第03 讲 导数与函数的单调性
课程标准
学习目标
1．理解导数与函数的单调性的关系．
2．掌握利用导数判断函数单调性的方法．
3．会用导数求函数的单调区间．
1．通过利用导数判断函数单调性法则的学习，
提升数学抽象素养．
2．借助判断函数单调性及求函数的单调区间，
提升逻辑推理、数学运算素养.
知识点01 导数与函数单调性的关系
1．导数与函数的单调性的关系
(1)如果在区间(a，b)内，f′(x)>0，则曲线y＝f(x)在区间(a，b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都
大于0，曲线呈上升状态，因此f(x)在(a，b)上是增函数，如图(1)所示；
(2)如果在区间(a，b)内，f′(x)<0，则曲线y＝f(x)在区间(a，b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都
小于0，曲线呈下降状态，因此f(x)在(a，b)上是减函数，如图(2)所示．
(1) (2)
【解读】1.对导数与函数单调性概念理解；
（1）在某区间内
（
）是函数
在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件；
（2）可导函数
在
上是增(减)函数的充要条件是对∀x (
∈a，b)，都有
（
）
且
在
上的任何子区间内都不恒为零．
2.确定函数单调区间的求法
（1）确定函数
的定义域；
（2）求
；
（3）解不等式
，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
（4）解不等式
，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
【即学即练1】（24-25 高二上·全国·课后作业）下列函数中，在
内为增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求导判断导函数在
内是否大于等于0 恒成立即可.
【详解】对A，
，在
内不满足大于等于0 恒成立，故A 错误；
对B，
在
内大于0 恒成立，故B 正确；
对C，
，在
内不满足大于等于0 恒成立，故C 错误；
对D，
，在
内不满足大于等于0 恒成立，故D 错误.
故选：B
知识点02 函数图象变化趋势与导数大小的关系
观察函数图象，分析函数的导数绝对值的大小与函数图象的变化关系
函数图象
导数
导数为正，且绝对值
越来越大
导数为正，且绝对值
越来越小
导数为负，且绝对值
越来越大
导数为负，且绝对值
越来越小
函数值
函数值变化越来越快
函数值变化越来越慢
函数值变化越来越快
函数值变化越来越慢
图象特点
越来越陡峭
越来越平缓
越来越陡峭
越来越平缓
【即学即练2】（24-25 高二上·陕西西安·期中）若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函
数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像可能是( )
A B C D
【答案】A
【解析】因为y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则从左到右函数f(x)图像上的点的切线斜率是递增
的．
题型01 求不含参函数的单调区间
【典例1】（24-25 高二上·全国·课后作业）函数
在
上的单调性是（ ）
A．单调递增
B．单调递减
C．在
上单调递减，在
上单调递增
D．在
上单调递增，在
上单调递减
【答案】C
【分析】求出函数的导数，再解导函数值大于0、小于0 的不等式即可得解.
【详解】函数
的定义域为
，求导得
，
由
，得
；由
，得
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
故选：C
【变式1】（23-24 高二下·江苏南通·阶段练习）函数
的单调增区间为（ ）
A．
B．(0,1)
C．
D．(1,+∞)
【答案】B
【分析】求出导数，利用导数大于0 可得答案.
【详解】函数
的定义域为 (0,+∞) ，
，
由
得
，解得
，
所以
的单调增区间为 (0,1) .
故选：B.
【变式2】（23-24 高二下·新疆克孜勒苏·期中）函数
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求出函数
的导数，再解不等式
即可得解.
【详解】函数
的定义域为
，求导得
，
由
，得
，
所以函数
的单调递减区间是
.
故选：B
【变式3】（23-24 高二下·新疆省直辖县级单位·阶段练习）函数
的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求出定义域以及导函数，利用导数与函数单调性的关系求解即可
【详解】由题意，
在
中，
，
当
时，解得
（舍）或
，
当
即
时，函数单调递减，
∴
的单调递减区间为(0,1).
故选：B.
【变式4】（23-24 高二下·吉林·期中）函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用导数求出函数的单调递增区间.
【详解】函数
的定义域为R，求导得
，
由
，得
，所以函数
的单调递增区间是
.
故选：B
题型02 求含参函数的单调区间
【典例2】（24-25 高三上·福建龙岩·期中）已知函数
.
求f (x)的单调区间;
【分析】求导，根据导数分情况讨论导函数零点情况及函数单调性；
【详解】由
，
，
得
.
