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4.2 利用导数求单调性（精讲）
函数的单调性与导数的关系
一般地，设函数y＝f(x)在某个区间(a，b)内有导数，函数f(x)的单调性与其导函数f′(x)的正负之间具有如下
关系：
①在某个区间(a，b)上，如果f′(x)>0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，区间(a，b)为函数y＝f(x)
的单调增区间；
②在某个区间(a，b)上，如果f′(x)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，区间(a，b)为函数y＝f(x)
的单调减区间．
③在某个区间(a，b)上，如果f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)上为常函数．
易错点：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则.
一．利用导数求函数单调区间的方法
法一：当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)>0 或f′(x)<0 求出单调区间；（无参函数）
确定函数单调区间的步骤
①确定函数f(x)的定义域．
②求f′(x)．
1
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③解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为
单调递减区间．
法二：当导函数方程f′(x)＝0 可解时，解出方程的实根，依照实根把函数的定义域划分为几个区间，确定
各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间；
法三：若导函数对应的方程、不等式都不可解，根据f′(x)的结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，
从而确定单调区间．
易错点：若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用“∪”及“或”连接，只能用“，”
“和”隔开．
二．根据函数单调性求参数的一般思路
法一：由函数在区间[a，b]上单调递增(减)可知f′(x)≥0(f′(x)≤0)在区间[a，b]上恒成立，列出不等式；
法二：利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；
法三：对等号单独检验，检验参数的取值能否使f′(x)在整个区间恒等于0．若f′(x)恒等于0，则参数的这个
值应舍去；若只有在个别点处有f′(x)＝0，则参数可取这个值．
法四：当函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题；当已知函数在某区间上不单调时，则
转化为关于导函数的方程在该区间上有解问题．
三．含参函数单调性的分类讨论
1.研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
2.划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．
3.讨论点一般有三类：①自变量系数a 分②判别式Δ 分③两根的大小分
四．单调性的应用
1．比较大小：若自变量不在同一单调区间内，则要利用函数的性质，将其转化到同一个单调区间上，再
进行比较．
2．利用单调性比较大小或解不等式，关键是根据题意构造辅助函数，利用构造的函数的单调性比较大小
或解不等式．
3．与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f′(x)的不等关系
时，常构造含f(x)与另一函数的积(商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而
求解不等式．
五．易错点
1．在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．
2．可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x (
∈a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上
的任何子区间内都不恒为零．
注意：若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”或“和”连接，不能用“∪”连接．
考法一 利用导数求函数的单调区间（无参）
2
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【例1-1】（2023 春·湖北）函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
，令
，解得
，
所以函数
的单调递增区间是
.故选：B
【例1-2】（2023 春湖南）函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
令
，得
，∴当
时，
单调递增.故选：B
【一隅三反】
1．（2023 春·河南）函数
的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
的定义域为
，
，
由
，可得
，故
的单调递减区间为
.故选：C．
2．（2023 春·吉林长春）函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
3
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【解析】由题意得
，令
，解得
或
，故其单调增区间为
，故选：A.
3．（2023 春·山东）若函数
，则函数
的单调递减区间为（ ）．
A．
，
B．
，
C．
D．
【答案】C
【解析】
，函数定义域为
，
，
令
，解得
，则函数
的单调递减区间为
.故选：C.
考法二 导函数图像判断原函数图像
【例2-1】（2023 春·广东）已知函数
的图象如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．
在区间
上单调递减
B．
在区间
上单调递增
C．当
时，
>0
D．当
时，
=0
【答案】C
4
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【解析】由图像可知函数
的增区间为
，减区间为
，故AB 正确；
由单调性可知，函数
在
处取得极值，所以
，D 正确；
当
时，函数
单调递减，所以
，C 错误.故选：C
【例2-2】（2023·广西）设
是函数
的导函数，
的图象如图所示，则
的图象
最有可能的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由导函数的图象可得当
时，
，函数
单调递增；
当
时，
，函数
单调递减；
当
时，
，函数
单调递增.
只有C 选项的图象符合.故选：C.
