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4.2 利用导数求单调性（精练）
1．（2023 春·江西鹰潭）函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】函数的定义域为
.
，则
.
令
，解得
.故选：D
2．（2023·江西鹰潭）函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，所以
，由
，即
，解得
，
所以函数
的单调递增区间为
，故选：D
3．（2023 春·四川乐山）函数
的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
，
【答案】A
【解析】
，当
时，
单调递增，当
时，
单调递
减；
的减区间是
；故选：A.
4．（2023 春·吉林长春）若函数
在区间
上是增函数，则实数a 的取值范围为
1
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（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，则
由函数
在区间
上是增函数，可得
在区间
上恒成立，
即
在区间
上恒成立，又由
，可得
，则
故选：D
5．（2023·全国·高三专题练习）若函数
在
上为增函数，则a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】题意得
对
恒成立，即
对
恒成立．
因为y＝ax＋a＋1 的图象为直线，所以
，解得
．故选：B.
6．（2023 春·山东聊城）已知函数
，则
单调递增的一个充分不必要条件可以
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
且
，
令
，要使
单调递增，即
恒成立，
当
时
满足题设；
2
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当
，可得
，则
，满足题设；
综上，使
单调递增，则
，
A 为充要条件，B 为充分不必要条件，C、D 既不充分也不必要条件.
故选：B
7．（2023·全国·高三专题练习）设
，
，
，则
，
，的大小关系是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令
，则
，
，
，
由
可得
且
，由
可得
；所以
在
上单调递减，
因为
，所以
，所以
，故选：C.
8．（2023 春·河南）（多选）函数
的图象如图所示，则以下结论正
确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【解析】由
的图象可知
在
和
上单调递增，在
上单调递减，在
处取得
3
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极大值，在
处取得极小值，
又
，所以
和
为方程
的两根且
；
所以
，
，
所以
，
，
，
，故A 错误，B 正确；
所以
，
，故C 正确，D 错误.
故选：BC
9．（2023 春·安徽安庆）（多选）如图是函数
的导函数
的图象，
，则
下列判断正确的是（ ）
A．
单调递增区间为
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】对于A，由题图知当
时，
，所以在区间
上，
单调递
增，故
正确；
对于B，当
时，
单调递减，在
上，
单调递增；当
时，
单调递减，所以
，故B 正确；
对于C，
不一定是函数的最大值，最大值可能由区间
的端点产生，所以
错误；
对于D，当
时，
，
单调递减，所以
，故D 正确；
故选：ABD.
4
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10．（2023·全国·高三对口高考）设函数
，则函数
的单调增区间为__________．
【答案】
和
【解析】
，
令
，得
或
，
解得
或
，
所以函数
的单调增区间为
和
，
故答案为：
和
．
11．（2023 春·河南洛阳）函数
的单调递增区间为__________．
【答案】
/
【解析】
由
得：
．所以
单调递增区间为
故答案为：
12．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）若函数
在区间
上不单调，则实数
的取值范围为________．
【答案】
【解析】由
可知，其定义域为
，则
，
易知当
时，
；当
时，
；
即函数
在
单调递减，在
上单调递增；
若函数
在区间
上不单调，则需满足
，解得
；
所以实数
的取值范围为
.故答案为：
5
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13．（2023·全国·高三对口高考）函数
在区间
内单调递减，且在区间
及
内单调递增，则实数p 的取值集合是__________．
【答案】
【解析】因为函数
在
内单调递减，在
及
内单调递增，
因此
分别是函数
的极大值、极小值点，而
，
于是
，且
，解得
，此时
，
当
时，
，当
或
时，
，
因此函数
在
内单调递减，在
及
内单调递增，符合题意，
所以实数p 的取值集合是
.
故答案为：
14．（2023·甘肃）若函数
存在增区间，则实数
的取值范围为_____________.
【答案】
【解析】
，定义域为
，
，
由题意可知，存在
使得
，即
.
