初中第一次期中考试就考IMO试题——北师大实验26级七上数学期中难题溯源

新初一第一次期中考试数学题竟然是国际数学奥林匹克竞赛试题改编——北师大实验26七上数学期中试卷难题溯源

2026年七年级（新初一）上学期的期中考试刚刚过去，作者也是利用周末时间搜集了一些名校的数学期中试卷及答案，详见《2026北京市北京中学初一上数学期中试卷答案》、 《2026北京市东直门中学初一上数学期中考试》、 《2026海淀区七上期中数学增值评价基线调研》和 《2026北京市北师大实验七上数学期中试卷答案》，恰好东城、西城、海淀、朝阳（东西海朝）各选一套。

这其中，或多或少都加塞了一些小学奥数级别的难题或者擦边的超纲题，比如涉及到幻方、分段函数、坐标系、立方体展开，甚至还暗搓搓地塞进去行列式，等等。

但北师大附属实验中学的考题难度明显偏大。

北师大实验初一期中卷的第27题，核心路线“进制+回文” 的组合在数学竞赛题里也少见，可能来自作者前文《1988年第二十九届IMO试题解答（Day 1）》中介绍的1988年国际数学奥林匹克竞赛的第三题。

而师大实验卷的最后一道大题可能改编自 IMO 1976 第 4 题。

1976年国际数学奥林匹克竞赛的第四题如下：

Determine, with proof, the largest number which is the product of positive

integers whose sum is 1976.

（若干正整数的和是 1976，求这些正整数之积的最大值。）

师大实验新初一期中考的第30题如下：

30. 将一组正整数分成若干小组，每个小组内至少含有一个数，每个原始数字只能归入一个小组，小组不计先后顺序，分组数量不少于 1。

把每个小组内所有数字求和，得到该小组的组和；称一种分组方案下，所有小组组和的乘积，为该种分组方案的权重值，权重值最大的分组，为最优分组，最大权重值记为 W。

示例：数字 3，5。

方案 1：全部作为 1 个小组，{3,5}，组和为 8，权重值为 8；

方案 2：分成两组 {3}、{5}，两组组和依次为 3 和 5，权重值 3 × 5 = 15。

故最优分组为方案 2，最大权重值 15。

(1) 对数字 2，3，5 进行分组，一共存在________ 种不同的分组方案，最大权重值 W = ________。

(2) 记从 1 到 n 这 n 个正整数，经过分组得到的最大权重值为 W(n)。

① 当 n = 4 时，W(4) = ________；

② 取 n = 2025，将数字 2026 并入 {1, 2, ..., 2025} 最优分组中某一组（这组组和为 a），记这个新分组方案的权重为 P₁；保持 {1, 2, ..., 2025} 的最优分组不变，在此基础上增加新小组 {2026}，得到另一个分组方案，记该方案的权重值为 P₂。

若 P₁/P₂ = 3/2026，则被并入那一组的组和 a = ________。

(3) 设一组正整数相加的总和为定值P ≥ 6，则可得到的最大权重值 W = ________。

可见，师大实验的压轴（大轴）题的第三问（第30题 (3)）就是将IMO 1976 Problem 4 的 “和为1976”（将当年年份作为常数出题是IMO习惯）改成了 “和为定值 P≥6” . 

IMO 1976 Problem 4 的答案如下：

1976 = 3×658 + 2最大乘积 = 2×3⁶⁵⁸  .

解法要点如下：

设 a₁ + a₂ + … + a_n= 1976 ，

若任一项 a_i > 4 则

a_i – 4 > 0

2a_i – 4 > a_i

2(a_i – 2) > a_i ，

所以对任何大于4的 a_i 都可以分解为2(a_i – 2) 来得到更大的乘积，

只需要考虑小于等于4的正整数。

这其中，又要考虑

不能出现 1；

4 = 2+2 而乘积不变；

三个 2 不如两个 3。

所以只用 2 和 3，且 2 不能超过两个，个数由 1976 除以 3 的余数决定。

而师大实验初一上学期期中卷第30题(3) 把一次性答案推广成了含 P 的通式：

P = 3q     → W = 3^qP = 3q+1     → W = 4×3^q-1P = 3q+2     → W = 2×3^q ，

即

把 P 拆成若干个 3（余 1 时留 4 = 2 + 2，余 2 时留一个 2），乘积最大：

，

代入 P = 1976（= 3×658 + 2），得到 2×3⁶⁵⁸，就是IMO 1976 #4 的答案。

（顺带一提，题面写的 P ≥ 6 是保守的冗余写法，P = 2,3,4,5 时公式照样成立，只有 P = 1 时乘积无意义。）

不得不说西城的初中也太卷了，很难想象没有接触过同余、带余数除法等概念的小同学刚从小学升上来就要在初中第一次大考的考场上面对这样的题目是什么感觉。