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重难点培优02 抽象函数的定义域、求值、解析式、单调性、
奇偶性（对称）、周期性的应用
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01 知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1
02 题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................3
题型一 抽象函数的定义域（★★★）........................................................................................................3
题型二 抽象函数的求值问题（★★★★）................................................................................................5
题型三 抽象函数的解析式（★★★★）....................................................................................................7
题型四 抽象函数的奇偶性（★★★）......................................................................................................13
题型五 抽象函数的单调性（定义法）（★★★）..................................................................................11
题型六 抽象函数的周期性（★★★★★）..............................................................................................19
题型七 抽象函数的对称性（★★★★★）..............................................................................................23
03 实战检测・分层突破验成效........................................................................................................27
检测Ⅰ组 重难知识巩固..............................................................................................................................27
检测Ⅱ组 创新能力提升..............................................................................................................................39
【注意：本专题以赋值法为主干去破解相关难题，掌握模型可以快速解题】
1、常见的抽象函数模型
【反比例函数模型】
反比例函数：
，则
，
【一次函数模型】
模型1：若
，则
；
模型2：若
，则
为奇函数；
模型3：若
则
；
模型4：若
则
；
【指数函数模型】
模型1：若
，则
；
模型2：若
，则
；
模型3：若
，则
；
模型4：若
，则
；
【对数函数模型】
模型1：若
，则
模型2：若
，则
模型3：若
，则
模型4：若
，则
模型5：若
，则
【幂函数模型】
模型1：若
，则
模型2：若
，则
代入
则可化简为幂函数；
【正弦函数模型】
对于正弦函数
，与其对应的抽象函数为
注： 此抽象函数对应于正弦平方差公式：
【余弦函数模型】
对于余弦型函数
，涉及2 种余弦的和差化积公式
1、公式一：
其抽象函数模型是：
2、公式二：
其抽象函数模型是：
3、若
，则
【正切函数模型】
模型：若
，则
2、其他技巧
（1）观察不等式两端的特点，化为同类函数；
（2）借助函数的单调性，脱掉“ f ”；
（3）注意定义域及单调区间，特别是对数函数中真数大于0.
题型一 抽象函数的定义域
【技巧通法·提分快招】
抽象函数的定义域的求法
(1)若已知函数f (x)的定义域为[a，b]，则复合函数f (g(x))的定义域由a≤g(x)≤b 求出．
(2)若已知函数f (g(x))的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为g(x)在x [
∈a，b]时的值域．
注：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用
集合或区间来表示.
1．已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据
求解即可
【详解】∵
的定义域为
，∴
，由
，得
，则函数
的定义域
为
故选：A.
2．已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】已知抽象复合函数定义域求原函数定义域.
【详解】令
，则
，故
，
所以
的定义域为
.
故选：C
3．（24-25 高三下·湖南长沙·月考）已知函数
的定义域和值域分别为
和
，则函数
的定义域和值域分别为（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
【答案】D
【分析】令
，求得
，得到
的定义域为
，再结合函数图象变换，得
到
与函数
的值域相同，即可得到答案.
【详解】由函数
的定义域和值域分别为
和
，可得
和
，
令
，解得
，所以函数
的定义域为
，
又由函数
的图象向左平移个单位，得到
的图象，
所以函数
与函数
的值域相同，即
.
故选：D.
4．若函数
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由
的定义域得到
，即可求出函数
的定义域.
【详解】因为函数
的定义域为
，
所以
，
即
，解得
，
即
的定义域是
.
故选：A.
5．（2024·湖北武汉·二模）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
.
【答案】
【分析】借助函数定义域的定义计算即可得.
【详解】由函数
的定义域为
，则有
，
令
，解得
.
故答案为：
.
6．（24-25 高三上·湖南邵阳·月考）已知函数
的定义域是
，则函数
的定
义域为 ．
【答案】
.
【分析】由条件求出函数
解析式中
的范围，列出使得
有意义的不等式，
解不等式可得结论.
【详解】因为函数
的定义域是
，
所以
，故
，
因为
有意义，
所以
，所以
，
所以函数
的定义域为
.
故答案为：
.
题型二 抽象函数的求值问题
【技巧通法·提分快招】
一般采用赋值法，0,1，x,-x 是常见的赋值手段，或者是代入……，
，……等特殊值求解；
1．若对任意的
，函数
满足
，则
（ ）
A．6
B．4
C．2
D．0
【答案】D
【分析】利用赋值法即可求解.
【详解】令
，则
，解得
，
令
，则
，故
，
故选：D
2．函数
定义域为
，对任意
，
都有
，又
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【详解】由已知得
，故
．
3．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知定义在
上函数
满足
，若
，
则
（ ）
A．1
B．16
C．128
D．256
【答案】D
【分析】由题设可得
或
，结合已知排除
，再由
得
，结合
即可得.
【详解】由题设
，则
或
，
若
，令
，则对于任意
有
，而
，不符；
所以
，则
，故
，
由
.
故选：D
4．（2025·重庆·三模）已知定义在
上的函数
满足对任意的
. 则
（ ）
A．
B．0
C．2
D．1
【答案】C
【分析】赋值分别令
、
可得
，再令
即可得解.
【详解】因为对任意的
，
令
，则
，即
；
令
，则
，即
；
可得
，
令
，则
，解得
.