令
，解得
.
当
时，
，
当
时，
单调递增；
当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增.
当
时，
恒成立，
在
上单调递增.
当
时，
，
当
时，
单调递增；
当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增.
综上所述，当
时，
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
，
；
当
时，
的单调递增区间为
，无单调递减区间；
当
时，
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
.
【变式1】（24-25 高三上·天津西青·期中）已知函数
.
(1)当
时，求函数
在
处切线方程；
(2)求函数
的单调区间；
【答案】(1)
；
(2)答案见解析；
【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程；
（2）对函数求导，讨论参数的符号研究函数的单调区间；
【详解】（1）当
时，
，则
，
所以
，
，故在
处切线方程为
，
所以
.
（2）由题设
，且
，
当
时，
，即
的递增区间为
，无递减区间；
当
时，
有
，
有
，
此时
的递增区间为
，递减区间为
.
【变式2】（24-25 高二上·四川眉山·期中）已知函数
（
）.讨论
的单调区间.
【答案】单调递增区间为
，单调递减区间为
【分析】求出原函数的定义域，求出函数的导函数，由导函数的零点把定义域分段，根据导函数的符号得
原函数的单调区间.
【详解】（1）函数
的定义域为(0,+∞)，则
①当
时，f
′ (x)>0恒成立，
在(0,+ ∞)上单调递增；
②当
，由f
′ (x)>0得
，由f
′ (x)<0得
，
所以
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
【变式3】（24-25 高二上·全国·课后作业）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论函数
在区间
上的单调性．
【答案】(1)
．
(2)答案见解析
【分析】（1）由导数的几何意义可得切线的斜率，结合切点坐标由点斜式得出切线方程；
（2）求导，分类讨论分析导函数的符号，得函数单调性．
【详解】（1）当
时，
，有
，
，
，
又所以曲线
在点
处的切点坐标为
，切线斜率为
，
得切线方程为
．
（2）函数
，
，
因为
，所以
，
①当
时，对任意
，均有
，此时
在区间
上单调递增；
②当
时，因为
，所以
，所以
，此时
在区间
上单调递增；
③当
时，令
，则
，
因为
，
，所以
，
在区间
上单调递减，
又
，所以存在唯一
使得
，即
，
当
时，
单调递增，当
时，
单调递减．
综上所述，当
时，
在区间
内单调递增；
当
时，
在区间
内单调递增，在区间
内单调递减，其中
为
在
上的唯一零点．
【变式4】（23-24 高二上·河北石家庄·期末）设函数
．
（1）若
，求
的导数；
（2）讨论函数
的单调性．
【答案】（1）
，其中
；（2）见解析
【解析】（1）若
，则
，故
，其中
.
（2）
，
当
时，当
时，
；当
时，
.
故
的减区间为
，增区间为
.
当
时，若
，则当
时，
；
当
时，
，故
的减区间为
，增区间为
.
若
，则当
时，
；
当
时，
，故
的减区间为
，增区间为
.
若
，
恒成立（不恒为零），故
的增区间为
，无减区间.
综上：当
时，故
的减区间为
，增区间为
.
当
时，故
的减区间为
，增区间为
.
若
，故
的减区间为
，增区间为
.
若
，
的增区间为
，无减区间.
题型03 已知函数递增、递减求参数
【典例3】（24-25 高二上·浙江宁波·期中）若函数
在
上单调递增，则
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出导函数，根据单调性把问题转化为不等式恒成立，利用函数单调性求出最值即可
【详解】由
，得
，
又
在
上单调递增，
所以f
′ (x)≥0在
上恒成立，即
在
上恒成立，
即
在
上恒成立，只需求出
的最小值即可，
又
在
单调递减，所以
，则
，
所以
，故
.
故选：D
【变式1】（23-24 高二下·山东烟台·期末）已知函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由题设可得f
′ (x)≥0在(0,+∞)上恒成立，分离参数后利用基本不等式可求实数
的取值范围.
【详解】因为函数
，则
，
因为
在(0,+ ∞)上单调递增，故f
′ (x)≥0在(0,+∞)上恒成立，
即
在(0,+ ∞)上恒成立，即
，即
，
设
，x∈(0,+∞)，
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
.
故选：D.
【变式2】（24-25 高二上·全国·课后作业）已知函数
在区间
上单调递
减，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用导数求出函数
的减区间，根据题意可得出区间的包含关系，可得出关于实数
的不等
式，解之即可.
【详解】由题意，得
.
