专题06
选填压轴二：零点、由区间单调性求参
数、恒成立问题、分离参数法（解析版）
一、
导数与零点
函数零点的定义：对于函数
)
(x
f
y
，把使
0
)
(
x
f
成立的实数x叫做函数的零点。
函数零点的存在性定理：如果函数
)
(x
f
y
在区间
]
,
[
b
a
上的图象是连续不断一条曲线，并
且有
0
)
(
)
(
b
f
a
f
，那么，函数
)
(x
f
y
在区间
]
,
[
b
a
内有零点.
即存在
)
,
(
b
a
c
，使得
0
)
(
c
f
，这个c 也就是方程
0
)
(
x
f
的根.
根据函数零点个数求解参数范围的问题的一般方法：
方法一：直接对函数
( )
f x 求导，求出极值点，讨论极大值与极小值的正负，从而确实函
数
f x 与x 轴交点个数.
方法二：将零点问题转化为两个函数的图像交点的问题，数形结合法.
二、
由区间单调性求参数
主要方法在等价转化：
1.
函数
( )
f x 在x
D
上单调递减等价于
( )
0
f
x
在x
D
上恒成立;
2.
函数
( )
f x 在x
D
上单调递增等价于
( )
0
f
x
在x
D
上恒成立;
3.
函数
( )
f x 在x
D
上不单调等价于
( )
0
f
x
在x
D
上有实数根.
三、
恒成立问题
不等式恒成立问题常见方法：
1.
讨论最值
min
0
f
x
或
max
0
f x
恒成立.
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2.
分离参数
a
f
x
恒成立(
max
a
f x
即可)或
a
f
x
恒成立（
min
a
f
x
即可）；
3.
数形结合(
y
f x
图像在
y
g x
上方即可)；
转化规则：
一般地，已知函数
y
f x
，
,
x
a b
，
（1）若
,
x
a b
，总有
f x
k
成立，故
max
f x
k
；
（2）若
,
x
a b
，总有
f x
k
成立，故
min
f x
k
；
（3）若
,
x
a b
，使得
f x
k
成立，故
min
f x
k
；
（4）若
,
x
a b
，使得
f x
k
，故
max
f x
k
．
一般地，已知函数
,
,
y
f x
x
a b
，
,
,
y
g x
x
c d
（1）若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，总有
1
2
f x
g x
成立，故
1
2
max
min
f
x
g x
；
（2）若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，有
1
2
f x
g x
成立，故
1
2
max
max
f x
g x
；
（3）若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，有
1
2
f x
g x
成立，故
1
2
min
min
f x
g x
；
（4）若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，有
1
2
f x
g x
，则
f
x 的值域是
g x 值域的子集．
四、
分离参数法
求解含参不等式分离参数法的关键也是将原问题等价转化
1.
通过分离参数，将不等式转化为
a
f
x
（或
a
f
x
）对任意的x
D
（D 为定义域）
恒成立，再转化为
max
a
f
x
（或
min
a
f
x
）．有时需要分式不等式除以正数或负数
需要分情况讨论.
2.
求函数
f
x 在区间D 上的最大值（或最小值）．
题型一导数与零点
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例一、
1．函数
3
2
f
x
x
ax
存在3 个零点，则a 的取值范围是（
）
A．
, 2
B．
, 3
C．
4, 1
D．
3,0
【答案】B
【分析】写出
2
( )
3
f
x
x
a
，并求出极值点，转化为极大值大于0 且极小值小于0 即可.
【详解】
3
( )
2
f x
x
ax
，则
2
( )
3
f
x
x
a
，
若
f
x 要存在3 个零点，则
f
x 要存在极大值和极小值，则a<0 ，
令
2
( )
3
0
f
x
x
a
，解得
3
a
x
或
3
a
，
且当
,
,
3
3
a
a
x
时，
( )
0
f
x
，
当
,
3
3
a
a
x
，
( )
0
f
x
，
故
f
x 的极大值为
3
f
a
，极小值为
3
f
a
，
若
f
x 要存在3 个零点，则
0
3
0
3
a
f
a
f
，即
2
0
3
3
3
2
0
3
3
3
a
a
a
a
a
a
a
a
，解得
3
a ，
故选：B.
2．已知函数
ln 1
,
0
1,
0
x
x
f x
x
x
，若函数
y
f x
a
有两个零点
1
x ，
2
x ，且
1
2
x
x
，则
2
1
1
1
x
x
的取值范
围为
.
【答案】
1
0, e
【分析】画出
f
x 的图象，
y
f x
a
的零点等价于
y
f x
与y
a
交点的横坐标，数形结合可得
1
a
且
1
2
ln 1
1
x
a
x
，即可得到
1
1 ea
x
，
2
1
x
a
，从而将
2
1
1
1
x
x
转化为关于a 的函数，利用导数说明
函数的单调性，即可求出函数的值域，即可得解.
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【详解】
y
f x
a
的零点等价于
y
f x
与y
a
交点的横坐标，易知
ln 1
y
x
在定义域上单调递减，
结合一次函数性质可得函数
f
x 的图象如下所示：
当
0
x
时
1 1
f x
x
，
又函数
y
f x
a
有两个零点
1
x ，
2
x ，且
1
2
x
x
，
所以
1
a ，且
1
2
ln 1
1
x
a
x
，所以
1
1 ea
x
，
2
1
x
a
，
所以
2
1
1
1
ea
x
a
x
，
令
ea
g a
a
，
1,
a
，则
1
0
ea
g
a
a
，
所以
g a 在
1,上单调递减，所以
e
1
1
g a
g
，又
0
ea
g a
a
，
即
1
0, e
g a
，即
2
1
1
1
0,
1
e
x
x
.
故答案为：
1
0, e
3．已知函数
1
1
ln
2
4
2
f x
m
x
x
n
在区间
3,5 上有零点，则
2
2
z
m
n
的最小值为
.
【答案】36
ln 3
【分析】根据函数零点性质，结合点到直线距离公式，通过构造新函数，利用导数求出最值即可.
【详解】设a 为
f
x 在
3,5 上的一个零点，则
1
1
ln
2
0
4
2
m
a
a
n
，
所以
,
P m n 在直线
1
1
ln
2
0
4
2
x
a
a
y
上，
又
2
2
2
2
2
0
0
m
n
z
m
OP
n
，O为坐标原点，
易知
2
2
2
2
1
1
0
ln
2
0
4
2
4
ln
1
1
ln
4
4
a
a
a
OP
a
a
，
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令
2
5
4
ln
3,
x
g x
x
x
，则
'
'
2
2
2
2
4
ln
ln
4
4
2ln
1
ln
ln
x
x
x
x
x
x
g
x
x
x
，
当
3,5
x
时，ln
0,2ln
1
0
x
x
，所以
0
g
x
，
g x 单调递增，
所以min
36
ln3
g x
，即
2
2
z
m
n
的最小值为36
ln 3 .
故答案为：36
ln 3 .
【点睛】关键点睛：根据点到直线距离公式，结合两点间距离公式，再构造函数求最值是解题的关键.
4．已知a＞0，函数f(x)＝2eax﹣x，若函数
( )
( ( ))
F x
f f x
x
恰有两个零点，则实数a 的取值范围是（
）
A．[
2
2
e ，1
e ）
B．（0，1
e ]
C．（0，1
e ）
D．[
2
2
e ，1
e ]
【答案】C
【分析】转化函数
( )
( ( ))
F x
f f x
x
恰有两个零点为f(x)＝x 有两个解，即eax＝x 恰有两个解，即a
lnx
x
恰
有两个解，研究函数g(x)
lnx
x
的单调性和取值范围，分析即得解
【详解】因为函数
( )
( )
( )
2
( )
2
2
af x
af x
ax
F x
e
f x
x
e
e
，
因此F(x)＝0，即eaf(x)＝eax，即af(x)＝ax，又a＞0，
所以函数F(x)恰有两个零点，即f(x)＝x 有两个解，
即eax＝x 恰有两个解，即a
lnx
x
恰有两个解，
记函数g(x)
lnx
x
，
则
'( )
g x
2
1 lnx
x
，
令
'( )
g x ＞0，解得0＜x＜e，
令
'( )
g x ＜0，解得x＞e，
(e)
g
1
lne
e
e
，
0
x
时，
( )
g x ，x 时，( )
0
g x
所以g(x)在(0, )e 上单调递增，值域为
1
(
, )
e
，
在( ,
)
e 上单调递减，值域为
1
(0, )
e ，
所以a
lnx
x
恰有两个解，
1
(0, )
a
e
故选：C
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练习题
1．若函数
2
( )
e
3
x
f x
k
x
有三个零点，则k 的取值范围为（
）
A．
3
6
0, e
B．
3
6
2e, e
C．( 2e,0)
D．
3
6
, e
【答案】A
【分析】运用分离变量法将k 与x 分开，将零点问题转化为两个函数的图像有三个交点的问题，数形结合容
易得到答案.
【详解】由
( )
0
f x
，得
2
3
ex
x
k
，设
2
3
(
1)(
3)
( )
,
( )
e
e
x
x
x
x
x
g x
g x
，令
( )
0
g x
，解得
1
2
1,
3
x
x
，
当1
3
x
时，
( )
0
g x
，当
1
x 或
3
x
时，
( )
0
g x
，且
3
6
( 1)
2e, (3)
e
g
g
，其图象如图所示：
若使得函数
( )
f x 有3 个零点，则
3
6
0
e
k
.
故选：A.
2．已知,
a b
R
，函数
3
2
,
0
( )
1
1 (
1)
,
0
3
2
x x
f x
x
a
x
ax x
，若函数
( )
y
f x
ax
b
恰有三个零点，则
A．
1,
0
a
b
B．
1,
0
a
b
C．
1,
0
a
b
D．
1,
0
a
b
【答案】C
【分析】当
0
x
时，
( )
(1
)
y
f x
ax
b
x
ax
b
a x
b
最多一个零点；当
0
x
时，
3
2
3
2
1
1
1
1
( )
(
1)
(
1)
3
2
3
2
y
f x
ax
b
x
a
x
ax
ax
b
x
a
x
b
，利用导数研究函数的单调性，根据单
调性画函数草图，根据草图可得．
【详解】当
0
x
时，
( )
(1
)
0
y
f x
ax
b
x
ax
b
a x
b
，得
1
b
x
a
；
( )
y
f x
ax
b
最多一个零
点；
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当
0
x
时，
3
2
3
2
1
1
1
1
( )
(
1)
(
1)
3
2
3
2
y
f x
ax
b
x
a
x
ax
ax
b
x
a
x
b
，
2
(
1)
y
x
a
x
，
当
1
0
a
，即
1
a 时，
0
y
，
( )
y
f x
ax
b
在[0 ，
)
上递增，
( )
y
f x
ax
b
最多一个零点．不
合题意；
当
1
0
a
，即
1
a 时，令
0
y
得
[
1
x
a
，
)
，函数递增，令
0
y
得
[0
x
，
1)
a
，函数递减；函
数最多有2 个零点；
根据题意函数
( )
y
f x
ax
b
恰有3 个零点函数
( )
y
f x
ax
b
在(
,0)
上有一个零点，在[0 ，
)
上
有2 个零点，
如图：
0
1
b
a
且
3
2
0
1
1
(
1)
(
1)(
1)
0
3
2
b
a
a
a
b
，
解得
0
b
，1
0
a
，
3
1
0
1
,
1
1
6
b
a
a
．
故选C ．
【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及,a b 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类
讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.
