2026北师大版小学数学五年级上册学生AI智能体深度理解16法：第3篇｜第一单元 小数的再认识和加减法·一起去买书——深度理解16法之「效果历史」

北师大版义务教育教科书 · 数学 五年级上册 · 第一单元 小数的再认识和加减法·一起去买书

🏫 学校：dxyc2360      👨‍🏫 指导教师：张元方

📖 一、开篇引言

五年级上册第一单元的第 8 页，画的是一处书摊。摊上摆着《数学家的故事》，一共 4 套，招牌上写着优惠价共 93 元。四个孩子围在摊前，其中一个说：「我们每人买 1 套吧。」四套书、四个人、一共 93 元，问题就压在纸面上：1 套《数学家的故事》多少元？

这道题孩子张口就能列式：93÷4。列完式子他算得也快：4 乘 23 得 92，余 1。笔就停在那儿了。停在那一个「1」上。你问他 1 套多少元，他答「23 元」，再补一句「还剩 1 元」，好像这道题已经做完了。

停在这里不是他懒。三年级学的有余数除法就是这条规矩：分不完的剩下，写在商的后面，叫余数。这条规矩在他脑子里扎了两年，扎得很稳。93÷4 一上手，那套旧规矩自动接管，把「余 1」当成终点。教材偏不认这个终点，页边印着一句小字：「余下 1 元怎么办？可以继续分下去。」

这一篇换一个法子读这两页，用「效果历史」。效果历史说的是：过去并没有过去，过去一直在暗处使劲。你今天怎么看一件事，是被你先前学过的东西塑造成这样的。孩子把余数当终点，不是笨，是三年级那套除法在他身上留下的效果。看清这个效果，才知道下一步该往哪儿迈。

效果历史还有半句：光知道自己在受影响不够，得让这个影响变成手里的工具。三年级的除法让他会分——4 套分下来每套 23 元；也让他停——以为余数就是答案。同一套本事，一面是台阶，一面是墙。这一页要做的，是把墙拆成台阶：余下的 1 元不是「分不下去」，是「还没换单位」。

两页的编排恰好把这条路铺了出来。第 8 页先用最实在的东西开头：1 元＝100 分，余下的 1 元换成 100 分，100÷4＝25 分，25 分就是 0.25 元，所以 93÷4＝23.25 元。第 9 页把那句生活话抽成数学话：余数 1 看成 10 个 0.1，接着往下分。「算一算，说一说」里的 25÷2、13÷5，练一练里的香皂、51÷6、盾构机，换的是场合，动作是同一个。

家长最容易做错的一件事，是在孩子写完「23 余 1」的时候直接说「错了，重算」。这一句下去，孩子记住的是自己又错了，看不见错在哪儿——他明明按三年级的规矩做得一丝不苟。换个说法，把错处指给那套旧规矩看：「你这一步没错，三年级就是这么算的。可现在是五年级，余下的 1 元还能再分。」错不在他，错在规矩只够用到那一步。

带这一页，头一件事不是教竖式，是让孩子自己说出那句「我现在用的是三年级的分法」。说得出口，效果历史就露头了；说不出口，后面每一步都是硬灌，灌完就忘。

📊 二、思维导图

第一单元 小数的再认识和加减法 · 一起去买书（第 8—9 页）内容地图

这张图把两页摊平看：左边是 4 套 93 元这道情境题，从「23 元余 1 元」到「1 元＝100 分，100÷4＝25 分」，再到「余数看成 10 个 0.1」；中间是第 9 页的 25÷2 与 13÷5，两条竖式的落数位置一一标出；右边是练一练三道题与四个易错点。底下压着「效果历史」的三个动作——认下旧办法在起作用、把余数换成更小的单位、看清今天这一步会成为明天的基础。

🔑 三、深度理解16法之「效果历史」

效果历史讲什么

「效果历史」是伽达默尔在《真理与方法》里提出来的一个说法，德文原词由两截拼成，一截是「作用、效果」，一截是「历史」。合起来的意思不是「历史造成的结果」，而是我们始终站在历史的作用之中。他反对的是另一种态度：以为自己可以退到历史外面，像看玻璃柜里的标本那样，冷冷地看一件事。

伽达默尔说，理解的人从来不是站在岸上的旁观者，他自己就在水流里。他拿来判断的那双眼睛，是历史给的；他分辨轻重的那把尺子，也是历史给的。所以真正清醒的理解，第一步不是「我要客观」，而是承认我这份眼光本身就是被塑造出来的。他把这份自觉叫「效果历史意识」：知道自己正被影响，并且把这个「被影响」算进理解里去，不再假装它不存在。