令
，得
，即函数
的减区间为
，
因为
在区间
上单调递减，所以
，
所以
，解得
.
故选：B.
【变式3】（24-25 高二上·全国·课后作业）若函数
在区间
内单调递增，则
的
取值范围是 ．
【答案】
【分析】求导，利用导数可知
的单调增区间为
，结合题意列式求解即可.
【详解】由题意可知：
的定义域为(0,+∞)，且
，
令f
′ (x)≥0，得
，可知
的单调增区间为
，
若函数
在区间
内单调递增，依题意
，解得
，
所以
的取值范围是
.
故答案为：
.
【变式4】（24-25 高二上·全国·课后作业）若函数
在区间
上具有单调性，
则实数a 的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用导数来判断函数在区间的单调性，再由分离参变量求参数的取值范围即可.
【详解】由已知求导得：
，
因为函数
在区间
上具有单调性，
所以
或
在
上恒成立，
则在区间
上，
或
，
因为
在
上递增，在
上递减，
且
，
所以
的最大值为
，
的最小值为
，
所以
或
.
故答案为：
【变式5】（23-24 高二下·四川德阳·期末）
，
，都有
，则实数m 的
取值范围为 .
【答案】
【分析】把不等式
成立，转化为函数
的导数小于0 在(0,m)内恒成立，进而即可求解.
【详解】不妨
，由题意分式
转化为
，
则
，即
，故函数
单调递增，
又因为
，解得
，
，
单调递增，所以
.
故答案为：
.
题型04 已知单调区间求参数
【典例4】（23-24 高二下·山东菏泽·期末）已知函数
的单调递增区间为
，则
的值为
（ ）
A．6
B．3
C．
D．
【答案】C
【分析】求出函数的定义域与导函数，分
、
两种情况讨论，求出函数的单调递增区间，从而得
到方程，解得即可.
【详解】函数
的定义域为
，
又
，
当
时
恒成立，所以
没有单调递增区间，不符合题意；
当
时，
单调递增，令
，解得
，
所以
的单调递增区间为
（或
），
依题意可得
，解得
.
故选：C
【变式1】（23-24 高二下·湖北孝感·阶段练习）函数
的单调递减区间为
，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】B
【分析】根据
的单调递减区间为
，而
的定义域为
，
的一个极值点为1，利用
即可得解
，然后再代入
验证是否满足题意即可.
【详解】
，
因为
的单调递减区间为
，而
的定义域为
，
所以
的一个极值点为1，
所以
，解得
．
所以
，
，
令
，
，解得
，
所以
的单调递减区间为
，符合题意，
综上，
故选：B．
【变式2】（23-24 高二下·山东临沂·期中）函数
的单调递减区间是
，则
（ ）
A．6
B．3
C．2
D．0
【答案】A
【分析】根据
是
的实数根即可求解.
【详解】由
可得
，
由于
的单调递减区间是
，故
和
是
的两个根，故
，故
，
故选：A
【变式3】（24-25 高三·全国·专题练习）若函数
恰好有三个单调区间，则实数a 的取
值可以是（ ）
A．
B．
C．0
D．2
【答案】BD
【分析】将问题转化为导函数有两个零点问题，由判别式可解．
【详解】当
时，
，显然不满足题意；
当
时，依题意知，
有两个不相等的零点，
所以
，解得
且
，
故选：BD．
【变式4】（24-25 高二上·全国·课后作业）已知函数
，
.
(1)讨论函数
的单调区间；
(2)若函数
在区间
内单调递减，求实数a 的取值范围；
(3)若函数
的单调递减区间是
，求实数a 的值.
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)
.
【分析】（1）根据函数的导函数分
三种情况得出函数的单调性；
（2）由（1）知结合函数的单调性列不等式求参；
（3）由（1）知结合函数的单调性列等式求参；
【详解】（1）由题意知
.
①当
时，
恒成立，
所以
的单调递增区间是
；
②当
时，令
，得
或
，
令
，得
，
所以
的单调递增区间为
，
，单调递减区间为
；
③当
时，令
，得
或
，令
，得
，
所以
的单调递增区间为
，
，单调递减区间为
.
（2）由（1）知，若
在
内单调递减，
则
，解得
，
即a 的取值范围是
.
（3）由（1）知，若
的单调递减区间是
，
则
，解得
.
题型05 已知函数存在单调区间求参数
【典例5】（24-25 高二上·全国·课后作业）若函数
在区间
内存在单调递增区间，
则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】函数
的定义域是
，
所以
.
