高中数学|导数求单调区间总丢分?先限定义域再解不等式

导数题的第一个动作不是求导，而是写出定义域：后面所有单调区间都必须落在定义域内。

对数函数含 ln x 时定义域 x>0。例：f(x)=ln x，区间永远从正半轴写起。

根式含 √x 时定义域 x≥0。例：偶次根号下必须非负。

分式分母含 x 时分母不为零。例：f(x)=1/x 的定义域是 x≠0。

取交集f′(x)>0 的解集要与定义域取交集。例：解出 x>2 但定义域到 5 为止，区间只写 (2,5)。

先写先受益答卷第一行写定义域，阅卷有过程分。例：即使后面出错，限域步骤也得分。

端点开闭单调区间端点一般用开区间。例：导数不为零的端点不含在区间里。

常见陷阱f(x)=ln x 在 x≤0 处「导数有解」但函数无意义。例：解了不等式忘了函数不存在，白做。

易错求完导直接解不等式，最后才想起定义域。例：f(x)=ln x − x 中 f′>0 解出 x<1，若不与 x>0 取交集，就会错写成递增 (−∞,1)。

划重点｜定义域写在前，解集与定义域取交集，区间不出圈。

【口诀 对数根号先限域，区间写完再回看，出圈一步全盘输。

求导不错是底线，六条基本公式必须秒出：常函数、幂、指数、对数、正弦、余弦。

常函数(C)′ = 0。例：常数求导为零，常数项不参与变号。

幂函数(xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹。例：(x³)′=3x²；(x)′=1；(1/x)′=−1/x²。

