文档文本内容
第 02 讲 幂函数与二次函数（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
4年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2023年新I卷，第1题,5分 二次函数图象解不等式 集合间的基本运算
二次函数单调区间求参数值 函数的单调性求参数值
2023年新I卷，第4题,5分
或范围 判断指数型复合函数的单调性
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握幂函数的基本
性质，难度中等偏下
【备考策略】1.掌握幂函数的定义及一般形式，掌握 的图
象和性质
2.理解并掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)
3.理解并掌握幂函数 的单调性和奇偶性
【命题预测】本节内容会结合其他函数内容综合考查，需综合性学习备考
知识讲解1. 幂函数
（1）幂函数的定义及一般形式
形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 为常数
（2）幂函数的图象和性质
①幂函数的单调性
②幂函数的奇偶性
2. 一元二次方程：
①方程有两个实数根
②方程有同号两根
③方程有异号两根
④韦达定理及应用：
,
3. 二次函数
①一般式： ( )，对称轴是
顶点是 ；②顶点式： ( )，对称轴是 顶点是 ；
③交点式： ( )，其中（ ），（ ）是抛物线与x轴的交点
4. 二次函数的性质
①函数 的图象关于直线 对称。
② 时，在对称轴 （ ）左侧， 值随 值的增大而减少；在对称轴（ ）右侧；
的值随 值的增大而增大。当 时， 取得最小值
③ 时，在对称轴 （ ）左侧， 值随 值的增大而增大；在对称轴（ ）右侧；
的值随 值的增大而减少。当 时， 取得最大值
考点一、幂函数的图象
1．（全国·高考真题）如图是幂函数 的部分图像，已知 取 、 、 、 这四个值，则于曲线
相对应的 依次为（ ）
A． B．
C． D．2．（全国·高考真题）函数 的图象是
A． B．
C． D．
1．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知函数 （ ，且 ）的图象恒过
定点 .若点 在幂函数 的图象上，则幂函数 的图象大致是
A． B．
C． D．
2．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考一模）第32届奥运会男子举重73公斤级决赛中，石智勇以抓举
166公斤，挺举198公斤，总成绩364公斤的成绩，为中国举重队再添一金，创造新的世界纪录.根据组别
划分的最大体重以及举重成绩来看，举重的总质量与运动员的体重有一定的关系，如图为某体育赛事举重
质量与运动员体重之间关系的折线图，下面模型中，最能刻画运动员体重和举重质量之间的关系的是
（ ）A． （ ） B． （ ）
C． （ ） D． （ ， 且 ）
考点 二 、幂函数的单调性与奇偶性
1．（上海·高考真题）下列函数中，既是偶函数，又是在区间 上单调递减的函数为（ ）
A． B． C． D．
2．（全国·高考真题）函数y= 在[－1, 1]上是
A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数
C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数
3．（2020·江苏·统考高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是____.
1．（2023·辽宁·校联考一模）下列函数中，是偶函数，且在区间 单调递增的为（ ）
A． B． C． D．2．（2023·海南·统考模拟预测）已知 为幂函数，则（ ）．
A． 在 上单调递增 B． 在 上单调递减
C． 在 上单调递增 D． 在 上单调递减
3．（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）若幂函数 在区间
上单调递增，则 （ ）
A． B．3 C． 或3 D．1或
4．（2023·江苏·校联考模拟预测）（多选）若函数 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
考点三、 利用幂函数单调性进行大小比较
1．（高考真题）设a＝ ，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>a>b D．b>c>a
1．（2023·安徽模拟）已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·海南海口·校考模拟预测）设 ，则 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
考点 四 、幂函数的综合应用1．（2023·全国·模拟预测）已知 x， ，满足 ， ，则
（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
2．（2023·浙江·模拟）已知函数 是定义在 上的偶函数且 ，当 时，
，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）幂函数 满足：任意 有 ，
且 ，请写出符合上述条件的一个函数 ___________．
2．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围
为_________．
考点 五 、二次函数的综合应用
1．（2023·全国·统考高考真题）设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
1．（2023·江苏苏州·校联考三模）设函数 的定义域为 ，对于任意 ，若
所有点 构成一个正方形区域，则实数 的值为（ ）
A．-1 B．-2 C．-3 D．-4
2．（2023·四川雅安·统考三模）对任意的 ，不等式 都成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【基础过关】
一、单选题
1．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考模拟预测）如图所示是函数 （ 均为正整数且
互质）的图象，则（ ）
A． 是奇数且
B． 是偶数， 是奇数，且
C． 是偶数， 是奇数，且
D． 是奇数，且
2．（2023·吉林·统考二模）下列四个函数中，在其定义域内单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·四川南充·阆中中学校考二模）下列函数中，在 上是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·宁夏银川·校联考二模）已知函数 ，若 ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．5．（2023·广西·统考模拟预测）已知函数 ，则 （ ）
A． B． C．8 D．9
6．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知函数 在区间 上单调递增，则实数a的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知函数 在
上为奇函数，则不等式 的解集满足（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·安徽滁州·校考模拟预测）函数 与 在 均单调递减的一个充分不必
要条件是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2023·宁夏银川·银川一中校考二模）已知函数 是幂函数，且为偶函数，则实
数 ______．
10．（2023·福建漳州·统考模拟预测）写出一个定义域为 且图象不经过第二象限的幂函数 ______.
【能力提升】
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数 （ 且 互质）的图象关于y轴对称，如图所示，
则（ ）A．p，q均为奇数，且
B．q为偶数，p为奇数，且
C．q为奇数，p为偶数，且
D．q为奇数，p为偶数，且
2．（2023·全国·高三专题练习）给定一组函数解析式：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ．
如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（ ）
A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤
C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤①
3．（2023·全国·高三专题练习）幂函数 在区间（0，+∞）上单调递增，且
，则 的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
4．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数 ，若 ，则下列说
法正确的是（ ）
A．函数 为奇函数 B．函数 为偶函数
C．函数 在 上单调递增 D．函数 在 上单调递减二、多选题
5．（2023·全国·高三专题练习）已知幂函数 （m， ，m，n互质），下列关于 的结论
正确的是（ ）
A．m，n是奇数时，幂函数 是奇函数
B．m是偶数，n是奇数时，幂函数 是偶函数
C．m是奇数，n是偶数时，幂函数 是偶函数
D． 时，幂函数 在 上是减函数
三、填空题
6．（2023春·高三统考阶段练习）函数 的单调减区间为______；
7．（2023春·上海·高三校联考阶段练习）已知函数 ，则关于 的表达式
的解集为__________.
8．（2023·全国·高三专题练习）不等式 的解集为：_________．
9．（2023·全国·高三专题练习）设 且满足 ，则 ______.
四、解答题
10．（2023·高三课时练习）已知幂函数 （m为正整数）的图像关于y轴对称，且在
上是严格减函数，求满足 的实数a的取值范围．
【真题感知】
一、单选题
1．（山东·高考真题）设 ，则使函数 的定义域为R且为奇函数的所有 值为
A． B． C． D．
2．（江苏·高考真题）若函数 ，当 时函数值 ，则 的取值范围是（ ）
A． ； B． ；C． ； D． ．
3．（山东·高考真题）设函数 ，若 的图象与 图象有
且仅有两个不同的公共点 ,则下列判断正确的是
A．当 时，
B．当 时，
C．当 时，
D．当 时，
二、填空题
4．（上海·高考真题）若，则满足的取值范围是_____.
