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专题05 函数与方程综合问题
目录
一、函数的零点与方程的根基础特训（精选代表性类型）..................1
二、函数的零点与方程的根综合应用特训（精选高考模拟题）..............4
三、函数的零点与方程的根中的数学文化...............................11
一、函数的零点与方程的根基础特训（精选代表性类型）
1．（2023·陕西西安·西安市第三十八中学校考模拟预测）函数
的零点为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】A
【分析】根据零点的定义即可求解.
【详解】令
，得
，则
．
故选：A
2．（2023·云南昭通·校考模拟预测）函数
的零点所在的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】结合单调性和零点存在定理直接判断即可.
【详解】易知
为增函数，又
，
，故零点所在的区间是
.
故选：B.
3．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）函数
在区间
上存在零点，则实数
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
1
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【答案】D
【分析】根据零点存在定理即可得
，解出实数
的取值范围为
.
【详解】由零点存在定理可知，若函数
在区间
上存在零点，
显然函数为增函数，只需满足
，即
，
解得
，
所以实数
的取值范围是
.
故选：D
4．（2023 秋·高一课时练习）已知函数
的图象是连续不断的，有如下的
对应值表，那么函数
在区间
上的零点至少有（ ）
x
1
2
3
4
5
6
7
123.5
21.5
－7.82
11.57
－53.7
－126.7
－129.6
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】B
【分析】根据函数值符号变化，由零点存在性定理可得.
【详解】由数表可知，
.
则
，
，
，
又函数
的图象是连续不断的，
由零点存在性定理可知，函数分别在
上至少各一个零点，
因此在区间
上的零点至少有3 个．
故选：B.
5．（2023 秋·江苏淮安·高一统考期末）已知函数
在
内有一个零点，且求得
的部分
函数值数据如下表所示：
0
1
0.5
0.75
0.625
0.5625
0.6875
0.65625
0.671875
-1
1
-0.375
0.1718
-0.1308
-0.2595
0.01245
-0.06113
-0.02483
要使
零点的近似值精确到0.1，则对区间
的最少等分次数和近似解分别为（ ）
A．6 次0.7
B．6 次0.6
C．5 次0.7
D．5 次0.6
【答案】C
【分析】根据题意，结合二分法代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可知，对区间
内，需要求解
2
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的值，然后达到
零点的近似值精确到
，所以零点的近似解为
，
共计算次.
故选：C
6．（2023 秋·高一课时练习）一块电路板的
线段之间有
个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊
口脱落造成的，要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落，至少需要检测（ ）
A．
次
B．次
C．次
D．
次
【答案】B
【分析】利用二分法可得出结果.
【详解】利用二分法检测，每次取中点，焊接点数减半，不妨设需要
次检测，则
，
即
，因为
，故
的最小值为，即至少需要检测次.
故选：B.
7．（多选）（2023 秋·高一课时练习）（多选）以下每个图象表示的函数都有零点，其中能用二分法求函
数零点的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据二分法的要求，即能用二分法求近似值的零点需满足为变号零点，由此一一判断各选项，即
得答案.
【详解】根据二分法的思想，函数
在区间
上的图象连续不断，且
，
即函数的零点是变号零点，才能将区间
一分为二或多个小区间，
然后采用二分法逐步得到零点的近似值，
对各图象分析可知，A、B、D 都符合条件，
而选项C 不符合，因为图象经过零点时，零点两侧函数值的符号没有发生变化，
因此不能用二分法求函数零点，
故选：ABD
8．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）请估计函数
零点所在的一个区间 .
3
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【答案】
【分析】根据零点存在性定理求解即可.
【详解】根据对数函数单调性的性质，
函数
为
上的减函数,
函数的图像在
上为一条连续不断的曲线,
又
,
,
所以函数
零点所在的一个区间为
.
故答案为:
.
9．（2023 秋·高一课时练习）求方程
在区间
内的实根，取区间中点
，那么下一个
有根区间是 ．
【答案】
【分析】利用零点存在定理可得出结果.
【详解】令
，则
，
，
由因为
，
因此，下一个有根的区间为
.
故答案为：
.
二、函数的零点与方程的根综合应用特训（精选高考模拟题）
1．（2023·河南·校联考模拟预测）函数
的零点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【分析】根据给定条件，作出函数
与
图象，利用图象交点个数作答.
【详解】由
，得
，因此函数
的零点即为函数
与
的图象交
点横坐标，
4
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在同一坐标系内作出函数
与
的图象，如图，
观察图象知，函数
与
的图象有唯一公共点，
所以函数
的零点个数为1.
故选：B
2．（2023·广东深圳·统考二模）函数
的所有零点的乘积为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将函数零点问题转化为两函数图象的交点问题.
【详解】由
可得
，设函数
的图象交点的横坐标为
，画出两函数图象如图，则
，
因为函数
在
上递减，所以且
，即
，
所以
，即
，
故选：C.