故选：C.
5．（2025·广东深圳·模拟预测）已知函数
满足：
，
，
，若
，则
（ ）
A．2022
B．2023
C．2024
D．2025
【答案】C
【分析】根据已知条件结合赋值法计算得出
，再赋值法结合应用不等关系计算求解即可.
【详解】依题意，因为
，则
，
令
，则
，因为
，所以
，
又因为
，则
，即
，
令
，则
，即
，
令
，则
，所以
，故得
，
又
；
又
，
所以
，即
．
故选：C．
题型三 求抽象函数的解析式
1．（2025·江西萍乡·三模）已知定义在
上的函数
满足对于任意实数x，y 均有
，且
，则
（ ）
A．675
B．1350
C．2025
D．4050
【答案】D
【分析】根据赋值法，用x 替换y，y 替换x 得到
，故
是常函数，设
，再结合
可解
即可求
.
【详解】用x 替换y，y 替换x 可得
，当
，
时，，故可知
是常函数，
于是知当
时，
，其中c 为常数，故
，解得
，于是
.
故选：D.
2．（2025·安徽·模拟预测）已知函数
满足
，则以下结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】令
、
，代入已知关系式判断A、B；用
代换
判断C；利用特殊函数
判断D.
【详解】令
，有
，从而
，A 正确；
令
，得
，故
，B 正确；
由题意得，
，即
，C 正确；
令
，则
，
，满足
，
但
，即不满足
，D 错误.
故选：D.
3．（24-25 高三上·广东·开学考试）已知函数
满足
，则下列结论中正
确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用赋值法对
进行合理取值，即可得出选项中各函数值，得出结论.
【详解】【构造模型可以速解】
令
得
；
令
得
，所以
；
令
得
，所以
；
令
得
，所以
；
令
4 得
.
综上只有
正确.
故选：A
4．已知函数
的定义域为
，对于任意实数
，
满足
，且
，则
（ ）
A．1012
B．2023
C．2024
D．4046
【答案】C
【分析】根据抽象函数的性质，化简即可得解.
【详解】【构造模型可以速解】
对于任意实数
，
满足
，
所以当
时，
，
所以
.
故选：C
5．（2025·福建泉州·模拟预测）已知定义在
上的函数
满足
，且
，则（ ）
A．
B．方程
有解
C．
D．
【答案】C
【分析】根据抽象函数式，一般考虑赋值法，利用函数的单调性，奇偶性，累加法、累乘法推理计算即可.
【详解】【构造模型可以速解】
因
和
，
对于A，令
，则
，即
，故A 错误；
对于B，令
，则
，可得
，
令
，当
时，则
，
即
，
，
，
，
则
，
其中
也符合，因
，故方程
无实数解，即B 错误；
对于C，令
，则
，得到
，
由
，则C 正确；
对于D，
与
不能恒相等，故D 错误.
故选：C.
6．（2025·辽宁·一模）对任意
，都有
，且
不恒为0，函数
，则
（ ）
A．0
B．2
C．4
D．6
【答案】B
【分析】利用赋值法可得
，进而可求
的值.
【详解】【构造模型可以速解】
令
，可得
，所以
，
令
，可得
，
因为
不恒为0，所以
，所以
是奇函数，
因为
，
所以
.
故选：B.
7．已知函数
的定义域为
，且
，则下列选项不正确的是
（ ）
A．
B．
为偶函数
C．
D．
在区间
上单调递减
【答案】D
【分析】利用赋值法逐一分析判断即可.
【详解】【构造模型可以速解】
对于选项A：令
，得
，故A 正确；
对于选项B：令
，得
，
即
，且
，所以
为偶函数，故B 正确；
对于选项C：令
，得
，
用
代入即
，
消去
得：
用
代入得
，
所以有
，即
，故C 正确；
对于选项D：令
，则有
，
令
，则有
，
令
，则有
，
所以
在区间
上不是单调递减，故D 错误.
故选：D.
【点睛】思路点睛：解决跟抽象函数有关的问题，通常利用赋值法.
8．已知函数
的定义域为
，且满足：
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
为偶函数
D．
为奇函数
【答案】C
【分析】利用赋值法令
，求得
，判断A; 令
，可求得
，继而求出
，判断B; 令
,可推得
，判断C；举特例说明
，可判断D.
【详解】【构造模型可以速解】
令
，则
，即有
，
则
，A 错误；
令
，则
，
令
，则
，即
，
则
，B 错误；
令
，则
，即
，
故
，
为偶函数,C 正确；
令
，则
，即
，
由于
，故
不是奇函数，D 错误，
故选：C.
题型四 抽象函数的奇偶性
【技巧通法·提分快招】
令式子中出现
及
判定抽象函数的奇偶性
1．已知函数
对任意实数
，
都满足
，且
，
，
则函数
是（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．既奇又偶函数
D．非奇非偶函数
【答案】B
【分析】用赋值法，先令
求得
，再令
求解后即可判断．
【详解】在
中，
令
，则
，又
，所以
，
令
得
，所以
，
所以
是偶函数，
故选：B．
2．（24-25 高三上·山东济宁·期中）已知函数
的定义域为
，满足
，
则下列说法正确的是（ ）
A．
是偶函数
B．
是奇函数
C．
是奇函数
D．
是偶函数
【答案】C
【分析】根据抽象函数，利用奇偶函数的性质直接判断即可.