当
时，
，所以，
，因此，实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
15．（2023 春·广东广州）已知函数
在
上单调递减，则
的取值范围是
______．
【答案】
【解析】函数
，求导得
，
依题意，
，
，即
恒成立，
6
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显然函数
是开口向上的二次函数，因此
，解得
，
所以
的取值范围是
.故答案为：
16．（2023 春·河南洛阳）已知函数
，若
在定义域上单调递增，则实数
的
取值范围是________．
【答案】
【解析】依题意，当
时，
恒成立，即
恒成立，
所以，
在
上恒成立，
构造函数
，则
，由
得
，由
得
所以函数
在区间
上递减，在区间
上递增，
所以，函数
在
处取得极小值也即是最小值，故
，
所以，
，即实数
的取值范围是
故答案为：
.
17．（2023 春·河南洛阳）已知函数
，若函数
在
上单调递减，则实数
的取值范围是____________.
【答案】
【解析】
，
因为
在
上单调递减，故
，有
恒成立，
故
对
恒成立，
所以
对
恒成立，
7
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故
对
恒成立，
令
，而
在
上为减函数，
故
在
上最大值为
，
故
.
故答案为：
.
18．（2023 春·安徽六安）若函数
在
上是减函数，则
的最大值是__________．
【答案】3
【【解析】函数
，求导得
，依题意，
，
恒成立，
即
，恒有
成立，而当
时，
，因此
，
当
时，
，对
，
，即函数
在
上是减函数，
所以
的最大值是3.
故答案为：3
19．（2023·全国·统考高考真题）设
，若函数
在
上单调递增，则a 的
取值范围是______.
【答案】
【解析】由函数的解析式可得
在区间
上恒成立，
则
，即
在区间
上恒成立，
故
，而
，故
，
故
即
，故
，
8
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结合题意可得实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
20．（2023 春·高二单元测试）设函数
在区间
上是减函数，则
的取值
范围是_________．
【答案】
【解析】因
，
，
若
，
，当
时，
，符合题意，
当
时，
得
，因
，故
，
由题意
在
上恒成立，
设
，
则
在
上单调递减，故
故
，
，综上
，
故答案为：
21．（2023 广东）若函数
在区间
上为减函数，在区间
上为增函
数，则实数
的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为
，
所以
，
令
得
或
，
因为
在区间
上为减函数，在区间
上为增函数，所以
，即
，
9
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当
时，
，则
单调递减；
当
时，
，则
单调递增；
所以
，解得
，故
，
所以实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
22．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
在
上单调递增.则
的取值范围为
__________.
【答案】
【解析】由题得
.由题可知
在
上恒成立，即
，
即
在
上恒成立，因为
，所以
，解得
.
故答案为：
23．（2023 春·上海杨浦）函数
的导函数
的图像如图所示，以下结论正确的序号是
______．
（1）
是函数
的极值点；
（2）
是函数
的极小值点
（3）
在区间
上严格增；
（4）
在
处切线的斜率大于零；
【答案】（1）（3）（4）；
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【解析】由图象可得
时，
，且
时
，
时
，即
是函数
的极小值点，（1）正确；
而
时，
，但
与
时，
，∴
不是函数
的极值点，（2）不正
确；
由图象可知
上
，∴
在区间
上严格增，（3）正确；
处
，所以该处切线的斜率大于零，（4）正确；
故答案为：（1）（3）（4）；
24．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
在定义域
内可导，其图象如下图，记
的导函数为
，则不等式
的解集为______________.
【答案】
【解析】由函数图象可得，在定义域
内函数的单调递减区间为
，
故不等式
的解集为：
，
故答案为：
25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
在
上单调递增，则实数
的取
值范围为______
【答案】
【解析】由题可知
在
上恒成立，
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则
，即
在
上恒成立，
令
，则
在
上恒成立，
故
在
上单调递增，则
，故
，
，即m 的取值范围为
.
故答案为：
26．（2023 北京）函数
的图象如图所示，
为函数
的导函数，则不等式
的解集为
______________．
【答案】
【解析】由图可知，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增.
所以，当
时，
；当
时，
；当
时，
；当
时，
.
当
时，由
可得
，此时
；
当
时，由
可得
，此时
.
综上所述，解集为
.
故答案为：
.
