【习题研讨】120. 是否存在多项式,它恰好有 2026 项都是负系数,而其任意次幂(大于1次)的展开式中各项系数都是正数?

已知多项式  恰有一项的系数为负数, 但对于每个整数 ,  展开后, 从常数项到最高次项的所有系数都为正数. 这一结论可以直接使用, 不必证明.

(1) 计算并合并同类项: .

(2) 是否存在一个多项式 , 它恰有  项的系数为负数, 而对于每个整数 ,  展开后, 从常数项到最高次项的所有系数都为正数? 若存在, 请构造一个并说明理由; 若不存在, 请说明理由.

课堂上我们已经讲了存在含有负数系数的实系数多项式，其更高的正整数幂的系数全为正. 证明是直接构造所需要的多项式. 事实上，若存在满足要求的多项式  ，则必然要求  的最低，最高以及次低，次高项的系数全都为正系数，否则其三次方或者二次方就会出现负系数. 于是  至少是四次多项式，待定系数

直接展开其二次式和三次式，计算可知取 （并非最佳值，但已经够用） 就可以使得二次式和三次式的系数全为正. 再注意到不小于  的正整数都可以被  和  非负系数的线性组合表示，因此  就是我们要找的. 这个事实在第一句话中已经给出，并可以直接使用.

在诊断练习中，把已知的结论做了一次推广，让学生思考是否存在任意有限项系数为负数，而其更高次的正整数幂的系数全正的多项式. 

第 (1) 问实际上给出了不是特别明显的提示，让学生对已有的多项式进行平移，利用第一句话中的多项式构造出有指定项系数为负数的多项式. 现在想想应该乘以 (1+x^5+x^{10})，提示可能会更加明显吧！

(2) 存在. 取 

 并令 , 因此有

由  的性质和  的定义，我们就给出了本题存在性证明的构造.

最后，只有 1/5 的同学能够看懂题目两个小问题的关系.