ,
只需证: ,
只需证: ,
又因为 在 上单调递增,
所以只需证: .
令 ，所以 ，
所以函数 在 上单调递减；
所以 ，即 .
所以，要证： ，只需证： ，即证明: .
因为 ,所以 ,所以 .又因为 ,
所以 ,所以 .
令 , ,则 ,
所以 在 上单调递增,所以 ,
所以 ,所以 成立.
【点睛】方法点睛：
利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式 （或 ）转化为证明 （或
），进而构造辅助函数 ；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见结论放缩；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
6．（2023·浙江·校联考模拟预测）己知函数 有三个极值点 ，其中
.
(1)求 的取值范围；
(2)求证： ；
(3)求证： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）对函数求导，将问题等价转化为 有两个不等实根，令 ，根据导
数的正负判断函数的单调性，进而求解；
（2）根据题意， 是 的两个根，将问题等价转化为证明 ，令
，利用函数的单调性进而求证；
（3）根据题意可得 ，将要问题等价转化为 ，令，利用导数与函数的单调性得到 ，令 ，
，根据函数的单调性进而求证.
【详解】（1）
有两个不等根
令 ，则
在 单调递增， 上单调递减，且
.
（2）由（1）知， 是 的两个根
先证
令 ，
则
在 上单调递增
又 得证
（3）因为 ，所以 ，
，所以
要证 ，即证： ，
又因为 ，即证： .
令 ，
所以 单调递减， 单调递增，
，即 .令 ，时， 单调递减，
所以 所以 ，即 ，
即 成立.
【点睛】利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题.对
于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后再去证明.
考点 二 、 根据函数极值或极值点求参数值或范围
1．（2023·全国·统考高考真题）（多选）若函数 既有极大值也有极小值，则
（ ）．
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】求出函数 的导数 ，由已知可得 在 上有两个变号零点，转化为一元二次方程
有两个不等的正根判断作答.
【详解】函数 的定义域为 ，求导得 ，
因为函数 既有极大值也有极小值，则函数 在 上有两个变号零点，而 ，
因此方程 有两个不等的正根 ，
于是 ，即有 ， ， ，显然 ，即 ，A错误，BCD正确.
故选：BCD
1．（2023·广东·校联考模拟预测）已知函数 ，若函数 在 处取得
极小值，则 的取值范围为 .【答案】
【分析】考查 的单调性，令 ，即 或 ， 单调递
增，设方程 的根为 ，通过对 分类讨论，研究函数 的单调性即可得出．
【详解】 ，
考查 的单调性，令 ，即 ，
或 ，
即 或 ，
单调递增，设方程 的根为
①若 ，则不等式组 的解集为 和 ， ，
此时 在 和 ， 上单调递增，在 上单调递减，与 在 处取极小值矛盾；
②若 ，则不等式组 的解集为 和 ，此时 在 上单调递增，与 在 处取极
小值矛盾；
③若 ，则不等式组 的解集为 和 ，
此时 在 和 上单调递增，在 ， 上单调递减，满足 在 处取极小值，
由 单调性， ．
综上所述： ．
则 的取值范围为 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与极值，解题的关键是充利用分类讨论思想.
2．（2023·辽宁鞍山·统考模拟预测）已知函数 有两个极值点 ， ，且 ，则实
数m的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据极值点的定义，结合函数零点的定义，通过构造函数，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】由 有两个不同实根 ，
且 ，设 ，
当 时， ，当 时， ，
在 单调递减，在 单调递增，所以 ，
显然当 时， ，当 时， ，
图象如下：
所以有 ，则有 ，
当 时，即. ，
时， ，
故答案为：
【点睛】关键点睛：根据函数极值的定义，结合构造函数法、数形结合法进行求解是解题的关键.
3．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）已知函数 有两个极值点，则实数a
的取值范围是 .
【答案】
【分析】求函数 导函数 ，由已知可得 有两个不相等的正实数根，利用导数研究函数
的性质，作出其图象，由此可求a的取值范围.
【详解】函数 的定义域为 ，导函数 ，
由已知 有两个不相等的正实数根，
所以 有两个不相等正实数根，
令 ，则 ，
由 ，得 .当 时， ，函数 在 上单调递增；
当 时， ，函数 在 上单调递减.
又 ， ，
当 时， ，当 时， ，
当 时， ，
由以上信息可得，函数 的图象大致如下：
所以a的取值范围是 .
故答案为： .
4．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）已知函数 存在两个极值点 ，
，则以下结论正确的为（ ）
A． B．
C．若 ，则 D．
【答案】BD
【分析】由题可得方程有 两个不相等的实数根 ， ，构造函数 ，利用导数研究函
数的性质画出函数的大致图象，然后结合条件逐项分析即得.
【详解】由题可得 ，则 即 ，显然 ，
若方程有两个不相等的实数根 ， ，即方程有 两个不相等的实数根 ， ，
即 的图象与直线 有两个交点，且横坐标分别为 ， ，
又 ，所以由 可得 ，由 可得 ，
所以 在 ， 上单调递减，在 上单调递增，且当 时， ，当 时，，
对A，要使函数 存在两个极值点 ， ，则 ，A错误；
对B，当 时， 的图象如图，易知 ，B正确；
对C，若 ，则 ，得 ，故 ，C错误；
对D，因为 ，所以 ，又 ，所以 ， ，所以 ，故 ，所
以 ，D正确．
故选：BD．
【点睛】函数由极值、极值点求参数的取值范围的常用方法与策略：
1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为从
中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不
等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法
为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意
的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.
考点 三 、 利用导数求函数最值
1．（2022·全国·统考高考真题）函数 在区间 的最小值、最大值分别为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用导数求得 的单调区间，从而判断出 在区间 上的最小值和最大值.
【详解】 ，
所以 在区间 和 上 ，即 单调递增；在区间 上 ，即 单调递减，
又 ， ， ，
所以 在区间 上的最小值为 ，最大值为 .