3．已知函数
3
2
( )
3
1
f x
ax
x
，若
( )
f x 存在唯一的零点
0x ，且
0
0
x
，则a 的取值范围是
A．
2,
B．
1,
C．
, 2
D．
, 1
【答案】C
【详解】试题分析：当
0
a
时，
2
( )
3
1
f x
x
，函数
( )
f x 有两个零点
3
3
和
3
3
，不满足题意，舍去；当
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0
a
时，
2
( )
3
6
f
x
ax
x
，令
( )
0
f
x
，得
0
x
或
2
x
a
．
(
,0)
x
时，
( )
0
f
x
；
2
(0,
)
x
a
时，
( )
0
f
x
；
2
(
,
)
x
a
时，( )
0
f
x
，且
(0)
0
f
，此时在
(
,0)
x
必有零点，故不满足题意，舍去；当a<0 时，
2
(
,
)
x
a
时，
( )
0
f
x
；
2
(
,0)
x
a
时，
( )
0
f
x
；
(0,
)
x
时，
( )
0
f
x
，且
(0)
0
f
，要使得
( )
f x 存在唯一的零
点
0x ，且
0
0
x
，只需
2
( )
0
f a
，即
2
4
a
，则
2
a ，选C．
考点：1、函数的零点；2、利用导数求函数的极值；3、利用导数判断函数的单调性．
4．已知t 是函数
2
( )
2
e
x
f x
m
n x
的一个零点，且
[1,2]
t
，则
2
2
e
m
n
的最大值为
．
【答案】
3
【分析】由t 是函数
( )
f x 的一个零点得到
( )
f t
2
2
0
t
m
n t
e
，再由
2
2
m
n
原点到直线的距离，
2
2
e
m
n
原点到直线
2
2
e
0
t
x
t y
的距离,前者不小于后者求解.
【详解】因为t 是函数
( )
f x 的一个零点，所以
2
( )
2
e
0
t
f t
m
n t
，将( , )
m n 看作直线
2
2
e
0
t
x
t y
上一个点的坐标，则
2
2
m
n
为直线
2
2
e
0
t
x
t y
上的点( , )
m n 到坐标原点O的距离．设坐标原点O到
直线
2
2
e
0
t
x
t y
的距离为d ，则
2
e
,
[1,2]
2
t
d
t
t
，所以
2
2
2
e
2
t
t
d
m
n
．令
e
( )
,
[1,2]
2
t
g t
t
t
，
则
2
(1
)e
( )
0
(2
)
t
t
g x
t
在
[1,2]
t
上恒成立，所以
( )
g t 在
[1,2]
t
上单调递增，所以当
[1,2]
t
时，
min
e
( )
(1)
3
g t
g
，所以
2
2
2
e
e
2
3
t
m
n
d
t
，所以
2
2
e
3
m
n
，故
2
2
e
m
n
的最大值为
3 ．
故答案为：3
题型二由区间单调性求参数
例二、
1．已知函数
2
2
1 ex
f x
x
x
ax
在R 上单调递增，则a 的最大值是（
）
A．0
B．1
6
C．e
D．3
【答案】A
【分析】求得
2 e
2
x
f
x
x
x
a
，根据题意转化为
2 e
2
x
a
x
x
恒成立，设
2 e
2
x
g x
x
x
，利用导数求
得函数
g x 的单调性和最小值，即可求解.
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【详解】由函数
2
2
1 ex
f x
x
x
ax
，可得
2 e
2
x
f
x
x
x
a
，
因为
f
x 在R 上单调递增，所以
2 e
2
0
x
f
x
x
x
a
恒成立，
即
2 e
2
x
a
x
x
恒成立，
设
2 e
2
x
g x
x
x
，则
2
2 e
2
x
g
x
x
，
当
0
x
时，
0
g x
；当
0
x
时，
0
g
x
，
则
g x 在
,0
上单调递减，在
0,
上单调递增，
所以
min
( )
0
0
g x
g
，即
0
a
，所以实数a 的最大值为0 ．
故选：A.
2．若对任意的
1
x ，
2
( ,
)
x
m
，且
1
2
x
x
，
1
2
2
1
2
1
ln
ln
2
x
x
x
x
x
x
，则实数m 的取值范围是（
）
A．1 ,e
e
B．1,e
e
C．1,
e
D．1,
e
【答案】C
【分析】根据题意易知
0
m
，变形
1
2
2
1
2
1
ln
ln
2
x
x
x
x
x
x
可得
1
2
1
2
ln
2
ln
2
x
x
x
x
，故构造函数
ln
2
( )
x
f x
x
，
根据函数单调性的定义可得函数
( )
f x 在( ,
)
m 上单调递减，由
( )
0
f
x
即可得解.
【详解】对任意的
1
x ，
2
( ,
)
x
m
，且
1
2
x
x
，
1
2
2
1
2
1
ln
ln
2
x
x
x
x
x
x
，易知
0
m
，
则
1
2
2
1
2
1
ln
ln
2
2
x
x
x
x
x
x
，所以
1
2
2
1
ln
2
ln
2
x
x
x
x
，
即
1
2
1
2
ln
2
ln
2
x
x
x
x
．
令
ln
2
( )
x
f x
x
，则函数
( )
f x 在( ,
)
m 上单调递减．
因为
2
ln
1
( )
x
f
x
x
，由
( )
0
f
x
，可得
1
e
x
，
所以函数
( )
f x 的单调递减区间为1,
e
，
所以
1
( ,
)
,
e
m
，故
1
e
m
，
即实数m 的取值范围为1,
e
．
故选：C．
3．已知函数
2
4
ln
f x
ax
ax
x
，则
f
x 在
1,3 上不单调的一个充分不必要条件是（
）
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A．
1
, 6
a
B．
6
1 ,
a
C．
1 ,
2
a
D．
1 1
,
2 6
a
【答案】B
【分析】求导
2
2
4
1
0
ax
ax
f
x
x
x
，令( )
2
2
4
1
g x
ax
ax
=
-
- ，根据
f
x 在
1,3 上不单调，由
g x 在
1,3 上有变号零点求解.
【详解】
2
2
4
1
0
ax
ax
f
x
x
x
，
令( )
2
2
4
1
g x
ax
ax
=
-
- ，
因为
f
x 在
1,3 上不单调，
f
x
在
1,3 上有变号零点，即
g x 在
1,3 上有变号零点，
当
0
a
时，
1
g x ，不成立；
当
0
a
时，只需
1
3
0
g
g
，即
2
1
6
1
0
a
a
，
解得
1
2
a
或
1
6
a
，
所以
f
x 在
1,3 上不单调的充要条件是
1
2
a
或
1
6
a
，
所以
f
x 在
1,3 上不单调的一个充分不必要条件是
1
6
a
，
故选：B
4．已知函数
( )
ln
2 sin
f x
x
a
x
在区间[
,
]
6
4
上是单调递增函数，则a 的取值范围为
A．
2 2
(
,
]
B．
2 3
(
,
]
C．
3
(
,
]
D．2 3
[
,
)
【答案】A
【分析】由函数在区间
,
6 4
上是单调递增函数，得
'( )
0
f
x
，进而分离参数得
1
2 cos
a
x
x
；构造函数
1
( )
2 cos
h x
x
x
，研究函数的值域特征，进而得到
1
( )
2 cos
h x
x
x
的单调性，最后求得a 的取值范围．
【详解】
1
( )
2 cos
f
x
a
x
x
，
因为
f
x
在区间
,
6 4
上是单调递增函数，
所以
1
( )
2 cos
0
f
x
a
x
x
，而在区间
,
6 4
上cos
0
x
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所以
1
2 cos
a
x
x
，即
min
1
2 cos
a
x
x
，
令
1
( )
2 cos
h x
x
x
，则
2
2
2
2 sin
2cos
sin
cos
( )
2
cos
2 cos
x
x
x
x
x
x
h x
x
x
x
x
，
分子分母同时除以sin x ，得
2
2
2
2
1
sin
cos
tan
( )
2
cos
2
cos
sin
x
x
x
x
x
h x
x
x
x
x
x
，
令
1
( )
tan
g x
x
x
，则
1
( )
tan
g x
x
x
在区间
,
6 4
上为增函数，
所以
max
1
( )
(
)
1
0
4
4
4
tan 4
g x
g
，
所以
( )
0
g x
在区间
,
6 4
上恒成立，
即
2
2
1
tan
( )
0
2
cos
sin
x
x
h x
x
x
x
在区间
,
6 4
上恒成立，
所以函数
1
( )
2 cos
h x
x
x
在区间
,
6 4
上为单调递减函数，
所以
min
min
1
2 2
( )
(
)
2 cos
4
a
h x
h
x
x
，
所以选：A
【点睛】思路点睛：对于含参数的不等式的恒成立问题，分离参数、构造函数法是常用的方法，有时还需
要多次构建新函数，结合导数来求解．
练习题
1．已知函数
2
ex
f x
x
a
，若
f
x 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（
）
A．
,1
B．
,1
C．
1,
D．
1,
【答案】D
【分析】求出导函数，由已知得出
0
f
x
恒成立.进而推得
2
2
0
x
x
a
恒成立，由
0
列出不等式，解
不等式即可得出答案.
【详解】由已知可得，
2
2
e
2 e
e
2
x
x
x
f
x
x
a
x
x
x
a
.
因为
f
x 在R 上单调递增，所以
0
f
x
恒成立.
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因为e
0
x
，
所以
2
2
0
x
x
a
恒成立，
所以，
2
2
4
4
4
0
a
a
，解得
1
a .
故选：D.
2．若对任意的
1
x ，
2
2,0
x
，
1
2
x
x
，
1
2
2
1
1
2
x
x
x e
x e
a
x
x
恒成立，则a 的最小值为（
）
A．
2
3
e
B．
2
2
e
C．
2
1
e
D．
1
e
【答案】A
【解析】将不等式
1
2
2
1
1
2
x
x
x e
x e
a
x
x
转化为
1
2
1
1
2
2
x
x
e
a
e
a
x
x
x
x
，构造函数
xe
a
f
x
x
x
，只需使
f
x 在
2,0
上递减，则
2
1
0
xe
x
a
f
x
x
在
2,0
恒成立，只需
1
xe
x
a
恒成立，然后求解a 的取值范围.
【详解】因为
1
2
x
x
，所以
1
2
0
x
x
，则
1
2
2
1
1
2
x
x
x e
x e
a
x
x
可化为
1
2
2
1
1
2
x
x
x e
x e
a x
x
，
整理得
1
2
2
2
1
1
x
x
x e
ax
x e
ax
，因为
1
2
0
x x
，所以
1
2
1
1
2
2
x
x
e
a
e
a
x
x
x
x
，
令
xe
a
f x
x
x
，则函数
f
x 在
2,0
上递减，
则
2
1
0
xe
x
a
f
x
x
在
2,0
上恒成立，
所以
1
xe
x
a
在
2,0
上恒成立，
令
1
x
g x
e
x
，则
1
0
x
x
x
g
x
e
x
e
xe
在
2,0
上恒成立，
则
1
x
g x
e
x
在
2,0
上递减，所以
2
3
2
g x
g
e
，
故只需满足：
2
3
a
e
.
故选：A.
【点睛】本题考查导数与不等式问题，考查构造函数，根据函数的单调性求参数的取值范围，难度较大. 解
答时，针对原式进行等价变形是关键.
