专题06
选填压轴二：零点、由区间单调性求参
数、恒成立问题、分离参数法（解析版）
一、
导数与零点
函数零点的定义：对于函数
)
(x
f
y
，把使
0
)
(
x
f
成立的实数x叫做函数的零点。
函数零点的存在性定理：如果函数
)
(x
f
y
在区间
]
,
[
b
a
上的图象是连续不断一条曲线，并
且有
0
)
(
)
(
b
f
a
f
，那么，函数
)
(x
f
y
在区间
]
,
[
b
a
内有零点.
即存在
)
,
(
b
a
c
，使得
0
)
(
c
f
，这个c 也就是方程
0
)
(
x
f
的根.
根据函数零点个数求解参数范围的问题的一般方法：
方法一：直接对函数
( )
f x 求导，求出极值点，讨论极大值与极小值的正负，从而确实函
数
f x 与x 轴交点个数.
方法二：将零点问题转化为两个函数的图像交点的问题，数形结合法.
二、
由区间单调性求参数
主要方法在等价转化：
1.
函数
( )
f x 在x
D
上单调递减等价于
( )
0
f
x
在x
D
上恒成立;
2.
函数
( )
f x 在x
D
上单调递增等价于
( )
0
f
x
在x
D
上恒成立;
3.
函数
( )
f x 在x
D
上不单调等价于
( )
0
f
x
在x
D
上有实数根.
三、
恒成立问题
不等式恒成立问题常见方法：
1.
讨论最值
min
0
f
x
或
max
0
f x
恒成立.
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2.
分离参数
a
f
x
恒成立(
max
a
f x
即可)或
a
f
x
恒成立（
min
a
f
x
即可）；
3.
数形结合(
y
f x
图像在
y
g x
上方即可)；
转化规则：
一般地，已知函数
y
f x
，
,
x
a b
，
（1）若
,
x
a b
，总有
f x
k
成立，故
max
f x
k
；
（2）若
,
x
a b
，总有
f x
k
成立，故
min
f x
k
；
（3）若
,
x
a b
，使得
f x
k
成立，故
min
f x
k
；
（4）若
,
x
a b
，使得
f x
k
，故
max
f x
k
．
一般地，已知函数
,
,
y
f x
x
a b
，
,
,
y
g x
x
c d
（1）若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，总有
1
2
f x
g x
成立，故
1
2
max
min
f
x
g x
；
（2）若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，有
1
2
f x
g x
成立，故
1
2
max
max
f x
g x
；
（3）若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，有
1
2
f x
g x
成立，故
1
2
min
min
f x
g x
；
（4）若
1
,
x
a b
，
2
,
x
c d
，有
1
2
f x
g x
，则
f
x 的值域是
g x 值域的子集．
四、
分离参数法
求解含参不等式分离参数法的关键也是将原问题等价转化
1.
通过分离参数，将不等式转化为
a
f
x
（或
a
f
x
）对任意的x
D
（D 为定义域）
恒成立，再转化为
max
a
f
x
（或
min
a
f
x
）．有时需要分式不等式除以正数或负数
需要分情况讨论.
2.
求函数
f
x 在区间D 上的最大值（或最小值）．
题型一导数与零点
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例一、
1．函数
3
2
f
x
x
ax
存在3 个零点，则a 的取值范围是（
）
A．
, 2
B．
, 3
C．
4, 1
D．
3,0
2．已知函数
ln 1
,
0
1,
0
x
x
f x
x
x
，若函数
y
f x
a
有两个零点
1
x ，
2
x ，且
1
2
x
x
，则
2
1
1
1
x
x
的取值范
围为
.
3．已知函数
1
1
ln
2
4
2
f x
m
x
x
n
在区间
3,5 上有零点，则
2
2
z
m
n
的最小值为
.