故选：D
2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求 的最大值；
(2)若 恰有一个零点，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；
（2）求导得 ，按照 、 及 结合导数讨论函数的单调性，求得函数的
极值，即可得解.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
所以 ；
（2） ，则 ，
当 时， ，所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
所以 ，此时函数无零点，不合题意；
当 时， ，在 上， ， 单调递增；
在 上， ， 单调递减；
又 ，由（1）得 ，即 ，所以 ，
当 时， ，
则存在 ，使得 ，
所以 仅在 有唯一零点，符合题意；
当 时， ，所以 单调递增，又 ，
所以 有唯一零点，符合题意；
当 时， ，在 上， ， 单调递增；
在 上， ， 单调递减；此时 ，
由（1）得当 时， ， ，所以 ，
此时
存在 ，使得 ，
所以 在 有一个零点，在 无零点，
所以 有唯一零点，符合题意；
综上，a的取值范围为 .
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数
的单调性与极值的问题.
1．（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知函数 .
(1)求函数 在区间 上的最小值；
(2)判断函数 的零点个数，并证明.
【答案】(1)(2) 有 个零点，证明见解析
【分析】（1）对 求导，令 ， ，得出 在 的单调性，
结合零点存在性定理可得 在 上单调递增，在 上单调递减，再比较 的大小，
即可得出答案.
（2）利用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理，讨论 ， 和 时， 的正负，
即可得出证明.
【详解】（1） 的定义域为 ，故 ，
令 ， ，
当 时， ，
所以 在 上单调递减，且 ，
，
所以由零点存在定理可知，在区间 存在唯一的 ，使
又当 时， ；当 时， ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
又因为 ， ，
所以函数 在区间 上的最小值为 .
（2） 有 个零点，证明如下：
因为 ， ，
若 ， ，
所以 在区间 上单调递增，又 ， ，
结合零点存在定理可知， 在区间 有且仅有一个零点，
若 ，则 ，则 ，
若 ，因为 ，所以 ，
综上，函数 在 有且仅有一个零点.2．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知函数 ，其中a为实数.
(1)若 ，求函数 在区间 上的最小值；
(2)若函数 在 上存在两个极值点 ， ，且 .求证： .
【答案】(1)0
(2)证明见解析
【分析】利用导函数的判断函数的单调性即可求最小值.
先根据 ， 为函数 在 上存在两个极值点，可得 ， 为 的两根，可得 ，带
入后即证 ，再根据 ， 和 的关系，消元后只需要证明 即 ，结合
，即证.
【详解】（1）当 时， ， ， ，
令 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，故 ，
所以 ， 在 上单调递增，
所以当 时， 的最小值为 ．
（2）依题意， 在 上存在两个极值点 ， ，且 ．
所以 在R上有两个不等的实根 ， ，且 ．
令 ， ，
所以当 时， ，所以 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，
故函数 在 处取得最小值，
要使得 在R上有两个不同的零点，必须满足 得 ，
此时 ，故 ．因为 ， 是 的两个不等的实根，
所以 ，即
要证： ，即证： ，只要证： ．
下面首先证明： ．
要证： ，即证： ，
因 ， 在 上单调递增，
只要证： ，即证： ，
令 ， ，
则 ，
所以 在 上单调递减， ，即 ．
因为 ，所以 ．
所以 ，故 ．
要证： ，只要证： ，即证： ，
只要证： ，即证： ，
事实上， ， 显然成立，得证．
【点睛】方法点睛：
双变量问题常用解题策略：
1.变更主元，对于题目涉及到的两个变元，已知中一个变元在题设给定的范围内任意变动，求另一外变元
的取值范围问题，这类问题我们称之不“伪双变量”问题.这种“伪双变量”问题，往往会利用我们将字母
x作为自变量的误区来进行设计.此时，我们变更一元思路，将另一个变量作为自变量，从而使问题得以解
决，我们称这种方法为变更主元法.
2.指定主变量，有些问题虽然有两个变量，只要把其中一个当作常数，另一个看成自变量，便可使问题得
以解决，我们称这种思想方法为指定主变量思想.
3.整体代换，变量归一，通过等价转化，将关于,x的双变量问题等价转化为以x,x所表示的运算式作为整体
的单变量问题，通过整体代换为只有一个变量的函数式，从而使问题得到巧妙的解决，我们将这种解决问
题的思想称之为变量归一思想.
3．（2023·浙江·校联考二模）设 ，已知函数 有 个不同零点.(1)当 时，求函数 的最小值：
(2)求实数 的取值范围；
(3)设函数 的三个零点分别为 、 、 ，且 ，证明：存在唯一的实数 ，使得 、 、
成等差数列.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）当 时，利用导数分析函数 的单调性，即可求得函数 的最小值；
（2）利用导数分析函数 的单调性，结合零点存在定理可得出关于实数 的不等式组，即可解得 的
取值范围；
（3）分析出 ， ，对 的取值进行分类讨论，利用导数分析函数 的单调性与极值，可
得 ，结合零点存在定理以及已知条件可得出结论.
【详解】（1）解：当 时， ，则 ，
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，
所以， .
（2）解：因为 ，
则 ，
①当 时， 恒成立，
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，
此时函数 至多两个零点，不合乎题意；
②当 时，由 可得 或 ，列表如下：增 极大值 减 极小值 增
由题意可知， 有 个不同的零点，则 ，
又因为 ，
令 ，记 ，
则 ，其中 ，则 ，
当 时， ，此时函数 单调递增；
当 时， ，此时函数 单调递减.
所以， ，即 ，当且仅当 时，等号成立，，
故不等式组 的解集为 .
因为 ， ，
故当 时，函数 有 个不同的零点，
综上所述，实数 的取值范围是 .
（3）解：因为 ， ，结合（2）中的结论可知 ，
①当 时，若存在符合题意的实数 ，则由于 ，
因此， ， ，
因此， 、 、 成等差数列可得出 ，考虑 ，
即 ，这等价于 ，
令 ，
所以， ，
令 ，则 ，
当 时， ，则函数 单调递增，所以， ，故函数 单调递增，
因为 ， ，
所以， 在 上存在唯一零点，记为 ，
当 时， ，即函数 在 上单调递减，
当 时， ，即函数 在 上单调递增，
由于 ， ， ，
因此， 在 上无零点，在 上存在唯一的零点 ，
所以，存在唯一的实数 ，使得 、 、 成等差数列;
②当 时， ，不合乎题意.
