ARTICLE · 1265708
高中数学各个击破114导数与函数的单调性
导数与函数的单调性：谁正谁增，谁负谁减
高中数学各个击破 · 第 114 讲 | 第 19 册《导数的应用》第 1 讲
本期考点：单调性与导数正负的关系 ·求单调区间 ·由单调性反推导数 ·含参单调性的讨论
📌 写在前面
如果说第 18 册是把导数这把"刀"造出来（差商、极限、切线、运算、构造函数），那么第 19 册就是这把刀真正干活的地方——用导数去判断函数的单调性、极值、最值，再去碰零点、不等式、极值点偏移这些硬骨头。
本讲打头阵：导数与函数的单调性。一句话定调——
导数的正负，就是函数增减的裁判。
很多同学结论背得下来，却常在四件事上翻车：忘定义域、单调区间乱写"并集"、含参分类丢情况、端点等号随手写。本讲把这些坑一并收拾干净，让你不是"会背"，而是"会判"。
🎯 学习目标
了解函数的单调性与导函数（导数）正负之间的关系； 掌握利用导数正负判断函数单调性的方法； 会用导数求函数的单调区间（多项式函数次数一般不超三次）； 掌握含参数函数单调性的讨论方法； 进一步体会数形结合的思想。
🧱 要点提炼
① 单调性与导数的正负（一句话：谁正谁增，谁负谁减）
在某个区间上：
若，则在上单调递增; 若，则在上单调递减。
反过来也成立（是后两组的命根子）：
若在上单调递增，则； 若在上单调递减，则。
⚠️ 注意是 、，不是严格大于/小于。个别点导数为 不破坏单调性（如 在 处）。
② 变化的快慢与导数的绝对值
越大，函数图象越"陡峭"； 越小，图象越"平缓"。这条是"看图说话"的隐藏分。
📖 范例精讲
本讲例题按三条线索排布：先用导数"认"单调性 → 再由单调性"反推"导数 → 最后上含参与构造。
组一 先用导数"认"单调性（求区间、判图象）
例 1 函数 的图象大致是（ ）
选项 A–D 是四个候选函数图象（原书以图形给出，此处从略）。下面按排除法讲清每个选项为什么被排掉——图象题的价值不在"四个图"，而在于拿三条剔除理由。
解析：该函数是奇函数，图象关于原点中心对称，故 A 错误。
由导数 ，得 ，说明在 附近函数下降，故 B 错误。
当 时，，图象应在 轴上方，故 D 错误。
综上，选 C。
评注：图象题先抓"对称性"与"特殊点处的导数符号"两把筛子，往往排除三选一比硬算更快。
例 2 函数 的单调递减区间为________。
解析：函数定义域为 。
令 得 ；当 时，需 且 ，即 或 。
所以 的单调递减区间为 与 。
评注：分母有 ，导数永远不为正；单调性在 处"断开"，两个递减区间**只能分开写，不能并成 **——这是高频失分点。
组二 由单调性"反推"导数（抽象、对称、恒成立）
例 3 若定义在 上的函数 满足 ，且 ，则"对任意 ，都有 "是""的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
解析：由 知 ，即图象关于直线 对称。
又 ，说明在 上 （递减），由对称性得在 上 （递增）。
若对任意 都有 ，则两点必都在 上，故 。
反之，若 ，则 ，即 离对称轴更远。由对称性与单调性得 。
综上为充要条件，选 C。
评注：单调性可以"反推"导数的符号；再结合对称性把"函数值大小"翻译成"到对称轴的距离大小"。
例 4 若函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
解析： 对 恒成立。
用 化去二倍角：
令 ，则需 对 恒成立。 开口向下，最小值在端点取得，故只需
选 C。
评注：含参恒成立，先"换元把三角函数压成二次函数"，再"端点定最值"——别一上来就分类讨论，先看看能不能用端点夹住。
组三 含参与构造（分类讨论、比大小、抽象构造）
例 5 已知函数 ，讨论 的单调性。
解析： 定义域为 ，
① 若 ：当 时 ，当 时 。 故 在 递减，在 递增。 ② 若 ，令 得 或 。 (i) 若 ：当 或 时 ，当 时 。 故在 、 递增，在 递减。 (ii) 若 ： 且不恒为 ，在 上递增。 (iii) 若 ：当 或 时 ，当 时 。 故在 、 递增，在 递减。
评注：分类的"分水岭"是两个零点 与 的大小关系，关键是 与 比——这就是 这根分界线。讨论含参单调性，先求根、再比根、最后排区间，三步走。
例 6 设 ，，，则（ ）
A、 B、
C、 D、
解析：构造函数 ，则 。
时 （递减）， 时 （递增），故 在 处取最小值 。于是 （ 且 ）。
取 ：，即 ，所以 ****。
又 ，而 （因 ? 直接比：，？注意是 ），这里改用另一构造：
设 ，则 。
令 ，则 。当 时 ，当 时 ；又 ，故在 上 ，从而 ， 递增。于是 ，即 ，所以 ****。
综上 ，选 C。
