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小学数学 · 经典应用题专题 | 牛吃草问题解析
小学数学 · 经典应用题专题
牛吃草问题全解析
核心公式 + 解题四步法 + 典型例题 + 四大变体 + 5 道闯关练习
适合：小升初备考 ｜ 家长辅导 ｜ 教师备课
图 1｜牛吃草问题的三个基本量：牛数、草量、天数
一片草地上，牛在持续吃草，草也在持续生长：被吃掉的既有开吃前就长好的草，也有这几天里新长出来的草。这种“一边消耗、一边补充”的问题，就是小学数学里的牛吃草问题。
它最早出自牛顿的《普通算术》（Arithmetica Universalis，1707），所以也叫“牛顿问题”，小学奥数和小升初试卷里反复出现。它考的只有一点：先确认草量随时间在变化，再用两个等式把这个变化算清楚。
这篇文章依次给出基本模型、解题步骤、典型例题和四大常考变体，文末有 5 道闯关练习（附解析要点）。建议家长陪孩子“先读后练”，效果更好。
01先认识牛吃草问题
动手做题之前，先明确题目里的三个量：
• 草：分两部分——草地上原有的草，加上后来每天新生的草。
• 牛：负责吃草。为了方便计算，我们统一约定：每头牛每天吃草量相同，记作 1 份。
• 时间：草长了多少、牛吃了多少，都由天数决定，所以天数是列式前必须先确定的量。
核心认知：牛吃草问题的关键，在于意识到草量不是一个固定数字——第 1 天有原草量，吃到第 10 天，草已经多长了 9 天。谁忽略了这一点，谁就会从第一步做错。
家长辅导小贴士：可以用“浴缸放水”帮孩子类比——浴缸里原有的水 = 原有草量，进水管流进水 = 新生的草，浴缸放水 = 牛吃草。孩子一下就懂了“一边进、一边出”的道理。
02核心公式：一个等式搞定
用四个字母表示这四个量：C 表示原有草量（份），g 表示草每天新生的草量（份/天），n 表示牛数（头），t 表示天数。于是有：
牛吃草总量 = 原有草量 + 新生的草n × t = C + g × t
一个等式里有两个“陌生人”C 和 g。题目通常会给出两组不同的条件（比如两种牛数各吃了多少天），把两个等式列出来：
24 × 6 = C + 6g 20 × 10 = C + 10g
两式相减，C 被消掉，先求出 g；把 g 代回任意一式，再求出 C。这就是解牛吃草问题的关键一步：消元法。
你发现了吗：牛越多、吃得越快，吃完用的天数就越少；而天数越多，新长出来的草也越多，所以“牛少、吃得久”的那组，总消耗反而更大（200 > 144）。这种与直觉相反的对应关系，正是牛吃草问题最容易绕晕人的地方。
图 2｜核心模型：牛吃草总量 = 原有草量 + 新生的草
小贴士：“牛数 × 天数”有个专用名字叫牛天，代表牛吃草的总量，千万别只写成牛数——这是最常见的丢分点。
03解题四步法
这四步是固定顺序，每道牛吃草题都按它走：
图 3｜解题四步法：设份量 → 列两式 → 相减消元 → 代回求解
① 设份量：把“每头牛每天吃草量”设为 1 份，草速 g 就是“每天新生几份草”。
② 列两式：用两组已知条件，分别列出 n × t = C + g × t。
③ 相减消元：两式相减消去 C，先求出草速 g。
④ 代回求解：把 g 代回其中一式求出 C，再根据问题求牛数或天数。
先设每头牛每天吃 1 份，按两组条件列出两式；两式相减求出草速，代回求出原有草量。
—— 四步法的一句话总结 ——
04典型例题精讲
教师备课提示：课堂上可以先让学生分别算两组条件的“总消耗”，他们自己会发现 144 ≠ 200 的矛盾：“同样的牧场，吃掉的草怎么会不一样多？”这时再说明“草在长”，消元法就顺理成章。
例题 1基础消元
题目：牧场上的草每天匀速生长。24 头牛 6 天可将草吃完，20 头牛 10 天可将草吃完。那么，多少头牛 12 天可将草吃完？
解析：