3．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数
，若
恰有两个零点，则
的取
值范围为（ ）
5
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】将问题转化为
恰有两个实数根，求导确定函数的单调性，进而画出函数的图象，结合函
数图象即可确定
的取值.
【详解】
恰有两个零点,即
恰有两个实数根，由于
，所以
恰有
两个实数根等价于
恰有两个实数根，
令
，则
，
当
时，
，故当
此时
单调递增，当
，
此时
单调递减，故当
时，
取极小值也是最小值，且当
时，
，
当
时，
，且
单调递增，
在直角坐标系中画出
的大致图象如图：
要使
有两个交点，则
，
故选：D
4．（2023·全国·开滦第二中学校考模拟预测）已知
，符号
表示不超过x 的最大整数，若函数
有且仅有2 个零点，则实数a 的取值范围是（ ）
6
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，根据已知作出
的草图，分析已知函数
有且仅有2 个零
点，则
有且仅有2 个解，即可得出答案.
【详解】函数
有且仅有2 个零点，
则
有且仅有2 个解，
设
，根据符号
作出
的草图如下：
则
或
，
故选：D.
5．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知函数
，若方程
有两个实
根，且两实根之和小于0，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】作出
与
的图像，对k 分类，数形结合得答案.
【详解】
，易知方程
总有一个实根为0，
当
时，
，
，方程
没有非零实根.
7
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当
时，当
时，
，
；当
时，
，
，
在
上单调递减，在
上单调递增
如图所示，作出两函数的大致图像，可知坐标原点为两个图像的公共点.
当
时，
，
，
，
，
与
的图像在原点处相切，
当
时，
，
，
，
，
与
的图像在原点处相切，
此时方程
仅有一个实根0.
结合图像可知，当
时，方程另有一正根，不合题意；
当
时，方程另有一负根，符合题意.
故满足条件的
的取值范围是
.
故选：C.
6．（多选）（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知函数
，下列结论正确的是
（ ）
A．若
，则
有2 个零点
B．若
，则
有3 个零点
C．存在负数
，使得
只有1 个零点D．存在负数
，使得
有3 个零点
【答案】ABC
【分析】由题意，画出
和
的图象，数形结合可判断A，分析
和
相切时的
临界条件可判断BCD.
8
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【详解】由题意知
的零点个数即为
和
的图象的交点个数，在同一平面直角坐标系内画
出
和
的图象.
对A，由图可知，当
时，图象有两个不同的交点，故A 正确；
对B，设直线
与曲线
相切于点
，
则
，故切线斜率
，
所以当
，直线
与
有3 个不同的交点，
即
有3 个零点，故B 正确；
对C，设直线
与曲线
相切于点
，
则
，故切线斜率
，
所以当
时，
恰有1 个零点，故C 正确；
对D，当
时，直线
与
的图象至多有2 个交点，故D 错误；
故选：ABC.
7．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）若
的值域为
，则
至多有 个零点.
【答案】4
【分析】分别代入
、
、
，求出
的解，即可得出答案.
【详解】当
时，
，
由
可得，
；
当
时，
，
由
可得，
或
；
当
时，
，
由
可得，
或
.
综上所述，
的零点可能是
或
或
或
.
9
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所以，
的零点至多有4 个.
故答案为：4.
8．（2023·江苏镇江·江苏省镇江中学校考模拟预测）已知函数
的零点为
，函数
的零点为
，则
．
【答案】2
【分析】根据零点的定义，等价转化为两个函数求交点，根据反函数的定义，结合对称性，可得答案.
【详解】由
，
得
，
函数
与
互为反函数，
在同一坐标系中分别作出函数
，
，
的图象，
如图所示，则
，
，由反函数性质知A，B 关于
对称，
则
，
.
故答案为：
.
9．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数
有三个不同的零点，其中有两个正零点，则实
数
的取值范围为 .
【答案】
【分析】依题意可得
，显然
，两边取对数可得
，令
，
，首先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，即可得到函数图象，再数
形结合即可得解.
【详解】由
，得
，因为
不是
的零点，
等式两边同时取对数得
，即
，
令
，
，则
，所以
为奇函数，
当
时，
，所以
所以当
时，
，函数
在
上单调递增，
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当
时，
，函数
在
上单调递减，
所以当
时函数取得极大值，即
，
又因为
，当
时，
，当
时，
，
所以可得
的图象如下所示，
又因为有两个正实根，所以
.
故答案为：
10．（2023·四川成都·校联考模拟预测）设
，若方程
恰有四个不相等的
实根，则这四个根之和为 ；若方程
有四个不相等的实根
，且
，则
的取值范围为 ．
【答案】
【分析】若方程
恰有三个不相等的实数根，由图象可知，结合对称性，求得四个根之和为；若
方程
由四个不相等的实数根，得到
，结合
的图象，化简得到
表示成
的函数，再借助于换元法，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】由函数
，画出函数
的图象，如图所示，
若方程
恰有四个不相等的实数根，
由图象可知，
在
上的图象与
上的图象关于
对称，
若方程
由四个不相等的实数根，且
，
可得
，且
，所以
，
所以
且
，
11
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所以
，
令
，则原式可化为
，
其对称轴为
，开口向上，所以
在
上单调递增，
所以
，所以
的取值范围是
.