【一隅三反】
1．（2023·山东）已知函数
的导函数
图像如图所示，则
的图像是图四个图像中的
（ ）．
5
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意可知，当
时，
，则
在
上单调递增，
当
时，
，则
在
上单调递减，
当
时，
单调递增，则
在
上增的越来越快，
当
时，
单调递减，则
在
上增的越来越慢，
当
时，
单调递减，则
在
上减的越来越快，
当
时，
单调递增，则
在
上减的越来越慢，
只有A 选项符合.
故选：A.
2．（2023·山西）函数
的图象如图所示，则（ ）
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A．
B．
C．
D．
的符号不确定
【答案】B
【解析】
如图所示，
在
上单调递减，所以
故选：B
3．（2023 春·河南新乡）已知定义在区间
上的函数
的导函数为
，
的图象如图所示，
则（ ）
A．
在
上单调递增
B．
C．曲线
在
处的切线的斜率为0
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D．
最多有3 个零点
【答案】D
【解析】设
，且
．由图可得，当
时，
，
当
时，
．所以
的单调递增区间为
，
，单调递减区间为
．
故
最多有3 个零点．排除ABC.故选：D
4．（2023·海南）已知函数
的图象是下列四个图象之一，且其导函数
的图象如下图所
示，则该函数的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由导函数图象知，
，
恒成立，即函数
在
上单调递增，
而函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
因此在
上，函数
的变化率逐渐增大，即函数图象逐渐由缓变陡，选项AD 不满足，
在
上，函数
的变化率逐渐减小，即函数图象逐渐由陡变缓，选项C 不满足，选项B 符合题意.
故选：B.
考法三 已知函数单调性求参数
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【例3-1】（2023 春·北京海淀）已知函数
，若
在区间
上单调递增，则实数
的
取值范围是___________；若
在区间
上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】因为
，
，
在区间
内单调递增，
在
上恒成立，
在
上恒成立，
在
上恒成立，
，
，因为在
，
，则
的取值范围是：
.
若
在
上存在单调递增区间，则
在
上有解，
即
在
上有解，
，
又
，
.则
的取值范围是：
.
故答案为：
；
.
【例3-2】（2023·天津）若函数
有三个单调区间，则b 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
，因为函数有三个单调区间，所以
，解得：
.故选：A
【例3-3】（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）若函数
在区间
上不单调，则
实数m 的取值范围为（ ）
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A．
B．
C．
D．m>1
【答案】B
【解析】函数
的定义域为
，且
，
令
，得
，因为
在区间
上不单调，所以
，解得：
故选：
B.
【一隅三反】
1.（2023·全国·统考高考真题）已知函数
在区间
上单调递增，则a 的最小值为
（ ）．
A．
B．e
C．
D．
【答案】C
【解析】依题可知，
在
上恒成立，显然
，所以
，
设
，所以
，所以
在
上单调递增，
，故
，即
，即a 的最小值为
．
故选：C．
2．（2023·陕西西安·统考三模）若函数
在区间
上单调递增，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为函数
在区间
上单调递增，
所以
在区间
上恒成立，即
在区间
上恒成立，
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令
，则
，
所以
在
上递增，又
，所以
.所以
的取值范围是
.故选：B
3．（2023 春·四川成都）若函数
的单调递减区间为
，则实数k 的值为
（ ）
A．1
B．
C．3
D．
【答案】A
【解析】由
，由已知递减区间，则
得：
，
故
，1 是
的两根，
，
，
故选：A
4．（2023 春重庆）（多选）已知函数
在
上有三个单调区间，则实数
的取
值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】由题意可知函数在
上有三个单调区间，等价
在
有两个不同的根.
，令
，则
，
即
在
有唯不为1 的一根，则有
有唯一不为1 的根，
令
，则
，故当
单调递增，
当
单调递减，且
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即
，故选：BD
5．（2023·陕西）函数
在区间
上不单调，实数
的范围是____________.
【答案】
【解析】
，
，令
，得
.
当
或
时，
；当
时，
.