4．已知a＞0，函数f(x)＝2eax﹣x，若函数
( )
( ( ))
F x
f f x
x
恰有两个零点，则实数a 的取值范围是（
）
A．[
2
2
e ，1
e ）
B．（0，1
e ]
C．（0，1
e ）
D．[
2
2
e ，1
e ]
练习题
1．若函数
2
( )
e
3
x
f x
k
x
有三个零点，则k 的取值范围为（
）
A．
3
6
0, e
B．
3
6
2e, e
C．( 2e,0)
D．
3
6
, e
2．已知,
a b
R
，函数
3
2
,
0
( )
1
1 (
1)
,
0
3
2
x x
f x
x
a
x
ax x
，若函数
( )
y
f x
ax
b
恰有三个零点，则
A．
1,
0
a
b
B．
1,
0
a
b
C．
1,
0
a
b
D．
1,
0
a
b
3．已知函数
3
2
( )
3
1
f x
ax
x
，若
( )
f x 存在唯一的零点
0x ，且
0
0
x
，则a 的取值范围是
A．
2,
B．
1,
C．
, 2
D．
, 1
4．已知t 是函数
2
( )
2
e
x
f x
m
n x
的一个零点，且
[1,2]
t
，则
2
2
e
m
n
的最大值为
．
题型二由区间单调性求参数
例二、
1．已知函数
2
2
1 ex
f x
x
x
ax
在R 上单调递增，则a 的最大值是（
）
A．0
B．1
6
C．e
D．3
2．若对任意的
1
x ，
2
( ,
)
x
m
，且
1
2
x
x
，
1
2
2
1
2
1
ln
ln
2
x
x
x
x
x
x
，则实数m 的取值范围是（
）
A．1 ,e
e
B．1,e
e
C．1,
e
D．1,
e
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3．已知函数
2
4
ln
f x
ax
ax
x
，则
f
x 在
1,3 上不单调的一个充分不必要条件是（
）
A．
1
, 6
a
B．
6
1 ,
a
C．
1 ,
2
a
D．
1 1
,
2 6
a
4．已知函数
( )
ln
2 sin
f x
x
a
x
在区间[
,
]
6
4
上是单调递增函数，则a 的取值范围为
A．
2 2
(
,
]
B．
2 3
(
,
]
C．
3
(
,
]
D．2 3
[
,
)
练习题
1．已知函数
2
ex
f x
x
a
，若
f
x 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（
）
A．
,1
B．
,1
C．
1,
D．
1,
2．若对任意的
1
x ，
2
2,0
x
，
1
2
x
x
，
1
2
2
1
1
2
x
x
x e
x e
a
x
x
恒成立，则a 的最小值为（
）
A．
2
3
e
B．
2
2
e
C．
2
1
e
D．
1
e
3．已知函数
1
ln
f x
x
x
ax
在
1,上不单调，则a 的取值范围是（
）
A．
0,
B．
,0
C．
0,
D．
,0
4．已知函数
3
1
( )
sin
2cos (
)
3
f x
ax
x
x
x a
R ，若f(x)在R 上单调，则a 的取值范围是（
）
A．
1
1
,
,
2
2
B．
2
2
,
,
C．(
, 1]
[1,
)
D．
,
,
2
2
题型三恒成立问题
例三、
1．若不等式ex
k
kx
对
R
x
恒成立，则k 的取值范围是
.