【详解】因为
，
所以令
，可得
，
令
，则
，
所以
，
则
既不是奇函数又不是偶函数，
且
，
所以
是奇函数.
故选：C
3．已知函数
满足
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】令
可求得
；令
可证得
为奇函数，令
可求得
，根据
可得结果.
【详解】令
，则
，解得：
；
令
，则
，
为奇函数，
，
.
故选：C.
4．（23-24 高三上·江苏扬州·期中）已知
，且
，则
是（
）
A．偶函数
B．奇函数
C．非奇非偶函数
D．不能确定
【答案】A
【分析】由赋值法得出
，再由
，结合定义判断即可.
【详解】取
，则
，因为
，所以
.
取
，则
，即
.
即函数
是偶函数.
故选：A
5．（2024·山西·一模）已知函数
是定义在
上不恒为零的函数，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
为偶函数
D．
为奇函数
【答案】C
【分析】根据题意，令
、
取特殊值逐一验证四个选项即可.
【详解】令
，则
，故
，A 选项错误；
令
，则
，故
，B 选项错误；
令
，则
，故
为偶函数，C 选项正确；
因为
为偶函数，又函数
是定义在
上不恒为零的函数，D 选项错误.
故选：C
题型五 抽象函数的单调性（定义法）
【技巧通法·提分快招】
1、令式子中出现
的变换判定单调性；
2、单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题
①
在
上是奇函数，且
单调递增
若解不等式
，则有
；
在
上是奇函数，且
单调递减
若解不等式
，则有
；
②
在
上是偶函数，且
在
单调递增
若解不等式
，则有
（不
变号加绝对值）；
在
上是偶函数，且
在
单调递减
若解不等式
，则有
（变号
加绝对值）；
③
关于
对称，且
单调递增
若解不等式
，则有
；
关于
对称，且
单调递减
若解不等式
，则有
；
④
关于
对称，且
在
单调递增
若解不等式
，则有
（不变号加绝对值）；
关于
对称，且
在
单调递减
若解不等式
，则有
（不变号加绝对值）；
1．已知函数
的定义域为R，对任意实数
满足
．且
，当
时，
，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．
为增函数
D．
为奇函数
【答案】B
【分析】先利用赋值值法可求解A、B 选项，再利用抽象函数的关系是结合函数的奇偶性和单调性的定义
可求解C、D.
【详解】函数
的定义域为R，对任意实数
满足
，
令
，可得
，即有
，故A 正确；由
，可得
，
，即
，可得
，故B 错误；令
，则
，即
，则函数
为奇函数，
故D 正确；
令
，可得
即
，当
时，
，
即
，
设
，即
，即有
，
则
在
上递增，故C 正确．
故选：B．
2．已知函数
的定义域为
，且
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
为偶函数
D．
为增函数
【答案】C
【分析】通过赋值法，结合函数的奇偶性和单调性即可求解.
【详解】令
，则
，
则
，故A 错误；
令
，则
，
则
，故B 错误；
令
，
则
，
所以
为偶函数，故C 正确；
由
，
，可知
不是增函数，D 错误.
故选：C
3．已知定义域为R 的函数
满足
，
，当
时，
．
(1)用定义法证明：
在定义域内单调递增；
(2)记函数
，判断
的奇偶性，并证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析
(2)
是奇函数，证明见解析
【分析】（1）根据题意，由函数单调性的定义法代入计算，即可证明；
（2）根据题意，由函数奇偶性的定义代入计算，即可证明.
【详解】（1）设
，则
，
因为
，所以
，故
，而
，
故
，所以
是单调递增函数．
（2）
是奇函数．
证明如下：由
，
所以
，
由
，令
，
则
，再令
，解得
，
所以
，
所以
，
故
是奇函数．
4．设定义在
上的函数
满足：①对
，都有
；②当
时，
；③不存在
，使得
.
(1)求证：
为奇函数；
(2)求证：
在R 上单调递增；
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用赋值法先计算
，再利用赋值法令
，结合奇函数的定义计算即可；
（2）先令
得出
，结合
为奇函数及单调性的定义通过赋值计算即可证明.
【详解】（1）因为
的定义域为
，关于原点对称，
不妨令
，得
，
解得
或
，
又不存在
，使得
，故
，
令
，得
，
故
，即
，
因此
为奇函数；
（2）
时，
，
则
，
当且仅当
，等号成立，
又不存在
，使得
，则
，
于是
时，
，
又
为奇函数，则
时，
，
于是对
，
任取
，则
，
而
，
又
，则
，
于是
，故
，
因此
在
上单调递增；
【点睛】思路点睛：先赋值
及
结合奇函数定义可证明奇偶性；通过
判定
，再根据单调性的定义作差证明即可.
5．已知定义在
上的函数
满足：对
，都有
，且当
时，
.
(1)判断函数
的奇偶性并用定义证明；
(2)判断函数
在
上的单调性，并用单调性定义证明；
(3)解关于的不等式
.
【答案】(1)函数
是奇函数，证明见解析
(2)函数
在
上单调递减，证明见解析
(3)
【分析】（1）利用赋值法先求出
，再得到
的关系，进而可证奇偶性；
（2）先取值
，然后还是利用赋值法得到
的正负，继而证明单调性；
（3）结合前两问所得奇偶性与单调性，利用单调性的逆用即可求解抽象函数不等式.