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1．（2023 春·山东淄博·高二山东省淄博实验中学校联考期中）若函数
在
上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵
递增，∴
恒成立，
令
，即
恒成立，
因为
，
，
当
时，
，
而
在
上为增函数，故存在
，使得
，
当
时，
，
递减，
当
时，
，
递增，
所以
，
即
，
，即
故选：C
2．（2023 湖北省）已知函数
，设
，
，
，则
（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】D
【解析】由函数
，
可得函数
为偶函数且在
上为增函数，
设
，
则
，
所以
是
上的增函数，所以
，即
，
所以
，左右两边同时乘以
，可得
，
，即
；
设
，可得
，
当
时，
，
单调递增，所以
，即
，
所以
，即
，即
，即
，
综上可得，
.
故选:D.
3．（2023·全国·模拟预测）已知
，其导函数
的图像如图所示，
则
在
内的极值点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】B
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【解析】因为
，
所以
，
由图象知：
，
则
，
，
所以
，
又
，
则
，
即
，
因为
，
所以
，
所以
，则
，
所以
，
则
，
令
，即
，
因为
，所以
，
所以
，解得
，
所以当
时，
，当
时，
，
所以当
时，
取得极大值，
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所以
在
内的极值点个数为1，
故选：B
4．（2023 春·山东聊城）已知偶函数
满足
对
恒成立，下列
正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
为偶函数，则
，
令
，则
，
所以
为偶函数，
又
，则当
时
，
所以
在
上单调递增，则
，
所以
，即
，故A 正确；
，即
，
则
，即
，故B 错误；
，即
，
则
，即
，故C 错误；
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，即
，
则
，即
，故D 错误；
故选：A
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数
在
内单调递增，则实数
的取值范围
为______
【答案】
【解析】因为
，所以，
，
因为函数
在
内单调递增，则
在
内恒成立，
即
，解得
．
令
，
，则
，
故
在
内单调递增，则
，故
，
即实数
的取值范围为
.
故答案为：
.
6．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数
，讨论函数
的单调性；
【答案】答案见解析；
【解析】函数
的定义域为
，求导得
，
①当
，即
时，
恒成立，此时
在
上单调递减；
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②当
，即
时，由
解得，
，
由
解得，
，由
解得
或
，
此时
在
上单调递增，在
和
上单调递减；
③当
，即
时，由
解得
或
(舍)，
由
解得
，由
解得
，
此时
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以当
时，函数
在
上单调递减；
当
时，函数
在
上单调递增，在
和
上单调递减；
当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减.
7．（2023·全国·统考高考真题）已知函数
．讨论
的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】因为
，定义域为
，所以
，
当
时，由于
，则
，故
恒成立，
所以
在
上单调递减；
当
时，令
，解得
，
当
时，
，则
在
上单调递减；
当
时，
，则
在
上单调递增；
综上：当
时，
在
上单调递减；
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当
时，
在
上单调递减，
在
上单调递增.
8．（2023·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考模拟预测）已知函数
，其中
．
(1)若函数
定义域内的任意x 使
恒成立，求实数a 的取值范围；
(2)讨论函数
的单调性．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）因为
，显然
，
则
，
因为
恒成立，则
，对
恒成立，
当
时，
，则
恒成立，故
；
当
时，
，则
恒成立，故
；
综上，
．
（2）由（1）知
，
，
①当
时，
，
当
时，
，则
，
单调递减，
当
时，
，则
单调递增，
即当
时，
在
上单调递减，
上单调递增；
②当
时，
当
时，由（1）知
在
单调递增；
当
时，当
时，
；
当
时，
；
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当
时，
；
故当
和
时，
；当
时，
；
因此
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
故当
和
时，
；当
时，
；
因此
在
上单调递增，在
上单调递减；
综上：当
时，
在
上单调递减，
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
在
单调递增；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减.