故答案为：；
.
三、函数的零点与方程的根中的数学文化
1．（2023·山东·校联考模拟预测）从古至今，中国人一直追求着对称美学．世界上现存规模最大、保存最
为完整的木质结构——故宫：金黄的宫殿，朱红的城墙，汉白玉的阶，琉璃瓦的顶……沿着一条子午线对
称分布，壮美有序，和谐庄严，映祇着蓝天白云，宛如东方仙境．再往远眺，一线贯穿的对称风格，撑起
了整座北京城．某建筑物的外形轮廓部分可用函数
的图像来刻画，满足关于
的方
程
恰有三个不同的实数根
，且
（其中
），则
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
12
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【分析】先确定函数
的对称性，然后根据函数的对称性确定根，从而列出关于
的方程组，解方程
组即可求解.
【详解】因为
，
所以
关于
对称，所以
的根应成对出现，
又因为
的方程
恰有三个不同的实数根
且
，
所以该方程的一个根是
，得
，
所以
，
由
得
，
当
，即
时，
，①
则
，②
由①
②可求出
，所以
；
当
，即
时，
，③
，④
由③
④得方程组无实数解；
综上，方程组的解为
，
所以
．
故选：C.
2．（2023·山东德州·统考一模）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美
誉．函数
称为高斯函数，其中
，
表示不超过x 的最大整数，例如：
，
，则方程
的所有解之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
，
，使
，可得
，
，分类讨论k 为奇数和
偶数的情况，求出k 的值，再代入求解即可.
13
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【详解】解：
，
，使
，则
，
可得
，
，
若k 为奇数，则
，所以
，
，则
，
解得
，
或
，
当
时，
，
，
，
，
当
时，
，
，
，
，
若k 为偶数，则
，所以
，
，则
，
解得
，
或
，
当
时，
，
，
，
当
时，
，
，
，
，
因此，所有解之和为：
，
故选：C.
3．（2023 春·甘肃平凉·高二校考阶段练习）拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，定理内容如下：
如果函数
在闭区间
上的图象连续不间断，在开区间
内的导数为
，那么在区间
内
至少存在一点c，使得
成立，其中c 叫做
在
上的“拉格朗日中值
点”．根据这个定理，可得函数
在
上的“拉格朗日中值点”的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【分析】
求导，设
为“拉格朗日中值点”，由题意得到
，构造
，研究其单调性，结合零点存在性定理得到答案.
【详解】
，令
为函数
在
上的“拉格朗日中值点”，
14
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则
，
令
，则
在
上恒成立，
故
在
上单调递增，
又
，
，
由零点存在性定理可得：存在唯一的
，使得
.
故选：B.
4．（2023 春·江苏徐州·高三徐州高级中学校考阶段练习）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程
序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数
的不足近似值和过剩近似值分别为
和
，则
是
的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道
，令
，则第一次用“调日法”后得
是
的更为精确的过剩近似值，即
，若每次都
取最简分数，则用“调日法”得到
的近似分数与实际值误差小于0.01 的次数为（ ）
A．五
B．四
C．三
D．二
【答案】B
【分析】根据定义逐次求算，直到满足近似分数与实际值误差小于0.01 即可.
【详解】第一次用“调日法”后得
，不合题意；
第二次用“调日法”后得
，不合题意；
第三次用“调日法”后得
，不合题意；
第四次用“调日法”后得
，合乎题意，
即用“调日法”得到
的近似分数与实际值误差小于0.01 的次数为四次，
故选：B.
5．（多选）（2023·全国·唐山市第十一中学校考模拟预测）取名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔不动点定理
是拓扑学里一个非常重要的不动点定理.该定理表明：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数
，
在其定义域内存在一点
，使得
，则称
为函数
的一个不动点，那么下列函数具有“不动
点”的是（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】AD
【分析】根据不动点的定义，逐项进行分析检验即可求解.
【详解】对于
，假设函数
存在不动点，则方程
有解，
由对数函数的图象可知：方程有解，所以函数
存在不动点，故选项
满足；
对于
，假设函数
存在不动点，则方程
有解，
也即
，因为判别式
，所以方程
无解，故假设不成立，
也即函数
不存在不动点，故选项
不满足；
对于
，假设函数
存在不动点，则方程
有解，
当
时，方程为
无解；当
时，方程为
，令
，
则
，所以
在
上单调递减，所以
，所以
，
则方程为
无解，故选项
不满足；
对于
，假设函数
存在不动点，则方程
有解，
令
，则函数
在
上单调递增，因为
，
，则
，由零点存在性定理可知：函数
在
上存在零点，
也即
有解，所以函数
存在不动点，故选项
满足，
故选：
.
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