【详解】（1）函数
是奇函数，
证明：因为对
，都有
令
，可得
，解得
；
令
，则
，
令
，则
，
所以
为定义在
上的奇函数.
（2）函数
在
上单调递减，
证明：取
，则
可得
，
因为
所以
所以
，
又
，
所以
，
又当
时，
，
所以
，
所以
，即
所以
在
上单调递减.
（3）因为
，且函数
是奇函数，
所以
又
的定义域为
且在
上是单调递减的，
所以
所以
，解得
所以不等式的解集为
.
题型六 抽象函数的周期性
【技巧通法·提分快招】
1、换
为
确定周期性.
2、
；
；
；（
为常数）；
1．（2024·四川·模拟预测）已知函数
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】依据题意先赋值
代入等量关系式求出
，再赋值
得
，进而依据此计算规则逐步求出
，即求出
是周期为6 的周期
函数，再依据此计算规则结合
和
求出
，进而结合周期即可求解
.
【详解】取
代入
，
得
即
，由题解得
，
令
代入
得
，
故
，
所以
是周期为6 的周期函数，
又
，
，所以
，
所以
，
故选：D.
【点睛】思路点睛：依次赋值
和
代入
分别得到
和
，再依据所得条件推出
即函数周期为6 和
，进而根据
周期性和
即可求解
.
2．（2024·福建厦门·一模）已知函数
的定义域为
，
，
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．4
【答案】A
【分析】利用赋值法对
进行赋值结合函数的周期可得答案.
【详解】令
，得
，即
，
令
，得
，得
，所以函数
为偶函数，
令
，得
，
令
，得
，
，
或
，
若
，解得
与已知
矛盾，
，即
，解得
，
，
令
，得
，
，
，
，
，所以函数
的周期为4.
.
故选：A.
3．（24-25 高三上·广东广州·月考）已知函数
的定义域为R，且
，
，则
（ ）
A．
B．4
C．0
D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用赋值法求出
，并探讨函数
的性质，再结合周期性求值.
【详解】函数
的定义域为R，且
，
，
则
，则
于是
，因此
，即
，
则
，函数
是周期为6 的周期函数，
取
，得
，即
，解得
，
取
，得
，即
，解得
，
而
，因此
，
所以
.
故选：A
【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解.
4．已知函数
的定义域为
，且
，则下列选项不正确的是
（ ）
A．
B．
为偶函数
C．
D．
在区间
上单调递减
【答案】D
【分析】利用赋值法逐一分析判断即可.
【详解】对于选项A：令
，得
，故A 正确；
对于选项B：令
，得
，
即
，且
，所以
为偶函数，故B 正确；
对于选项C：令
，得
，
用
代入即
，
消去
得：
用
代入得
，
所以有
，即
，故C 正确；
对于选项D：令
，则有
，
令
，则有
，
令
，则有
，
所以
在区间
上不是单调递减，故D 错误.
故选：D.
【点睛】思路点睛：解决跟抽象函数有关的问题，通常利用赋值法.
5．（23-24 高三上·安徽·月考）已知函数
的定义域为
，任取x，
，当
时恒有
成立，且存在正数m 使得
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】C
【分析】令
，判断出函数的奇偶性，再令
，
，求出
，再求出函数的周期，根
据函数的周期求解即可.
【详解】令
，则
，
故
，
所以
为定义域内的奇函数，
令
，
得
，解得
，
所以
，
是以
，所以函数是以
为周期的一个周期函数，
所以
.
故选：C.
【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将
它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多
以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；
（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．
（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数
值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；
（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利
用奇偶性和单调性求解.
6．（2025·河北保定·一模）已知函数
的定义域为
，且
为偶函数，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用赋值法可得
，且
为奇函数，再结合已知的偶函数求得8 为
的一个周期，借助性质求出目标值.
【详解】函数
的定义域为
，且有
，
令
，得
，解得
；
令
，得
，则
，
而
，即
不恒为0，因此
，函数
为奇函数，
由
为偶函数，得
，则
，
于是
，
，8 为
的一个周期，
由
，得
，即
，因此
，所以
.
故选：B
【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解.
题型七 抽象函数的对称性
【技巧通法·提分快招】
1、对称轴：
或者
关于
对称；
2、对称中心：
或者
关于
对称；
3、如果
同时关于
对称，又关于
对称，则
的周期
1．已知连续函数
的定义域为
，若
，且
，则函数
的图象的对称轴为直线（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】令
得
，应用特殊值及排除法确定正确选项.
【详解】由题设
，
令
，则
，且
，
若
，则
，显然
，A 排除；
若
，则
，显然
，B 排除；
若
，则
，显然
，C 排除；
故选：D
2．（2024·甘肃庆阳·一模）已知函数
的定义域为R，
，
，则下列
结论错误的是（ ）
A．
B．
是奇函数
C．
D．
的图象关于点
对称
【答案】D
【分析】利用赋值法
可得
，即可判断A，利用
，即可根据奇函数的定义判断B，
利用
可判断
的图象关于点
对称，即可判
断D，结合奇函数的性质，即可求解C.