3．已知函数
1
ln
f x
x
x
ax
在
1,上不单调，则a 的取值范围是（
）
A．
0,
B．
,0
C．
0,
D．
,0
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【答案】A
【分析】因为
( )
f x 在
1,上不单调，故利用
f
x
在
1,上必有零点，利用
1
ln
1
a
x
x
，构造函数
1
( )
ln
1
z x
x
x
，通过( )
z x 的范围，由此求得a 的取值范围.
【详解】依题意
1
ln
1
f
x
x
a
x
，故
( )
f
x
在
1,上有零点，令
1
( )
ln
1
g x
x
a
x
，令( )
0
g x
，
得
1
ln
1
a
x
x
，令
1
( )
ln
1
z x
x
x
，
则
2
1
1
( )
z x
x
x
，由
1
x ，得
( )
0
z x
，( )
z x 单调递增，又由(1)
0
z
，得( )
0
z x
，
故
( )
0
a
z x
，所以，a 的取值范围
0,
故选：A
4．已知函数
3
1
( )
sin
2cos (
)
3
f x
ax
x
x
x a
R ，若f(x)在R 上单调，则a 的取值范围是（
）
A．
1
1
,
,
2
2
B．
2
2
,
,
C．(
, 1]
[1,
)
D．
,
,
2
2
【答案】A
【分析】先求函数的导函数，由
( )
f x 在R 上单调，可知
( )
0
f
x
恒成立或
( )
0
f
x
恒成立，构造函数
2
( )
sin
cos
g x
ax
x
x
x
，分类讨论a 的取值范围，利用导数研究函数的单调区间及最值即可得解.
【详解】求导
2
( )
sin
cos
f
x
ax
x
x
x
，令
2
( )
sin
cos
g x
ax
x
x
x
，
由
( )
f x 在R 上单调，可知
( )
0
g x
恒成立或
( )
0
g x
恒成立，分类讨论：
( )
2
cos
cos
sin
2
sin
2
sin
g x
ax
x
x
x
x
ax
x
x
a
x x
（1）当
1
2
a
时，2
sin
0
a
x
，令
( )
0
g x
，得
0
x
当
0
x
时，
( )
0
g x
，函数( )
g x 单调递减；当
0
x
时，
( )
0
g x
，函数( )
g x 单调递增；
min
( )
(0)
0
g x
g
，即
( )
0
g x
恒成立，符合题意；
（2）当
1
2
a
时，2
sin
0
a
x
，令
( )
0
g x
，得
0
x
当
0
x
时，
( )
0
g x
，函数( )
g x 单调递增；当
0
x
时，
( )
0
g x
，函数( )
g x 单调递减；
max
( )
(0)
0
g x
g
，即
( )
0
g x
恒成立，符合题意；
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（3）当
1
1
2
2
a
时，令
( )
0
g x
，得
0
x
或sin
2
x
a
，
研究
0,
x
内的情况即可：
当
1
0,
x
x
时，( )
0
g x
，函数( )
g x 单调递减；当
1
2
,
x
x x
时，
( )
0
g x
，函数( )
g x 单调递增；当
2,
x
x
时，
( )
0
g x
，函数( )
g x 单调递减；
当
1
x
x
时，函数( )
g x 取得极小值，且满足
1
sin
2
x
a
；当
2
x
x
时，函数( )
g x 取得极小值，且满足
2
sin
2
x
a
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
sin
( )
sin
cos
sin
cos
2
x
g x
ax
x
x
x
x
x
x
x
，且
1
0, 2
x
同理
2
2
2
2
2
2
2
sin
(
)
sin
cos
2
x
g x
x
x
x
x
，且
2
,
2
x
又
(0)
0
g
，当
1
2
x
时，
1
0
g x
；当
2x
时，
2
0
g x
，故不符合；
所以a 的取值范围是
1
1
,
,
2
2
故选：A
题型三恒成立问题
例三、
1．若不等式ex
k
kx
对
R
x
恒成立，则k 的取值范围是
.
【答案】
0,1
【分析】依题意可得不等式
e
1
x
k x
对
R
x
恒成立，令
ex
f
x
，
1
y
k x
，则
f
x 的图象恒在
直线
1
y
k x
的上方（或相切），又直线
1
y
k x
恒过定点
1,0
P
，求出恰好相切时k 的值，再数形
结合即可得解.
【详解】因为不等式ex
k
kx
对
R
x
恒成立，则不等式
e
1
x
k x
对
R
x
恒成立，
令
ex
f
x
，
1
y
k x
，则
f
x 的图象恒在直线
1
y
k x
的上方（或相切），
考查直线
1
y
k x
恰与
ex
f
x
相切的情形，又直线
1
y
k x
恒过定点
1,0
P
，
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设切点为
0
0,ex
x
，又
ex
f
x
，则
0
0
ex
f
x
，所以
0
0
0
e
e
1
x
x
x
，解得
0
0
x
，
即切点为
01, ，此时切线的斜率为
0
1
f
，
由图可得0
1
k
，
故答案为：
0,1
2．已知
3
2
2
2
f x
ax
b
x
a
，当
1,2
x
时，
2
f x
x
恒成立，则b 的最大值为（
）
A．6 2
9
B．9 2
9
C．9 2
12
D．15 2
15
【答案】A
【分析】转化问题为
2
2
1
3
a
ax
b
x
，
1,2
x
恒成立，令
2
2
g x
x
x
，
1,2
x
，结合导数分析其单
调性，从而求得最值，可得
3 2
1
3
2 a
b
，
1
1
2
3
a
b
，进而结合不等式的基本性质求解即可.
【详解】由题意，即
3
2
2
2
2
ax
b
x
a
x
，
1,2
x
恒成立，
即
2
3
2
2
2
2
x
ax
b
x
a
x
，
即
2
2
1
2
1
a
ax
b
x
，
即
2
2
1
3
a
ax
b
x
．
令
2
2
g x
x
x
，
1,2
x
，
则
3
3
3
2 2
2 2
1
x
g
x
x
x
，
令
0
g
x
，得
2
x
，
当
1,
2
x
时，
0
g x
，
g x 单调递减；
当
2,2
x
时，
0
g
x
，
g x 单调递增．
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又1
1
2
g
，
2
2
2
4
g
，
3 2
2
2
g
，
且
2
3 2
4
1
2
2
0
4
4
，即
1
2
g
g
，
所以
g x 的最小值为
3 2
2
2
g
，最大值为1
1
2
g
．
由
1
3
ag x
b
知，
3 2
1
3
2 a
b
，
1
1
2
3
a
b
，
设
3 2
1
2
2
b
m
a
b
n
a
b
，
即
3 2
1
2
2
b
m
n a
m
n b
，
则
3 2
1
2
0
2
1
m
n
m
n
，解得
3 2
4
m
，
3 2
3
n
，
所以
3 2
3 2
4
3 2
3
1
2
2
b
a
b
a
b
，
因为
3 2
1
3
2 a
b
，
1
1
2
3
a
b
，
所以
3 2
3 2
4
3 2
4
9 2
12
2 a
b
，
9 2
9
3 2
3
1
2
3 2
3
a
b
，
则
3 2
6 2
5
3 2
4
3 2
3
1
2
6 2
9
2 a
b
a
b
，
即6 2
5
6 2
9
b
，
所以b 的最大值为6 2
9
.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于将问题转化为
2
2
1
3
a
ax
b
x
，
1,2
x
恒成立，进而结合导数分析
其最值，最后结合不等式的基本性质求解.
3．若
e
ln
1
x
ax
a
x
在
0,2
x
上恒成立，则实数a 的取值范围是为（
）
A．
,e
B．
0,e
C．
2
, 2
e
D．
2e
0, 2
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【答案】B
【分析】将不等式变形为
ln
e
e
ln
x
ax
x
ax
，易知函数
( )
ex
f x
x
在R 上单调递增，即原不等式可等价于
e
0
x
a
x
，在任意
0,2
x
上恒成立，再利用导函数求出( )
xe
h x
x
在
0,2 上的最小值即可.
【详解】因为
e
ln
1
x
ax
a
x
，
所以
ln
e
ln
e
ln
x
ax
x
ax
ax
ax
，
记
( )
ex
f x
x
，则
( )
e
1
0
x
f
x
恒成立，
即
( )
ex
f x
x
在R 上单调递增，
即原不等式等价于
ln
x
ax
，在任意
0,2
x
上恒成立，
所以等价于
e
0
x
a
x
，在任意
0,2
x
上恒成立，
记( )
xe
h x
x
，
0,2
x
，则
2
e
1
( )
x x
h x
x
，
令
( )
0
h x
，解得
1
x ，当1
2
x
时，
0
h
x
，当0
1
x
时，
0
h
x
所以( )
h x 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,2) 上单调递增，
所以
min
( )
(1)
h x
h
e
，
即0
e
a
，
故选：B
【点睛】易错点点睛：本题在化简不等式时，一定注意到ln ax在区间
0,2 上有意义，必有
0
a
.
4．已知函数
( )
e
e
2sin
x
x
f x
x
，不等式
2
(2023
e )
(2ln
)
0
x
f
a
x
f
x
x
对任意的x(0,
)
恒成立，则a
的最大值为
．
【答案】
1
2023
【分析】先根据奇函数的定义推出
( )
f x 为R 上的奇函数，再利用导数推出
( )
f x 在(
,
)
上单调递增，再
利用奇偶性和单调性将不等式化为
2
2ln
e
2023
x
x
x
x
a
对任意的
,
(
)
0
x
恒成立，再参变分离得
2ln
2023
e
(2ln
)
x x
a
x
x
对任意的
,
(
)
0
x
恒成立，然后构造函数( )
ex
h x
x
，再利用导数求出其最小
值可得结果．
【详解】因为
(
)
(
)
e
e
2sin(
)
e
e
2sin
( )
x
x
x
x
f
x
x
x
f x
，
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所以
( )
f x 为R 上的奇函数．
又
( )
e
e
2cos
2 e
e
2cos
2
2cos
0
x
x
x
x
f
x
x
x
x
，
所以
( )
f x 在(
,
)
上单调递增，
不等式
2
(2023
e )
(2ln
)
0
x
f
a
x
f
x
x
对任意的
,
(
)
0
x
恒成立，
即
2
(2ln
)
(
e
2023 )
x
f
x
x
f x
a
对任意的
,
(
)
0
x
恒成立，
所以
2
2ln
e
2023
x
x
x
x
a
对任意的
,
(
)
0
x
恒成立，
即
2
2
ln
2ln
2023
e
(2ln
)
e
e
(2ln
)
e
(2ln
)
x
x
x
x x
a
x
x
x
x
x
x
x
对任意的
,
(
)
0
x
恒成立，
令( )
ex
h x
x
，所以
( )
e
1
x
h x
，
所以当
0
x
时，
( )
0
h x
，( )
h x 在(0,
)
上为增函数；
当x
0
时，
( )
0
h x
，( )
h x 在(
,0)
上为减函数，
所以
0
min
( )
(0)
e
0
1
h x
h
，
设( )
2ln
g x
x
x
，显然( )
g x 为(0,
)
上的增函数，
因为
1
1
1
1
( )
2ln
2
0
e
e
e
e
g
，(1)
1
0
g
，
所以存在
0
1
(
1)
e ,
x
，使得
0
0
0
(
)
2ln
0
g x
x
x
，
所以
2ln
min
[e
(2ln
)]
1
x x
x
x
，此时2ln
0
x
x
，
所以2023
1
a ，即a 的最大值为
1
2023．
故答案为：
1
2023 ．
练习题
1．已知函数
f
x 的定义域为R ，满足
1
2
2
f
x
f
x
，当
0,2
x
时，
ex
f x
x
，记
f
x 的极小值为t ，
若对
,
,
2e
x
m t
，则m 的最大值为（
）
A．1
B．1
C．3
D．不存在
【答案】B
【分析】由
1
2
2
f
x
f
x
可得
1
2
2
f
x
f
x
，当
0,2
x
时，
2
1 ex
x
f
x
x
，可求得
f
x 的极
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小值
1
e
t
f
，由
2e
t
可得
1
m £ ，从而得出结果.