9．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知函数
，讨论
的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】函数
定义域为
，
，
令
，则
，
当
，即
时
，
，所以
在定义域
上单调递增；
当
，即
时
恒成立，所以
在定义域上单调递增，
令
，则
，即
，
20
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当
，即
时解得
，所以当
时
，当
时
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
当
，即
，此时
恒成立，所以
在
上单调递增，
当
，即
时
恒成立，所以
在定义域上单调递减，
令
，则
，即
，解得
，
所以当
时
，当
时
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
综上可得：当
时
在
上单调递增；
当
时
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时
在
上单调递增；
当
时
在
上单调递减，在
上单调递增.
10．（2023·全国·高三对口高考）求下列函数的单调区间
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析.
【解析】（1）函数
的定义域为
，求导得
，
当
时，
恒成立，函数
在(0,
上单调递減；
当
时，令
，有
，
，
当
，即有
时，
，
恒成立，即
在
上恒成立，
在
上单调递增；
21
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当
，即有
时，令
，解得
，
由
，即
，得
或
，
由
，即
，得
，
因此函数
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
所以当
时，
的递减区间是
，无递增区间；
当
时，函数
的递增区间为
，
，递减区间为
；
当
时,
的递增区间是
，无递诫区间.
（2）函数
的定义域为
，
求导得
，
当
时，恒有
成立，当
时，
，当
时，
，
于是函数
在
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，
，由
，得
或
，
若
，即
时，
恒成立，当
时，
，当
时，
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，有
，
恒成立，函数
在
上单调递减；
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当
时，有
，当
或
时，
，当
时，
，
因此函数
在
，
上单调递减，在
上单调递增；
当
时，有
，当
或
时，
，当
时，
，
因此函数
在
，
上单调递减，在
上单调递增，
所以当
时，函数
的递减区间是
，递增区间是
；
当
时，函数
的递减区间是
，
，递增区间是
；
当
时，函数
的递减区间是
，无递增区间；
当
时，函数
的递减区间是
，
，递增区间是
；
当
时，函数
的递减区间是
，递增区间是
.
11．（2023·全国·高三对口高考）已知函数
，求函数
的单
调区间．
【答案】答案见解析.
【解析】函数
的定义域为
，求导得
，
当
时，
，由
，得
，由
，得
，
因此函数
在
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，由
，得
或
，
当
或
时，
，当
时，
，
因此
在
，
上单调递增，在
上单调递减；
当
时，
恒成立，当且仅当
时取等号，因此
在
上单调递增；
当
时，当
或
时，
，当
时，
，
因此
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
所以当
时，
的单调递增区间为
，单调递减区间为
；
当
时，
的单调递增区间为
，
，单调递减区间为
；
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当
时，
的单调递增区间为
，无单调递减区间；
当
时，
的单调递增区间为
，
，单调递减区间为
.
12．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)当
时，
，求实数a 的取值范围；
【答案】(1)答案见解析(2)
【解析】（1）依题意，
，
；
当
时，
，函数
在
上单调递增；
当
时，令
，解得
，
故当
时，
；当
时，
，
故函数
在
上单调递增，在
上单调递减；
综上所述，当
时，函数
在
上单调递增；当
时，函数
在
上单调递增，
在
上单调递减；
（2）依题意，
，由（1）知，当
时，函数
在
上单调递增；符合题意，
时，当
，即
时，函数f（x）在
上单调递增，在
上单调递减，
，解得
，所以
，
当
，即
时，函数f（x）在[0，2]上单调递增，
成立，
综上，实数a 的取值范围是
.
13．（2023·江苏·统考模拟预测）已知函数
.讨论函数
的单调性；
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【答案】答案见解析
【解析】易知
，又因为
，
令
，
，
①当
，即
时，
恒成立，所以
，此时，
在区间
上是增函数；
②当
，得到
或
，又
，其对称轴为
，且
，所以，
当
时，
，所以
在区间
上恒成立，
即
在区间
上恒成立，此时
在区间
上是增函数；
当
时，
，且
，由
，
得到
或
，
时，
，
时，
即
时，
，
时，
此时，
在
上是减函数，
在
上是增函数.
综上所述，当
时，
在
上是增函数；
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当
时，
在
上是减函数，
在
上是增函数.
14．（2023·广东广州·统考模拟预测）设函数
，其中
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
存在两个极值点，设极大值点为
为
的零点，求证：
.