【详解】取
，则
，即
，得
，故A 正确；
取
，则
，得
，故
是奇函数，B 正确；
对任意的
都有
，可得
，
因此
的图象关于点
对称，故D 错误；
由于
且
是奇函数，得
，即
，
因此
，C 正确.
故选：D
【点睛】关键点点睛：
由
得到
，即可判断对称，利用
，即可利用
递推法求解
.
3．（2024·贵州遵义·二模）已知定义在
上的函数
满足：
，且
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
的周期为4
C．
关于
对称
D．
在
单调递
减
【答案】C
【分析】由余弦函数的和、差角公式结合题目条件，可设
，先求出
，再对选项进行逐一验
证即可得出答案.
【详解】由
，
可得
，可设
由
，即
，则可取
，即
进行验证.
选项A：
，故选项A 不正确.
选项B：由
，则其最小正周期为
,故选项B 不正确.
选项D：由于
为周期函数，则在
不可能为单调函数. 故选项D 不正确.
选项C：
,又
，故此时
为其一条对称轴.
此时选项C 正确,
故选：C
4．（2025·青海海东·二模）（多选题）已知函数
的定义域为
，对任意
，均满足
，且
，则（ ）
A．函数
为偶函数
B．8 是
的一个周期
C．
的图象关于点
对称
D．
【答案】BC
【分析】根据给定条件，利用赋值法，结合函数奇偶性、周期性及对称性的意义逐项判断即得.
【详解】对于A，令
，得
，则
，
令
，得
，函数
为偶函数，
则
，因此函数
为奇函数，A 错误；
对于B，令
，
，
于是
，函数
周期为4，则8 也为函数的一个周期，B 正确；
对于C，由选项B 知
，函数
的图象关于
对称，
又
周期为4，
，因此
的图象关于点
对称，C 正确；
对于D，由
，得
，
所以
，D 错误.
故选：BC
5．（24-25 高三上·安徽·期中）（多选题）已知定义在
上的函数
满足：对
，
，且
，函数
为偶函数，则（ ）
A．
B．
C．
为偶函数
D．
【答案】ABD
【分析】根据给定条件，利用赋值法，结合奇偶性与周期，逐项分析可得结果
【详解】定义在
上的函数
满足：对
，
，
对于A，令
，则
，
，A 正确；
对于C，令
，则
，
于是
，
则
，因此
不是偶函数，C 错误；
对于B，由函数
为偶函数，得
，即
，
于是
，即
，
，
因此函数
的周期为
，
，B 正确；
对于D，由
，得
，
因此
，D 正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：涉及抽象函数等式求解问题，利用赋值法分析探讨函数的性质是关键.
6．（23-24 高三下·海南省直辖县级单位·开学考试）（多选题）已知定义域为
的函数
对任意实数
都有
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．函数
的图象关于点
对称
D．
【答案】BD
【分析】根据给定条件，赋值计算判断ABC；推理确定函数
的周期，再利用周期性求值判断D.
【详解】定义域为
的函数
对任意实数
都有
，
令
，则
，而
，因此
，A 错误；
，令
，则
，则
，B 正确；
显然
，则函数
的图象关于点
不对称，C 错误；
令
，则
，同理
，
因此
，即
，
从而
，即函数
的周期是6，
由
，得
，则
，
显然
，
所以
，D 正确.
故选：BD
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（24-25 高三上·江苏扬州·开学考试）已知函数
的定义域为
，则
的定义域为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据抽象函数定义域和具体函数定义域求法直接构造不等式求解即可.
【详解】
的定义域为
，
，解得：
，
的定义域为
.
故选：B.
2．（24-25 高三上·四川南充·开学考试）已知定义在
上的函数
对任意的实数
都有
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先用赋值法求出
，结合对数运算性质可解.
【详解】赋值法知道，
，解得
.
.
故选：C.
3．（2025·湖北·三模）已知定义在正整数集上的函数
满足
，且有
，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据新定义函数，直接赋值即可求解.
【详解】取
，得
，
又
，故
．
取
，得
，即
．
对正整数x，
，
累加，得
，
,
故选：D．
4．已知对于每一对正实数
，
，函数
满足：
，若
，则满足
的
为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】应用赋值法结合累加法计算得出函数解析式，即可计算求参.
【详解】令
，则
，即
，
所以
，
，…，
，
累加得
，则
，
所以
，
又
，解得
或
，
又
，所以
．
故选:A．
5．已知定义域为
的函数
满足
，给出以下结论：①
；②
；
③
；④
是奇函数.所有正确结论的序号是（ ）
A．①②
B．①③
C．①③④
D．①②④
【答案】D
【分析】对于①②③：根据题意赋值即可得结果；对于④：结合奇函数的定义分析判断.
【详解】因为
，
对于①：令
，可得
，故①正确；
对于②：令
，可得
，解得
；
③令
，可得
，解得
，故③错误；
对于④：令
，可得
，
且
的定义域为
，所以
是奇函数，故④正确.
故选：D
【点睛】方法点睛：对抽象问题，要紧扣题中抽象函数的性质，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可
利用赋值法或特殊值法进行验证．
6．（2025·贵州铜仁·模拟预测）设函数
的定义域为
，且
，若
，且
不恒等于0，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】A
【分析】通过换元得到
，通过令
，得到
，
，两式相加可以得到
即可判断周期，进而求解.