【详解】因为
1
2
2
f
x
f
x
，
所以
1
2
2
f
x
f
x
，
当
0,2
x
时，
2
1 ex
x
f
x
x
，
所以
f
x 在
0,1 上单调递减，在
1,2 上单调递增，
所以
f
x 的极小值
1
e
t
f
，
因为对
,
,
2e
x
m t
，
所以
1
m £ .
故选：B
2．若存在实数,a b ，对任意实数
[0,1]
x
，使得不等式
3
3
x
m
ax
b
x
m
≤
≤
恒成立，则实数m 的取值范围
是（
）
A．
3
9 ,
B．8 3 ,
9
C．
3 ,
3
D．
3 ,
2
【答案】A
【分析】不等式
3
3
x
m
ax
b
x
m
等价于
3x
ax
b
m
，原命题等价于存在实数a ，b ，对任意实数
[0,1]
x
不等式
3x
ax
b
m
恒成立，等价于存在实数a ，b ，不等式
3
max
x
ax
b
m
成立，分别讨论
0
a
，0
1
a
，1
3
a
，
3
a
的情况，先求出
3
max
x
ax
b
，再求出
3
max
min
x
ax
b
即可解决问题.
【详解】不等式
3
3
x
m
ax
b
x
m
等价于
3
m
x
ax
b
m
即
3x
ax
b
m
，
原命题等价于存在实数a ，b ，对任意实数
[0,1]
x
不等式
3x
ax
b
m
恒成立，
等价于存在实数a ，b ，不等式
3
max
x
ax
b
m
成立，
记
3
( )
x
ax
b
f x
，则
2
( )
3
f
x
x
a
，
（1）当
0
a
时，对任意
[0,1]
x
，
( )
0
f
x
恒成立，即
( )
f x 在[0,1] 上单调递减
1
( )
a
b
f x
b
①当
1
0
a
b
b
，即
1
2
a
b
时，
max
( )
f x
b
，
②当
1
0
a
b
b
，即
1
2
a
b
时，
max
( )
1
f x
a
b
，
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从而当
0
a
时，
1
,
2
( )
1
1
,
2
a
b
b
g b
a
b
a
b
，
则( )
g b 在
1
(
,
)
2
a
上单调递减，在1
,
2
a
上单调递增，
所以
min
1
1
1
( )
(
)
2
2
2
a
a
g b
g
；
（2）当0 <
< 3
a
时，令
( )
0
f
x
，解得
3
a
x
，
( )
f x 在区间0,
3
a
上单调递增，在
,1
3
a
上单调递减，
(0)
f
b
，
2
3
3
3
a
a
a
f
b
，
(1)
1
f
a
b
，
①当0
1
a
时
1
a
b
b
，此时
2
1
( )
3
3
a
a
a
b
f x
b
，
)
当
2
1
0
3
3
a
a
a
b
b
即
1
1
2
2
3
3
a
a
b
a
时，
max
( )
1
f x
a
b
，
)
当
2
1
0
3
3
a
a
a
b
b
即
1
1
2
2
3
3
a
a
b
a
时，
max
2
3
)
3
(
f
b
a
a
x
，
从而当0
1
a
时，
1
1
2
8,
2
2
3
3
( )
2
1
1
,
3
3
2
2
3
3
a
a
a
b
b
a
g b
a
a
b
a
a
b
a
，
则( )
g b 在区间
1
1
, 2
2
3
3
a
a
a
上单调递减，在区间1
1
,
2
2
3
3
a
a
a
上单调递增,
所以
min
1
1
1
( )
2
2
6
3
2
2
3
3
a
a
a
a
a
g b
g
a
；
令
3
a
t
，则
1
0
3
t
，
2
3
min
1
3
( )
2
2
g b
t
t
，记
2
3
1
3
( )
2
2
h t
t
t
，
则
2
( )
3
3 )
3 (
1)
h t
t
t
t t
，
当
1
0,
3
时，
( )
0
h t
恒成立，
即( )
h t 在区间
1
0,
3
上单调递减，即
min
1
3
( )
3
9
h t
h
，
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即
min
3
( )
9
g b
；
②当1
3
a
时
1
a
b
b
，此时
2
( )
3
3
a
a
b
f x
b
，
)
当
2
0
3
3
a
a
b
b
即
3
3
a
a
b
时，
max
( )
f x
b
，
)
当
2
0
3
3
a
a
b
b
即
3
3
a
a
b
时，
max
2
3
)
3
(
f
b
a
a
x
，
从而当1
3
a
时，
,
3
3
( )
2
,
3
3
3
3
a
a
b
b
g b
a
a
b
a
a
b
，
则( )
g b 在区间
,
3
3
a
a
上单调递减，在区间
,
3
3
a
a
上单调递增，
所以
min
3
( )
3
3
3
3
9
a
a
a
a
g b
g
；
（3）当
3
a
时，对任意
[0,1]
x
，
( )
0
f
x
恒成立，即
( )
f x 在[0,1] 上单调递增，
( )
1
b
f x
a
b
①当
1
0
a
b
b
，即
1
2
a
b
时，
max
( )
1
f x
a
b
，
②当
1
0
a
b
b
，即
1
2
a
b
时，
max
( )
f x
b
，
从而当
3
a
时，
1
,
2
8
2
( )
1
,
2
a
b
a
b
g b
b
a
b
，
则( )
g b 在
1
(
,
)
2
a
上单调递减，在1
,
2
a
上单调递增，
所以
min
1
1
2
)
2
(
(
)
1
g
a
b
g
a
；
综上所述，
min
3
( )
9
g b
，
所以
3
9
m
.
故选：A
3．设
0
m
，对任意
2
e,
ln
e
0
m
x
x
x
x
m
恒成立，则m 最大值（
）
A．1
e
B．e
C．
2
1
e
D．
2e
【答案】B
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【分析】先转化原不等式为
e
ln
m
x
m
x
x
x
，然后利用构造函数法，结合导数来求得m 的取值范围，进而求得
m 的最大值.
【详解】依题意，
0
m
，对任意
2
e,
ln
e
0
m
x
x
x
x
m
恒成立，
即对任意
e,
e
ln
m
x
m
x
x
x
x
恒成立，
设
ln
e ,
ln
1
0
f x
x
x x
f
x
x
，
所以
f
x 在
e,上单调递增，最小值为
e
elne
e
f
.
设
0,
e
m
t
m
x
x
，则
0, e
m
t
.
令
e
0
e
t
m
g t
t
t
，
则
1 e
0
t
g t
t
，所以
g t 在0, e
m
上单调递增，
所以
e
e
e
e
m
m
m
g t
g
，所以
e
e
e
e
m
m
x
m
m
x
，当
e
m
时等号成立.
所以
e
e
e
e
m
m
恒成立，
两边取以e为底的对数得
e
ln
e
lne,ln
1
e
e
e
m
m
m
m
，
设
e
m
x
，令
ln
h x
x
x
，
h x 在
0,
上单调递增，
1
1
h
，所以
1,
e
e
m
m
，所以m 的最大值为e.
故选：B
【点睛】方法点睛：求解含参数的不等式恒成立问题，可以考虑分离参数法来求解，也可以考虑直接构造
函数法，还可以考虑转化为两个函数的方法来进行求解.本题不考虑分离参数法，主要原因是含参数的不等
式不容易分离出来.
4．已知函数
2
( )
ln
1
e
e
2
3
x
x
f x
x
x
x
，若
e
(ln
ln )
6
x
f a
f
a
x
对于
,
(
)
0
x
恒成立，则
实数a 的取值范围是
．
【答案】1,
e
【分析】构造函数( )
g x ，( )
h x ，利用导数讨论( )
g x ，( )
h x 的单调性、奇偶性，进而构造函数
( )
( )
3
F x
f x
，
将原不等式等价转化
e
(ln
ln )
x
F a
F
x
a
，利用单调性转化e
ln
ln
x
a
x
a
，构造函数
( )
ex
G x
x
和
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( )
ln
H x
x
x
，即可求导确定函数的最值求解.
【详解】令
2
( )
ln
1
g x
x
x
，因为xR ，( )
(
)
ln1
0
g x
g
x
，所以( )
g x 是奇函数，
易知( )
g x 在R 上单调递增．
同理令( )
e
e
2
x
x
h x
x
，可知( )
h x 是奇函数，
由于
( )
e
e
2
2 e
e
2
0
x
x
x
x
h x
，故( )
h x 在R 上单调递增．
因此
2
( )
ln
1
e
e
2
3
x
x
f x
x
x
x
为R 上单调递增．
令
( )
( )
3
F x
f x
g x
h x
，
(
)
F
x
g
x
h
x
g x
h x
F x
，则
( )
F x 是在R 上单调递
增的奇函数．
不等式
e
(ln
ln )
6
x
f a
f
a
x
等价于
e
(ln
ln )
0
x
F a
F
a
x
，
故
e
(ln
ln )
(ln
ln )
x
F a
F
a
x
F
x
a
，由单调性得e
ln
ln
x
a
x
a
，即
ln
e
ln
ln
x
a
x
a
，
即
ln
ln
e
ln
ln
e
ln
x
a
x
x
a
x
x
x
，构造函数
( )
ex
G x
x
，
则
( )
e
1
0
x
G x
，
( )
G x 在R 上单调递增，
(
ln )
(ln )
G x
a
G
x
等价于
ln
ln
x
a
x
，
则
ln
ln
x
a
x
，即ln
ln
a
x
x
，
令
( )
ln
H x
x
x
，则
1
1
( )
1
x
H x
x
x
，令
( )
0
H x
，得0
1
x
；
令
( )
0
H x
，得
1
x ，故
( )
H x 在(0,1)上单调递增，在(1,
)
上单调递减，
故
max
( )
(1)
1
H x
H
，故
max
ln
( )
1
a
H x
，即
1
e
a
，
故实数a 的取值范围是1,
e
．
故答案为：1,
e
【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤
(1)作差或变形；
(2)构造新的函数
h x ；
(3)利用导数研究
h x 的单调性或最值；
(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．
特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值
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问题．
题型四
分离参数法
例四、
1．若
2
0,
,
1
ex
x
x
ax
恒成立，则实数a 的最大值为（
）
A．e
B．2
C．1
D．e
2
【答案】D
【分析】先确定
0
x
时的情况，在当
0
x
时，参变分离可得
2
e
1
x
x
a
x
，构造函数
2
e
1
x
f x
x
x
，
求出函数
f
x 的最小值即可.
【详解】当
0
x
时，
0
1
e
，不等式成立；
当
0
x
时，
2
e
1
x
x
a
x
恒成立，即
min
2
e
1
x
a
x
x
，
令
2
e
1
x
f x
x
x
，则
2
2
2
2
e
e
1
e
1
1
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
，
因为
0
x
时，e
1
0
x
x
（后证）
所以当0
1
x
时，
0
f
x
，
f
x 单调递减，当
1
x 时，
( )
0
f
x
¢
>
，
f
x 单调递减，
故
1
min
e
1
e
2
1
1
1
f x
f
，
所以
e
2
a
，即实数a 的最大值为e
2
.