所以函数
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
所以函数
的极大值点为
，极小值点为
.
由题意可得
或
，解得
或
.
所以实数
的范围是
.故答案为：
.
考法四 单调性的应用--比较大小
【例4-1】．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知函数
，若
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，可得函数
为偶函数，
当
时，则
，可得
，
构建
，则
，
令
，解得
；令
，解得
；
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
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可得
，
即
在
上恒成立，故
在
上单调递增，
又因为
，且
，
所以
，即
.
故选：D.
【例4-2】（2023·甘肃定西·统考模拟预测）已知
，
，
，则下列判断正确的是
（ ）
A．c＜b＜a
B．b＜a＜c
C．c＜a＜b
D．a＜b＜c
【答案】D
【解析】设
，则
恒成立，
所以函数
在
上单调递增，
因为
，所以
，则
，即
，则
.
故选：D.
【例4-3】（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】令
，则
，
当
时，
，则
在
上单调递增，
当
时，
，则
在
上单调递减，
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故
，所以
，当
时取等号.
所以
，
令
，则
，
当
时，
，则
在
上单调递增，
当
时，
，则
在
上单调递减，
故
，所以
，当
时取等号.
所以
，即
.
故选：C.
【一隅三反】
1．（2023·全国·高三专题练习）已知
，
，
，则
，
，的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，
，
，所以构造函数
，
因为
，由
有：
，
由
有：
，所以
在
上单调递减，
因为
，
，
,
因为
，所以
，故A，B，D 错误.
故选：C.
2．（2023·山西·校联考模拟预测）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】D
【解析】易知
，
，
，令
，则
，
，所以
在
上单调递减，
又因为
，所以
，即
．故选：D.
3．（2023·河北·统考模拟预测）设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设函数
，则
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
单调递增，在
上单调递减，
又
，
，
，
因为
，故
，即
，
故选：B
考法五 单调性的应用--解不等式
【例5-1】（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）已知函数
，则
的
解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
均为偶函数，故函数
为偶函数，
令
则
，
，即
在R 上单调递减，
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又
在
恒成立，
故函数
在
上递减，在
递增.
.故选：C.
【例5-2】（2023 春·四川凉山·）已知函数
满足
，且
的导函数
，则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
，则
，因为
，所以
，即函数
在
上单调递减，则
，即
，即
，
所以
，即
的解集为
.故选：D
【一隅三反】
1．（2023·江西·校联考模拟预测）已知函数
，则不等式
的解集是
______.
【答案】
【解析】因为函数
，所以
，即函数
为奇函数，
且
，则函数
为增函数，
则不等式
等价于
，
即
，解得
，
所以不等式的解集为
.
故答案为：
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2．（2023 春·江苏盐城）已知函数
的定义域为R，
为
的导函数，且
，则不
等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据题意，构造函数
，则
，
所以函数
在R 上单调递增，又
，即
，
所以
，即
，解得
.故选：D.
3．（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知函数
，
，若
，则实数
的取值范围为______．
【答案】
【解析】由
，
函数
是定义在
上的偶函数，又
，
令
且
，则
，故
在
上递增，
所以
，即
在
上恒成立，所以
在
上恒成立，
所以
在
上递增，则
上递减，
，则
，
，即
，即
，
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在
上单调递增，
，即
，解得
．故答案为：
．
考法六 含参函数单调性的分类讨论
【例6-1】（2023·河北·模拟预测）已知函数
.讨论函数
的单调性；
【答案】答案见解析.
【解析】函数
，
，则
，
当
，即
时，
恒成立，即
在
上单调递增；
当
，即
时，令
，解得
，
+
0
↗
极大值
↘
综上所述，当
是，
在
上单调递增；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减.
【例6-2】．2023·广东佛山·校联考模拟预测）已知函数
，讨论
的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】
的定义域为
，
，
当
时，
，
在
上为增函数；
当
时，由
，得
，由
，得
，
所以
在
上为减函数，在
上为增函数.
综上所述：当
时，
在
上为增函数；当
时，
在
上为减函数，在
上为增函数.