搬到五年级的数学课上，这一法针对的是一种很普遍的错觉：学过了，就过去了。孩子以为三年级的有余数除法已经「学完、考完、收进柜子」，从此与新的题无关。事实正相反——它一步也没走，它就蹲在 93÷4 这道题的第一步上，替他决定「余 1 就是答案」。旧知识不是行李，是地基；地基不出声，可房子往哪儿歪，是它定的。

效果历史在这一节要落成三个动作。第一个动作是认账：让孩子自己说出「我刚才用的是三年级的分法，分到余数就停了」。这句话一出口，那个偷偷使劲的东西就被摆到了桌面上。第二个动作是换单位：余下的 1 元不是「不够分」，是「1 元可以换成 100 分」；100 分除以 4，每份 25 分，25 分写成 0.25 元。第 9 页把这一步抽成「余数 1 看成 10 个 0.1」，道理一模一样，只是把元角分换成了计数单位。

第三个动作是看远：让孩子看见今天这一步也会留下效果。今天他把「余数看成 10 个 0.1」，明天学分数时会说「1 除以 4 就是四分之一」，后天学循环小数时会说「照这样一直分下去永远分不尽」。同一条路，他今天只走了开头几米。效果历史让人明白：知识不是一块块砖搬进来，是一条河往前流，上一段的水推着下一段走。

教材的编排顺序，本身就是效果历史的一份证据。它没有一上来就教「余数看成 10 个 0.1」这句抽象话，先让孩子算 93÷4 余 1 元，再让他把 1 元换成 100 分。元角分这套东西不是数学的发明，是生活里早就有的换算规矩，孩子从小买零食就懂。教材从这条老路起步，走通了再把路抽成「10 个 0.1」。这个次序不是随意的，它是「知识怎么长出来的」那个真实次序的缩写。带孩子读这一页，把这一点讲明白，他会忽然明白：原来课本不是随便排的。

要说清「效果历史」和「前见检验」的分工，两者容易混。前见检验是回头审自己的判断：我这个想当然，站不站得住？效果历史是承认影响一直在起作用，并且顺着它往前接。前者像回头检查鞋带系紧没有，后者像看清自己站在哪条路上、这条路是从哪里修过来的。这一节两件事都要做：先用前见检验把「余数就是答案」这个想当然摇松，再用效果历史看清三年级那套除法该怎么往下接。

📝 四、核心概念与公式

本节五个知识点，逐条对照第 8—9 页

知识点一 · 「余数」在整数除法里是终点，在小数除法里是下一个起点。93÷4＝23……1，这一步完全正确，错不了。整数世界里，1 元不够再分给 4 个人，分到此为止。小数世界里，1 元还能换成更小的单位接着分，所以那个「1」不是句号，是逗号。孩子要学的第一件事不是新的算法，是分辨自己什么时候停错了地方——余数不为 0，说明还有没分完的份，只是它现在小到不能再按原来的单位分。

知识点二 · 换单位：1 元＝100 分，25 分＝0.25 元。余下的 1 元平均分成 4 份，每份是 1÷4 元。把 1 元换成 100 分，100÷4＝25，每份 25 分；1 分是 0.01 元，25 分就是 0.25 元。所以每套书 23 元 2 角 5 分，写作 23.25 元。这一步用的是孩子早已熟悉的钱币换算，不新，可靠。

知识点三 · 把 1 看成 10 个 0.1，是换单位的数学写法。教材第 8 页的旁注把上面那一步抽象出来：把 1 平均分成 10 份，10÷4＝2……2，商 2 表示 2 个 0.1，就是 0.2；余下的 2 个 0.1 再换成 20 个 0.01，20÷4＝5，是 5 个 0.01，就是 0.05。0.2 与 0.05 合起来是 0.25。同一件事，一次用元角分说，一次用计数单位说，第二种才是数学的语言。

知识点四 · 余数后面添一个 0，等于把它换成低一级的单位。第 9 页的 25÷2：商 12 余 1。这个余下的 1 是个位上的 1，换成十分位就是 10 个 0.1，在竖式上写成余数后面添一个 0，变成 10；10÷2＝5，商的小数部分写 5，得 12.5。13÷5 同理：商 2 余 3，3 换成 30 个 0.1，30÷5＝6，得 2.6。添 0 不是补位好看，是换算单位。

知识点五 · 商的小数点与被除数的小数点对齐。被除数是整数时，小数点藏在个位的右下角。商写到整数部分以后，只要往下继续分，就要在那个位置点上小数点，后面接着写十分位、百分位。93÷4 的商是 23.25，不是 2325，也不是 23.2.5；25÷2 的商是 12.5，不是 125。小数点一漏，整个数就放大了一百倍或十倍。

