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专题06 函数的切线问题及其应用
目录
一、在某点处的切线..................................................1
二、过某点的切线....................................................3
三、切线条数问题....................................................6
四、公切线问题.....................................................10
一、在某点处的切线
1．（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知函数
，则曲线
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求出切点坐标，切点处的导数值，然后写出点斜式即可得到切线方程.
【详解】
，切点为
，
，
所以切线方程为
，即
故选：B
2．（2023·西藏林芝·校考模拟预测）曲线
在点
处的切线方程为 .
【答案】
【分析】直接利用导函数求出切线斜率即可.
1
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【详解】
，则
，则
，
由点斜式可得切线方程为：
，整理可得：
.
故答案为：
.
3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若函数
为定义在
上的奇函
数，则曲线
在点
处的切线方程为 ．
【答案】
【分析】先根据奇函数的性质求出
，进而根据导数的几何意义求解即可.
【详解】因为函数
为定义在
上的奇函数，
所以
，即
，
此时
，
，
所以
，即函数
为奇函数，符合题意，
所以
，
所以
，
所以
，
即曲线
在点
处的切线斜率为
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，即
.
故答案为：
.
4．（2023·广东梅州·大埔县虎山中学校考模拟预测）已知函数
为定义在R 上的偶函数，且当
时，
，则函数
在
处的切线斜率为 .
【答案】
/
【分析】求导，代入
得
，即可由偶函数的对称性求解.
【详解】
，
，
.
函数
为定义在R 上的偶函数，
函数
在
处的切线斜率与函数
在
处的切线斜率互为相反数，
.
2
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故答案为：
5．（2023·湖南·校联考模拟预测）若函数
是奇函数，则曲线
在点
处的切线方程为 ．
【答案】
【分析】首先根据函数是奇函数，求
的值，再利用导数的几何意义求切线方程.
【详解】因为
是奇函数，
所以
对
恒成立，
即
对
恒成立，
所以
，则
，故
，所以
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
，
化简得
.
故答案为：
6．（2023·四川·校联考模拟预测）已知函数
，若曲线
在点
处的切
线与直线
平行，则
.
【答案】
【分析】根据求导公式和导数的几何意义即可求解.
【详解】由题意知
，
所以曲线
在
处的切线斜率
，
所以
，
解得
，
故答案为：.
二、过某点的切线
1．（2023·北京东城·统考一模）过坐标原点作曲线
的切线，则切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
3
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【分析】设切点坐标为
，求得切线方程为
，把原点
代入方程，得到
，解得
，即可求得切线方程.
【详解】由函数
，可得
，
设切点坐标为
，可得切线方程为
，
把原点
代入方程，可得
，即
，
解得
，所以切线方程为
，即
.
故选：A.
2．（2023·四川成都·成都实外校考模拟预测）若直线
为曲线
的一条切线，则实数k 的值是
（ ）
A．e
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据导数的几何意义得出实数k 的值.
【详解】设直线
与曲线
相切于点
，函数
的导函数为
，
则
，解得
.
故选：C
3．（2023·海南海口·校联考模拟预测）过
轴上一点
作曲线
的切线，若这样的切线
不存在，则整数的一个可能值为 ．
【答案】
，
，
，只需写出一个答案即可
【分析】设切点为
，利用导数求切线方程，代入一点
，关于
的方程没有实数解，
由判别式解不等式求整数的值.
【详解】设切点为
，因为
，所以切线方程为
．
因为切线经过点
，所以
，
由题意关于
的方程
没有实数解，
则
，解得
．
因为为整数，所以的取值可能是
，
，
.
故答案为：
，
，
，只需写出一个答案即可
4
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4．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）过点
作曲线
的切线，写出一条切线方程： .
【答案】
或
（写出一条即可）
【分析】设切点坐标，利用导数的几何意义表示出切线方程，将
代入求得切点坐标，即可得切线
方程.
【详解】由
可得
，
设过点
作曲线
的切线的切点为
，则
，
则该切线方程为
，
将
代入得
，解得
或
，
故切点坐标为
或
，
故切线方程为
或
，
故答案为：
或
5．（2023·全国·模拟预测）已知函数
，其导函数为
，则曲线
过点
的切线方程为 ．
【答案】
或
【分析】设切点为
，对函数进行求导，且代入
可得
，故可由点斜式得到切线方
程，将
代入即可求得
或
，即可求得切线方程
【详解】设切点为
，由
，得
，
∴
，得
，∴
，
，
∴切点
为
，
，
∴曲线
在点M 处的切线方程为
①，
又∵该切线过点
，∴
，解得
或
．
将
代入①得切线方程为
；
将
代入①得切线方程为
，即
．
∴曲线
过点
的切线方程为
或
．
5
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故答案为：
或
6．（2023·山东德州·统考一模）过点
与曲线
相切的直线方程为 ．
【答案】
【分析】由导数的几何意义得出切线方程
，进而由切点的位置得出
，从而得
出切线方程.
【详解】设切点坐标为
，
，
.
