试题分析:用“设参法”解决反比例函数中一道线段比值问题

沪科版数学新教材九年级上册“反比例函数”中，有一道涉及线段比值问题（第69页第4题），现予以分析.

一、原题展示

    如图，已知反比例函数 y₁=1/x，y₂ = 3/x 在第一象限的图象，过 y₂ 图象上任意一点A，作x轴的平行线交 y₁图象于点B，交y 轴于点 C，过点 A 作 x 轴的垂线交 y₁ 图象于点 D，交x轴于点E，连接 BD，CE.求 BD/CE 的值.

    二、解法梳理

    【解法一】证明相似法.通过设置坐标，利用“两边成比例且夹角相等”证明两个三角形相似，得到BD∥CE，然后将比进行转化.

设点A坐标为(a,3/a).则其它三个点坐标分别为

点 C(0,3/a)，B(a/3,3/a)，E(a, 0)，D(a, 1/a).

计算长度

AD = 2/a，AE = 3/a，AB = 2a/3，AC = a.

这样得到△ABD∽△ACE.

得到BD/CE=AD/AE=2/3.

【解法二】三角函数法.通过设置坐标，利用“锐角的正切值相等得到两个锐角相等，从而平行”，证明两个三角形相似，然后将比进行转化.

设置坐标如上.

tan∠ABD =AD/AB =3/a².

tan∠ACE =AE/AC =3/a².

所以，∠ABD=∠ACE.

这样，就得到平行和相似，结果如上.

【解法二】坐标距离公式法.通过设置坐标，利用“两点间的距离公式”，直接计算线段之比.

经计算，BD=2/3√（a²+9/a²）,CE=√（a²+9/a²）.

所以，BD/CE=2/3.

这是一种“不需要任何几何技巧”的硬核解法，核心思想是把线段长度用两点间距离公式表示出来.虽然计算稍显繁琐，但胜在思路直白，适合培养学生的代数运算能力和“设而不求”的思想.

    三、价值梳理

这道题是一道极具代表性的“反比例函数与几何综合”题，其教学价值主要体现在以下几个方面.

1. 强化“设参法”与“设而不求”的代数思想

题目中点A是“任意一点”，这意味着无论A在哪里，结论都成立.对于初中生来说，面对“任意一点”往往无从下手.本题教导学生：大胆设出点A的坐标.在后续计算中，参数会在化简过程中被自然消去.这种“设参、用参、消参”的过程，是初中数学向高中数学过渡的关键能力.

2. 渗透“数形结合”与“转化化归”的数学思想

    数形结合：将几何问题（求线段比值）转化为代数问题（坐标与方程计算）.

    转化化归：将求斜线段BD与CE的比值，转化为求直角边AB与 AC的比值.通过证明 tan∠ABD=tan∠ACE，把复杂问题简单化.

3.揭示反比例函数的几何本质

反比例函数图象上的点，其横纵坐标之积为定值.在这道题中，利用这一性质，可以迅速求出各点的坐标和线段长度.这让学生深刻体会到k的几何意义.

总之，这道题，通过设置参数，学生经历了求点的坐标、求线段长度、求三角函数等数学过程，渗透了数形结合、转化等思想，发展了推理能力、几何直观、运算能力等.

（2026.10.8）