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专题 01 基本不等式及其应用
目录
一、基本不等式基础特训（精选代表性类型）.........................................................1
二、基本不等式综合应用特训（精选高考模拟题）.................................................3
三、基本不等式与数学文化.........................................................................................4
一、基本不等式基础特训（精选代表性类型）
1．（2023秋·湖南株洲·高三株洲二中校考开学考试）已知正实数 ， ，满足 ，则下列不等式中
错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·四川巴中·高三统考开学考试）已知 且 ，则 的最小值为
（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
3．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考开学考试）已知 ，则 的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．4
4．（2023·全国·高一课堂例题）若正数x，y满足 ，则 的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、多选题
5．（2023秋·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考开学考试）已知 ， ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2023秋·河南·高三郑州一中校联考阶段练习）设某批产品的产量为 （单位：万件），总成本
（单位：万元），销售单价 （单位：元/件）．若该批产品全部售出，则总
利润（总利润 销售收入-总成本）最大时的产量为（ ）A．7万件 B．8万件 C．9万件 D．10万件
7．（2023秋·广东中山·高三中山市华侨中学校考阶段练习）下列命题中的真命题有（ ）
A．当x＞1时， 的最小值是3
B． 的最小值是2
C．当0＜x＜10时， 的最大值是5
D．若正数x，y为实数，若x+2y＝3xy，则2x+y的最大值为3
8．（2023春·云南曲靖·高二校考阶段练习）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把
“ ”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“ ”和“ ”符号，并逐步被数学界接受，不
等号的引入对不等式的发展影响深远．下列结论不正确的是（ ）
A．当 时，
B．当 时， 的最小值是2
C．当 时， 的最小值是
D．设 ， ，且 ，则 的最小值是
三、填空题
9．（2023秋·湖南株洲·高三校考阶段练习）已知实数 满足 ，则 的最大值为
．
10．（2023秋·江苏淮安·高一统考期末）已知a，b为正实数，满足 ，则 的最小
值为 ．
11．（2023·全国·高一专题练习）函数 的最小值为 ．
12．（2023·全国·高一专题练习）函数 在 上的最大值为 ．
13．（2023春·江苏苏州·高二校考阶段练习）已知 ， ，且 ，则 的最小值为
.二、基本不等式综合应用特训（精选高考模拟题）
一、单选题
1．（2023·河南·校联考二模）若不等式 在 时恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）函数 的部分图象是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·河南·校联考模拟预测）在 中， 是 边上的点，满足 ， 在线段 上（不
含端点），且 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．8
4．（2023·四川绵阳·三台中学校考一模）已知各项都为正数的等比数列 ，满足 ，若存在
两项 ， ，使得 ，则 最小值为（ ）
A．2 B． C． D．1
二、多选题
5．（2023·重庆·统考模拟预测）下列选项正确的是（ ）
A．
B．若正实数a，b满足 ，则
C． 的最小值为D．已知正实数a、b，若 ，则 的最小值为9
三、填空题
6．（2023·全国·高一专题练习）函数 的最小值为 ．
7．（2023·全国·高一专题练习）函数 在 上的最大值为 ．
8．（2023·四川成都·校联考二模）平面向量 ， 满足 ，且 ，则 的最小值是
．
9．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知函数 且 过定点 ，
且定点 在直线 上，则 的最小值为 ．
10．（2023·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考模拟预测）已知函数 ，其中 ，若
曲线 在 处的切线斜率为1，则 的最小值为 ．
11．（2023·上海黄浦·格致中学校考三模）关于x的不等式 的解集是 ，则实数a的
取值范围为 ．
三、基本不等式与数学文化
一、单选题
1．（2023春·云南红河·高二开远市第一中学校校考阶段练习）公元前 世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结
合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面
轨迹的问题，例如:平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿
波罗尼斯圆.已知平面内有两点 和 ，且该平面内的点P满足 ，若点P的轨迹关
于直线 对称，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·陕西西安·高二校考阶段练习）《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这
种方法是数学家处理问题的重要依据，很多代数公理、定理都可以根据这一原理实现证明，也称为“无字
证明”．如图， 是圆 的直径，点 为圆心，点 是线段 上的一点，且 ．过点 作
垂直于 的半弦 ，连接 ，过点 作 垂直 于点 ，则根据该图形我们可以完成的无字证明有：（ ）
① ②
③ ④
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
3．（2023春·浙江台州·高一统考期末）我国南宋数学家秦九韶，发现了三角形面积公式，即
，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积.若某三角形三边a，b，
c，满足 ， ，则该三角形面积S的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高三专题练习）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学
著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五
五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：被3除余2的正整数按照从小到大的
顺序排成一列，构成数列 ，记数列 的前 项和为 ，则 的最小值为（ ）
A．20 B．25 C． D．40
二、填空题
5．（2023春·江西九江·高二统考期末）在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特
例，其中“弦”指的是直角三角形的斜边.现将两个全等的直角三角形拼接成一个矩形，若其中一个三角形
“弦”的长度为 ，则该矩形周长的最大值为 .