① 设每头牛每天吃草 1 份，草每天新生 g 份，原有草量 C 份。
② 由两组条件列式：24×6 = C + 6g = 144，20×10 = C + 10g = 200。
③ 两式相减：200 − 144 = 4g，所以 g = 14——草每天新生 14 份。
④ 代回：C = 144 − 14×6 = 60——原有草量 60 份。
⑤ 12 天共需草：60 + 14×12 = 228 份；牛数 = 228 ÷ 12 = 19 头。
答：19 头牛 12 天可将草吃完。
图 4｜例题 1 图解：从两组条件到答案
易错提醒：为什么牛少的那组总消耗反而更大（200 > 144）？因为 20 头牛吃得慢，时间拉长到 10 天，比另一组多吃 4 天，草也多长了 4 天；多出的 56 份（14×4）正是这 4 天里新长出来的草。想通这一点，消元法就不再是死记硬背。
例题 2牛数变化
题目：承接例题 1 的那片牧场（草每天新生 14 份，原有草量 60 份）。现在赶来一群牛，吃了 4 天后卖掉 6 头，剩下的牛又吃了 2 天，正好把草吃完。这群牛原来有多少头？
解析：
① 前 4 天设牛数为 n，共吃草 4n 份；后 2 天牛数变成 n − 6，共吃草 2(n − 6) 份。
② 这 6 天草的总量 = 原草量 + 新生的草 = 60 + 14×6 = 144 份。
③ 分段列式：4n + 2(n − 6) = 144，即 6n − 12 = 144，解得 n = 26。
答：这群牛原来有 26 头。
图 5｜例题 2 图解：分段列式，总量守恒
方法小结：中途卖牛、买牛，或者换人来吃，处理方法都一样——分段列式：每段“牛数 × 天数”相加，总量永远等于“原草量 + 草速 × 总天数”。
05四大常考变体
变体一：草也会“变少”（枯萎的草地）
前面都假设草在长，但如果长时间干旱，草每天会匀速减少。模型一模一样，只是把“加”换成“减”：n × t = C − g × t（g 记成正数）。
例：一片草地的草每天匀速减少。15 头牛 10 天吃完，35 头牛 5 天吃完。多少头牛 4 天吃完？
解：设每天枯减 d 份：150 = C − 10d，175 = C − 5d，相减得 d = 5，C = 200。4 天可吃的草 = 200 − 5×4 = 180 份，牛数 = 180 ÷ 4 = 45 头。答：45 头。
易错提醒：草减少时，天数越长，能吃的草反而越少，所以“牛数多的那组”总消耗必须更大（35×5 = 175 > 15×10 = 150）。用这条规律能快速检验自己有没有列反。
变体二：牛数会“变”（中途卖牛 / 买牛）
如例题 2，核心就八个字：分段列式，总量守恒。再来一道快的：
例：牧场原有草量 200 份，草每天新生 10 份。一群牛吃了 8 天后卖掉 5 头，剩下的牛 2 天吃完。这群牛原有多少头？
解：总草量 = 200 + 10×10 = 300 份。设原有 n 头：8n + 2(n − 5) = 300，解得 n = 31。答：31 头。
变体三：草地会“变多”（多片草地）
如果题目给你两片甚至三片草地，先别慌。草长在地上，面积翻几倍，原有草量和每天新生的草量就跟着翻几倍（前提：两片草地的茂盛程度相同）。
例：例题 1 的牧场旁边，有一片面积是它 2 倍的新牧场，青草茂盛程度相同（每天新生的草量也是 2 倍）。40 头牛几天能吃完新牧场的草？
解：新牧场 C = 60×2 = 120 份，g = 14×2 = 28 份/天。设 t 天吃完：40t = 120 + 28t，解得 t = 10。答：10 天。
图 6｜多片草地：面积变成几倍，草量就跟着变成几倍
易错提醒：遇到多片草地，先“归一”：把每片牧场都换算成“1 倍面积”的量再比较，千万别直接拿牛数比大小。
变体四：换成“抽水机”（场景替换，模型不变）