证明当
0
x
时，e
1
0
x
x
，
令=e
1
x
g x
x
，
0
x
，则
=e
1
0
x
g
x
，
则
g x 在
0,
上单调递增，所以
0
0
g x
g
，即e
1
0
x
x
.
故选：D.
2．已知函数
ln
f x
ax
x x
与函数
e
1
x
g x
的图像上恰有两对关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围
为（
）
A．
,1 e
B．
1 e
, 2
C．
,1 e
D．
1 e
, 2
【答案】C
【分析】根据题意函数
f
x 与
g x 的图像上恰有两对关于x 轴对称的点，得到方程有两解，分离参数构造
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新函数，利用导数求出最值，结合题意分析即可得.
【详解】因为函数
f
x 与
g x 的图像上恰有两对关于x 轴对称的点，
所以
f
x
g x
，
即
ln
e
1
x
ax
x x
有两解，
所以
ln
e
1
x
x x
a
x
有两解，
令
ln
e
1
x
x x
h x
x
，
则
2
e
1 1
x
x
h x
x
，
所以当
0,1
x
时，
h x
0，此时函数
h x 在
0,1 上单调递增；
当
1,
x
时，
0
h
x
，函数
h x 在
1,上单调递减，
所以
h x 在
1
x 处取得极大值，
1
1
e
h
，
且
0,1
x
时，
h x 的值域为
,1 e
，
1,
x
时，
h x 的值域为
,1 e
，
因此
ln
e
1
x
x x
a
x
有两解时，实数a 的取值范围为
,1 e
，
故选：C.
3．若
x
R ，不等式e
ln
0
0
x
a
ax
a
a
a
（
）
（
）成立，则实数a 的取值范围是（
）
A．
2
0,e
（
）
B．
2e
（
,
）
C．
e
0 e
（, ）
D．
e,
e
（
）
【答案】A
【分析】不等式
e
ln
0
x
a
ax
a
a
等价于
ln
e
ln
ln(
1)
1
x
a
x
a
x
x
，构造函数( )
ln ,(
0)
g x
x
x x
，
利用导数求函数的单调性得到
ln
ln(
1)
x
a
x
，参变分离结合函数的最值得到结果.
【详解】因为
0
a
，不等式
e
ln
0
x
a
ax
a
a
等价于e
ln
ln(
1) 1
0
x
a
x
a
，
即
ln
e
ln
ln(
1)
1
x
a
x
a
x
x
，即
ln
ln
lne
e
ln(
1)
1
x
a
x
a
x
x
构造函数
( )
ln ,(
0)
g x
x
x x
，则
1
( )
1
0
g x
x
，( )
g x 在(0,
)
上单调递增，
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所以
ln
(
)
e
(
1)
x
a
g
g x
，于是
ln
e
1
x
a
x
，则
ln
ln(
1)
x
a
x
，
即ln
ln(
1)
a
x
x
，
设( )
ln(
1),
1
h x
x
x
x
，则
1
2
( )
1
1
1
x
h x
x
x
，
当1
2
x
时，
( )
0
h x
，( )
h x 单调递减，当
2
x
时，
( )
0
h x
，( )
h x 单调递增，
所以
min
ln
( )
(2)
2
a
h x
h
，解得
2
0
e
a
.
故选：A.
4．若存在
1,
x
，使得关于x 的不等式
1
1
e
x a
x
成立，则实数a 的最小值为（
）
A．2
B．1
ln2
C．ln2 1
D．1
1
ln2
【答案】D
【分析】由
1
1
e
x a
x
两边取对数可得
1
(
)ln 1
1
x
a
x
，令
1
1
,t
x
则不等式可转化为
1
ln
1
1
a
t
t
，
即
1
1
ln
1
a
t
t
，故根据题意可得求1
1
ln
1
t
t
的最小值即可，令
1
1
( )
,
(1,2]
ln
1
g x
x
x
x
，通过求导可得
( )
g x 的最小值即可
【详解】由
1
1
e
x a
x
两边取对数可得
1
(
)ln 1
1
x
a
x
①，
令
1
1
,t
x
则
1
1
x
t
=
- ，因为
1,
x
，所以
(1,2]
t
，
则①可转化得
1
ln
1
1
a
t
t
，
因为ln
0
t
，
1
1
ln
1
a
t
t
因为存在
1,
x
，使得关于x 的不等式
1
1
e
x a
x
成立，
所以存在
(1,2]
t
，
1
1
ln
1
a
t
t
成立，故求1
1
ln
1
t
t
的最小值即可，
令
1
1
( )
,
(1,2]
ln
1
g x
x
x
x
2
2
1
1
( )
(ln )
(
1)
g x
x
x
x
2
2
2
2
(ln )
(
1)
(
1) (ln )
x
x
x
x x
x
2
2
2
2
2
2
2
(
1)
1
(ln )
(ln )
2
(
1) (ln )
(
1) (ln )
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
，
令( )
h x
2
1
(ln )
2,
(1,2]
x
x
x
x
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2
1
2ln
1
1
( )
2ln
1
x
x
x
h x
x
x
x
x
，
令
1
( )
2ln
,
(1,2]
x
x
x
x
x
，
2
2
2
2
1
2
1
( )
1
x
x
x
x
x
x
2
2
(
1)
0
x
x
，
所以( )
x 在(1,2]上单调递减，所以
( )
(1)
0
x
，
( )
0
h x
，所以( )
h x 在(1,2]上单调递减，
所以
(1)
0,
( )
0,
h x
h
g x
( )
g x
在(1,2]上单调递减，
1
( )
(2)
1
ln 2
g x
g
，
1
1
ln 2
a
，所以实数a 的最小值为1
1
ln 2
故选：D
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的
新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩
法，注意恒成立与存在性问题的区别．
练习题
1．已知函数
1
2
ex
f
x
x
ax
在
0,
的最小值为－1，则
a
（
）
A．2e
B．3
C．e
D．1
【答案】B
【分析】首先分析题意，可知
1
2
e
1
x
x
ax
恒成立，再设
1
e
1
0
x
h x
x
x
x
x
，解出
1
x ，求出
min
1
3
h x
h
，即
3
a .
【详解】由题意可知，
1
2
e
1
x
x
ax
恒成立，且存在
0,
x
，使得等号成立，
所以
1
e
1
x
a
x
x
x
恒成立，且存在
0,
x
，使得等号成立，
设
1
e
1
0
x
h x
x
x
x
x
，则
1
1
2
2
2
2
1
e
1
1 e
1
x
x
x
x
x
x
h
x
x
x
x
，
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令
0
h
x
，解得
1
x ，
0,1
x
时，
0
h
x
；
1,
x
时，
0
h x
所以
h x 在区间
0,1 单调递减，在
1,单调递增，
易知
min
1
3
h x
h
，即
3
a .
故选：B.
2．已知函数
3
1
,
3ln
2e
e
e
f
x
mx g x
x
x
，若
f
x 与
g x 的图像上分别存在点
,
M N ，使得
,
M N
关于直线
e
y
对称，则实数m 的取值范围是（
）
A．
2
9 ,
e
B．
2
3
9
,
e
e
C．
2
9 ,3e
e
D．
3,3e
e
【答案】D
【分析】由题设令
( ,
),
( ,3ln
2e)
M x mx N x
x
，根据存在性将问题转化为2e
3ln
2e
mx
x
在
3
1 ,e
e
上有解，
参变分离后可求实数m 的取值范围.
【详解】因为
f
x 与
g x 的图像上分别存在点
,
M N ，使得
,
M N 关于直线
e
y
对称，
令
( ,
),
( ,3ln
2e)
M x mx N x
x
则
3ln
2e
e
2
mx
x
即2e
3ln
2e
mx
x
在
3
1 ,e
e
上有解，
即
3ln
mx
x
在
3
1 ,e
e
上有解
即
3ln x
m
x
在
3
1 ,e
e
上有解，
设
3ln x
h x
x
，
3
1,e
e
x
，
则
2
3 1 ln x
h x
x
，
当1
e
e
x
时，
0
h x
，故
h x 在1 e
e
,
为增函数，
当
3
e
e
x
时，
0
h
x
，故
h x 在
3
e,e
为减函数，
而
3
3
3
1
9
e
,
3e,
e
e
e
e
h
h
h
，
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故
h x 在
3
1 ,e
e
上的值域为
3
3e, e
，
故
3
3e, e
m
即
3 ,3e
e
m
，
故选：D.
3．已知
2
e
e
0
ax
x
在
0
x
时恒成立，则实数a 的最小值为
.（注：e为自然对数的底数）
【答案】e
【分析】转化问题为
2
ln x
a
x
在
0
x
时恒成立，只需
max
2
ln x
a
x
，设
2
ln x
f x
x
，
0
x
，结合导
数分析其单调性，进而求解即可.
【详解】由
2
e
e
0
ax
x
在
0
x
时恒成立，
即
2 ln
e
e
ax
x
在
0
x
时恒成立，
即
2
ln x
a
x
在
0
x
时恒成立，
设
2
ln x
f x
x
，
0
x
，
则
2
2
1
2
ln
1
ln
x
x
x
x
f
x
x
x
，
令
( )
0
f
x
¢
>
，即
1
0
e
x
；令
0
f
x
，即
1
e
x
，
所以函数
f
x 在
1
0, e
上单调递增，在1,
e
上单调递减，
所以当
1
e
x
时，
max
1
2
ln e
e
1
e
f
x
，
所以
e
a
，即实数a 的最小值为e.
故答案为：e.
4．已知函数
1
1
1
e
ln
ax
f x
x
a
a
，若
0
f x 恒成立，则a 的取值范围是（
）
A．
e,
B．
e,
C．
1,
D．
1,
【答案】C
【分析】将问题转化为
ln
1
ln
ln
e
ln
1
e
ln
ln
a ax
a
x
a
ax
a
x
，令函数
ex
g x
x
，则
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ln
1
ln
ln
g
a
ax
g
a
x
，再由( )
g x 的单调性将问题转化为
1
lnx
a
x
恒成立，构造函数
1 lnx
h x
x
，
利用导数求出其最大值即可.
【详解】由题知
1
1
1
e
ln
ax
x
a
a
恒成立，可得
0
a
(否则
0
x
时，不等式不成立)，
所以
1
e
ln
1
ax
a
x
，
则
ln
1
ln
ln
e
ln
1
e
ln
ln
a ax
a
x
a
ax
a
x
.
令函数
ex
g x
x
，则
ln
1
ln
ln
g
a
ax
g
a
x
.
因为
e
1
0
x
g
x
，
所以
g x 在R 上为增函数，
所以ln
1
ln
ln
a
ax
a
x
，即
1
lnx
a
x
.
令函数
1 lnx
h x
x
，则
2
lnx
h
x
x
，
当0
1
x
时，
0
h x
；当
1
x 时，
0
h
x
，
所以
h x 在
0,1 单调递增，在
1,上单调递减.
所以
max
( )
1
1,
1
h x
h
a
.
故a 的取值范围是
1,.
故选：C
【点睛】关键点点睛：解题的关键是对已知化简变形，再构造函数
ex
g x
x
，则转化为
ln
1
ln
ln
g
a
ax
g
a
x
，再利用函数的单调性转化为
1
lnx
a
x
，然后构造函数利用导数求函数的最值，
考查数学转化思想和计算能力，属于难题.
1.
(多选)已知函数
2
ex
f x
x
，则下列说法错误的是（
）
A．
f
x 的图象在
2
x
处的切线斜率大于0
B．
f
x 的最大值为e
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C．
f
x 在区间
1,上单调递增
D．若
f
x
a
有两个零点，则
e
a
【答案】ACD
【分析】利用函数的导数逐项判断求解即可.