【答案】答案见解析
【解析】由
①
时，由
，令
，解得
，
所以
时，
时，
，
则
在
单调递增，在
单调递减；
②
时，由
，
（i）
时，因为
，则
在
单调递增，
（ii）
时，
，解得
或
，
所以
时，
时，
，
则
在
，
上单调递增，在
单调递减；
（iii）
时，由
，
所以
时，
时，
，
则
在
，
上单调递增，在
单调递减；
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综上：
时，
的单调递增区间为
，单调递减区间为
；
时，
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
；
时，
的单调递增区间为
；
时，
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
；
15．（2023·北京·统考模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)设
，讨论函数
的单调性；
(3)若对任意的
，当
时，
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【解析】（1）
，
，
，
当
时，
，
切点坐标为
，
又
，
切线斜率为
，
曲线
在
处切线方程为：
.
（2）
，
，
，
，
，
，
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①当
时，
成立，
的单调递减区间为
，无单调递增区间.
②当
时，令
，
所以当
时，
，
在
上单调递减
时，
，
在
上单调递增
综上:
时，
的单调递减区间为
，无单调递增区间；
时，
的单调递增区间为
，单调递减区间为
；
（3）
，
，
，
令
，
，
由已知可得：
且
，
的单调区间是
，
，
时，
恒成立，
，
，
令
，
，即证
，
，
成立，
的单调递减区间为
，
，
恒成立，
综上：
的取值范围是
.
16．（2023·山东聊城·统考三模）已知函数
．讨论
的单调性；
【答案】答案见解析
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【解析】（1）
，
，
①当
，即
时，
，
在区间
单调递增．
②当
，即
时，
令
，得
，令
，得
，
所以
在区间
单调递增；在区间
单调递减．
③当
，即
时，
若
，则
，
在区间
单调递增．
若
，令
，得
，令
，得
，
所以
在区间
单调递减；在区间
单调递增．
综上，
时，
在区间
单调递增；在区间
单调递减；
时，
在区间
单调递增
时，
在区间
单调递减、在区间
单调递增．
17．（2023 春·陕西安康·高三陕西省安康中学校考阶段练习）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
在区间
上有两个不同的零点，求
的取值范围.
【答案】(1)当
时，
在
上单调递增；当
时，
在区间
上单调递减，在
区间
上单调递增
(2)
【解析】（1）∵
，∴
，
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①当
时，
恒成立，此时
在
上单调递增；
②当
时，令
，解得
，
当
时，
，
在区间
上单调递减，
当
时，
，
在区间
上单调递增.
综上所述，当
时，
在
上单调递增；当
时，
在区间
上单调递减，在
区间
上单调递增.
（2）∵
，∴
，即
是
的一个零点.
由第（1）问
的单调性知，
①当
时，
在
上单调递增，有且只有一个零点
，不合题意；
②当
时，
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
i）当
，即
时，
在区间
上单调递增，
∴
在区间
上有且只有一个零点
，不合题意；
ii）当
，即
时，
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
当
时，
取得极小值，也是最小值
，
且由
的单调性知，
又∵
，∴
，
，
令
，则
，
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当
时，
，
单调递增，
，
∴
，
∴由零点存在定理知，
在区间
有零点，
∴结合
的单调性及
知，
在区间
上有两个不同的零点，
综上所述，若
在区间
上有两个不同的零点，则实数
的取值范围是
.
18．（2023·全国·模拟预测）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若
，不等式
恒成立，求正整数
的最大值.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】（1）因为
，
所以
.
因为
，若
，即
时，
在
上单调递增，
若
，即
时，
令
，得
；
令
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
综上，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减.
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（2）因为
，
恒成立，
即
恒成立，
令
，则
，显然
在
上单调递增，
又
，
，
所以存在唯一实数
，使得
，即
，
所以
.
所以
时，
；
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，所以
，
所以
时，
恒成立，
若
，
恒成立，满足条件；
若
，函数
在
上单调递增，
而
，不合题意；
若
，函数
在
上单调递减，
而
，符合题意；
所以当
时，
在
上恒成立，
所以
恒成立时，正整数
的最大值为.
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