【例6-3】（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考二模）已知函数
，讨
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论函数
的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】
，
令
，则两根分别为
.
1.当
时，
在
恒成立，故
的单调递增区间为
，无单调递减区
间；
2.当
时，令
得
或
，令
得
，
所以
单调递增区间为
，单调递减区间为
；
3.当
时，令
得
或
时，令
得
，
所以
单调递增区间为
，单调递减区间为
.
综上当
时，
的单调递增区间为
，无单调递减区间；当
时，
单调递增区间为
，单调递减区间为
；当
时，
单调递增区间为
，单调递减
区间为
.
【例6-4】（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）已知函数
，讨论
函数
的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】因为
，该函数的定义域为
，
.
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因为
，由
得：
或
.
①当
，即
时，
对任意的
恒成立，且
不恒为零，
此时，函数
的增区间为
，无减区间；
②当
，即
时，由
得
或
；由
得
.
此时，函数
的增区间为
、
，减区间为
；
③当
，即
时，由
得
或
；由
得
.
此时函数
的增区间为
、
，减区间为
.
综上所述：当
时，函数
的增区间为
，无减区间；
当
时，函数
的增区间为
、
，减区间为
；
当
时，函数
的增区间为
、
，减区间为
.
【例6-5】（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）已知函数
，讨论
的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】
的定义域为R，
，
，对于
，则
，
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，由
得
，
当
和
时，
，
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当
时，
，
在
单调递增，在
上单调递减，
综上，当
时，
在
上单增，
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；.
【一隅三反】
1．（2023·陕西咸阳）已知
，讨论函数
的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】由题知，
.
当
时，当
时，
；当
时，
，
在区间
上是㺂函数，在区间
上是增函数；
当
时，
；当
或
时，
；当
时，
；
在区间
上是增函数，在区间
上是减函数，在区间
上是增函数；
当
时，
在区间
上是增函数；
当
时，
；当
或
时，
；当
时，
；
在区间
上是增函数，在区间
上是减函数，在区间
上是增函数；
综上所述，当
时，
在区间
上是减函数，在区间
上是增函数；
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当
时，
在区间
上是增函数，在区间
上是减函数，在区间
上是增函数；
当
时，
在区间
上是增函数；
当
时，
在区间
上是增函数，在区间
上是减函数，在区间
上是增函数.
2．（2023·广西玉林·统考模拟预测）已知函数
，
，讨论
的单调区间；
【答案】答案见解析
【解析】
的定义域为
，
若
，当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增.
若
，则
恒成立，
在
上单调递增.
综上，当
时，
的单调递增区间为
，
，单调递减区间为
；
当
时，
的单调递增区间为
，无单调递减区间
3（2023·贵州）已知函数
.讨论
的单调性；
【答案】答案见解析
【解析】
的定义域是
，
，
（i）当
时，
，
在
递减，无增区间；
（ii）当
时，令
，解得
，令
，解得
，
故
在
上递减，在
上递增；
（iii）当
时，令
，解得
，
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令
，解得
，
故
在
递减，在
递增；
综上，当
时，
的减区间为
，无增区间；
当
时，
的减区间为
，增区间为
；
当
时，
的减区间为
，增区间为
.
4．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知函数
，讨论函数
的单调性；
【答案】答案见解析；
【解析】
的定义域为
，
①当
时，
，此时函数
在
上单调递增；
②当
时，由
得
，由
得
此时函数
在
上单调递减，在
上单调递增；
综上所述：当
时，函数
在
上单调递增；当
时，函数
在
上单调递
减，在
上单调递增.
5．（2023·山东德州·三模）已知函数
，其中
．
(1)当
时，求函数
在
处的切线方程；
(2)讨论函数
的单调性；
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）当
时，
，定义域为
，所以
，
23
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所以
，又
，所以函数
在
处的切线方程为
，即
.
（2）
的定义域是
，
，
，
令
，则
．
①当
或
，即
时，
恒成立，所以
在
上单调递增．
②当
，即
时，由
，得
或
；
由
，得
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减．
综上所述，当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减
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