【详解】由题得
e
2
e
1
e
x
x
x
f
x
x
x
，则
2
2
e
0
f
，故A 错误；
当
1
x 时，
0,
f
x
f
x
在区间
,1
上单调递增；
当
1
x 时，
0,
f
x
f x
在区间
1,上单调递减，
所以
f
x 的极大值即最大值为
1
e
f
，故B 正确，C 错误；
令
g x
f x
a
，则
1
e x
g
x
x
，
由B 知
g x 在区间
,1
上单调递增，在区间
1,上单调递减，
所以
g x 的极大值为
e
1
g
a
，且当x 趋向于时，
g x 趋向于a
，当x 趋向于时，
g x 趋向于，
所以若
f
x
a
有两个零点，则
e
0
0
a
a
，即0
e
a
，故D 错误.
故选：ACD
2.
已知函数
2
2
ln
ln
2
e
a
a
f
x
x
x x
x
有三个零点
1
2
3
,
,
x x x ，且
1
2
3
x
x
x
，则a 的取值范围是
.
【答案】
2 ,0
e
【分析】确定
2
0
ln
ln
2
e
x
a
x
a
x
x
，设
ln x
t
x
，求导得到单调区间，计算最值，画出函数图像，根据图像
知
2
0
2
e
a
a
t
t
有两根1t ，2t ，且1
1
0, e
t
，
2
,0
t
，计算得到答案.
【详解】
2
2
ln
l
0
n
2
e
a
a
f
x
x
x x
x
，
0,
x
，故
2
0
ln
ln
2
e
x
a
x
a
x
x
，
设
ln x
t
x
，
0,
x
，
2
1 ln x
t
x
¢
-
=
，
当
0,e
x
时，
0
t
，函数单调递增；当
e,
x
时，
0
t
，函数单调递减；
max
1
e
t
，画出函数图像，如图所示：
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故
2
0
2
e
a
a
t
t
有两根1t ，2t ，
2
4
0
4
e
a
a
，解得a<0 或
16
e
a
，
①满足1
1
0, e
t
，
2
,0
t
，只需
0
e
a
且
2
0
1
1
2 e
e
e
a
a
，
解得
2
0
e
a
.
②满足1
1
0, e
t
，2
1
e
t
，将2
1
e
t
代入方程解得
2
e
a
，1 2
0
e
a
t t
，不满足；
综上所述：
2 ,0
e
a
故答案为：
2 ,0
e
.
【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决函数零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合
应用能力，其中，利用换元的方法，将零点问题转化为二次函数根的分布问题，是解题的关键，结合函数
图像可以快速得到答案.
3.
已知函数
e
ln
1
x
f x
x
x
x
m
有两个不同的零点，则实数m 的取值范围
.
【答案】
2,
【分析】将函数
e
ln
1
x
f x
x
x
x
m
有两个不同的零点，转化为y
m
与
e
ln
1
x
g x
x
x
x
有两个
不同的交点求解.
【详解】解：因为函数
e
ln
1
x
f
x
x
x
x
m
有两个不同的零点，
所以函数
e
ln
1
x
m
x
x
x
有两个不同的根，
即y
m
与
e
ln
1
x
g x
x
x
x
有两个不同的交点，
则
1
1
1
e
1
e
1
x
x
x
g
x
x
x
x
x
，令
e
1
x
h x
x
，则
1 ex
h x
x
，
当
0
x
时，
0
h x
，
h x 递增，且
0
1
0,
1
e 1
0
h
h
，
所以
h x 在
0,1 上存在零点
0x ，且
0
0
h x
，
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当
0
0,
x
x
时，
0
h x
，当
0,
x
x
时，
0
h x
，
即
0
0,
x
x
时，
0
g x
，
0,
x
x
时，
0
g
x
，
所以
g x 在
0
0, x
上递减，在
0,
x 上递增，
所以
g x 有最小值
0
0
0
0
0
e
ln
1
x
g x
x
x
x
，
又
0
0
0e
1
0
x
h x
x
，则
0
0e
1
x
x
，两边取对数得
0
0+ln
0
x
x
，
所以
0
0
0
0
0
0
0
0
0
e
ln
1
e
1
+ln
2
2
x
x
g x
x
x
x
x
x
x
，
又
0
x
时，
g x
，x 时，
g x
，
所以要使y
m
与
e
ln
1
x
g x
x
x
x
有两个不同的交点，
则
2
m
，
故答案为：
2,
4.
定义域为
0,
的函数
2
1
x
f x
x
a
恰有一个零点，则实数a 的取值范围为
.
【答案】
1
2e
0,1
e
【分析】分
0
a
和
0
a
两种情况讨论零点情况，当
0
a
时，不符合题意；当
0
a
时，通过对
0
f x
两
边同时取以e为底的对数，将问题转化成
2
ln
ln
x
x
a
恰有一个解，构造函数
2 ln
ln ,
0
g x
x
a
x
x
，利
用导数研究函数单调性，结合零点存在性定理及最值即可求.
【详解】函数
2
1
x
f x
x
a
的定义域为
0,
，
当
0
a
时，
2
1
0
x
f x
x
a
恒成立，故函数
f
x 无零点，不符合题意；
当
0
a
时，令
0
f x
，即
2
1
x
x
a
，
两边同时取以e为底的对数，有
2
1 ln
ln
x
a
x
，即
2
ln
ln
x
x
a
，
函数
f
x 恰有一个零点，等价于
2
ln
ln
x
x
a
恰有一个解，
令
2 ln
ln
0
g x
x
a
x x
，
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则
2
1
2ln
1
2 ln
ax
g
x
x
a
x
x
，
若ln
0
a
，即0
1
a
时，则
0
g x
在
0,
上恒成立，
所以
g x 在
0,
上单调递减，
又因为
2
2
ln
ln
1 ln
0
g a
a
a
a
a
a
，
1
ln
0
0
g
a
，
故有
1
0
g a g
，
所以
0
g x
在
0,
上有唯一解，符合题意；
若ln
0
a
，即
1
a 时，令
0
g
x
，则
1
ln
2
x
a
，
所以当
1
n
2
0
l
x
a
时，
0
g x
，
g x 在
1
0,
2ln a
上单调递减，
当
1
ln
2
x
a
时，
0
g
x
，
g x 在
1
,
2ln a
上单调递增，
所以
min
1
1
1
1
1
1
1
1
ln
ln
ln
ln 2ln
2ln
2ln
2ln
2
2
2ln
2
2
g x
g
a
a
a
a
a
a
，
因为
0
g x
在
0,
上有唯一解，
所以
min
1
1 ln 2ln
0
2
2
g x
a
，解得
1
2e
e
a
，
综上所述，实数a 的取值范围为
1
2e
0,1
e
.
故答案为：
1
2e
0,1
e
【点睛】关键点睛：本题的关键是等价转化为
2
ln
ln
x
x
a
恰有一个解，再构造函数
2 ln
ln
0
g x
x
a
x x
，
利用导数研究其最值即可.
5.
已知函数
2
2
2
e
2
2 e
0
x
x
f
x
a x
a x
a
恰有两个零点，则
a
.
【答案】
2e
2
【分析】利用导数，求出
f
x 的单调区间，由函数
f
x 恰有两个零点即函数
f
x 与x 轴有两个不同的交
点，从而建立等量关系求解可得.
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【详解】因为
2
2
2
e
2
2 e
0
x
x
f
x
a x
a x
a
，
所以
2
2
2e
2
e
2 e
2
x
x
x
f
x
a
x
a x
2 e
e
x
x
ax
a
令
ex
y
ax
，则
ex
y
a
，令
0
y
，
故当
ln
x
a
时
0
y
，函数
ex
y
ax
为增函数，
当
ln
x
a
时
0
y
，函数
ex
y
ax
为减函数，
即当
ln
x
a
时函数
ex
y
ax
有最小值
1
ln
a
a
，
若
1 ln
0
a
a
，即0
e
a
时
0
f
x
，此时函数
f
x 在R 上为增函数，与题意不符，且当
e
a
时，
f
x
的零点为1；
若
1 ln
0
a
a
，即
e
a
时，此时函数
e
,
0
x
y
ax a
与x 轴有两个不同交点，
设交点为
1
2
,0 ,
,0
x
x
，且
1
2
0
1
x
x
，即
1
2
1
2
e
e
x
x
ax
ax
，
所以当
1
x
x
或
2
x
x
时
0
y
，即
( )
0
f
x
¢
>
，此时函数
f
x 为增函数，
当
1
2
x
x
x
时
0
y
，即
0
f
x
，此时函数
f
x 为减函数，
依题意，函数
f
x 恰有两个零点即函数
f
x 与x 轴有两个不同的交点，即
1
0
f
x
或
2
0
f x
，
所以
1
1
2
2
2
1
1
e
0
2
2 e
x
x
a x
a x
或
2
2
2
2
2
2
2
e
0
2
2 e
x
x
a x
a x
，
所以
1
2
1
2
x
x
，所以
2
2
2
e
e
2
x
a
x
，
故答案为：
2e
2
.
【点睛】根据函数零点个数求解参数范围的问题的一般方法：
设
F x
f x
g x
方法一：转化为函数
F x 与x 轴交点个数问题，通过求解
F x 单调性构造不等式求解；
方法二：转化为函数
,
y
f
x
y
g x
的交点个数问题求解.
6.
函数
2
1
6 ln
2
f x
mx
m
x
mx
在区间
1,3 上单调递减，则m 的取值范围为（
）
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A．
6
, 7
B．
6
, 7
C．
,6
D．
,6
【答案】B
【分析】利用函数导数与函数单调性的关系将问题转化为恒成立问题，构造函数，求得最小值，从而得解.
【详解】
6
6
1
6
1
m
m
f
x
mx
m
mx
m
m x
x
x
x
x
x
，
因为函数
2
1
6 ln
2
f x
mx
m
x
mx
在区间
1,3 上单调递减，
即
1
6
1
0
f
x
m x
x
x
在
1,3 上恒成立，
又因为
1
1
x
x
在
1,3 大于0，所以
2
6
6
1
1
1
x
m
x
x
x
x
在
1,3 上恒成立，
令
2
1
g x
x
x
，对称轴为
1
2
x
，
g x 在
1,3 单调递增，
max
3
7
g x
g
，
所以
2
min
6
6
1
7
x
x
，
所以
6
7
m
，
所以m 的取值范围为
6
, 7
.
故选：B.
7.
设
0,1
a
，若函数
(1
)
x
x
f
x
a
a
在
0,
递增，则a 的取值范围是（
）
A．
5
1
5
1
,
2
2
B．
5
1,1
2
C．
5
1,1
2
D．
5
1
0,
2
【答案】B
【分析】把函数
f
x 在
0,
递增利用导数转化为1
ln
ln(1
)
x
a
a
a
a
在
0,
上恒成立，利用指数函数单
调性得
ln
1
ln(1
)
a
a
，解对数不等式即可得解.
【详解】因为函数
(1
)
x
x
f
x
a
a
在
0,
递增，
所以
ln
(1
) ln(1
)
0
x
x
f
x
a
a
a
a
在
0,
上恒成立，
则(1
) ln(1
)
ln
x
x
a
a
a
a
，即1
ln
ln(1
)
x
a
a
a
a
在
0,
上恒成立，
由函数
1
x
a
y
a
单调递增得
0
1
ln
1
ln(1
)
a
a
a
a
，
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又
0,1
a
，所以
1
1,2
a
，所以
ln
1
0
a
，
所以
ln
1
ln
0
1
a
a
a
即
1
1
0
1
a a
a
，解得
5
1
1
2
a
，
所以a 的取值范围是
5
1,1
2
.