本节公式与常用算式（第 8—9 页原题）。93÷4＝23（元）……1（元）；1 元＝100 分；100÷4＝25（分）；25 分＝0.25 元；93÷4＝23.25（元）；10÷4＝2……2，余数 2 表示 0.2；25÷2＝12.5；13÷5＝2.6；51÷6＝8.5；14÷8＝1.75。要记住的那一句：余数不是终点，余数后面添一个 0，它就换成了低一级的单位，可以接着分。

📜 五、教材原文

教材原文

略

为尊重教材版权、避免与原文大比例重复，第 8—9 页的情境图对话、两道追问、旁注说明、「算一算，说一说」与练一练三道题的题干，一律【略】。两页的栏目结构、每道题的题干要点与图中信息，见第八节「教材内容逐点拆解」；五个知识点的要点见第四节「核心概念与公式」。

🧩 六、重点难点分析

难点一：算到余数就停手，以为题目做完了

这是本节最靠前的一道坎，也是「效果历史」要解决的头一个问题。孩子写 93÷4＝23……1，字迹工整，过程无误，抬起头看你。在他心里这道题没有留白：有余数除法就是这么写的，三年级考过好多遍。难在没人告诉过他「停」和「继续」的分界在哪儿——整数世界里余数合法，是因为没有更小的单位可用；一旦有了小数，那个「不够分」就变成了「还没换单位」。破法不是重复讲「要接着算」，是让他自己发现矛盾：问他「4 套 93 元，每套 23 元，一共 92 元，还有 1 元去哪儿了」，钱不对账，孩子自己坐不住，再问「这 1 元能不能再分」，路就通了。

难点二：1 元＝100 分 与 「10 个 0.1」两条路对不上

教材把同一件事写了两遍：第 8 页用钱说，1 元换 100 分；旁注用数说，1 看成 10 个 0.1。孩子常常把两条路背成两句孤立的话，问他为什么 1 元能换 100 分他会答（元角分），问他为什么 1 能看成 10 个 0.1 他就含糊。含糊的地方在于他没看见：这两句说的是同一个动作——把 1 个「一」换成 10 个「十分之一」，再把 1 个「十分之一」换成 10 个「百分之一」。破法用一条线连起来：1 元＝10 角＝100 分，1＝10 个 0.1＝100 个 0.01，让孩子把两行并排写在纸上，指着说「一样」。写一次，比听十次牢。

难点三：商的小数点漏写或点错位置

93÷4 算出 2325，25÷2 算出 125，13÷5 算出 26——这一类错误在这一节出现得最多，原因是孩子的注意力全在「继续分」上，小数部分一分出来，笔就顺着往下写，忘了整数部分和小数部分之间还有一道界。更隐蔽的一种是点位错：23.2.5、2.325。纠法只有两条，都得动手不动嘴：一是让孩子在竖式上先把被除数的小数点点出来（整数就点在个位右下角），商的小数点对着它落笔；二是算完用乘法回验，23.25×4 该得 93，若写成 2325，一乘就是 9300，孩子自己就看出小数点丢了。

难点四：余数代表的位值看不清（余 1 是 1 个一，不是 0.1）

13÷5 余 3，这个 3 是 3 个「一」，不是 3 个「0.1」。孩子若把 3 直接写到十分位上，得 2.3，就错了；正确做法是把 3 个一换成 30 个 0.1，30÷5＝6，得 2.6。错因是「余数写下来就完事」，没有问一句「这个数站在哪一位上」。破法是把位值标签贴在余数旁边：写竖式时让孩子在余数上方标一个小字「一」，添 0 之后改成「十分位」，再算。位值一标出来，3 变成 30 就有了来处，不再像变戏法。

难点五：继续分要分几轮，判断不出商有几位小数

93÷4 分一轮就干净了，25÷2、13÷5 也是。练一练第 3 题的 14÷8 要分两轮：商 1 余 6，6 换成 60 个 0.1，60÷8＝7 余 4，7 落在十分位；4 个 0.1 换成 40 个 0.01，40÷8＝5，落在百分位，结果 1.75。孩子常在第一轮之后又停手，得 1.7，忘了余下的 4 还能再换一次单位。判断办法很干脆：只要余数不是 0，就还能往下换、往下分。这一条记牢，「分几轮」就不再靠猜。