当
时，
，则
在
上单调递增，符合题意.
当
时，由
，得
（负根舍去），
所以当
时，
单调递增；
当
时，
单调递减.
依题意，函数
在区间
内存在单调递增区间，
所以
，解得
.
综上，
.
故选：C.
【变式1】（23-24 高二上·浙江宁波·期中）若函数
在区间
上有单调递增区间，则
实数
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意转化为
在
上有解，分离参数后求函数最值即可得解.
【详解】
，由题意
在
上有解，
即
在
上有解，
根据对勾函数的性质可知，
在
上单调递增，所以在
时取最大值，
故
，故实数
的取值范围是
.
故答案为：
【变式2】（23-24 高二下·四川泸州·期中）若函数
在
上存在单调递增区间，则
实数a 的取值范围是
【答案】
【分析】求导得
，转化为
在
上有解，最后分离参数即可.
【详解】函数
，则
，
因为ℎ(x)在
上存在单调递增区间，所以
在
上有解，
所以当
时，
有解，
令
，而当
时，令
，
即为
，
此时
(此时
)，所以
，
故答案为：
.
【变式3】（24-25 高三上·河北张家口·阶段练习）已知函数
在区间
上不单调，则m 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由函数
的单调性结合题设即可列出关于m 的不等式，解不等式即可得解.
【详解】由题得
定义域为R，
，
所以
时，
；
时，
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
又函数
在区间
上不单调，
所以
，故m 的取值范围是
.
故答案为：
.
题型06 已知函数不单调求参数
【典例6】（22-23 高二下·北京海淀·期中）若函数
在
上不单调，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求出函数
的导函数，分析单调性求解实数
的取值范围即可.
【详解】因为
的定义域为
，且
，
令
，解得
；令
，解得
；
可知
在
内单调递减，在
内单调递增，
若函数
在
上不单调，即
，
，可得
，
所以实数
的取值范围是
.
故选：B
【变式1】（24-25 高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知函数
在区间
上不单调，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求定义域，求导，得到函数单调性，进而得到不等式，求出
的取值范围.
【详解】
，又函数
的定义域是
，
当
时，
，当
时，
，
故函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
，解得
.
故选：C
【变式2】（23-24 高二下·山东菏泽·期中）若函数
在区间
上不单调，则实数a 的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】对
求导并将问题转化为函数
在(0,1)上存在变号零点，再应用导数研究的单调性，
结合零点存在性定理列不等式求参数范围.
【详解】由题设，
，又
在
上不单调，
所以函数
在
上存在变号零点，
设
，
，
则
，则
在
上单调递增，
所以
，即
，解得
，
则
的取值范围是
故选：B.
【变式3】（23-24 高二上·江苏南通·阶段练习）函数
在区间
上不单调，则实数 k 的
取值范围是 .
【答案】
【分析】根据导数的几何意义及导函数的符号与函数的单调性的关系，把问题转化为二次函数的零点分布
问题求解.
【详解】函数求导
，
因为在区间
上不单调，所以f
′ (x)在区间
内有零点.
又因为
为偶函数，所以
在
上最多只有1 个根.
，因为
，
，
所以
.
故答案为：
题型07 原函数与导函数图象关系
【典例7】（24-25 高二上·全国·课后作业）已知函数y = f (x)，y = g(x)的导函数图象如图，那么y = f (x)，
y = g(x)的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据导数与原函数图象的关系，结合排除法确定满足要求的图象即可.
【详解】从导函数的图象可知两个函数在
处斜率相同，可以排除B、C.
由于导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，明显
导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢
慢变小，排除A.
故选：D
【变式1】（23-24 高二下·福建龙岩·阶段练习）已知函数
与其导函数f
′ (x)的图象的一部分如图所示，
则关于函数
的单调性说法错误的有（ ）
A．在(−1,1)单调递减
B．在
单调递减
C．在
单调递减
D．在
单调递减
【答案】B
【分析】由导函数与原函数之间关系可确定两个图象的分属，由此可得
在不同区间内的正负，进而
判断单调性，得到结果.
【详解】
时，
单调递减；f
′ (x)>0时，
单调递增，
已知图象中在
上单调递减，在
上单调递增，
且有两个零点
和
的是f
′ (x)，
，
由图象可知：当
时，
；当
时，
；
当
时，
；当
时，
；
在(−1,1)上不单调，A 错误；
在
上单调递减，B 正确；
在
，
上单调递增，CD 错误.