故选：B
8.
已知函数
( )
4
(
2)2
1
x
x
f x
a
a
在( 2,
)
上单调递增，则a 的取值范围为（
）
A．[0,4]
B．(0,4]
C．[2,
)
D．{0}
[2,
)
【答案】A
【分析】令
2x
t
，利用复合函数的单调性，结合指数函数与二次函数的单调性求解即可.
【详解】令
2x
t
, 则
2
(
2)
1
y
at
a
t
，
当
( 2,
)
x
时，
2x
t
单调递增，且
1
4
t
，
当
0
a
时，
2
(
2)
1
2
1
y
at
a
t
t
，当
1
4
t
时单调递增，
则函数
( )
f x 在( 2,
)
上单调递增，符合题意；
当
0
a
时，
2
(
2)
1
y
at
a
t
的对称轴为
2
2
a
t
a
，
由题意
2
1
0
4
2
4
a
a
a
，
当
0
a
时，
2
(
2)
1
y
at
a
t
表示开口向下的抛物线，对称轴为
2
2
a
t
a
，
在
2 ,
2
a
a
上单调递减，不符合题意，
综上，0
4
a
.
故选：A.
9.
（多选）已知函数
3
( )
sin
f x
x
x
ax
，则下列结论正确的是（
）
A．
( )
f x 是奇函数
B．当
1
a 时，函数
( )
f x 恰有两个零点
C．若
( )
f x 是增函数，则
1
a
D．当
3
a
时，函数
( )
f x 恰有两个极值点
【答案】ACD
【分析】利用函数奇偶性的定义判断A；利用导数分析函数
f
x 的单调性判断B；利用导数结合函数单调
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性判断C；利用导数以及零点存在性定理判断D 作答.
【详解】对于A，函数
3
sin
f x
x
x
ax
的定义域为R ，
3
3
sin
sin
f
x
x
x
ax
x
x
ax
f x
，函数
f
x 为奇函数，A 正确；
对于B，当
1
a 时，
3
sin
f
x
x
x
x
，求导得
2
( )
cos
3
1
f
x
x
x
，而cos
1
0
x
，
2
0
x
，
显然这两个不等式不能同时取等号，即有
( )
0
f
x
，函数
f
x 在R 上为增函数，
又
0
0
f
，因此函数
f
x 有且只有一个零点，B 错误；
对于C，
2
cos
3
f
x
x
x
a
，因为函数
( )
f x 是增函数，则
0
f
x
对任意的xR 恒成立，即
2
3
cos
a
x
x
，
令
2
3
cos
g x
x
x
，求导得
6
sin
g
x
x
x
，令
6
sin
h x
x
x
，
6 cos
0
h x
x
，
即函数
g
x
在R 上为增函数，
0
0
g
，当
0
x
时，
0
g x
，函数
g x 为减函数，
当
0
x
时，
0
g
x
，函数
g x 为增函数，因此
min
0
1
g x
g
，所以
1
a ，C 正确；
对于D，当
3
a 时，
3
sin
3
f x
x
x
x
，则
2
cos
3
3
f
x
x
x
，显然函数
f
x
的图象可由函数
g
x
的图象
向下平移3 个单位而得，由C 选项知，函数
f
x
在
,0
上单调递减，在
0,
上单调递增，
而
1
1
cos1
0
f
f
，
0
2
0
f
，由零点存在性定理知，函数
f
x
在
1,0
和
0,1 上都存在一
个零点，
并且都是函数
f
x
的变号零点，因此，当
3
a
时，函数
f
x 有两个极值点，D 正确.
故选：ACD
【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：
（1）若函数
f
x 在区间D 上单调递增，则
0
f
x
在区间D 上恒成立；
（2）若函数
f
x 在区间D 上单调递减，则
0
f
x
在区间D 上恒成立；
（3）若函数
f
x 在区间D 上不单调，则
f
x
在区间D 上存在极值点；
（4）若函数
f
x 在区间D 上存在单调递增区间，则x
D
，使得
( )
0
f
x
¢
>
成立；
（5）若函数
f
x 在区间D 上存在单调递减区间，则x
D
，使得
0
f
x
成立.
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10.
1x
，
2
x ，当
1
2
1
e
x
x
时，
1 2
2
1
2
1
e
0
e
x x
ax
ax
x
x
，则a 的范围为
.
【答案】
e
a
【分析】将题设条件转化为
2
1
2
1
ln
ln
a
a
x
x
x
x
，从而构造函数
ln
a
h x
x
x
，得到
h x 在
1,e 上单调递
减，进而利用导数即可得解.
【详解】因为
1
2
1
e
x
x
，
1 2
1 2
2
2
1
1
2
2
1
1
e
0
e
e
x x
x x
ax
ax
ax
ax
x
x
x
x
，
两边取对数，得
2
1
2
2
1
2
1
1
1
2
ln
ln
ln
x
a
a
x x
ax
ax
x
x
x
x
x
，
则
2
1
2
1
ln
ln
a
a
x
x
x
x
，
令
ln
a
h x
x
x
，则
h x 在
1,e 上单调递减，
所以
0
h
x
在
1,e 上恒成立，
而
2
1
a
h x
x
x
，即
2
1
0
a
x
x
在
1,e 上恒成立，即a
x
在
1,e 上恒成立，
所以
e
a
.
故答案为：
e
a
.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是对题设条件进行变形，从而利用函数单调性的定义判断得
h x 单调
递减，进而利用导数即可得解.
11.
已知函数
3
2
2
2
f x
x
x
ax
在
0,2 上不是单调函数，则实数a 的取值范围为
．
【答案】
0,20
【分析】分析可知，函数
f
x 在
0,2 内存在极值点，根据导函数
f
x
在
0,2 上单调递增可得出关于实数
a 的不等式组，解之即可.
【详解】因为
3
2
2
2
f x
x
x
ax
，则
2
3
4
f
x
x
x
a
，
因为函数
f
x 在
0,2 上不是单调函数，则函数
f
x 在
0,2 内存在极值点，
又因为函数
2
3
4
f
x
x
x
a
在
0,2 上是增函数，
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所以，
0
0
2
20
0
f
a
f
a
，解得0
20
a
，
因此，实数a 的取值范围是
0,20 .
故答案为：
0,20 .
12.
设函数
2
e
2
x
f x
a
x
，若对任意
0
0,1
x
，皆有
0
0
0
0
lim
0
x
x
f
x
f
x
x
x
x
x
成立，则实数a 的取值
范围是
.
【答案】
3
4
4e
,
【分析】根据导数的几何意义转化为
1
0
f
x
对任意
0,1
x
恒成立，再代入
e
4
x
f
x
a
x
，利用分
离参数法即可得到答案.
【详解】
0
0
0
0
lim
0
x
x
f
x
f
x
x
x
x
x
，即
0
0
0
0
lim
0
x
x
f
x
f
x
x
x
x
x
，
即
0
0
0
lim
1
0
x
x
f
x
f
x
x
x
，即
1
0
f
x
对任意
0,1
x
恒成立，
e
4
x
f
x
a
x
，即
0
e
4
1
x
a
x
对任意
0,1
x
恒成立，
e
4
1
x
a
x
对任意
0,1
x
恒成立，则
max
4
e
1
x
a
x
，
设
4
e
1
x
x
h x
，则
e
3
4
x
x
h x
，令
3
4
0
ex
x
h x
，解得
3
4
x
，
当
3
0, 4
x
时，
0
h x
，此时
h x 单调递增，
当
3 ,1
4
x
时，
0
h
x
，此时
h x 单调递减，
则
3
4
max
3
4e
4
h x
h
，则
3
4
4e
,
a
，
故答案为：
3
4
4e
,
.
13.
已知函数
2
( )
e
1
x
f x
，若不等式
(
)
(ln )
2
0
f ax
f
x
对
(0,
)
x
恒成立，则实数a 的取值范围
是
.
【答案】
1
,
e
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【分析】构造
e
1
( )
( )
1
(
)
e
1
x
x
g x
f x
x
R ，得到
g x 为奇函数，且求导得到其在R 上单调递增，不等式
变形得到
(
)
( ln )
g ax
g
x
，得到
ln x
a
x
在
,
(
)
0
x
恒成立，构造
ln
( )
x
h x
x
，求导得到单调性和最值，
求出
1
a
e
.
【详解】令
e
1
( )
( )
1
(
)
e
1
x
x
g x
f x
x
R ，
e
1
1
e
(
)
( )
e
1
1
e
x
x
x
x
g
x
g x
，
所以( )
g x 是奇函数，又
2
2e
( )
0
e
1
x
x
g x
，所以( )
g x 在R 上单调递增.
因为
(
)
(ln )
2
0
f ax
f
x
，所以(
)
(ln )
0
g ax
g
x
，即
(
)
(ln )
g ax
g
x
，
即(
)
( ln )
g ax
g
x
，
故
ln
ax
x
，所以
ln x
a
x
在
,
(
)
0
x
恒成立.
令
ln
( )
x
h x
x
，则
2
ln
1
( )
x
h x
x
，
令
( )
0
h x
，得0
e
x
，令
( )
0
h x
，得
e
x，
所以函数( )
h x 在(0,e) 上单调递减，在(e,
)
上单调递增，所以
1
( )
(e)
e
h x
h
，
所以
1
a
e
，即实数a 的取值范围是
1
,
e
.
故答案为：
1
,
e
【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参
数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分
析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定
条件.
14.
若关于x 的不等式
e
2
(
2)ln
ax
ax
x
x
对任意的
,
(
)
0
x
恒成立，则a 的最小值为（
）
A．
2
1
e
B．1
e
C．
2
2
e
D．2
e
【答案】B
【分析】构造函数
2 ln
f x
x
x
，求导得出
2
ln
1
f
x
x
x
.二次构造函数，求导得出
( )
0
f
x
¢
>
在
0,
上恒成立，即可得出
f
x 在
0,
上单调递增.进而由已知得出eax
x
对任意的
,
(
)
0
x
恒成立.
进而推得
ln x
a
x
对任意的
,
(
)
0
x
恒成立，只需
max
ln x
a
x
即可.构造
ln x
h x
x
，求导得出函数的单调
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性，即可得出
h x 的最大值，即可得出答案.
【详解】令
2 ln
f x
x
x
，则
2
2
ln
ln
1
x
f
x
x
x
x
x
.
令
2
ln
1
g x
x
x
，则
2
2
2
1
2
x
g
x
x
x
x
，
解
0
g
x
可得
2
x
，
当0
2
x
时，有
0
g x
，所以
g x 在
0,2 上单调递减；
当
2
x
时，有
0
g
x
，所以
g x 在
2,上单调递增.
所以，
g x 在
2
x
处取得唯一极小值，也是最小值
2
ln 2
2
0
g
，
所以，
0
g x
在
0,
上恒成立，即
( )
0
f
x
¢
>
在
0,
上恒成立.
所以，
f
x 在
0,
上单调递增.
由已知
e
2
(
2)ln
ax
ax
x
x
可知，
eax
f
f x
对任意的
,
(
)
0
x
恒成立，
所以，eax
x
对任意的
,
(
)
0
x
恒成立.
两边同时取对数可得，
ln
ax
x
对任意的
,
(
)
0
x
恒成立，
所以，有
ln x
a
x
对任意的
,
(
)
0
x
恒成立，只需
max
ln x
a
x
即可.