难点六：不确定答案对不对，全程没有验算的习惯

这一节的所有题，答案都能用乘法找回来：23.25×4＝93，12.5×2＝25，2.6×5＝13，8.5×6＝51，1.75×8＝14。孩子不做验算，不是不会乘，是没想到除法的结果可以乘回去。养成这个动作的窍门是把它变成一句话的规矩：商乘除数，要回到被除数。回不去，就是错在「继续分」那一步（少分一轮、余数没换单位），或是小数点掉了位置。带这一页时不妨每道题都留一行验算，五道题写五行，一个星期就成习惯。

❓ 七、常考易考题与易错题

题型一：整数除以整数，商是小数（竖式题）

例题：93÷4＝？答：23.25。易错：写成 23……1 就交卷；或写成 2325。错因是把整数除法的收尾方式带过来了。纠法：先算整数部分得 23 余 1，再问一句「余 1 还能不能换」，把 1 换成 100 分或 10 个 0.1 接着分；商的小数点对着被除数的小数点落笔。

题型二：有余数除法的「继续分」判断

例题：25÷2 与 13÷5 各得多少？答：12.5 与 2.6。易错：答 12……1、2……3（停了）；答 12.05、2.03（把余数直接挪到十分位）。纠法：余数后面添 0 之前先问「这是几个一」，添 0 之后才算是「几个 0.1」；算完用 12.5×2＝25、2.6×5＝13 回验。

题型三：用元角分换单位求单价

例题：余下的 1 元平均分成 4 份，每份多少元？答：1 元＝100 分，100÷4＝25 分，25 分＝0.25 元。易错：答 0.25 分、答 2.5 角、答 25 元。错因是单位换来换去忘了换回来。纠法：换一次单位就在旁边记一笔，收口时对着问句的单位核一遍——问的是「元」，答案就必须写成元。

题型四：根据算式讲故事（51÷6）

例题：根据 51÷6 讲一个故事，并借助图算出结果的小数部分是多少。答：结果 8.5，小数部分是 5 个 0.1。易错：故事讲成「51 减 6」；小数部分答成 0.5 或 5。纠法：故事里必须出现「平均分成 6 份」这个动作；算小数部分时盯着余数 3——3 个一换成 30 个 0.1，30÷6＝5，落在十分位。

题型五：同一种商品两种包装，比较每块多少钱

例题：两包香皂，一包 15 元、一包 21 元，每块分别多少元？答：各自用「每包的钱数÷每包的块数」，除到余数为 0 为止。易错：拿两包的总价直接比大小，说 15 元那包便宜；或块数数错。纠法：先数清每包几块，再算每块单价，比出高低；比的是单价，不是总价。

题型六：求平均每单位量的应用（盾构机）

例题：一台盾构机 8 小时挖掘隧道 14 m，平均每小时挖掘多少米？答：14÷8＝1.75（m）。易错：答 1.7（少分一轮）；答 8÷14（被除数与除数颠倒）。纠法：先问「把谁平均分成几份」——14 m 分给 8 小时，被除数是 14；余 6 换成 60 个 0.1，60÷8＝7 余 4，再换成 40 个 0.01，40÷8＝5。

题型七：用乘法验算除法结果

例题：算出 93÷4＝23.25 后，怎样说明它是对的？答：23.25×4＝93，回到被除数。易错：只把商抄一遍算「验算」；或乘完发现得 93.0 就以为错了。纠法：验算只有一条判据——积等于被除数；23.25 乘 4，先算 23×4＝92，再算 0.25×4＝1，92＋1＝93，两段一合就对上了。

📄 八、教材内容逐点拆解

栏目一 · 「一起去买书」情境图（第 8 页）

这一页的主体是一处书摊：摊上摆着《数学家的故事》，标着「4 套」「优惠价共 93 元」，四个孩子站在摊前，其中一个说「我们每人买 1 套吧」。带这一栏，第一步不是算，是把三样东西认准：4 套（不是 4 本，一套是好几本，但价钱按套算）、93 元（是四套合起来的钱，不是一套的钱）、每人 1 套（四个人正好买走四套）。三句话说清，问题的意思就浮出来了：把 93 元平均分成 4 份，求一份。

这里有个小地方值得停一下：孩子若把「4 套」听成「4 本」，后面的除法照样算得出来，答案却是错的。让他指着图数一遍套数，比讲十遍「看清题目」有用。效果历史在这一栏的用法很朴素——先承认孩子带着三年级的眼睛来看这张图，那双眼睛会告诉他「平均分，用除法，算完写余数」，他要做的只是在旧动作后面再接一个动作。