故选：B.
【变式2】（24-25 高二上·全国·课后作业）函数
在定义域内可导且导函数为f
′ (x)，且f
′ (x)的图象如
图所示，则
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用排除法，根据f
′ (x)的符号判断
的单调性，可排除A，D；再根据导数的几何意义排除C.
【详解】观察导函数图象可知f
′ (x)在区间
先正后负，在区间(0,+∞)先负后正，
故函数
在区间
内先递增后递减，在区间(0,+ ∞)内先递减后递增，
结合4 个选项的图象，可排除A，D；
由导函数的函数值是变化的，即函数
在递减区间的斜率也是变化的，排除C，
故选：B．
【变式3】（24-25 高二下·全国·课前预习）已知
的导函数f
′ (x)的图象如图所示，那么
的图象最
有可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据导数
正负与函数
的单调性的关系即可得解.
【详解】由题意可知，当
和
时，导函数
，函数
单调递减；
当
时，导函数
，函数
单调递增，故选项D 正确.
故选：D.
【变式4】（23-24 高二下·四川成都·期中）函数y = f (x)在定义域
内可导，记y = f (x)的导函数为
y = f
′ (x)，y = f
′ (x)的图象如图所示，则y = f (x)的单调增区间为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
，
【答案】B
【分析】由函数的导数符号与函数单调性的关系即可得解.
【详解】若要
，则由图可知
，
，
故
的单调增区间为
，
.
故选：B.
题型08 利用导数比较大小
【典例8】（23-24 高二下·湖北·期末）已知
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】对于
，
扩大适当的倍数变为整数幂的形式比较即可；对于
，构造函数比较大小即可
【详解】对于
，同时12 次方可得与
，易知
，所以
；
对于
，同时
次方可得
与
，由题干可知
，所以
，即
；
对于
，同时取对数可得
与
，
，
，解得
，
易得
在
单调递增，
单调递减，易知
，所以
．
综上可得
，
故选：B.
【变式1】（24-25 高二下·浙江杭州·期中）已知
，则
的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设
，利用导数可得
在
上单调递增，在
上单调递减，从而可得
最大，再根据对数的运算性质比较
的大小即可.
【详解】解：因为
，
，
设
，
则
，
所以当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
所以
，
，
又因为
，
所以
.
故选：D.
【变式2】（23-24 高二上·江苏南京·期末）三个数
，
，
的大小顺序为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】据题意可设
，求导
，从而可根据导数符号得出
在
上单调递
减，并且可得出
，
，
，从而得出
，
，的大小顺序．
【详解】设
，则
，
当
时，则
，可得
，
可知
在
上单调递减，
因为
，
，
，
且
，则
，所以
．
故选：D．
【变式3】（23-24 高二下·河北唐山·期中）若函数
，且
，设
，
，
则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
的大小不能确定
【答案】A
【分析】求导后再次构造
，再求导求出最大值小于零可得
小于零，进而得到
的单调性，然后求出结果即可.
【详解】由题意可得
，
设
，则
因为
，
所以
恒成立，故
在
上单调递减，
所以
，
所以当
时，
，
为减函数，
所以
，即
，
故选：A
题型09 利用导数证明不等式
【典例9】（24-25 高二下·全国·课堂例题）当
时，求证：
．
【答案】证明见解析
【分析】移项构造函数，利用导函数求解函数的单调性进而得证不等式.
【详解】令
，
则
，
，
，又因为
，则
恒成立，
当
时，f
′ (x)>0，即
在(1,+∞)上单调递增，
，
即
．
【变式1】（24-25 高二下·全国·课后作业）以下不等式不成立的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
D．
，
【答案】D
【分析】对于各个选项分别构造函数
，
；
，
；
，
；
，
.再求导研究单调性，进而用单调性性质判定即可.
【详解】对于A，令
，
，
由
，则
在
上单调递增，
则
，不等式成立；
对于B，令
，
，则
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
则
，不等式成立；
对于C，令
，
，则
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
则
，不等式成立；
对于D，令
，
，
当
时，
，所以不等式不成立．
故选：D．
【变式2】（23-24 高二上·江苏南京·期末）下列不等式恒成立的有（ ）.
A．当
时，
B．当
时，
C．
（其中，为自然对数的底数）
D．当
时，
【答案】ABD
【分析】分别构造
，
，
，
，即可利用导数求解单调性得解.