考试常把牛吃草换成抽水机：池内原有的水 ⇄ 原有草量，进水管匀速进水 ⇄ 草匀速生长，抽水机匀速抽水 ⇄ 牛匀速吃草。四个量一一对应，公式一个都不用改。
例：一个蓄水池有一根进水管匀速进水。用 5 台抽水机 40 分钟可将水抽完，用 8 台抽水机 20 分钟可将水抽完。要在 10 分钟内抽完，需要几台抽水机？
解：设池内原有水量 W，进水速度每分钟 r。5×40 = W + 40r = 200，8×20 = W + 20r = 160。相减得 40 = 20r，r = 2，W = 120。10 分钟需抽 120 + 10×2 = 140 份，需要抽水机 140 ÷ 10 = 14 台。答：14 台。
图 7｜抽水机问题与牛吃草问题的对应关系
易错提醒：凡是“一边消耗、一边补充”的问题（排队进场、进水排水、漏油加油），都可以套用牛吃草的模型，解法完全相同。
06五大易错点（考前必查）
1. 单位不统一：题中给了“每头牛每天吃草量”的具体数值，或按面积计量时，先统一折合成“每头牛每天 1 份”再列式。
2. 拿“牛数”当“牛天”：总消耗永远是牛数 × 天数。
3. 忘了“草在长”：只列一个等式，或者把新生草量漏加。
4. 枯减用错符号：草减少时用减法，并用“牛多的那组总消耗更大”验算。
5. 多片草地不换算：面积不同，原有草量和草速都要按倍数放大。
07闯关练习（附解析要点）
学完别急着关文章，先动手做这 5 道题。建议家长让孩子做完再看答案——对答案时，重点看“两式是怎么减的”，而不是只核对结果。
第 1 关基础公式
一片牧场，草每天匀速生长。27 头牛 6 天吃完，23 头牛 9 天吃完。多少头牛 12 天吃完？
第 2 关牛数变化
一片牧场原有草量 228 份，草每天新生 12 份。一群牛吃了 5 天后又买来 4 头，这些牛又一起吃了 3 天，正好吃完。原来有多少头牛？
第 3 关草量减少
一片草地的草每天匀速减少。10 头牛 12 天吃完，18 头牛 8 天吃完。多少头牛 6 天吃完？
第 4 关抽水机类比
一个蓄水池有一根进水管匀速进水。4 台抽水机 30 分钟可将水抽完，7 台抽水机 12 分钟可将水抽完。要在 10 分钟内抽完，需要几台抽水机？
第 5 关多片草地
一片牧场草每天匀速生长，10 头牛 20 天吃完，15 头牛 10 天吃完。它旁边有一片面积是它 3 倍的牧场，草每天新生的草量也是 3 倍。30 头牛几天能吃完新牧场的草？
—— 参考答案与解析要点 ——
第 1 关：21 头。要点：162 = C + 6g，207 = C + 9g ⇒ g = 15，C = 72；12 天需 72 + 15×12 = 252 份，252 ÷ 12 = 21。
第 2 关：39 头。要点：8 天总草量 = 228 + 12×8 = 324 份；5n + 3(n + 4) = 324 ⇒ 8n = 312 ⇒ n = 39。
第 3 关：26 头。要点：设每天枯减 d，120 = C − 12d，144 = C − 8d ⇒ d = 6，C = 192；6 天可吃 192 − 36 = 156 份，156 ÷ 6 = 26。
第 4 关：8 台。要点：120 = W + 30r，84 = W + 12r ⇒ r = 2，W = 60；10 分钟水量 60 + 20 = 80 份，80 ÷ 10 = 8。
第 5 关：20 天。要点：200 = C + 20g，150 = C + 10g ⇒ g = 5，C = 100；3 倍牧场 C = 300、g = 15，30t = 300 + 15t ⇒ t = 20。
四种常考变化（草每天减少、中途改变牛数、多片草地、换成抽水机）用的是同一套解法：先求出“原有量”和“每天的变化速度”，再按 n × t = C ± g × t 列等式。这两个量一定，剩下的只是代数字。
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