评注：比大小的核心是把两个数看成同一个函数的两个函数值。本题难点在"构造谁"—— 处理 一侧， 处理 一侧。构造不出来时，盯住式子的"对称结构"。
例 7 若定义在 上的函数 满足 ，且 ，则下列结论中一定错误的是（ ）
A、 B、
C、 D、
解析：由 ，构造 ，则 ， 在 上递增。
又 ，故 ，即 ，得 。所以一定错误的是 C；D 无法判断。
再由 ，构造 ，则 ， 递增。，故 ，即 ，得 。A、B 均无法判断。
选 C。
评注：抽象函数缺解析式，突破口就是"照着目标选项构造"。本题两个构造 、，分别对应分母中的 与 。大胆猜、小心证。
🔍 方法归纳
本讲涉及用导数求单调性，归纳三步：
1. 判断 单调性的步骤
第一步：确定函数定义域； 第二步：求 的零点； 第三步：用零点把定义域分成若干区间，列表给出 在各区间的正负，得出单调性。
2. 由单调性可获得导数的正负
若 上递增，则 ；若递减，则 。
3. 利用单调性求参数范围的步骤
第一步：确定定义域； 第二步：求导并确定符号； 第三步：解含参不等式，可灵活选分离参数或构造函数，分类要不重不漏。
🧭 思维显微镜（五种翻车现场）
忘定义域：例 2 的 、例 6 的 ——不写定义域，单调区间直接错。 单调区间乱并：例 2 在 断开，递减区间写 与 ，**绝不能合成 **。单调性是"区间上"的性质，断点处不连续就不能并。 端点等号乱写：由"递增"推""时，等号必须保留；但求单调区间时，单点不影响，开闭都给分，别纠结。 含参分类漏情况：例 5 的分水岭是 与 的比（即两根 与 的大小），漏掉 这一档，整题扣分。 比大小不会构造：记住套路——把要比较的数看作同一函数在两点的值；常见母函数 、、、 等，看到"对数+倒数""指数+系数"先往这些上靠。
🎒 本期带走（速查卡）
| 求导后判断 符号 | 先定定义域，再求 的根 | |
| 递增 ，递减 | 把 写成 | |
| 漏 等分界档 | ||
📝 选题说明
本讲练一练 10 题，按"基础→综合→拓广"三层抽取，覆盖本讲三大主线：判断单调性 / 单调性反推导数 / 含参与构造。
基础过关（选）：第 1、3、4、6、7、8 题——对应"求导判单调""由单调反推导数""恒成立求参""构造 ""子区间不单调""对数不等式真假"。 综合练习（解）：第 10、11 题——含参单调区间讨论（ 与 ），是例 5 的孪生题。 拓广提升（选+解）：第 12 题"完美函数"、第 13 题含参 讨论单调性。
✍️ 练一练
1. 函数 的单调递减区间为（ ）
A、
B、
C、
D、
2. 已知函数 满足 ，则 的单调递增区间为（ ）
A、 B、 C、 D、
3. 已知函数 在区间 上单调递增，则 的最小值为（ ）
A、 B、 C、 D、
4. 已知函数 在 上可导，且不等式 恒成立。对任意正数 且 ，则必有（ ）
A、 B、
C、 D、
5. 若函数 在其定义域的一个子区间 上不是单调函数，则实数 的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
6. 下列命题为真命题的个数是（ ）
① ；② ；③ ；④ 。
A、 B、 C、 D、
7. 设 为实数，且 ，函数 ，求函数 的单调区间。
8. 已知函数 ，其中 且 ，讨论 的单调性。
9. 已知函数 。若函数 是区间 上的"完美函数"（即 与 在该区间上均单调递增），则正整数 的最小值为（ ）
A、 B、 C、 D、
10. 已知函数 ，，讨论 的单调性。
📋 参考答案
1.【说明】严格按 计算：，递减需 即 ，真递减区间为 。
2. 对原式求导：。令 得 ；令 结合原式得 。于是 。因 ， 递增且 ，故 、。单调递增区间为 ，选 D。
3. 在 恒成立 。 在 递减，最大值在 处为 。故 最小值为 ，选 C。
4. 由 ，知 在 上递增。对 有 ，即 ，选 C。
5. 定义域 ，，临界点 （左侧递减、右侧递增）。子区间 要"不单调"，须含 于其内部且整段在定义域内，即 且 ，得 ，选 C。
6. ① ，假；② ，真；③ ，真；④ ，真。共 个真命题，选 C。
7.（）。
若 ： 恒成立， 在 上单调递增； 若 ：令 得 。当 时 ，当 时 。故在 递减，在 递增。
8.。
若 为偶数： 为奇数， 随 单调。当 时 ，当 时 。故在 递增，在 递减。 若 为奇数： 为偶数，。当 时 ，当 时 。故在 递增，在 、 递减。
9.，在 上（取 时 ）恒正，故 递增。再看 。令 ，则 ，且 ，故 。要使 ，需 。最小正整数 ，选 B。
10. 定义域 ，，分母恒正，看分子 。
若 ：分子 ， 在 单调递增； 若 ：方程 的两正根为 ，。在 、 递增，在 递减； 若 ：仅有一正根 。在 递减，在 递增。
单调性是导数应用的第一块基石。把"谁正谁增、谁负谁减"刻进肌肉记忆，下一讲（极值与最值）就能直接站在这块石头上。预祝学习顺利，下期见。