【详解】对于A，令
，则
，故
在
单调递增，故
，故
，A 正确，
对于B，设
，则当
时
在(1,+ ∞)单调递减，
当
时，
在(0,1)单调递增，故
，故
，B 正确，
对于C，令
,
，当
在(0,+∞)单调递增，
当
在
单调递减，所以
，故
，故C 错误，
对于D，令
，则
，
故
在(1,+ ∞)单调递增，故
，故
，D 正确，
故选：ABD
【变式3】（24-25 高二下·全国·课堂例题）证明不等式
．
【答案】证明见解析
【分析】构造函数
，通过求导得到
，所以
，所以
.
【详解】设
，则
，
由
，得
，所以当
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，即
，所以
．
题型10 利用导数解不等式
【典例10】（24-25 高三上·湖北武汉·期中）设函数
，则关于
的不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】令
，定义域为R，得到
为奇函数，即
，
求导，得到
在R 上单调递增，变形得到
，从而
，求出解集.
【详解】令
，定义域为R，
，
故
为奇函数，即
，
，
故
在R 上单调递增，
，
故
，
即
，
所以
，
，
解得
或
.
故选：B
【变式1】（23-24 高二下·江苏南通·阶段练习）已知函数
，若
，则实
数x 的取值范围是( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用导数判断出函数
的单调性，即可根据单调性的定义解出．
【详解】因为
，
所以
，即在(0,+ ∞)上函数
单调递增，
由
可得，
，解得
，即
.
故选：D.
【变式2】（24-25 高二上·全国·课后作业）已知定义在
上的函数
的导函数
，且
，则实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据
为增函数，结合
的定义域求解即可.
【详解】因为
，所以函数
在
上单调递增.
又
，
所以
解得
.
故选：C
【变式3】（23-24 高二下·广东深圳·期末）已知函数
，则不等式
的
解集为 .
【答案】
【分析】利用导数判断单调性，再判断奇偶性，即可求解不等式.
【详解】由
得
，
所以函数
是R 上的增函数，
又由
得函数
是奇函数，
则由
得
，
所以
，
解得
.
故答案为：
.
【变式4】（2024 高三·全国·专题练习）设a，b 都为正数，为自然对数的底数，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将不等式变形为
，构造函数
，由导数确定函数单调性，由单调性及不
等关系即可求解.
【详解】由已知
，即
.
设
，则
，
.
，
，
.
当
时，
，
在
上单调递增，所以
.
故选：B.
一、单选题
1．（23-24 高二下·重庆·期末）已知函数
在区间
上连续可导，则“
在区间
上恒成
立”是“
在区间
上单调递增”的（ ）条件.
A．必要不充分
B．充分不必要
C．充要
D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】根据导函数与函数单调性的关系，结合充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】当
时，
，
此时
不是增函数，
若
在区间
上单调递增，则
在区间
上恒成立，
所以“
在区间
上恒成立”是“
在区间
上单调递增”的必要不充分条件.
故选：A.
2．（2024·四川成都·模拟预测）函数
的单调递减区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先得出函数的定义域，再令f
′ (x)<0，解不等式即可.
【详解】函数
的定义域为(0,+ ∞)，
，令f
′ (x)<0，解得：
，
多取一个端点不影响单调性，所以
在
上单调递减.
故选：D
3．（23-24 高二下·山东临沂·期中）已知函数y = f (x)（x∈R）的图象如图，则不等式
的解集
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由
的图象得到
的单调性，从而得到
的正负，即可得解.
【详解】由
的图象可知，
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
则当
时，
，
时，
，
时，
，所以不等式
的解集为
.
故选：C.
4．（23-24 高二下·山东东营·期末）已知函数
，若函数
在
上单调递减，则实数m
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】A
【分析】根据单调性可得导函数
在
上恒成立即可求解.
【详解】由
在
上单调递减，可得
在
上恒成立，故
，
所以
，
故选：A
5．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
在
存在单调递减区间，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】使用导数判断单调性，并对0<a<1，
和
分类讨论即可得到答案.
【详解】由于
，故
.
当0<a<1时，对
，由于
，故
.
故
，从而f (x)在
上递减，一定满足条件.
当
时，对任意
都有
.
故
，从而f (x)在
上递增，不满足条件.
当
时，对
，由于
，故
.
故
，从而f (x)在
上递减，一定满足条件.
综上，
的取值范围是
.
故选：A.