则切线方程为
，因为
在切线上，
所以
，即
又
，所以
，
令
，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，
所以方程
只有唯一解为
.
即切点坐标为
，故所求切线方程为
，即
.
故答案为：
三、切线条数问题
1．（2023·湖南·校联考二模）若经过点
可以且仅可以作曲线
的一条切线，则下列选项正确的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
或
【答案】D
【分析】设出切点
，利用导数的几何意义写出切线，由切线经过
可得出一个方程，根据题
意切线只有一条，也就是转化成关于
的方程只有一个解的问题.
【详解】设切点
．因为
，所以
，
所以点
处的切线方程为
，
6
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又因为切线经过点
，所以
，即
.
令
，则
与
有且仅有1 个交点，
，
当
时，
恒成立，所以
单调递增，显然
时，
，于是符合题意；
当
时，当
时，
，
递减，当
时，
，
递增，所以
，
则
，即
．
综上，
或
．
故选：D
2．（2023·广西玉林·统考模拟预测）若曲线
有三条过点
的切线，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据导数的几何意义求出过点
的切线方程为
，利用方程的解个数与函数图象交点个数
的关系将问题转化为
图象与直线
在R 上有3 个交点，结合导数求出函数
的极值，根据
数形结合的思想即可求解.
【详解】设该切线的切点为
，则切线的斜率为
，
所以切线方程为
，
又切线过点
，则
，整理得
.
要使过点
的切线有3 条，需方程
有3 个不同的解，
即函数
图象与直线
在R 上有3 个交点，
设
，则
，
令
，令
或
，
所以函数
在
上单调递增，在
和
上单调递减，
7
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且极小值、极大值分别为
，如图，
由图可知，当
时，函数
图象与直线
在R 上有3 个交点，
即过点
的切线有3 条.
所以实数a 的取值范围为
.
故选：B.
3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若过点
可作曲线
的两条切线，则点
可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设切点坐标为
，利用导数写出切线方程，将点
的坐标代入切线方程，可得出关于
的二次方程有两个不等的实根，可得出
，可得出
，然后逐项检验可得出合适的选项.
【详解】设切点坐标为
，对函数
求导可得
，
所以，切线斜率为
，
所以，曲线
在点
处的切线方程为
，
即
，
将点
的坐标代入切线方程可得
，即
，
因为过点
可作曲线
的两条切线，则关于的方程
有两个不等的实数解，
所以，
，即
，即
，
对于点
，
，A 不满足；
对于点
，
，B 不满足；
对于点
，
，C 满足；
对于点
，
，D 不满足.
故选：C.
8
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4．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）若过第一象限的点
可以作曲线
的两条切线，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先设切点
，利用导数的几何意义，列式
，并转化为函数
有2 个零点，利用导数判断函数的性质，即可判断选项.
【详解】设切点
，则
，
得
，
设
，由条件可知，函数存在两个零点，
，得
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以当
时，
取得最小值，若函数有2 个零点，
则
.
故选：D
5．（2023·上海·统考模拟预测）若曲线
有两条过
的切线，则
的范围是 ．
【答案】
【分析】由题可将曲线
有两条过
的切线转化为函数
图象与直线
有两个
交点，然后利用导数研究
单调性，画出
大致图象，即可得答案．
【详解】设切线切点为
,
，又
，所以切线斜率为
因为
，所以切线方程为：
．
又切线过
，则
，即
则由题可知函数
图象与直线
有两个交点，
由
得
，由
得
所以
在
上单调递增，在
上单调递减．
又
，又
，
，
，
．
据此可得
大致图象如下．
9
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则由图可得，当
时，曲线
有两条过
的切线．
故答案为：
.
6．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知函数
，过点
存在3 条直线与曲线
相切，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】设切点为
，利用导数几何意义写出过
的切线方程，进而有
有三个
不同
值，即
与
有三个不同交点，导数研究
的极值，即可求参数范围.
【详解】由
，设切点为
，则切线斜率为
，
所以，过
的切线方程为
，
综上，
，即
，
所以
有三个不同
值使方程成立，
即
与
有三个不同交点，而
，
故
、
上
，
递减，
上
，
递增；
所以
极小值为
，极大值为
，故
时两函数有三个交点，
综上，
的取值范围是
.
故答案为：
四、公切线问题
1．（2023 春·湖北·高二武汉市第四十九中学校联考期中）若直线
是曲线
与曲
线
的公切线，则
（ ）．
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A．26
B．23
C．15
D．11
【答案】D
【分析】先由
，利用切线斜率为-1 求得切点，再将切点代入切线方程求得a，然后设切线
与
的切点为
，利用切线斜率为-1 和切点在切线上求解.
【详解】解：因为
，
所以
，由
，解得
或
（舍去），
所以切点为
，
因为切点在切线
上，解得
，
所以切线方程为
，
设切点为
，
由题意得
，解得
，
所以
，
故选：D
2．（2023 春·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考阶段练习）定义：若直线与函数
的图象都
相切，则称直线为函数
和
的公切线．若函数
和
有且仅有一
条公切线，则实数
的值为 ．
【答案】
【分析】设直线与
的切点为
，根据导数的几何意义可推得切线方程为
，
.根据两条切线重合，即可得出
有唯一实根.构造
，作出函数的图象，结合图象，求出实数a 的值.