指数(eˣ)′ = eˣ。例：求导不变身，是它最特别的地方。

对数(ln x)′ = 1/x（x>0）。例：导数是正的，ln x 在定义域内恒增。

正弦(sin x)′ = cos x。例：sin 与 cos 轮流当导数。

余弦(cos x)′ = −sin x。例：别丢负号，一半的错都丢在这里。

运算法则(u±v)′=u′±v′；(uv)′=u′v+uv′。例：乘法求导是「互相导一遍再相加」。

易错把 (cos x)′ 写成 sin x。例：余弦求导带负号：(cos x)′ = −sin x。

划重点｜常数零、幂降次、e 不变、ln 取倒数，正弦换余弦、余弦换负正弦。

【记法 幂函数：指数下来当系数、指数减一当新幂，一条口诀管大半张卷子。

单调区间的固定三步：定域→求导化简→解 f′>0 与 f′<0 并与定义域取交集。

第一步定域写出 f(x) 的定义域。例：f(x)=ln x − x 的定义域是 (0,+∞)。

第二步求导f′(x)=1/x − 1=(1−x)/x。例：通分化简后再解，比硬猜快。

第三步解集f′>0 得 0<x<1；f′<0 得 x>1。例：分子分母同号才为正。

写区间递增 (0,1)，递减 (1,+∞)。例：两个区间分开写，中间用逗号。

不写并集多个增区间不能并成一块。例：(−1,0) 与 (1,2) 各自递增，并起来就错。

零点归边导数为零的点是区间分界，不属于任何一侧。例：x=1 处 f′=0，单写区间时不含。

答完回查每个端点检查是否在定义域内。例：30 秒的检查保住 5 分。

易错把两个增区间用并集符号连起来。例：区间 (0,1) 与 (2,3) 都递增，但 x 从 1 走到 2 函数并不单调，并集写法直接判错。

划重点｜定域、求导、解集取交，区间分开写、不并集。

【口诀 一定域、二求导、三解不等取个交；区间分开写，并集要吃牢。

极值点要同时满足两个条件：f′(x₀)=0 且两侧导数变号——左正右负是极大，左负右正为极小。

经典例f(x)=x³−3x，f′=3(x+1)(x−1)。例：零点 x=−1 与 x=1。

符号分布x<−1 时 f′>0；−1<x<1 时 f′<0；x>1 时 f′>0。例：在数轴上标出三段符号一目了然。

极大值x=−1 左正右负，极大值 f(−1)=2。例：−1+3=2，代函数值不是导数值。

极小值x=1 左负右正，极小值 f(1)=−2。例：1−3=−2。

不变号无极值f(x)=x³ 在 x=0 处 f′=0 但两侧同为正。例：导数为零不等于有极值。

极值与最值极值是局部概念，最值要看端点与区间。例：闭区间上最值在极值点与端点中挑。

列表答题答题时列 x、f′、f 的三行表。例：变号过程一目了然，过程分稳拿。

易错只令 f′=0 就宣布极值点。例：x³ 在 x=0 处导数为零但不变号，没有极值——「变号」这半边条件不能省。

划重点｜极值=零点+变号：左正右负极大，左负右正极小，答案代原函数。

【记法 极值像山顶山脚：得先停在平坡（导数为零），还得两侧换坡度（变号），光停不停变不算。

含参导数的讨论对象就三样：二次项系数的正负、两根的大小顺序、根与定义域的位置。

先看系数a=0 时退化为一次函数，要单独讨论。例：f′=ax²−x，a=0 时 f′=−x，递减一目了然。

再看判别式Δ≤0 时导数不变号，函数单调。例：f′≥0 恒成立则全程递增。

两根比较Δ>0 时比较两根 x₁<x₂。例：以 x₁、x₂ 为界分三段写区间。

与定义域比对根可能落在定义域外，落在外的根舍去。例：定义域 (0,+∞) 里根 x₁=−3 就不用讨论它左侧。

每种情况写全每个分支都要写完整区间与结论。例：漏一个分支整题扣分。

口诀化分类「一零二判三比根」。例：零点、判别式、根序三步走。

回头验证讨论完取一个具体参数代入验证。例：a=1 代进去对一遍，防分类漏项。

易错讨论了两根大小却忘了与定义域比较。例：根在定义域外时它那一段区间不存在，讨论了也是白讨论。

划重点｜含参三件事：系数正负、判别式、根与定义域的位置，逐个分类写全。

【小比喻 分类讨论像分拣快递：先看有没有件（系数为零），再看件数（判别式），最后看件往哪儿送（根的位置）。

1.求 f(x)=x³−3x 的单调递增区间。2.求 f(x)=x³−3x 的极大值与极小值。3.写出 f(x)=ln x 的定义域、导数，并判断其在定义域内的单调性。4.求 f(x)=x²−2x+3 的单调区间。5.求 f(x)=x·eˣ 的单调区间与极小值。6.求 f(x)=ln x − x 的单调区间。7.f(x)=x³ 在 x=0 处导数为零，x=0 是极值点吗？为什么？8.两个单调递增区间可以用并集符号连起来吗？举例说明。9.求 f(x)=x+1/x（x>0）的单调区间与最小值。10.含参导数分类讨论一般按哪三件事分类？

1.(−∞,−1) 与 (1,+∞)。解析：f′=3(x+1)(x−1)>0 的解集。2.极大值 f(−1)=2，极小值 f(1)=−2。解析：代原函数值，不是导数值。3.定义域 (0,+∞)；f′=1/x>0，在定义域内单调递增。解析：导数恒正。4.递减 (−∞,1)，递增 (1,+∞)。解析：f′=2x−2=2(x−1)。5.递减 (−∞,−1)，递增 (−1,+∞)；极小值 f(−1)=−1/e。解析：f′=(x+1)eˣ，eˣ>0 只看 x+1。6.递增 (0,1)，递减 (1,+∞)。解析：f′=(1−x)/x，与定义域 x>0 取交集。7.不是。解析：f′=3x² 两侧都为正，未变号就没有极值。8.不能。解析：如 (0,1) 与 (2,3) 各自递增，1 到 2 之间并不单调，并集写法判错。9.递减 (0,1)，递增 (1,+∞)；最小值 f(1)=2。解析：f′=1−1/x²。10.二次项系数的正负、判别式（两根是否存在）、根与定义域的位置。解析：一零二判三比根。