第 8 页第一个问题 · 1 套《数学家的故事》多少元

题目原文要点：「1 套《数学家的故事》多少元？」情境给出 4 套共 93 元。考查什么：把「总价÷套数＝单价」这件事落到有余数除法上，看清整数部分怎么来。思路：93 元平均分成 4 份，先分整元。分步过程：①列式 93÷4；②十位 9÷4 商 2，二四得八，9 减 8 余 1；③把个位 3 落下来成 13，13÷4 商 3，三四十二，余 1；④商 23，余 1，即每套 23 元，还剩 1 元。易错：把 93÷4 算成 23 余 13；商的十位写成 3。验算：23×4＝92，92 加余下的 1 正好 93，整数部分无误。

带这一问最忌讳的是「算对了就往下走」。23 余 1 只是半场，要在这里多问一句：「四个人各付 23 元，一共付了 92 元，柜台收的是 93 元，那 1 元在谁手里？」孩子会愣一下，接着自己说出「还没分掉」。这一愣，就是效果历史起作用的地方——他第一次看见，自己刚才用的那套三年级的分法，只把整元分完了，剩下的不再管。

第 8 页第二个问题 · 余下的 1 元平均分成 4 份，每份是多少元

题目原文要点：页边先问「余下 1 元怎么办？」旁有小字答「可以继续分下去。」接着问「余下的 1 元平均分成 4 份，每份是多少元？」考查什么：把「不够分」翻译成「换成更小的单位再分」。思路：1 元换 100 分，再平均分。分步过程：①1 元＝100 分；②100÷4＝25（分）；③1 分＝0.01 元，25 分＝0.25 元；④答：每份是 0.25 元，也就是 2 角 5 分。易错：答 0.25 分；答 25 元；答 2.5 角却把答案写成 2.5 元。验算：0.25×4＝1，四份合起来正好 1 元。

这一问是整个小节的门轴。孩子手里那 1 元不是抽象的数，是能换开的一张纸币——换成一百分，四个孩子一人二十五分。让他真拿一张一元的纸、在纸上画四份、每份写上「2 角 5 分」，动作比讲道理扎实。做完这一问，把两个商并起来说一遍：「每人 23 元，再各添 2 角 5 分，就是 23.25 元。」这句话说顺了，下一栏的抽象写法才有落点。

栏目二 · 旁注「把 1 平均分成 10 份」（第 8 页）

题目原文要点：旁注写「把 1 平均分成 10 份，10÷4＝2……2，余数 2 表示 0.2，还要继续分……」。考查什么：把上一栏的钱币换算法，抽成计数单位的换算法。分步过程：①把 1 看成 10 个 0.1；②10÷4 商 2 余 2，商 2 表示 2 个 0.1，即 0.2；③余下 2 个 0.1 换成 20 个 0.01，20÷4＝5，5 个 0.01 是 0.05；④0.2 加 0.05 得 0.25。易错：把余数 2 直接当成 0.02；算到 0.2 就停，忘了「还要继续分」这半句。验算：0.25×4＝1，回到被分的那个 1。

这段旁注是本节最容易被孩子跳过的一行字，偏偏它最要紧。钱币换算靠的是生活经验，换个情境（比如 1 m 平均分成 4 份）就没有元角分可借了，能救场的只有「10 个 0.1」。带这一栏，让孩子把两条路并排写在纸上：左边写「1 元＝100 分，100÷4＝25 分」，右边写「1＝10 个 0.1，10÷4＝2 余 2，得 0.2，再得 0.05」。写完指着两行问一句「这两件事一样吗」，孩子说「一样」，才算真的接上了。

栏目三 · 结论与答句（第 8 页下方）

题目原文要点：教材给出完整算式「93÷4＝23.25（元），1 套《数学家的故事》是 23.25 元」，后面留一个「答：」。考查什么：把整数部分的商与小数部分的商合成一个数，并写完整答句。分步过程：①整数部分 23；②小数部分 0.25；③合起来 23.25；④答：1 套《数学家的故事》是 23.25 元。易错：把 23 与 0.25 写成 230.25；答句漏单位「元」；写成 23 元 25 分。验算：23.25×4＝93，四套的钱数对得上。

答句这一步看着简单，其实是孩子第一次写「带小数的钱」。要他念一遍：二十三点二五元。念对了再写，写成 23 元 25 分的那种，多半是嘴上念的与手上写的不是一回事。还可以追一句「23.25 元是几元几角几分」，答 23 元 2 角 5 分，钱的概念与小数就合成一体了。这一页到此完成了一次完整的转换：从生活里的钱，到纸上的小数。

第 9 页「算一算，说一说」· 25÷2

题目原文要点：「算一算，说一说。」第一小题 25÷2，竖式旁边标出「余数 1 看成 10 个 0.1」，下方箭头指向 0.5。考查什么：没有元角分可借时，靠计数单位把余数接着分。分步过程：①25÷2 商 12 余 1；②余 1 是个位上的 1，换成 10 个 0.1；③10÷2＝5，商的小数部分写 5；④25÷2＝12.5。易错：答 12……1；答 12.05；把余数 1 写成 0.1 直接当小数部分。验算：12.5×2＝25。

