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专题09 借助导函数解决不等式中恒（能）成立问题
目录
一、恒（能）成立的方法技巧..........................................1
1 变量分离法......................................................1
2 分类讨论法......................................................3
3 等价转化法......................................................5
4 双元最值法......................................................7
5 构造法和同构法..................................................8
二、恒（能）成立的综合应用（精选高考模拟题）........................9
一、恒（能）成立的方法技巧
1 变量分离法
1．（2023·河南·校联考模拟预测）若
，
，且
，则实数的取值范
围是 ．
2．（2023 春·江西赣州·高三兴国平川中学校联考阶段练习）已知函数
.
(1)求函数
的单调区间；
(2)若
，求实数a 的取值范围.
1
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3．（2023 春·广东汕头·高二校考期中）已知函数
.
(1)若
是
的极值点，求
的值；
(2)讨论函数
的单调性；
(3)若
恒成立，求a 的取值范围；
4．（2023 秋·重庆渝北·高三重庆市渝北中学校校考阶段练习）已知函数
，
．
(1)当
时，求函数
的极值；
(2)若任意
、
且
，都有
成立，求实数
的取值范围．
5．（2023 秋·广东深圳·高三深圳市南头中学校考阶段练习）已知
．
(1)讨论
的单调性和极值；
(2)若
时，
有解，求
的取值范围．
2
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6．（2023 春·福建泉州·高二校联考阶段练习）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若存在
，使得
成立，求实数
的取值范围．
2 分类讨论法
1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
设
，若关于x 的不等式
在
上恒成立，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023 秋·河南·高三校联考开学考试）已知函数
，
．其中
(1)求函数
在点
处的切线方程；
(2)若
，且
，
恒成立，求
的取值范围．
3
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3．（2023 秋·宁夏银川·高三银川一中校考阶段练习）已知函数
.
(1)当
时，证明：
；
(2)若关于
的不等式
恒成立，求整数
的最小值.
4．（2023·福建厦门·厦门一中校考三模）已知函数
.
(1)若
，设
，讨论函数
的单调性；
(2)令
，若存在
，使得
，求
的取值范围.
5．（2023 春·黑龙江大庆·高二校考期中）已知函数
．
(1)当
时，若函数
有
个零点，求实数
的取值范围；
(2)已知
且
，且
，
，求实数
的取值范围．
4
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6．（2023 秋·陕西汉中·高三统考阶段练习）已知函数
.
(1)若直线
与曲线
相切，求a；
(2)若存在
，使得
成立，求a 的取值范围.
3 等价转化法
1．（2023 秋·河北张家口·高三统考开学考试）已知
，
．
(1)当
时，证明：
；
(2)若
，
恒成立，求a 的取值范围．
2．（2023·河南开封·统考三模）已知函数
，
．
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，
恒成立，求实数
的取值范围．
5
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3．（2023 秋·江西·高三校联考开学考试）已知函数
，
，
，
分别为
，
的导函数，且对任意的
，存在
，使
．
(1)求实数a 的取值范围；
(2)证明：
，有
．
4．（2023 春·海南省直辖县级单位·高二校考期中）已知
.
(1)求函数
的最小值；
(2)若存在
，使
成立，求实数a 的取值范围；
5．（2023·全国·高二专题练习）已知函数
，
.
(1)求
的单调区间；
(2)若存在
（是常数，
）使不等式
成立，求实数a 的取值范围.
6
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4 双元最值法
1．（2023 秋·广东中山·高三中山市华侨中学校考阶段练习）已知函数
，
对于
，都
，使
，则
的取值范围为 .
2．（2023 春·四川绵阳·高二统考期中）已知函数
．
(1)若函数
在区间
上单调递增，求实数
的取值范围；
(2)若函数
，对
，
，使得
成立，求实数
的取值范围．
3．（2023 春·辽宁·高二校联考期末）已知函数
满足
，且
，函数
．
(1)求
的图象在
处的切线方程；
(2)若对任意
，存在
，使得
，求
的取值范围．
4．（2023 春·山西大同·高二校考期末）
.
(1)求
在
上的最小值；
(2)
，且
，
，
，求a 的取值范围.
7
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5 构造法和同构法
1．（2023 秋·江苏镇江·高三统考开学考试）对于实数
，不等式
恒成
立，则实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2023 秋·广东中山·高三校考阶段练习）对任意
，
恒成立，则实数
的可能取值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·河南·校联考二模）已知垂直于
轴的直线与函数
和
的图象分别交于
两点，若
点总不在
点的下方，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023 春·河南许昌·高二校考期中）已知对任意的
，不等式
恒成
立，则实数k 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2023 秋·江苏扬州·高三扬州中学校考开学考试）已知函数
．
(1)若
，求
的最小值；
(2)若方程
有解，求实数a 的取值范围．
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二、恒（能）成立的综合应用（精选高考模拟题）
1．（2023·河南·统考三模）已知函数
，若
恒成立，则
的最大值是
（ ）
A．
B．1
C．2
D．
2．（2023·江西·江西师大附中校考三模）若不等式
在
上恒成立，则实数
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知定义在R 上的函数
，若
有解，
则实数a 的取值范围是 ．
4．（2023·河南·襄城高中校联考三模）已知函数
，
．
(1)若曲线
在
处的切线与曲线
相交于不同的两点
，
，曲线
在A，B 点处的切线交于点
，求
的值；
(2)当曲线
在
处的切线与曲线
相切时，若
，
恒成立，求a 的取值范围．
5．（2023·青海西宁·统考二模）设函数
．
(1)若函数
在其定义域上为增函数，求实数a 的取值范围；
(2)当
时，设函数
，若在[
上存在
，
使
成立，求实数a 的取值范
围．
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6．（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若存在
，使
成立，求a 的取值范围.
7．（2023·江苏南通·模拟预测）已知函数
，
.
（1）若
，求
的最值；
（2）若存在
，使得
，求实数
的取值范围.
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