【详解】设直线与
的切点为
，
因为
，根据导数的几何意义可知，该直线的斜率为
，
即该直线的方程为
，即
.
设直线与
的切点为
，
因为
，根据导数的几何意义可知，该直线的斜率为
，
即该直线的方程为
，即
.
11
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因为函数
和
有且只有一条公切线，
所以
，即
有唯一实根.
令
，
则
.
令
，解得
.
当
时，
，所以
在
上单调递增；
当
时，
，所以
在
上单调递减.
所以
在
处取得最大值
.
当
时，
，
，函数
图象如图所示，
因为
，
有唯一实根，所以只有
.
故答案为：
3．（2023 春·河南周口·高二校联考阶段练习）已知曲线
与曲线
有公切线，则的
方程为 .
【答案】
【分析】分别设出直线与两曲线相切的切点，然后表示出直线的方程，再根据切线是同一条直线建立方程
求解.
【详解】设直线与曲线
相切于点
，
因为
，则
，
所以该直线的方程为
，即
，
12
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设直线与曲线
相切于点
，
因为
，则
，
所以该直线的方程为
，即
，
所以
，消去
得
，
令
，因为
，所以
，所以
，
令
，所以
，则
为增函数，
所以
最多一个零点，容易知道
，
所以
只有一个解
，所以
，所以
，
所以该直线的方程为
，即
.
故答案为：
.
4．（2023 春·广东汕头·高二统考期末）已知直线
是曲线
与曲线
的公切线，则
的值为 .
【答案】2
【分析】由
求得切线方程，结合该切线也是
的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得
直线
，从而求得正确答案.
【详解】设
是
图像上的一点，
，
所以
在点
处的切线方程为
，
①，
令
，解得
，
，所以
，
，所以
或
（此时①为
，
，不符合题意，舍去），
所以
，此时①可化为
，
所以
.
13
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故答案为：
5．（2023 春·重庆南岸·高二统考期末）已知直线
是函数
与函数
的公
切线，若
是直线与函数
相切的切点，则
.
【答案】
【分析】根据导数的几何意义列方程即可求出．
【详解】
，
，
，
是直线与函数
相切的切点，
，
，
，
，
即直线的方程为
，
，
，
设
与
的切点坐标为
，
，
，
切线方程为
，
即
，
，
，
解得
，
，
．
故答案为：
．
6．（2023 春·江苏南京·高二南京市中华中学校考期末）若直线
是曲线
和
的公切
线，则实数
的值是 ．
【答案】0
【分析】分别设两个切点坐标，根据导数的几何意义求出两条切线方程，利用两切线重合列式可求出结果.
【详解】设直线
与曲线
和
分别相切于点
、
，
14
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对函数
求导得
，则
，
曲线
在点
处的切线方程为
，即
，
对函数
求导得
，则
，
曲线
在点
处的切线方程为
，即
，
所以，
，化简可得
．
故答案为：0．
7．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知函数
，若曲线
与曲线
存在公切线，则实数
的最大值为 ．
【答案】
/0.5
【分析】根据导数的几何意义，利用斜率等于切点处的导数，和切线相同即可判断.
【详解】
，
假设两曲线在同一点
处相切，
则
，可得
，即
，
因为函数
单调递增，且
时
，
所以
，则
，此时两曲线在
处相切，
根据曲线的变化趋势，若
继续增大，则两曲线相交于两点，不存在公切线，
所以
的最大值为
.
故答案为：
.
8．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知曲线
与曲线
有且
只有一条公切线，则
．
【答案】
【分析】设公切线的切点坐标，根据导数的几何意义、斜率公式列出方程化简，分离出
后，构造函数，
利用导数求出函数的单调区间、最值，即可求
.
【详解】设曲线
在
处的切线与曲线
相切于
处，
15
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，故曲线
在
处的切线方程为
，
整理得
.
，故曲线
在
处的切线方程为
，
整理得
.
故
由(1)再结合
知
，将(1)代入(2) ，得
，
解得
且
，
将
代入(1) ，解得
且
，
即
且
，令
，则
，
.
令
，
，
则
在区间
单调递增，在区间
单调递减，且
，
又两曲线有且只有一条公切线，所以
只有一个根，由图和
知
.
故答案为：
.
9．（2023 春·江苏南京·高二江苏省溧水高级中学校考期中）已知直线
是曲线
与
的公切线，则
.
【答案】
【分析】设设直线
与曲线
相切于点
，与曲线
相切于点
，
然后求出
，
，再根据导数的几何意义求出切线方程，联立切线方程即可求解.
16
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【详解】设直线
与曲线
相切于点
，与曲线
相切于点
，
由于
，
，
所以
，
，
，
，
所以由点
在切线上，得切线方程为
，
由点
在切线上，得切线方程为
，
故
解得
.
故答案为：
.
17