综上所述，存在唯一的实数 使得 、 、 成等差数列.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图
象，然后将问题转化为函数图象与 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形
结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由 分离变量得出 ，将问题等价转化为直线 与函数 的
图象的交点问题.
4．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）已知函数 .
(1)求函数 在 上的最小值；
(2)证明：当 时， .
【答案】(1)当 时， ；当 时， ；当 时，
.
(2)见详解
【分析】(1)根据题意，求导，讨论函数 在 上的单调性，即可求解.(2)根据题意，先证 ，放缩得 ，化简后构造新函数，即可证明.
【详解】（1）由 ，得 ， ，
令 ，得 ，即 ，因此函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
①当 ，即 时，函数 在 上单调递减，因此
；
②当 时，函数 在 上单调递增，因此 ；
③当 ，即 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，因此
.
综上所述，当 时， ；当 时， ；当 时，
.
（2）证明：设 ， ，则 ，易得函数 在 上单调递减，在
上单调递增，因此 ，故 恒成立.
要证 ，只需证 ，
因为 ，所以 ，
故只需证 （因 时，左边小于右边，所以可以带等号），即 .
令 ，则 ，易得函数 在 上单调递减，在 上单调递增，因此
，故 .
因此当 时， .
【点睛】分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容.分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的
时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决
能力.
5．（2023·湖南岳阳·统考一模）已知函数 ， ， .(1)讨论函数 在区间 上的最大值；
(2)确定k的所有可能取值，使得存在 ，对任意的 ，恒有 .
【答案】(1)答案详见解析
(2)
【分析】（1）构造函数 ，求得 ，对 进行分类讨论，由此求得所求的最大值.
（2）对 进行分类讨论，化简不等式 ，利用构造函数法，结合导数来求得 的值.
【详解】（1） ， ，
则 ，
当 时， 对任意 恒成立，又 ，所以 恒成立，
所以 在 上递减，所以 的最大值为 .
当 时， 在区间 ， 递增；
在区间 递减.
所以 的最大值是 .
（2）由（1）知，当 时， 时， ；
当 时，对任意 ， ，
要使 成立，显然 .
当 时， ，
令 ，
则 ，
对于方程 ， ，
所以方程有两个不同的实数根 ， ，
由于 ，所以 ，
故在区间 ， 递增，
此时 ，即 ，所以满足题意的 不存在.
当 时，由（1）知，存在 ，使得对任意的 恒有 ，此时 ，
令 ，
，
对于方程 ， ，
所以方程两个不同的实数根 ，
，
由于 ，所以 ，
所以在区间 递增，
此时 即 ，
即 与 中较小者为 ，则当 时，恒有 ，
所以满足题意的 不存在.
当 时，由（1）知当 时， ，
令 ，
，
所以当 时， 递减，
所以在区间 上 ，
故当 时，恒有 ，此时任意实数 满足题意.
综上所述， .
【点睛】利用导数研究函数的最值，当导函数含有参数时，要注意对参数进行分类讨论，分类讨论要做到
不重不漏.当所要研究的函数含有绝对值时，可对绝对值内的式子的符号进行分类讨论，去绝对值，将式子
转化为没有绝对值的形式来进行研究.
6．（2023·江苏·二模）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的单调递增区间
(2)若函数 在 的最小值为 ，求 的最大值．
【答案】(1)单调递增区间为(2) ．
【分析】（1）求导并判断导数符号，进一步可得单调区间；
（2）求导，对 进行分类讨论，根据函数 在 的最小值为 ，求得 的取值范围，从而得到
的最大值．
【详解】（1）当 时， ，
则 ，
令 ， 在R上单调递增，
当 时， ，当 时， ，
即 在 上递减，在 上递增，
故 ，
所以 恒成立，仅当 时取等号，
即 的单调递增区间为
（2）
当 时， 时， ， 时， ，
则 在 取得最小值 ，符合题意；
当 时， 时， ， 时， ，
时， ，
因为 最小值为 ，所以 得 ，即 ；
当 时，由（1）可知 单调递增，则当 时 无最小值，不合题意；
当 时， 时， ， 时， ，
时， ，
则有 ，不合题意；
综上可得， 的最大值 ．
【点睛】难点点睛：本题考查了利用导数求函数的单调区间、利用导数根据函数最值求参数的最值，难点
在于根据最小值求参数时，要注意讨论a的取值，结合函数的单调性，得到相应的不等式，确定参数范围.考点 四 、 由函数最值求参数值或范围
1．（2022·全国·统考高考真题）当 时，函数 取得最大值 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根据题意可知 ， 即可解得 ，再根据 即可解出．
【详解】因为函数 定义域为 ，所以依题可知， ， ，而 ，所以
，即 ，所以 ，因此函数 在 上递增，在 上递减，
时取最大值，满足题意，即有 ．
故选：B.
1．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）若函数 在区间 上存在最小值，则整
数 的取值可以是 ．
【答案】 （答案不唯一， 、 均可）
【分析】利用导数分析函数 的单调性与极值，作出图形，求出使得 的 的值，根
据函数 在区间 上有最小值可得出关于实数 的不等式组，解之即可.
【详解】因为 ，则 .
由 可得 ，由 可得 或 ，
所以，函数 的减区间为 ，增区间为 、 ，所以，函数 的极大值为 ，极小值为 ，
令 ，其中 ，则 ，解得 ，
因为函数 在区间 上存在最小值，则 ，解得 ，
所以，整数 的取值集合为 .
故答案为： （答案不唯一， 、 均可）.
2．（2023·广东广州·广州六中校考三模）已知 与 有相同的最小值.
(1)求实数 的值；
(2)已知 ，函数 有两个零点 ，求证： .