6．（23-24 高二下·广东东莞·阶段练习）设
是定义在
上的可导函数，
，对任意实数
，有
，则
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数导数判断函数的单调性，计算得出不等式解集；
【详解】令
，则即求g(x)>0的解集.
由已知得，
，故
在R上单调递减；
又由
得，
，故
，从而
.
故选：A.
7．（24-25 高二上·全国·单元测试）若
都有
成立，则
的最大值为
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】B
【分析】将所给不等式转化为
，构造函数
，利用导数研究函数
的单调性，由此得出正确的选项.
【详解】根据题意，若
，则
.
设
.
所以可得
在
，函数
为增函数.
对于
，其导数
.
若
，解得
，即函数
的递增区间为
；
若
都有
成立，即在
，函数
为增函数，则
的最大值为1.
故选：B.
8．（23-24 高二下·天津·期中）已知函数
，且
、
、
，则
、
、
的大小关系（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意，求导得
，即可得到
在
上单调递增，从而可比较函数值的大小关系.
【详解】由
可得
，
当
时，
，
所以
在
上单调递增，
又
，所以
，
即
，则
，
所以
.
故选：D
二、多选题
9．（24-25 高三上·福建·阶段练习）已知函数
，则（ ）
A．
在
上单调递减
B．
在
上单调递增
C．
有3 个零点
D．直线
与
的图象仅有1 个公共点
【答案】ACD
【分析】求出函数
的导数，利用导数探讨单调性判断AB；求出函数的零点判断C；求出函数的极值，
结合三次函数图象判断D.
【详解】依题意，函数
的定义域为R，求导得
，
当
或
时，
；当
时，
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，A 正确，B 错误；
由
，得
或
，函数
有3 个零点，C 正确；
函数
的极大值为
，极小值为
，直线
与
的图象仅有1 个公共点，D 正确.
故选：ACD.
10．（24-25 高三上·福建宁德·期中）已知三次函数
的图象如图，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
的解集为
【答案】ACD
【分析】设
，分析可知
的极值点为、
，以及
为奇函数，可求
得
，
，根据函数
的单调性可得出
，逐项分析可得出合适的选项.
【详解】由图可知，三次函数
为奇函数，且
的极值点为、
，
设
，则
，可得
，
由奇函数的定义可得f (−x)=−f (x)，即
，
所以
，可得
，则
，
由题意可得
，可得
，则
，
由图可知，函数
的单调递增区间为(−1,1)，
故不等式
的解集为(−1,1)，所以
，
对于A 选项，由题意可知，
，
由导数的定义可得
，故A 正确；
对于B 选项，
，
，
由
，
，所以
，故B 错误；
对于C 选项，
，所以
，故C 正确；
对于D 选项，由
，
可得
，解得
或
，
因此，不等式
的解集为
，故D 正确.
故选：ACD
11．（23-24 高二下·河南信阳·期末）设
的图象在区间
上是一条连续不断的曲线，
，
，
，总有
，则称
在
上是上凸函数.已知
是(0,+ ∞)的上凸函数，
且
（
是
的导函数），则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】根据导函数推得单调性比较大小、导数几何意义判断各个选项.
【详解】对于A，由
，知得
在(0,+ ∞)递增，因为
，所以
，选项
A 正确；
对于B，因为
在(0,+ ∞)上是“上凸”函数，由导数的几何意义知，
随着
的增大，曲线在某点的切线的斜率越来越小，
所以，
，选项B 错误；
对于C，D，设
，
，
由切线的几何意义知，
，
即
，
即
.选项C 错误D 正确.
故选：AD.
三、填空题
12．（23-24 高二上·天津·期末）已知函数
，函数
的单调增区间为 .
【答案】(1,+∞)
【分析】利用函数单调性与导数的关系可求出函数
的增区间.
【详解】函数
的定义域为
，
则
，
由
，可得
，故函数
的单调增区间为
.
故答案为：
.
13．（23-24 高二下·河北承德·期中）已知函数
在定义域上单调递增，则实数m 的取
值范围是 ．
【答案】
【分析】转化为
在
上恒成立，分离参数，设新函数，求导得到最值即可.
【详解】因为函数
在定义域上单调递增，
所以
在
上恒成立，即
在
上恒成立，
令
，则
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以
，即
，
所以实数m 的取值范围是
．
故答案为：
.
14．（24-25 高二下·全国·课后作业）已知函数
的定义域为R，且
，
，则不等
式
的解集为 ．
【答案】
【分析】先构造函数，再根据导函数得出函数的单调性，最后应用单调性解不等式.