【详解】由
，
令
则
；
所以可得：
，
也即
，
令
，有
，
即
，
所以
，
两式相加得到：
，即
所以
，
所以
的周期为
，
令
，有
，则
或
．
若
，则令
，有
，得
，与已知
矛盾，
所以
．
令
，有
，则
，得
．
令
，
，有
，得
．
所以
，
故选：A
7．（2024·河南·模拟预测）已知函数
的定义域为R，对于任意实数x，y 满足
，且
，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
为偶函数
C．
为奇函数
D．
【答案】C
【分析】由条件等式通过取特殊值求
，
由此判断A，D，再取特殊值确定
，
的关系
结合函数的奇偶性的定义判断选项B，C.
【详解】因为
，
，
取
，
可得
，又
，所以
；A 对；
取
，
可得
，因为
，所以
，所以
为偶函数，
C 错，B 对；
取
，
可得
，又
，
；
所以
，D 对；
故选：C.
8．（24-25 高三上·贵州贵阳·月考）若函数
的定义域为
，且
，则
（ ）
A．
B．0
C．
D．
【答案】B
【分析】根据已知递推式求
的周期，并求出一个周期内对应函数值，利用周期性求目标式的值.
【详解】令
得，
，
又
，所以
①，
①中将
替换为
，得
②，
由①+②，得
③，
③中将
替换为
，得
，
③中将
替换为
，得
，
所以
的周期为6，
令
，得
.
由①，易得
，同理
，
所以
，
.
故选：B
9．（2024·广西南宁·一模）已知函数
的定义域为
，且当
时，
，则（ ）
A．
B．
是偶函数
C．
是增函数
D．
是周期函数
【答案】C
【分析】对A，令
求解即可；对B，令
化简可得
即可；对C，设
，
结合题意判断
判断即可；对D，根据
是增函数判断即可.
【详解】对A，令
，则
，得
，故A 错误；
对B，令
，得
，
由
整理可得
，
将
变换为
，则
，
故
，故
，故
是奇函数，故B 错误；
对C，设
，则
，
且
，故
，则
.
又
，
是奇函数，故
是增函数，故C 正确；
对D，由
是增函数可得
不是周期函数，故D 错误.
故选：C
10．（2025·甘肃定西·模拟预测）若定义在
上的函数
满足对任意
均有
，则称
为“
函数”.已知
为“
函数”，且
，
，则
（ ）
A．
B．0
C．
D．1
【答案】A
【分析】由新定义赋值得
的图象关于直线
对称，进一步赋值得
为奇函数，
是周期为8
的周期函数，故只需求出
的值即可.
【详解】令
，则
，所以
；
令
，则
，
所以
的图象关于直线
对称；
令
，则
，
因为
不恒成立，所以
恒成立，所以
为奇函数，
所以
，所以
，
所以
是周期为8 的周期函数，令
，则
，
解得
，又
为奇函数，所以
，
所以
.
故选：A.
11．（2024·云南昆明·三模）函数
在
上的图象是一条连续不断的曲线，且与
轴有且仅有一个
交点，对任意
，
，
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
在
单调递减
D．若
，则
【答案】D
【分析】由已知条件，通过赋值法求出
及奇偶性，结合函数单调性的定义判断出单调性，
即可得出判断．
【详解】令
得，
，则
；
对于A，令
，有
，则
，
令
，有
，则
，故A 错误；
对于B，令
，则
，故
为偶函数，故B 错误；
对于C，因为
在
上的图象是一条连续不断的曲线，且与
轴有且仅有一个交点，
，
所以当
时，
，设
，令
，
则
，即
，
所以
在
单调递增，故C 错误；
对于D，由上述结论得，
为偶函数，且在
单调递增，
，
所以若
，则
，故D 正确；
故选：D．
12．（多选题）已知函数
对任意实数
，
都满足
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
是偶函数
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】对A、B、C 分别利用赋值法可逐项判断，对D 利用赋值法可求出
是周期函数，再根据周期
函数可判断.
【详解】因为
，
对B，令
，得
，因为
，所以
，故B 错误；
对A，令
，则
，由B 知
，
则
，所以
，且定义域为
，
故
是偶函数，故A 正确；
对C，令
，则
，所以
，
令
，则
，故C 正确；
对D，有
，则
，
所以函数周期
，则
，
所以
，故D 正确．
故选：ACD．
13．（2025·江西·模拟预测）（多选题）已知定义在R 上的函数
满足：
，
，且
，则（ ）
A．
B．
可能是偶函数
C．
的图象不可能关于点
对称
D．若
，
，则
在
上单调递增
【答案】ABD
【分析】令
建立方程可解
，通过构造函数
得到
发现
可以为幂函数，通过举例说明可判断BC 选项，
，
，则
，再利用定义法
证明函数
在
的单调性即可得到
在
上单调性.
【详解】令
，
或
（舍去），故A 正确；
，即
，
设
，则
，所以当
时成立，
故
可以为
，此时
时偶函数，故B 正确；
由上知
也可以为
，此时
关于
对称，故C 错误；
，
，即
，
，
，
，
时，
，
，设
，则
，则
，所以
，
所以
在
上单调递增，即
在
上单调递增，故D 正确.
故选：ABD.
14．（多选题）已知定义在
上的函数
满足：对
，
，
，且
，
，定义：
，则以下结论正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】结合选项，利用赋值法，判断选项.