令
ln x
h x
x
，
,
(
)
0
x
，则
2
1
ln x
h
x
x
，
由
2
1 ln
0
x
h x
x
，可得
e
x，
当0
e
x
时，
0
h x
，所以
h x 在
0,e 上单调递增；
当
e
x时，
0
h
x
，所以
h x 在
e,上单调递减.
所以，
ln x
h x
x
在
e
x处取得唯一极大值，也是最大值
ln e
1
e
e
e
h
.
由
max
ln x
a
x
可得，
1
e
a
.
故选：B.
15.
已知函数
2
ln
f x
x
ax
x
，定义域为1,e
e
，在其定义域中任取
1
2
,
x x （其中
1
2
x
x
）都满足
1
2
2
1
1
2
1
2
x f x
x f x
x x
x
x
，则实数a 的取值范围为（
）
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A．
,1
B．
1,
C．
,e
D．
e,
【答案】A
【分析】根据题意，得到
2
1
2
1
2
1
f
x
f
x
x
x
x
x
，得出
f x
h x
x
x
在1,e
e
上单调递增，令
f x
h x
x
x
，得到
0
h
x
在
1,e
e
x
上恒成立，得出
2
1 ln
1
x
a
x
，设函数
2
1 ln
1
x
g x
x
，利用
导数求得函数
g x 单调性，结合min
1
g x
，即可求解.
【详解】由
1
2
2
1
1
2
1
2
x f x
x f x
x x
x
x
，可得
2
1
2
1
2
1
f
x
f
x
x
x
x
x
，
由于
1
2
,
x x 为函数定义域内任取的两个数，且
1
2
x
x
，
所以函数
f x
h x
x
x
在1,e
e
上单调递增，
令函数
ln
1
f x
x
h x
x
ax
x
x
x
，
则
2
1 ln
1
0
x
h x
a
x
在
1,e
e
x
上恒成立，则
2
1 ln
1
x
a
x
，
设函数
2
1 ln
1
x
g x
x
，则
3
3
2ln
0
x
g
x
x
，
所以
min
e
1
g
g
x
，故
1
a ，即实数a 的取值范围为
,1
.
故选：A．
【点睛】方法总结：利用导数求解函数或不等式的恒成立（有解）问题的求解策略:
1、构造函数法：令
F x
f
x
g x
，利用导数求得函数
F x 的单调性与最小值，只需
min
0
F x
恒成
立即可；
2、参数分离法：转化为
a
x
或
a
x
恒成立，即
max
a
x
或
min
a
x
恒成立，只需利用导数求
得函数
x
的单调性与最值即可；
16.
若
1
2
,
2,4
x x
，当
1
2
x
x
时，
2
2
1
2
2
1
e
a
x
x
x
x
，则实数a 的取值范围是
.
【答案】
, 32
【分析】将原问题等价转化为
2,4
x
时，
2
2
1
1
2
2
ln
ln
x
a x
x
a x
恒成立，从而构造函数
2
ln
f x
x
a x
，推
出该函数在
2,4 单调递减，求出其单数，结合分离参数以及函数最值，即可求得答案.
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【详解】由题意
2
2
1
2
2
1
e
a
x
x
x
x
等价于
2
2
1
2
2
1
lne
ln
a
x
x
x
x
，
即等价于
2
2
1
2
2
1
ln
ln
x
x
a x
a x
，即等价于
2
2
1
1
2
2
ln
ln
x
a x
x
a x
.
令
2
ln
f x
x
a x
，
2,4
x
则原问题可转化为
1
2
,
2,4
x x
，当
1
2
x
x
时，
1
2
f x
f x
，
即函数
f
x 在
2,4 上单调递减，
即
2,4
x
，
2
0
a
f
x
x
x
，则
2
2
a
x
，
又
2,4
x
，
m
2
in
)
32
( 2x
，所以
32
a
，
所以实数a 的取值范围是
, 32
，
故答案为：
, 32
17.
若
2
0,
log
0
1
a
x
x
x a
a
且
恒成立，则a 的取值范围是（
）
A．
1
2e
1,e
B．
1
e
1,e
C．
1
2e
e ,
D．
1
ee ,
【答案】C
【分析】问题可转化为不等式恒成立求参数问题.根据底数分类讨论，当0
1
a
时不成立；当
1
a 时，分离
参数转化为函数最值问题求解.
【详解】当0
1
a
时，
0
x
，则
2
log
,
0
a x
x
，不符合题意；
当
1
a 时，ln
0
a
，
2
2
ln
log
0
ln
a
x
f
x
x
x
x
a
恒成立，
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即
2
ln
ln
x
a
x
恒成立，
设
2
3
ln
1 2ln
,
x
x
g x
g
x
x
x
，
令
0
g
x
，得
e
x
，
当
0,
e
x
时，
0
g
x
，
g x 单调递增；
当
e,
x
时，
0
g x
，
g x 单调递减.
故当
e
x
时，
g x 取得最大值
1
e
2e
g
，
所以
1
ln
2e
a
，解得
1
2e
e
a
，
故选：C．
18.
若
0
x
，
1
e
ln
x
x
x
x
m
恒成立，则实数m 的取值范围是（
）
A．
0
m
B．
1
m £
C．
e
m
D．
e
m
【答案】A
【分析】把恒成立问题转化为求解
1
( )
e
ln
x
f x
x
x
x
的最小值问题，求导，求出函数的单调区间，即可求
出最值.
【详解】因为
0
x
，
1
e
ln
x
x
x
x
m
恒成立，所以
1
e
ln
x
m
x
x
x
在
0,
上恒成立，
令
1
( )
e
ln
x
f x
x
x
x
，
0
x
，则
min
( )
m
f x
，
所以
1
1
1
1
( )
1 e
1
1
e
x
x
f
x
x
x
x
x
，
令
1
1
( )=ex
g x
x
，
0
x
，则
1
2
1
( )=e
0
x
g x
x
，所以( )
g x 在(0,
)
上单调递增，
又
0
1
(1)=e
0
1
g
，所以当
(0,1)
x
时，
( )
0
g x
，即
( )
0
f
x
，当
(1,
)
x
时，( )
0
g x
，
即
( )
0
f
x
，所以
( )
f x 在(1,
)
上单调递增，
( )
f x 在(0,1)上单调递减，
所以
( )
f x 的最小值为
0
(1)
e
1 ln1
0
f
，所以
0
m
.
故选：A
19.
已知函数
1
2ln ,(
e)
e
y
a
x
x
的图象上存在点M ，函数
2
1
y
x
的图象上存在点N ，且M ，N 关
于x 轴对称，则a 的取值范围是（
）
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A．
2
1
e , 2
B．
2
1
3
,
e
C．
2
1
3
, 2
e
D．
2
2
1
1
e , 3
e
【答案】A
【详解】因为函数
2
1
y
x
与函数
2
1
y
x
的图象关于x 轴对称，
根据已知得函数
1
2ln ,(
e)
e
y
a
x
x
的图象与函数
2
1
y
x
的图象有交点，
即方程
2
2ln
1
a
x
x
在
1,e
e
x
上有解，
即
2
2ln
1
a
x
x
在
1,e
e
x
上有解．
令
2
2ln
1
g x
x
x
，
1,e
e
x
，
则
2
2
2 1
2
2
2
2
x
x
g
x
x
x
x
x
，
可知
g x 在1,1
e
上单调递增，在
1,e 上单调递减，
故当
1
x 时，
max
1
2
g x
g
，
由于
2
1
e
e
1
3
g
，
2
e
e
1
g
，且
2
2
1
1
e
3
e
，
所以
2
1
2
e
a
．
故选：A．
20.
关于x 的不等式
ex x
a
x
在
1,1
恒成立，则实数a 的取值范围是（
）
A．
1
1
,
e
B．
e
1,
C．
1
,1
e
D．
,e
1
【答案】B
【分析】分离参数，构造函数
ex
x
f
x
x
，求导，根据导数求函数的最值.
【详解】由不等式
ex x
a
x
在
1,1
恒成立，
得
ex
x
a
x
在
1,1
上恒成立，
设
ex
x
f
x
x
，
e
1
e
x
x
x
f
x
，
设
e
1
x
g x
x
，
e
1
0
x
g
x
恒成立，
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所以
e
1
x
g x
x
在
1,1
上单调递增，
且
0
0
e
0 1
0
g
，
所以当
1,0
x
时，
e
1
0
x
g x
x
，即
e
1
0
e
x
x
x
f
x
，
f
x 单调递减，
当
0,1
x
时，
e
1
0
x
g x
x
，即
e
1
0
e
x
x
x
f
x
，
f
x 单调递增，
又
1
1
1
e
f
，
1
1 e
f
，
所以
e 1
f x
，
又
a
f
x
在
1,1
上恒成立，
所以
e
1
a
，
故选：B.
21.
已知函数
,
1
2,
1
x
xe
x
f x
x
x
，若
f
x
k
有三个不同的零点，则实数k 的取值范围为（
）
A．
1,
B．
1,0
C．
1 ,0
e
D．
1 ,
e
【答案】C
【分析】当
1
x 时，求得
(
1)
x
f
x
e
x
，求得函数的单调性，得到
min
1
f
x
e
且
1
f
e
，把
f
x
k
有
三个不同的零点，转化为函数
y
f x
和y
k
的图象有三个公共点，结合图象，即可求解.
【详解】由题意，当
1
x 时，
x
f
x
xe
，可得
(
1)
x
f
x
e
x
，
当
( 1,1)
x
时，
( )
0
f
x
¢
>
，
f
x 单调递增；
当
(
, 1)
x
时，
0
f
x
，
f
x 单调递减，
所以
min
1
( 1)
f
x
f
e
且
1
f
e
，
当
1
x 时，可得
0
f x
，
所以函数
f
x 的图象如图所示，
又由
f
x
k
有三个不同的零点，即函数
y
f x
和y
k
的图象有三个公共点，
结合图象，可得实数k 的取值范围
1
(
,0)
e
.
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故选：C.
22.
已知函数
2
( )
cos
1,
R
f x
x
ax
a
，若对于任意的实数x 恒有
( )
0
f x
，则实数a 的取值范围是（
）
A．1
[ ,
)
2
B．1
( ,
)
2
C．
1
[
,
)
4
D．1
( ,
)
4
【答案】A
【分析】由已知可将题目转化为
2
cos
1
0
x
ax
，即
2
1 cos
0
ax
x
，显然
0
a
，运用参数分离和二倍
角公式可得
2
sin 2
2
2
x
a
x
，求出右边函数的范围，即可得解.
【详解】对于任意的实数x 恒有
( )
0
f x
，即
2
cos
1
0
x
ax
，
即
2
1 cos
0
ax
x
，显然
0
a
，
当
0
x
时，显然成立；由偶函数的性质，只要考虑
0
x
的情况即可，
当
0
x
时，
2
2
2
2sin
1 cos
2
x
x
a
x
x
，即
2
sin 2
2
2
x
a
x
由
0
x
，则
0
2
x
t
，则题目转化为
2
sin
2
t
a
t
，
令( )
sin
,
0
g t
t
t t
，求导
( )
cos
1
0
g t
t
，
故函数
( )
g t 在
0,
上单调递减，
( )
(0)
0
g t
g
，即sin t
t
，
sin
1
t
t
，即
2
sin 2
1
2
x
x
，所以2
1
a ，解得
1
2
a
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所以实数a 的取值范围是1
[ ,
)
2
故选：A
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