【答案】(1)1
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数求得 和 的最小值，由它们相等可得参数 的值；
（2）由 有零点得 ，不妨令 ，利用导数得出 ，令
，证明 ，从而证得 ，令 ，证明
，从而证明 ，再由不等式得证结论成立．
【详解】（1） ，则 ，
若 单调递减，若 单调递增．
.
，
若 ，则 无最小值， .
若 单调递减，若 单调递增，
， ， ，
，
令 ，则 ，
在 上单调递增.又 ，
；
（2） ，
，
，则 ，
时， ， 时， ，
在 上单调递减， 上单调递增，
不妨令 ，则 ，
①令 ，
单调递增， ，
∴ ， ，
，
，
②令 ，
单调递增， ，
， ，由上 知 ，
，
，
，
．
【点睛】难点点睛：利用导数证明与函数 的两个零点 有关的不等式，常用方法是利用
得出 之间的关系，从而达到消元的目的，化二元为一元，然后利用一元函数进行证明．
本题难点在于对两个零点分别进行处理，为此需要引入两个函数 和
，利用它们分别证明 和 ，然后由不等式的性质得出结论．这种
方法的掌握需要平时多多积累．【基础过关】
一、多选题
1．（2023·河北石家庄·统考三模）设函数 的定义域为 是 的极大值点，以下结论一
定正确的是（ ）
A． B． 是 的极大值点
C． 是 的极小值点 D． 是 的极大值点
【答案】BC
【分析】根据极值的定义结合函数的对称性进行判断即可.
【详解】 是 的极大值点．则存在区间 ， ，对任意 有 ， 不一
定是最大值，A错误；
的图象与 的图象关于 轴对称，因此 ，对任意 有 ，
是 的极大值点，B正确；
的图象与 的图象关于 轴对称，因此对任意 有 ，C正确；
由BC的推理可知 是 的极小值点，D错误．
故选：BC．
2．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）设函数 ，则（ ）
A． 是奇函数
B．当 时， 有最小值2
C． 在区间 上单调递减
D． 有两个极值点
【答案】BCD
【分析】对A：根据奇偶性定义判断；对B：使用基本不等式求解；对C：根据 的单调性及平移判断；
对D：用导数结合偶函数判断.
【详解】 ，
对A：定义域为 ，且 ，故 是偶函数，故A错误；
对B：当 时， ，当 时，取得最小值，故B正确；
对C：当 时， ， ，当 时， ，故 在 上为减函数，
而 可以由 向右平移1个单位得到，故 在区间 上单调递减，故C正确；
对D：当 时， ，
当 时， ，故 在 上为减函数，当 时， ，故 在 上
为增函数，
故 为极小值点，且当 时只有一个极小值点，
因为 是偶函数，所以 有两个极值点，故D正确.
故选：BCD
二、填空题
3．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知实数 成等比数列，且函数
，当 时取到极大值 ，则 等于 .
【答案】
【分析】通过导函数，求出极值，再利用等比数列的性质，即可求解.
【详解】令 ，
则函数 的定义域为 ，导函数 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
所以当 时，函数 取极大值，极大值为 ，
所以 ，故 ，
又 成等比数列，所以 ，
故答案为： .
三、解答题
4．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知函数 在 处取得极
值-14.
(1)求a，b的值；
(2)求曲线 在点 处的切线方程；
(3)求函数 在 上的最值.
【答案】(1)(2)
(3)函数 在 上的最小值为 ，最大值为 .
【分析】(1)求导，利用在 处的导数值为0，并且 ，解之检验即可求解；
(2)结合（1）的结果，求出函数在 处的导数值，利用导数的几何意义，代入即可求解；
(3) 结合（1）的结果，列出在 时，随 的变化， 的变化情况，进而即可求解.
【详解】（1）因为函数 ，所以 ，
又函数 在 处取得极值 .
则有 ，即 ，解得： ，
经检验， 时，符合题意，故 .
（2）由（1）知：函数 ，则 ，
所以 ，又因为 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，
也即 .
（3）由（1）知：函数 ，则 ，
令 ，解得： ，
在 时，随 的变化， 的变化情况如下表所示：
单调递
单调递增 单调递减
减
由表可知：当 时，函数 有极小值 ；
当 时，函数 有极大值 ；
因为 ， ，
故函数 在 上的最小值为 ，最大值为 .
5．（2023·浙江温州·统考二模）已知函数 ， .
（1）若 在 处的切线与 也相切，求 的值；
（2）若 ，求函数 的最大值.【答案】（1） （2）
【分析】（1）根据导函数的函数值等于原函数的图象在该点处的切线的斜率求出切线方程，得 的最
小值，从而可得 ；
（2）对函数求导,由导数的正负确定函数的单调性，进而求得最值.
【详解】（1） ，
则 ，又 ，
∴函数 在 处的切线方程为 .
∵函数 在 处的切线与 也相切，
∴ ，∴ .
（2）由题得 ，
∴
，
∴当 时， ，当 时， ，
∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ .
【点睛】本题考查导数的几何意义，用导数求函数的最值．掌握导数与单调性的关系是解题关键．
6．（2023·江苏常州·常州市第三中学校考模拟预测）设函数 ．
（1）当 时，求函数 的最大值；
（2）当 ， ，方程 有唯一实数解，求正数 的值．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）先写解析式，利用导数判断函数函数单调性并求最值即可；（2）先写解析式代入方程，把方程有解问题转化成构造函数的零点问题，研究其导数、最值情况，构建
关系求解参数即可.
【详解】解：（1）依题意，知 的定义域为 ，
当 时， ，
令 ，解得 ．（∵ ），
当 时， ，此时 单调递增；
当 时， ，此时 单调递减．
所以 的极大值为 ，此即为最大值；
（2）由 ， ，得
因为方程 有唯一实数解，所以 有唯一实数解，
设 ，则 ，
令 ，即 ．
因为 ， ，
所以 （舍去）， ，
当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 单调递增，
当 时， ， 取最小值 ．
因为 有唯一解，所以 ，
则 ，即 ．
所以 ，
因为 ，所以 （*）
设函数 ，
易见当 时， 是增函数，所以 至多有一解．
因为 ，所以方程（*）的解为 ，
即 ，解得 ．【点睛】本题考查了函数导数与函数的单调性、最值和零点问题，属于中档题.