这一题比 93÷4 干净：分一轮就分尽，没有钱的干扰。带的时候让孩子把竖式当成一张地图看——「1」落在个位之后，箭头往下拐一个弯，那个弯就是换单位的地方，弯过来变成 10，再除以 2 得 5，5 站在十分位上。手指顺着箭头走两遍，再动笔。

第 9 页「算一算，说一说」· 13÷5

题目原文要点：第二小题 13÷5，旁边标「余数 3 看成 30 个 0.1」，下方箭头指向 0.6。图边还有一句「余数 1 看成 10 个 0.1，余数 3 看成 30 个 0.1，就可以继续算下去了，真奇妙！」考查什么：把「余数添 0」看成一个可以反复用的动作。分步过程：①13÷5 商 2 余 3；②3 换成 30 个 0.1；③30÷5＝6；④13÷5＝2.6。易错：答 2……3；答 2.3（把余数 3 直接落到十分位）；答 2.06。验算：2.6×5＝13。

两句竖式摆在一起，差别只在余数：一个是 1 变 10，一个是 3 变 30，动作一模一样。教材那句「真奇妙」，奇就奇在这儿——不需要新规矩，老规矩换个单位就能一直往下走。让孩子把两题的余数用红笔圈出来，旁边各写一个箭号和「×10」，这个记号一立，练一练里的 51÷6、14÷8 都能照着走。

练一练 第 1 题 · 两种包装的香皂，每块分别多少元

题目原文要点：「网上商城销售同一种香皂。以下两种包装的香皂，每块分别多少元？说一说你是如何得到的。」图上给出两种包装，一种标 15 元／包，另一种标 21 元／包。考查什么：总量除以份数求单价，商是小数时要把余数接着分。思路：每块的钱数＝每包的钱数÷每包的块数，块数从包装图上数出来。分步过程：①数清每包几块；②分别列式，一包用 15 除以它的块数，另一包用 21 除以它的块数；③余数添 0 换成 0.1 接着除，除到余数为 0；④答：两种包装每块的价钱各是多少元。易错：拿 15 与 21 直接比大小，说 15 元那包划算；块数数错一位，商整体错。验算：每块的价钱乘每包的块数，要回到每包的总价。

这一题的算式随图上块数走，请以教材插画标注为准。带的时候拿一组具体数演示算法就够，例如一包 4 块标 15 元，15÷4＝3.75 元；另一包 6 块标 21 元，21÷6＝3.5 元——前者除到百分位，后者除到十分位，正好把「余数添 0 接着分」演两遍。落点要落在「比的是每块的价钱，不是每包的价钱」这句话上：孩子若答 15 元那包便宜，让他把两块香皂的钱数出来，一块 3.75 元、一块 3.5 元，谁便宜一眼就明。

练一练 第 2 题 · 根据算式讲故事，算出结果的小数部分

题目原文要点：「根据算式讲故事，并借助图计算出结果的小数部分是多少。」给出的算式是 51÷6。考查什么：由算式回到情境（讲故事），再由图回到小数部分（算余数）。思路：先编一件「51 个东西平均分给 6 个人」的事，再用图分出余数 3 的去处。分步过程：①讲：51 块糖平均分给 6 个小朋友，每人几块；②51÷6 商 8 余 3；③余 3 换成 30 个 0.1，30÷6＝5；④51÷6＝8.5，小数部分是 5 个 0.1，即 0.5。易错：故事讲成「51 减 6」；小数部分答成 0.3（把余数当小数）；答 8 余 3。验算：8.5×6＝51。

「讲故事」这一问练的不是算，是让算式有出处。孩子编的故事里必须出现「平均分成 6 份」这个动作，否则算式与故事对不上。带的时候让他先说一句完整的话：「51 块糖，平均分给 6 个人，每人分几块。」说完再动笔。小数部分最容易错在把余数 3 写成 0.3——提醒他一句：3 是 3 个一，要换成 30 个 0.1 才轮得到十分位，30÷6 才是那个 5。

练一练 第 3 题 · 盾构机平均每小时挖掘多少米

题目原文要点：「盾构机是挖掘隧道的大型工具，我国已经拥有了完全自主研发盾构机的技术与能力。一台盾构机 8 小时挖掘隧道 14 m，平均每小时挖掘多少米？想一想，说一说。」考查什么：把「平均每小时」翻译成「总量÷时间」，商是两位小数时的两轮继续分。思路：14 m 是总量，8 小时是份数，14÷8。分步过程：①14÷8 商 1 余 6；②6 换成 60 个 0.1，60÷8＝7 余 4，十分位写 7；③余 4 换成 40 个 0.01，40÷8＝5，百分位写 5；④14÷8＝1.75（m）。易错：答 1.7（少分一轮）；答 1.7 余 4 就停；列成 8÷14。验算：1.75×8＝14。