【详解】令
，则
，因为
，所以
，
令
，则
，所以
，故A 正确；
令
，则
，则
，即
，故B 正确；
令
，则
，即
，即
，故C 错误；
由
可知，
，即
，
所以函数的周期为4，
，
，
所以
，
，
，所以
，
所以
，故D 正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用赋值法处理抽象函数问题.
15．（24-25 高三上·山西太原·期中）（多选题）已知定义域为
的函数
满足对于任意x，
，都
有
，且
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
的图象关于点
对称
C．
的图象关于直线
对称
D．
【答案】AC
【分析】对于A，由题目中所给等式，代入不同的值，整理即可；对于B，利用举反例的方法，由已知点
的对称点，说明其与函数图象的关系即可；对于C，任意取轴对称的两个点，整理函数成立的等式，合理
赋值整理即可；对于D，由等式研究函数的周期性，利用分类讨论，分别计算即可.
【详解】对于A，令
，可得
，
由
，则
，解得
，
令
，可得
，故A 正确；
对于B，由题意可知
在函数
的图象上，而点
关于
的对称点为
，
易知
不在函数
的图象上，故B 错误；
对于C，设点
在函数
的图象上，点
关于直线
的对称点为
，
当点
在函数
的图象上时，函数
的图象一定关于直线
对称，
此时由
，可得
，
令
，可得
，则
，故C 正确；
对于D，令
，可得
，则
，
当
时，令
，可得
，
则
，所以
；
当
时，令
，可得
，
则
，
，
所以
，
综上所述，
，故D 错误.
故选：AC.
16．（2025·广东深圳·二模）（多选题）已知函数
的定义域为
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
为偶函数
D．
的最大值为
【答案】BCD
【分析】令
，可判断A 选项，令
可得出
，再令
，可求出
的值，可判断B 选项；利用偶函数的定义可判断C 选项；令
，可得出
，
求出
的最大值，可判断D 选项.
【详解】对于A 选项，令
，则
，解得
，A 错；
对于B 选项，令
，则
，即
，
所以
，
令
，
，可得
，即
，
即
，故
，B 对；
对于C 选项，因为
，
同理有
，
所以
，
若
，设
，
令
，则
，
再令
，
则
，
所以函数
的零点关于y 轴对称；
若
，则
， 令
有
，
故函数
为偶函数，C 对；
对于D 选项，令
，则
，
所以
，可得
，故函数
的最大值为，D 对.
故选：BCD.
17．已知函数
的定义域为
，对任意实数u，v，都有
成立，且当
时，
.
(1)判断
的奇偶性；
(2)证明：
在
上单调递增；
(3)判断命题“对任意正有理数
”的真假，并说明理由.
【答案】(1)奇函数
(2)证明见解析
(3)真命题，理由见解析
【分析】（1）由条件，通过赋值依次证明
，
由此证明
为偶函数，再证明
时
不成立，证明
不是奇函数；
（2）任意取
，且
，结合条件证明
，可得结论；
（3）要证明原命题只需证明
成立.，再证明
，由此可得
，最后证明
即可.
【详解】（1）因为对任意实数u，v，都有
，
所以
，所以
，
在
中，令
得，
，
所以
，所以
是奇函数，
因为当
时，
，所以
，所以
不是偶函数
（2）证明：任意取
，且
，则
，所以
，
所以
，即
，
所以
在
上单调递增.
（3）命题“对任意正有理数
”是真命题.理由如下：
因为是一个正有理数，所以
，
所以原命题等价于
成立.
，
所以
，所以
，
所以
，
所以对任意正有理数
成立，
所以原命题是一个真命题.
18．已知函数
对于任意实数
，都有
，且
.
(1)求
的值；
(2)令
，求证:函数
为奇函数；
(3)求
的值.
【答案】(1)
(2)证明见解析；
(3)
.
【分析】（1）应用赋值法即可；
（2）应用奇函数的定义即可判断；
（3）结合（2）转化为求
，即可求解.
【详解】（1）当
时，
，则
；
（2）当
时，
，则
；
设
，则
，则
，
则
，即
，
即函数
为奇函数.
（3）由（2）知，
为奇函数，则
.
19．定义在
上的非常值函数
、
，若对任意实数x、y，均有
，则称
为
的相关函数.
(1)判断
是否为
的相关函数，并说明理由；
(2)若
为
的相关函数，证明：
为奇函数；
(3)在（2）的条件下，如果
，
，当
时，
，且
对所有
实数
均成立，求满足要求的最小正数
，并说明理由.
【答案】(1)不是，理由见详解；
(2)证明见详解；
(3)
【分析】（1）利用相关函数的定义代入计算验证即可；
（2）根据奇函数的定义及相关函数的概念计算即可；
（3）根据奇函数的性质及赋值法，结合递推关系判定周期性，再用反证法判定最小正周期即可.
【详解】（1）不是相关函数，
易知
①，
而
②，显然①②两式不相等，
即
不是
的相关函数，
（2）令
，则有
，
令
，则有
，
两式相加得
，
因为
是定义在
上的非常值函数，所以
，
所以
，所以
是奇函数；
（3）令
，则
，
因为
，所以
，
令
，则
，
令
，则
若
，
若
，
，
则
，
综上可知
满足题意.