7．（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知函数
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)当 时， 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)极小值为 ，无极大值
(2)
【分析】（1）首先求函数的导数，判断导数的单调性，根据导数的零点，判断函数的单调性，即可求解
函数的极值；
（2）由不等式参变分离为 在 恒成立，构造函数后，利用导数求函数的最值，即可求参
数的取值范围.
【详解】（1）当 时， ，
则 在 上单调递增，因为 ，
所以 ， ， 单调递减，
， ， 单调递增，
所以函数 的极小值为 ，无极大值.
（2）令 ，则 即 ，因为
即 在 时恒成立，
令 ，
，故 单调递增，
所以 ，故 ．
8．（2023·辽宁丹东·统考二模）已知 为函数 的极值点．
(1)求 ；
(2)证明：当 时， ．
【答案】(1)
(2)证明见解析【分析】（1）求出函数的导函数，依题意 ，即可求出 的值，再检验即可；
（2）设 ，求出函数的导函数，即可得到 ，再由零点存在性定理得到存
在唯一 ，使 ，即可得到 的单调性，再结合特殊值，即可证明.
【详解】（1） 定义域为 ， ，
由 ，解得 ，
若 时 ，则 ，
当 时， ，即 在 上单调递增；
当 时， ，即 在 上单调递减，
所以 在 处取得极大值，符合题意，因此 ．
（2）设 ，则 ，又 ，
因为 ， ，所以存在唯一 ，使 ，
且当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减．
由 得 ，所以 ，
因此当 时， ，而 ，
于是当 时， ．
9．（2023·福建·统考模拟预测）已知函数 ．
(1)求 的单调区间和极值；
(2)若 有零点，求 的最小值．【答案】(1)单调区间见解析，极小值为 ；
(2)
【分析】（1）利用函数的单调性和极值求解即可；
（2） 有零点，则 ，
，根据函数的单调性求出 的最小值．
【详解】（1） ，
故在 上， ， 为减函数；在 上， ， 为减函数；
在 上， ， 为增函数．当 时， 有极小值为 ；
（2）对 ， ， ， ， ，
则 ，故取 ， ，
则 ，
设 为 零点，则 ，
则 ， ，
令 ，由定义域 ，
设 ，由（1）知：仅当 时， 取最小值为 ，
的最小值为 ，仅当 ， 时成立．
10．（2023·山东淄博·山东省淄博实验中学校考三模）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求 在区间 上的最大值；
(3)设实数 使得 对 恒成立，写出 的最大整数值，并说明理由.
【答案】(1)
(2)(3) ，理由见解析
【分析】（1）求出函数在 处的导数，即切线斜率，求出 ，即可得出切线方程；
（2）求出函数在区间 上的单调性，求出最值即可；
（3）将不等式等价转化为 在 上恒成立.构造函数 ，利用导数求出函数的
单调性和最小值，进而得证.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，则 ，又 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
（2）令 ，
则 ，当 时， ， 在 上单调递增.
因为 ， ，
所以 ，使得 .
所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
又 ， ，
所以 .
（3）满足条件的 的最大整数值为 .
理由如下：
不等式 恒成立等价于 恒成立.
令 ，
当 时， ，所以 恒成立.
当 时，令 ， ， ，
与 的情况如下：
1所以 ，
当 趋近正无穷大时， ，且 无限趋近于0，
所以 的值域为 ，
因为 ，所以 的最小值小于 且大于 .
所以 的最大整数值为 .
【能力提升】
1．（2023·重庆万州·统考模拟预测）已知函数 ．
(1)讨论 的极值；
(2)当 时，关于x的不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求出 的导函数，再对 分类讨论，求出 的单调性，进而可得极值；
（2）可转化为 在 上恒成立，令 ，则
在 上恒成立，对 求导，对 分类讨论，求出使 恒成立的 的范围即可．
【详解】（1） ，
若 ，则 ，则 在 上单调递减，无极值；
若 ，当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，所以
，无极大值；
若 ，当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，所以，无极小值；
综上所述，若 ， 无极值；
若 ， ，无极大值；
若 ， ，无极小值；
（2） 时， ，所以有 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
令 ，转化为 在 上恒成立，
，
当 时 ，所以 在 上单调递增， ，
满足题意；
当 时，令 ， ，
则 ，设 ， ，
则 ，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 在 上单调递增，
所以 ，即 在 上恒成立，
所以 即 在 上单调递增，
又因为 ，
当 即 时， ，在 上恒成立，所以 在 上单调递增，所以
在 上恒成立，
当 时， ，
如果 在 上恒成立，则 在 上单调递减，则 无最小值，不符合题意；
如果 有解时，设 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，则在时， ，不符合题意；
综上所述， ，即实数 的取值范围是 ．
【点睛】方法点睛：本题主要考查利用函数的导数解不等式恒成立的问题，解决此类问题的一般方法是：
（1）分离参数将原不等式恒成立问题转化为函数的最值问题；
（2）构造新函数，利用导数研究函数的单调性与最值；
（3）得出参数的取值范围．
2．（2023·重庆万州·重庆市万州第三中学校考模拟预测）已知函数 .
(1)若 在区间 上有极小值，求实数 的取值范围；
(2)求证： .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1） ， 在 上单调递增，由题意 且 ，解不等式实
数 的取值范围；
（2）不等式 等价于 ，通过构造函数利用导数研究单调性证明不等式.
【详解】（1）函数 ，定义域为 ，
， 在 上单调递增，
若 在区间 上有极小值，则有 ，解得 .
故实数 的取值范围为 .
（2） ，即 ，由 ，可化简得 ，
要证 ，即证 .
设 ， ，
由 ，则有 ，得 ，即 ，
函数 在 上单调递减，
时 ， 时 ，则 ， ，此时 ，
则 时 ， 时 ，
在 上单调递增，在 上单调递减，
，
函数 在 上单调递减， ，
故 ，即 .