2．已知
3
2
2
2
f x
ax
b
x
a
，当
1,2
x
时，
2
f x
x
恒成立，则b 的最大值为（
）
A．6 2
9
B．9 2
9
C．9 2
12
D．15 2
15
3．若
e
ln
1
x
ax
a
x
在
0,2
x
上恒成立，则实数a 的取值范围是为（
）
A．
,e
B．
0,e
C．
2
, 2
e
D．
2e
0, 2
4．已知函数
( )
e
e
2sin
x
x
f x
x
，不等式
2
(2023
e )
(2ln
)
0
x
f
a
x
f
x
x
对任意的x(0,
)
恒成立，则a
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的最大值为
．
练习题
1．已知函数
f
x 的定义域为R ，满足
1
2
2
f
x
f
x
，当
0,2
x
时，
ex
f x
x
，记
f
x 的极小值为t ，
若对
,
,
2e
x
m t
，则m 的最大值为（
）
A．1
B．1
C．3
D．不存在
2．若存在实数,a b ，对任意实数
[0,1]
x
，使得不等式
3
3
x
m
ax
b
x
m
≤
≤
恒成立，则实数m 的取值范围
是（
）
A．
3
9 ,
B．8 3 ,
9
C．
3 ,
3
D．
3 ,
2
3．设
0
m
，对任意
2
e,
ln
e
0
m
x
x
x
x
m
恒成立，则m 最大值（
）
A．1
e
B．e
C．
2
1
e
D．
2e
4．已知函数
2
( )
ln
1
e
e
2
3
x
x
f x
x
x
x
，若
e
(ln
ln )
6
x
f a
f
a
x
对于
,
(
)
0
x
恒成立，则
实数a 的取值范围是
．
题型四
分离参数法
例四、
1．若
2
0,
,
1
ex
x
x
ax
恒成立，则实数a 的最大值为（
）
A．e
B．2
C．1
D．e
2
2．已知函数
ln
f x
ax
x x
与函数
e
1
x
g x
的图像上恰有两对关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围
为（
）
A．
,1 e
B．
1 e
, 2
C．
,1 e
D．
1 e
, 2
3．若
x
R ，不等式e
ln
0
0
x
a
ax
a
a
a
（
）
（
）成立，则实数a 的取值范围是（
）
A．
2
0,e
（
）
B．
2e
（
,
）
C．
e
0 e
（, ）
D．
e,
e
（
）
4．若存在
1,
x
，使得关于x 的不等式
1
1
e
x a
x
成立，则实数a 的最小值为（
）
A．2
B．1
ln2
C．ln2 1
D．1
1
ln2
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练习题
1．已知函数
1
2
ex
f
x
x
ax
在
0,
的最小值为－1，则
a
（
）
A．2e
B．3
C．e
D．1
2．已知函数
3
1
,
3ln
2e
e
e
f
x
mx g x
x
x
，若
f
x 与
g x 的图像上分别存在点
,
M N ，使得
,
M N
关于直线
e
y
对称，则实数m 的取值范围是（
）
A．
2
9 ,
e
B．
2
3
9
,
e
e
C．
2
9 ,3e
e
D．
3,3e
e
3．已知
2
e
e
0
ax
x
在
0
x
时恒成立，则实数a 的最小值为
.（注：e为自然对数的底数）
4．已知函数
1
1
1
e
ln
ax
f x
x
a
a
，若
0
f x 恒成立，则a 的取值范围是（
）
A．
e,
B．
e,
C．
1,
D．
1,
1.
(多选)已知函数
2
ex
f x
x
，则下列说法错误的是（
）
A．
f
x 的图象在
2
x
处的切线斜率大于0
B．
f
x 的最大值为e
C．
f
x 在区间
1,上单调递增
D．若
f
x
a
有两个零点，则
e
a
2.
已知函数
2
2
ln
ln
2
e
a
a
f
x
x
x x
x
有三个零点
1
2
3
,
,
x x x ，且
1
2
3
x
x
x
，则a 的取值范围是
.
3.
已知函数
e
ln
1
x
f
x
x
x
x
m
有两个不同的零点，则实数m 的取值范围
.
4.
定义域为
0,
的函数
2
1
x
f x
x
a
恰有一个零点，则实数a 的取值范围为
.
5.
已知函数
2
2
2
e
2
2 e
0
x
x
f
x
a x
a x
a
恰有两个零点，则
a
.
6.
函数
2
1
6 ln
2
f x
mx
m
x
mx
在区间
1,3 上单调递减，则m 的取值范围为（
）
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A．
6
, 7
B．
6
, 7
C．
,6
D．
,6
7.