这一题的价值在于它是本页唯一要分两轮的。孩子上一题刚学会「余数添 0 分一轮」，很容易在第一轮之后又停手。带的时候把「余数不是 0 就还没完」这句话写在题旁，让他自己检查：第一次余 6，分成 7 之后又余 4，4 还不是 0，所以再来一轮。两轮走完，1 小时挖 1.75 m，比 1.7 m 多出 0.05 m，虽小，却是对错的分界。

栏目四 · 两页之间的关系（效果历史的一条线）

第 8 页用钱说话，第 9 页用计数单位说话，练一练三道题把两种说法混着用。三处连着看，孩子能看见一条线：余数不是垃圾，是还没换单位的那一份。93÷4 余 1 元换成 100 分；25÷2 余 1 换成 10 个 0.1；14÷8 余 6 换成 60 个 0.1，再余 4 换成 40 个 0.01。同一个动作，用了五次。

这条线往后还长。孩子到了这一单元后面学小数加减法，2.5 加 3.75 要对齐小数点，靠的是同一条位值规矩；再往后学小数乘法、循环小数，「一直分下去分不尽」也是从今天这个「余数添 0」的动作里长出来的。带这一页时不妨往远处指一下：今天你添的这个 0，以后还要添很多次。孩子听说自己学的是开头，不是全部，学起来会稳一些。

🛠 九、五步学习法

第一步：每天锻炼一个小时

这一节内容短，全靠手感，身体动起来比坐着看有效。每天留一小时，找个能「分东西」的活儿：把一袋 93 颗豆子分给 4 个碗，先每碗 23 颗，剩下 1 颗放在中间；再问这 1 颗怎么办，让他把 1 颗切成十小份，四碗各放两份，还剩两份；这两份再各切成十小份，四碗又各得五小份，一碗正好 23 颗加 2 个十分之一、再加 5 个百分之一。手上切过一遍，纸上那个「余数添 0」就不是符号了，是他真的把东西越切越小的记忆。跑步、跳绳这类运动照旧做，动完之后再坐下来算三道题，脑子清楚得多。

第二步：扎实掌握第一个知识点

这一节的第一个知识点不是除法，是「余数可以换单位」这一句。它不牢，后面 25÷2、13÷5、51÷6、14÷8 全是白练，孩子只是在照抄格式。练法很简单：拿一张纸写 1＝10 个 0.1＝100 个 0.01，让孩子用手指着念三遍，再问他「余下 3 个一，是几个 0.1」。答对 30，才往下走；答成 3 或 0.3，就回到那张纸。这个换算练到不假思索，竖式只是把这件事画出来，孩子不会觉得新东西太多。判断这一关过没过，只看两句话：问他「余下 1 是几个 0.1」，答 10；问他「余下 3 是几个 0.1」，答 30。两句都对，再碰 93÷4。

第三步：能积微者速成

两页内容分三次收最划算。第一次只做第 8 页：算 93÷4，算到余 1 就停，再用钱把它分完，写成 23.25 元。第二次做第 9 页的两条竖式 25÷2、13÷5，重点在「余数添 0」的位置和商的小数点。第三次做练一练三道题，重点在「只要余数不是 0 就还没完」。每次十五分钟，做完就停，不加题。一天三道题、连做七天，比一个晚上刷二十道稳得多——小数点的位置是靠次数磨出来的，不是靠一次讲透。三次之间隔一天，中间不提数学，让他忘掉一点、再想起来，反而记得牢。

第四步：运用对标思维突破学习困境

孩子卡住时别急着报答案，给他一个能对着走的样板。样板就是第 9 页的 25÷2：第一步 25÷2 商 12 余 1；第二步余数添 0 变 10；第三步 10÷2＝5；第四步合起来 12.5。四步写在纸上，让他拿这个架子去套 13÷5：商 2 余 3，添 0 变 30，30÷5＝6，得 2.6。套完再套 51÷6。三题走下来，他会发现难的不是算，是记住那两步——先看余数、再添 0 换单位。样板立住，后面几题都能自己走。他若套到一半卡住，不要替他算，只问一句「下一步该看哪儿」，让他自己说「看余数」。