设 ，
， 解得 ， 解得 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
，
由 ，得 ，则有 ，即
故 ，即有 .
所以 ，即 .
【点睛】方法点睛：
1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．
注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问
题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨
论和数形结合思想的应用.
3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这
种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
3．（2023·全国·模拟预测）已知函数 ， ．
(1)讨论函数 的最值；
(2)若函数 有两个极值点，求实数a的取值范围．【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论得到导数的符号后可得函数的单调性和最值；
（2）将题意转化为函数 有两个变号零点，对 求导，分类讨论 和 ， 的单
调性与最值，只要 即可.
【详解】（1）函数 的定义域为 ， ，
当 时， ， 在 上单调递增，无最值；
当 时，令 ，得 ，所以 在 上单调递减；
令 ，得 ，所以 在 单调递增，
所以 的最小值为 ，无最大值．
综上，当 时， 无最值；当 时， 的最小值为 ，无最大值．
（2）由题， ，定义域为 ，
所以 ．
因为 有两个极值点，所以 有两个变号零点．
令 ，则 ，易知函数 在 上单调递增，
则函数 有两个变号零点可转化为函数 有两个变号零点．
，
当 时， ，得 ，所以 在 上单调递减．
当 时，令 ，所以 在 上单调递增．
所以 ．
要使 有两个变号零点，需 ，解得 ．
当 时， ， ，
所以 在 和 上各有一个变号零点，符合题意．
综上，实数a的取值范围为 ．
【点睛】方法点睛：函数由极值、极值点求参数的取值范围的常用方法与策略：
（1）分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解法为从中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不
等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
（2）分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通常解
法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题
意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.
4．（2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测）已知函数 ，其中 .
(1)若 时， 有极值 ，求 的值；
(2)设 ，讨论 的零点个数.
【答案】(1) ，
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意，求导得 ，然后由条件列出方程，即可得到结果.
（2）方法一：根据题意，分 与 ，结合零点存在定理，分情况讨论即可；
方法二：根据题意，将函数零点转化为方程的根，再由导数研究其单调性与极值，即可得到结果.
【详解】（1） .
由题意得 且 ，即 ，联立解得 ， .经
检验，符合题意.
（2）方法一： 定义域是 .由条件知， .
当 时， 单调递增；当 时， 单调递减.
故 是 的极大值点，且极大值为 .
当 时， ，此时 有一个零点.
当 时， .记 ，则 .取 ，则 ，
，
根据零点存在定理，当 时，存在一个零点.取 ，则 .
由零点存在定理可知，当 时，存在一个零点，
此时 有两个零点.
综上所述，当 时， 只有一个零点；当 时， 有两个零点.
方法二：由题意，函数 的零点即方程 的根，即方程 的根，
即 的根，记 ，：
由 ，得到 ，
当 时， 单调递增， 时， 单调递减，
又 ，因为 ，当 趋向正无穷时， 趋向负无穷，
且 的最大值为 ，
综上所述，当 时， 只有一个零点；当 时， 有两个零点.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式
恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的单调性，
极（最）值问题处理.
5．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）已知函数 .
(1)若 的极大值为3，求实数 的值；
(2)若 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）当 ，对 求导，得出 的单调性和极大值，即可得出答案.
（2）由题意整理可得 ，利用换元法，令 ，则 ，令
，利用导数求出 的最小值，求解即可得出答案.【详解】（1）因为 ，由 ，得 ，即 的定义域为 .
因为 ，
所以 ，
因为 ，
所以当 时， ，
当 时， ，所以当 时，
在 上单调递增，在 上单调递减.
所以当 时， 取得极大值 ，
解得 .
（2）当 时， ，
即 ，所以 .
令 ，则 ，
令 ，则 ，所以当 时， ，
当 时， ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，又 ，所以 ，
所以实数 的取值范围是 .
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键点在于把恒成立问题通过分离参数转化为新函数的最值问题，转
化后利用导数判断出其定义域上的单调性求出值域或最值问题就解决了.
6．（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知函数 ，其中 .
(1)讨论函数 极值点的个数；(2)对任意的 ，都有 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导后，将问题转化为 与 交点情况的讨论问题，利用导数可求得
的单调性和极值，进而确定 图象，采用数形结合的方式可求得结果；
（2）将恒成立的不等式转化为 ，构造函数 ，利用导数可证得 ，
由此得到 ，进而确定 的取值范围.
【详解】（1）由题意知： 定义域为 ， ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ，当 时， 恒成立，
大致图象如下图所示，
则当 时， 恒成立，即 恒成立，
在 上单调递减，无极值点；
当 时， 与 有两个不同交点，
此时 有两个变号零点， 有两个极值点；
当 时， 与 有且仅有一个交点，
此时 有且仅有一个变号零点， 有且仅有一个极值点；
综上所述：当 时， 无极值点；当 时， 有两个极值点；当 时， 有且
仅有一个极值点.
（2）由题意知：当 时， 恒成立；设 ，则 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增， ，
即 ， ，
又 恒成立， ，即实数 的取值范围为 .
【点睛】关键点点睛：本题对于含参函数极值点的讨论的解题关键是能够将问题转化为导函数零点个数的
讨论，通过参变分离的方式进一步将问题转化为曲线与直线交点个数的问题，从而采用数形结合的方式来
进行求解.
7．（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）已知函数 ， ．
(1)当 时，求函数 的最小值；
(2)当 时，不等式 恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用导数研究 的单调性求最值；
（2）令 ，问题化为 恒成立，利用导数研究 单调性，讨论参数a及定义
域判断 符号，即可求范围.