再用反证法证
是满足题意的最小正数，
若存在
满足要求，令
，则
，即
，
故
，
而
，所以
，矛盾，故不符题意.
所以存在
是满足题意的最小正数.
【点睛】本题关键是利用函数的奇偶性，周期性，结合反证法及赋值法来处理问题.
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2025·江西南昌·二模）已知函数
满足
，
且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用赋值法得出
，
，令
可得出
，进而可得出
，推导出
，再利用基本不等式可求出
的最小值.
【详解】令
可得
，因为
，则
，
令
，
可得
，解得
，
令
可得
，即
，
令
可得
，所以，
，
所以，
，
，
由基本不等式可得
，
当且仅当
时，等号成立，当
时，等号成立，
所以，
的最小值为.
故选：C.
2．（2024·青海·二模）已知定义在
上的函数
，其导数为
，且满足
，
，
，给出下列四个结论：①
为奇函数；②
；③
：④
在
上单调递减.其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①②
B．①③
C．②③④
D．①②④
【答案】D
【分析】令
求出
.令
可判断①；令
，得
，再求出
、
可判断③；利用累加法求出
可判断②；利用导数可判断④.
【详解】对于①，令
，得
，所以
.
令
，得
，所以
为奇函数，故①正确；
对于③，令
，得
，
所以
，
，故③错误.
对于②，因为
，
所以
，
，
，
，
，以上各式相加得
，
所以
，故②正确.
对于④，当
时，
，所以
在
上单调递减，故④正确.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：②中的解题的关键点是利用累加法求出
的解析式.
3．（2024·四川泸州·二模）已知
，
都是定义在
上的函数，对任意
，
满足
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若
，则
C．函数
的图像关于直线
对称
D．
【答案】D
【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断A、D，取
可判断C，对于
B，通过观察选项可以推断
很可能是周期函数，结合
的特殊性及一些已经证明的
结论，想到令
和
时可构建出两个式子，两式相加即可得出
，进一步
得出
是周期函数，从而可求
的值.
【详解】对于A，令
，可得
，得
，
令
，
，代入已知等式得
，
可得
，结合
得
，
所以
，故A 错误；
对于D，因为
，令
，代入已知等式得
，
将
，
代入上式，得
，所以函数
为奇函数.
令
，
，代入已知等式，得
，
因为
，所以
，
又因为
，所以
，
因为
，所以
，故D 正确；
对于B，分别令
和
，代入已知等式，得以下两个等式：
，
，
两式相加易得
，所以有
，
即
，
有
，
即
，所以
为周期函数，且周期为，
因为
，所以
，所以
，
，
所以
，
所以
，故B 错误；
对于C，取
，
，满足
及
，
所以
，又
，
所以函数
的图像不关于直线
对称，故C 错误；
故选：D.
【点睛】思路点睛：对于含有
的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以及
利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有
双变量，需
要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系，此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这
就需要观察题设条件以及选项来决定.
4．（2025·河南信阳·二模）（多选题）已知定义在
上的函数
满足
，且当
时，
，则下列错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】应用赋值法构造出
的等量关系，再结合不等式性质判断即可.
【详解】依题意，
，
，
取
，得
，
取
，得
，则
，
当
时，
，则当
，即
时，
，即
，
取
，得
，解得
，即
；
对于AC，由
，得
，
由
，得
，当且仅当
时等号成立；
当
时，
，即
；
当
时，
，即
，故AC 错误；
对于BD，将
分别取
，可得
，
又
，因此
，
则
，
即
，且
不恒为
，B 错误，D 正确.
故选：ABC
【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解.
5．（24-25 高三下·河南·月考）（多选题）已知函数
的定义域为
，满足
，则（ ）
A．
B．
是奇函数
C．当
时，
D．
（
，且
）
【答案】ACD
【分析】令
即可判断A；令
得
，再由
有
判断B；
根据已知得到
是首项为
，公比为2 的等比数列，进而得到
，即可判断
C；应用构造法得到
是首项为
，公比为
的等比数列，进而有
，结合
等比数列的前n 项和公式及已知，即可判断D.
【详解】A：令
，则
，对；
B：令
，则
，故
，
而
且
，若
，则
，错；
C：当
，则
，
若
，
，则
，所以
，
即
，即
是首项为
，公比为2 的等比数列，
故
，所以
，对；
D：令
，
，则
，即
，所以
，
令
，则
，所以
且
，则
，
所以
，即
是首项为
，公比为
的等比数列，
所以
，则
，
所以
，又
且
，则
，，
所以
，对.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：对于C、D，应用赋值法得到
、
，再由
构造法确定一个等比数列并写出对应通项公式为关键.
6．（2024·湖南益阳·模拟预测）已知函数
的定义域为
．对任意的
恒有
，且
，
．则
．
【答案】
【分析】依题意可得
，利用特殊值推出
，
，即可得解.
【详解】由
，
得
，
因为
，
，
令
，
，得
，得
；
令
，
，得
，得
；
令
，
，得
，得
，
在
中，
令
，得
，
令
，得
，得
；
令
，得
，得
，
．
在
中，
令
，
，得
；
令
，
，得
，
．
依此类推，可得
，
，
因此
，
，
综上可知
．
故答案为：
．
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是利用赋值法推出一般性的规律
，
.