第五步：运用杠铃法则缓解学习疲劳

杠铃法则讲两头重、中间轻。这一节可以这样排：开头五分钟做最轻的事，让孩子把 4 套 93 元这张图讲一遍，嘴巴先热起来；中间把最硬的两处放在精神最好的时段——93÷4 的继续分与 14÷8 的两轮继续分；收尾用一分钟做最轻的事，让孩子说一句「余数不是终点，添 0 就能接着分」，说完收摊。硬的两处啃下来，剩下的都是重复；若把硬骨头放在犯困的时段，孩子记住的只会是烦。练一练第 1 题那种比价题，可以放到收尾当消遣，算完让他说说「哪包划算」，说说笑笑就收了。

💡 十、费曼技巧应用

自问一：93÷4 为什么不能写成 23……1 就交卷？

能答出来，说明他分得清「整数除法的收尾」与「还有单位可换」的差别。答案：四个人各付 23 元，柜台只收到 92 元，还有 1 元没分掉；1 元能换 100 分，100÷4＝25 分，每人再付 0.25 元，所以是 23.25 元。孩子若答「余数就是余数」，让他把 23×4 算一遍，看差的那 1 元从哪儿来。

自问二：25÷2 里的余数 1，为什么添个 0 就变成 10？

能说清这一步，说明他懂位值而不是背格式。答案：余下的 1 站在个位上，是 1 个一；换成十分位就是 10 个 0.1，竖式上写成余数后面添一个 0，就是 10。答「老师说要添 0」的孩子，让他把 1＝10 个 0.1 念一遍，再问「余下 3 个一是几个 0.1」。

自问三：13÷5 的答案是 2.6，为什么不是 2.3？

能指出「3 是个位上的 3」，说明他没把余数直接搬进小数部分。答案：13÷5 商 2 余 3，这 3 是 3 个一，要换成 30 个 0.1，30÷5＝6，十分位写 6，得 2.6。写 2.3 的孩子，用 2.3×5＝11.5 回验一次，差 1.5，自己就看出来了。

自问四：14÷8 要分几轮才分得完，为什么？

能答出「看余数是不是 0」，说明他掌握了判断办法。答案：14÷8 商 1 余 6，6 换成 60 个 0.1，60÷8＝7 余 4，十分位写 7；4 还不是 0，再换成 40 个 0.01，40÷8＝5，百分位写 5，得 1.75，两轮分完。只答 1.7 的孩子，让他念一遍「余数不是 0 就还没完」。

自问五：用一句话说清「这两页到底在学什么」？

能一句话说圆，说明他把两页收进去了。参考答案：学的是除法分到余数还没完的时候，把余数换成更小的单位接着分，商就带上了小数。只说「学小数除法」太笼统，让他补上「余数怎么办」与「商的小数点在哪儿」两件事，答得出来才算过关。

🎯 十一、方法总结与知识脉络

这两页的内容，用一句话概括：除法分到余数时，把余数换成低一级的单位接着分，商就有了小数部分。「效果历史」在这一节的作用，是让孩子看清自己站在哪儿——他手里那套「分不完就写余数」的本事，是三年级留下的，它一直在他身上使劲，既让他会分，也让他停手。认下这一点，再往前接一步，知识才算真的长在他身上，而不是贴在表面。

往前后看，这条线很清楚。往前，三年级的有余数除法是它的来处：那里余数合法，因为世界只有整数；这里余数要继续，因为位值制允许往更小的单位走。往后，本单元接着学小数加减法，小数点对齐靠的是同一套位值规矩；再往后学小数乘法、小数四则混合运算，甚至循环小数里那句「永远分不尽」，都是今天这个「余数添 0」的动作走了很远之后的样子。

给家长一句实在话：这一节别急着比速度。孩子一分钟算出 23 余 1，不算学会；能说清「那 1 元去哪了、为什么能变成 0.25」，才算。他磕磕巴巴讲完 93÷4 那一段，比闷头做十道竖式值钱。五年级上册是小数的起始段，这一段的地基不是算得快，是知道「单位还能往下换」——地基稳了，后面学什么都是在上面加层。

真想把这一节验收清楚，不妨让孩子当一次小老师：拿 93÷4 这道题讲给家里人听，讲清四套 93 元怎么分、余下的 1 元怎么处理、答案为什么是 23.25 元，讲完再补一句「25÷2 和 13÷5 用的是同一个办法」。讲得下来，这一页就过了；讲不下来，回到第 8 页那句旁注，把「1 看成 10 个 0.1」念三遍再来。

🚀让知识图谱xueketupu.com成为你的专属学习助手

如果你觉得这篇文章有用，点个「在看」和「赞」👇转发给身边的朋友，TA会感谢你的。