【详解】（1）由题意 ， ，
令 ，则 ，当 时 ，当 时 ．
所以 ．
（2）由 ，
所以 ，
记 ，即 恒成立，且 ，
当 时，当 ，令 ，则 ，
所以 在 单调递增，且 ， ，（令 且 ，则 ，故 在 上递增，则 ，所以 ，以
上 成立），
故存在唯一 ，使得 ，
当 时 ， 递减，所以 ，此时 ，不合题意．
当 时，（ⅰ）若 ，由上知 ，则 递增，
（令 且 ，则 ，故 在 上递增，则 ，所以 ，
以上 成立），
所以 恒成立，即 成立，符合题意．
（ⅱ） ，若 ，则 单调递增，
， ，所以存在唯一 使 ，
当 时 ， 递减，当 时 ， 递增，
又 ， ，故存在唯一 ，使 ，
故 时 ， 递增， 时 ， 递减，
又 ， ，
所以 时 ，则 递增，故 ，即 恒成立．
综上， .
【点睛】关键点点睛：第二问，注意构造中间函数研究单调性并确定零点，进而判断 的符号求参数范
围.
8．（2023·江苏淮安·江苏省郑梁梅高级中学校考模拟预测）已知函数 ， .
(1)若 ，证明： ；
(2)若函数 最大值为 ，求实数a的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)【分析】（1）由 ，可得 ， ，要证明 ，需要证
，构造函数 ， 求最小值即可；
（2）通过分类讨论求函数单调性，得知当 ， 时，函数 取得极大值，代入原函数进行
求解即可.
【详解】（1）证明：若 ，则 ， .
要证明 ，需要证 ，
令 ，
由 ，
∴ 在 上单调递增， ， ，
即 ，
所以原不等式得证.
（2） ，
令 ，
所以 ，
由题知函数 的定义域为 且 ，∴ .
若 ， ，则 ，函数 在 上单调递减， ，则 ，函数
在 上单调递减，无最大值，舍去.
若 ，令 ，解得 ， ，
∴函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
时，函数 取得极大值， ，
， ，
∴在 内存在唯一零点 ，满足 ，
且函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
∴ 的极大值为 即为最大值， ，∴ ，∴ ，解得 .
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，可查了计算能力，转化思想和分类讨论的能力，本题的
关键点有一下几点：
（1）构造法证明不等式，把问题转化为求函数最值；
（2）含参讨论问题，利用讨论结果求最值进而求值.
9．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 在 上的极值；
(2)用 表示 中的最大值，记函数 ，讨论函数 在 上
的零点个数．
【答案】(1)极大值为 ，极小值
(2)答案见解析
【分析】（1）求导，得到函数的单调性和极值情况；
（2）分 ， 和 ，结合 ，对 进行分类讨论，求出零点个数.
【详解】（1）当 时， ，
由 ，得 或 ，则 和 随 的变化如下表所示：
0
+ 0 - 0 + 0 -
极
极小 极大
大
∴ 在 上有2个极大值： 在 上有1个极小值 ．
（2）由 ，知 ．
（ⅰ）当 时， ，
∴ ，故 在 上无零点．
（ⅱ）当 时， ．
故当 时，即 时， 是 的零点；当 时，即 时， 不是 的零点．
（ⅲ）当 时， ．故 在 的零点就是 在 的零点，
．
①当 时， ，故 时， 在 是减函数，
结合 ， 可知， 在 有一个零点，
故 在 上有1个零点．
②当 时， ，故 时， 在 是增函数，
结合 可知， 在 无零点，故 在 上无零点．
③当 时， ，使得 时， 在 是增函数；
时， 在 是减函数；
由 知， ．
当 ，即 时， 在 上无零点，故 在 上无零点．
当 ，即 时， 在 上有1个零点，故 在 上有1个零点．
综上所述， 时， 有2个零点； 时， 有1个零点； 时， 无零点
【点睛】导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零
点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是
通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问
题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要
思考的地方
10．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数 和 在同一处取得相同的最大值．
(1)求实数a；
(2)设直线 与两条曲线 和 共有四个不同的交点，其横坐标分别为 （
），证明： ．
【答案】(1)
(2)证明见详解
【分析】（1）利用导数分别求 的最值点，列式求解即可；（2）构建 ，利用同构思想分析 的大小关系，进而可得直线 与曲线
和 的交点，再结合 的单调性分析即可证出.
【详解】（1）由题意可得： ，显然 ，
当 时，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
可得 在 处取到最大值 ；
当 时，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
可得 在 处取到最小值 ，不合题意；
综上所述： ， 在 处取到最大值 .
因为 的定义域为 ，且 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
可得 在 处取到最大值 ；
由题意可得： ，解得 .
（2）由（1）可得： 在 上单调递减，在 上单调递增，在 处取到最大值
，
且当x趋近于 时， 趋近于 ，当x趋近于 时， 趋近于 ，
可得直线 与曲线 至多有两个交点；
在 上单调递增，在 上单调递减，在 处取到最大值 ，
且当x趋近于 时， 趋近于 ，当x趋近于 时， 趋近于 ，
可得直线 与曲线 至多有两个交点；
若直线 与两条曲线 和 共有四个不同的交点，则 ，此时直线 与曲线 、 均有两个交点，
构建 ，
构建 ，且 ，则 ，
可得 在 上单调递减，在 上单调递增，在 处取到最大值 ，
构建 ，则 ，
因为 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
可得 ，
即 ，当且仅当 时，等号成立，
可得：当 时， ，则 ，
所以 ；
当 时， ，且 在 上单调递增，
则 ，可得 ，
所以 ；
当 时， ，且 在 上单调递减，
则 ，可得 ，
所以 ；
综上所述：当 时， ；
当 时， ；
当 时， .
结合题意可得：直线 与曲线 的两个交点横坐标为 ， 与 的两个交点横坐标为 ，且 ，
当 ，可得 ，即 ，
可得 ，即 ，
因为 在 上单调递增，且 ，
则 ，可得
所以 ；
当 ，可得 ，即 ，
可得 ，即 ，
因为 在 上单调递增，且 ，
则 ，可得 ，
所以 ；
综上所述： ，即 .
【点睛】结论点睛：指对同构的常见形式：
积型： ，
① ，构建 ；
② ，构建 ；
③ ，构建 .
商型： ，
① ，构建 ；
② ，构建 ；
③ ，构建 .