设
0,1
a
，若函数
(1
)
x
x
f
x
a
a
在
0,
递增，则a 的取值范围是（
）
A．
5
1
5
1
,
2
2
B．
5
1,1
2
C．
5
1,1
2
D．
5
1
0,
2
8.
已知函数
( )
4
(
2)2
1
x
x
f x
a
a
在( 2,
)
上单调递增，则a 的取值范围为（
）
A．[0,4]
B．(0,4]
C．[2,
)
D．{0}
[2,
)
9.
（多选）已知函数
3
( )
sin
f x
x
x
ax
，则下列结论正确的是（
）
A．
( )
f x 是奇函数
B．当
1
a 时，函数
( )
f x 恰有两个零点
C．若
( )
f x 是增函数，则
1
a
D．当
3
a
时，函数
( )
f x 恰有两个极值点
10.
1x
，
2
x ，当
1
2
1
e
x
x
时，
1 2
2
1
2
1
e
0
e
x x
ax
ax
x
x
，则a 的范围为
.
11.
已知函数
3
2
2
2
f x
x
x
ax
在
0,2 上不是单调函数，则实数a 的取值范围为
．
12.
设函数
2
e
2
x
f x
a
x
，若对任意
0
0,1
x
，皆有
0
0
0
0
lim
0
x
x
f
x
f
x
x
x
x
x
成立，则实数a 的取值
范围是
.
13.
已知函数
2
( )
e
1
x
f x
，若不等式
(
)
(ln )
2
0
f ax
f
x
对
(0,
)
x
恒成立，则实数a 的取值范围
是
.
14.
若关于x 的不等式
e
2
(
2)ln
ax
ax
x
x
对任意的
,
(
)
0
x
恒成立，则a 的最小值为（
）
A．
2
1
e
B．1
e
C．
2
2
e
D．2
e
15.
已知函数
2
ln
f x
x
ax
x
，定义域为1,e
e
，在其定义域中任取
1
2
,
x x （其中
1
2
x
x
）都满足
1
2
2
1
1
2
1
2
x f x
x f x
x x
x
x
，则实数a 的取值范围为（
）
A．
,1
B．
1,
C．
,e
D．
e,
16.
若
1
2
,
2,4
x x
，当
1
2
x
x
时，
2
2
1
2
2
1
e
a
x
x
x
x
，则实数a 的取值范围是
.
17.
若
2
0,
log
0
1
a
x
x
x a
a
且
恒成立，则a 的取值范围是（
）
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A．
1
2e
1,e
B．
1
e
1,e
C．
1
2e
e ,
D．
1
ee ,
18.
若
0
x
，
1
e
ln
x
x
x
x
m
恒成立，则实数m 的取值范围是（
）
A．
0
m
B．
1
m £
C．
e
m
D．
e
m
19.
已知函数
1
2ln ,(
e)
e
y
a
x
x
的图象上存在点M ，函数
2
1
y
x
的图象上存在点N ，且M ，N 关
于x 轴对称，则a 的取值范围是（
）
A．
2
1
e , 2
B．
2
1
3
,
e
C．
2
1
3
, 2
e
D．
2
2
1
1
e , 3
e
20.
关于x 的不等式
ex x
a
x
在
1,1
恒成立，则实数a 的取值范围是（
）
A．
1
1
,
e
B．
e
1,
C．
1
,1
e
D．
,e
1
21.
已知函数
,
1
2,
1
x
xe
x
f x
x
x
，若
f
x
k
有三个不同的零点，则实数k 的取值范围为（
）
A．
1,
B．
1,0
C．
1 ,0
e
D．
1 ,
e
22.
已知函数
2
( )
cos
1,
R
f x
x
ax
a
，若对于任意的实数x 恒有
( )
0
f x
，则实数a 的取值范围是（
）
A．1
[ ,
)
2
B．1
( ,
)
2
C．
1
[
,
)
4
D．1
( ,
)
4
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