和型： ，
① ，构建 ；
② ，构建 .【真题感知】
一、单选题
1．（2021·全国·统考高考真题）设 ，若 为函数 的极大值点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否变号，结合极大值点的性质，对 进行分
类讨论，画出 图象，即可得到 所满足的关系，由此确定正确选项.
【详解】若 ，则 为单调函数，无极值点，不符合题意，故 .
有 和 两个不同零点，且在 左右附近是不变号，在 左右附近是变号的.依题意，
为函数 的极大值点， 在 左右附近都是小于零的.
当 时，由 ， ，画出 的图象如下图所示：
由图可知 ， ，故 .
当 时，由 时， ，画出 的图象如下图所示：
由图可知 ， ，故 .
综上所述， 成立.
故选：D
【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.二、多选题
2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点 B． 有三个零点
C．点 是曲线 的对称中心 D．直线 是曲线 的切线
【答案】AC
【分析】利用极值点的定义可判断A，结合 的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数
的几何意义判断D.
【详解】由题， ，令 得 或 ，
令 得 ，
所以 在 ， 上单调递增， 上单调递减，所以 是极值点，故A正
确；
因 ， ， ，
所以，函数 在 上有一个零点，
当 时， ，即函数 在 上无零点，
综上所述，函数 有一个零点，故B错误；
令 ，该函数的定义域为 ， ，
则 是奇函数， 是 的对称中心，
将 的图象向上移动一个单位得到 的图象，
所以点 是曲线 的对称中心，故C正确；
令 ，可得 ，又 ，
当切点为 时，切线方程为 ，当切点为 时，切线方程为 ，故D错误.
故选：AC.
三、填空题
3．（2021·全国·统考高考真题）函数 的最小值为 .
【答案】1【分析】由解析式知 定义域为 ，讨论 、 、 ，并结合导数研究的单调性，
即可求 最小值.
【详解】由题设知： 定义域为 ，
∴当 时， ，此时 单调递减；
当 时， ，有 ，此时 单调递减；
当 时， ，有 ，此时 单调递增；
又 在各分段的界点处连续，
∴综上有： 时， 单调递减， 时， 单调递增；
∴
故答案为：1.
四、解答题
4．（2023·全国·统考高考真题）（1）证明：当 时， ；
（2）已知函数 ，若 是 的极大值点，求a的取值范围．
【答案】（1）证明见详解（2）
【分析】（1）分别构建 ， ，求导，利用导数判断原函
数的单调性，进而可得结果；
（2）根据题意结合偶函数的性质可知只需要研究 在 上的单调性，求导，分类讨论 和
，结合（1）中的结论放缩，根据极大值的定义分析求解.
【详解】（1）构建 ，则 对 恒成立，
则 在 上单调递增，可得 ，
所以 ；
构建 ，
则 ，
构建 ，则 对 恒成立，
则 在 上单调递增，可得 ，
即 对 恒成立，
则 在 上单调递增，可得 ，所以 ；
综上所述： .
（2）令 ，解得 ，即函数 的定义域为 ，
若 ，则 ，
因为 在定义域内单调递减， 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 是 的极小值点，不合题意，所以 .
当 时，令
因为 ，
且 ，
所以函数 在定义域内为偶函数，
由题意可得： ，
（i）当 时，取 ， ，则 ，
由（1）可得 ，
且 ，
所以 ，
即当 时， ，则 在 上单调递增，
结合偶函数的对称性可知： 在 上单调递减，
所以 是 的极小值点，不合题意；
（ⅱ）当 时，取 ，则 ，
由（1）可得 ，
构建 ，
则 ，且 ，则 对 恒成立，
可知 在 上单调递增，且 ，
所以 在 内存在唯一的零点 ，
当 时，则 ，且 ，
则 ，
即当 时， ，则 在 上单调递减，
结合偶函数的对称性可知： 在 上单调递增，
所以 是 的极大值点，符合题意；
综上所述： ，即 ，解得 或 ，
故a的取值范围为 .
【点睛】关键点睛：
1.当 时，利用 ，换元放缩；
2.当 时，利用 ，换元放缩.
5．（2021·北京·统考高考真题）已知函数 ．
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 在 处取得极值，求 的单调区间，以及其最大值与最小值．
【答案】（1） ；（2）函数 的增区间为 、 ，单调递减区间为 ，最
大值为 ，最小值为 .
【分析】（1）求出 、 的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）由 可求得实数 的值，然后利用导数分析函数 的单调性与极值，由此可得出结果.
【详解】（1）当 时， ，则 ， ， ，
此时，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ；
（2）因为 ，则 ，由题意可得 ，解得 ，
故 ， ，列表如下：
极大
增 减 极小值 增
值
所以，函数 的增区间为 、 ，单调递减区间为 .
当 时， ；当 时， .
所以， ， .
6．（2021·天津·统考高考真题）已知 ，函数 ．
（I）求曲线 在点 处的切线方程：
（II）证明 存在唯一的极值点
（III）若存在a，使得 对任意 成立，求实数b的取值范围．
【答案】（I） ；（II）证明见解析；（III）
【分析】（I）求出 在 处的导数，即切线斜率，求出 ，即可求出切线方程；
（II）令 ，可得 ，则可化为证明 与 仅有一个交点，利用导数求出
的变化情况，数形结合即可求解；
（III）令 ，题目等价于存在 ，使得 ，即 ，利用导
数即可求出 的最小值.
【详解】（I） ，则 ，
又 ，则切线方程为 ；
（II）令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
当 时， ， ，当 时， ，画出 大致图像如下：所以当 时， 与 仅有一个交点，令 ，则 ，且 ，
当 时， ，则 ， 单调递增，
当 时， ，则 ， 单调递减，
为 的极大值点，故 存在唯一的极值点；
（III）由（II）知 ，此时 ，
所以 ，
令 ，
若存在a，使得 对任意 成立，等价于存在 ，使得 ，即 ，
， ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 ，故 ，
所以实数b的取值范围 .
【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明 与 仅有一个交点；第三问解题的关键是
转化为存在 ，使得 ，即 .