【详解】设
，则
，
，
，
，
在R 上单调递减，
，
，
又
，
，
，
的解集为
．
故答案为：
.
四、解答题
15．（22-23 高二下·广东韶关·阶段练习）已知函数
，
(1)求函数
在点
处的切线方程；
(2)求函数
的单调区间.
【答案】(1)
；
(2)递减区间为
和
，递增区间为
.
【分析】（1）根据导数的几何意义结合条件即得；
（2）根据导数与函数的单调性的关系即得.
【详解】（1）因为
，所以
，
，
切点为
，
所求切线的斜率为
，
所求切线的点斜式方程是
，即：
；
（2）因为
当
时，解得
或
，
当
时，得
，
当
时，得
，
所以函数
的单调递减区间为
和
，单调递增区间为
.
16．（23-24 高二下·北京·期中）已知函数
.
(1)若函数
的图象在点
处的切线方程是
，求
和
；
(2)求函数
的单调区间.
【答案】(1)
(2)递增区间为
，递减区间为
.
【分析】（1）求得
，得到
且
，根据题意，列出方程组，即可求解；
（2）求得
，结合
和
的解集和定义域，即可求解.
【详解】（1）解：由函数
，可得
，则
且
，
因为函数
的图象在点
处的切线方程是
，
可得
解得
.
（2）解：由函数
的定义域为
，且
，
令
，即
，即
，可得
；
令
，即
，即
，可得
，
所以函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
17．（2024 高二下·全国·专题练习）已知函数
．
(1)若曲线
在点
处的切线的斜率为
，求
的值；
(2)若
，讨论函数
的单调性；
【答案】(1)
(2)答案见解析.
【分析】（1）求导
，
可得结果；
（2）
，讨论
，
，
，根据导数正负判断单调性．
【详解】（1）
．
（2）由题
，
由于
，
的解为
．
①当
，即
时，f
′ (x)≥0，则
在
上单调递增；
②当
，即
时，
在区间
，(1,+∞)上，f
′ (x)>0，在区间
上，f
′ (x)<0，
所以
在
，(1,+∞)上单调递增；在
上单调递减；
③当
，即
时，在区间
，
上，f
′ (x)>0，
在区间
上，f
′ (x)<0，
所以
在
，
上单调递增；在
上单调递减．
故当
时，
在
上单调递增；
当
时，
在
，(1,+∞)上单调递增；在
上单调递减；
当
时，
在
，
上单调递增；在
上单调递减．
18．（23-24 高二下·辽宁·阶段练习）已知函数
．
(1)讨论函数y = f (x)的单调性；
(2)设函数
，若函数y = g(x)在
上为增函数，求实数
的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）对函数进行求导，参数进行分类讨论，再利用函数的单调性与导数的关系即
得；（2）由题可得函数y = g(x)在
上为增函数，
在
上恒成
立，再利用导数求函数的最值即可.
【详解】（1）由题意得，
，
①当
时，
，函数
在R上单调递增；
②当
时，令
，解得
，
，解得
，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减；
综上，当
时，函数
在R上单调递增；
当
时，函数
在
上单调递减，
在
上单调递增，
（2）因为函数y = g(x)在
上为增函数，
所以，
在
上恒成立．
即
在
上恒成立．
令
，当
时，
，
所以，
在
上单调递增，
．
所以，
，解得
，
所以，实数的取值范围为
．
19．（24-25 高二上·北京·期中）已知函数
，其中
，为自然对数的底数.
(1)当
时，求曲线y = f (x)在点(1,f (1))处的切线方程；
(2)求
的单调区间；
(3)设
且
，请判断
与
的大小，并证明.
【答案】(1)
(2)单调递减区间为
和
；单调递增区间为
(3)
，证明见解析
【分析】（1）根据导数几何意义可求得切线斜率f
′ (1)，结合切点可得切线方程；
（2）根据f
′ (x)的正负可得
的单调区间；
（3）构造函数
，利用导数可说明
在
，(0,+∞)上单调递增，由此可得
结论.
【详解】（1）当
时，
，则
，
，
，
∴f (x)在点(1,f (1))处的切线方程为
.
（2）由题意知：
的定义域为
；
，令
，解得：
，
当
时，f
′ (x)<0；当
时，f
′ (x)>0；
∴f (x)的单调递减区间为
和
；单调递增区间为
.
（3）
，证明如下：
令
，则
定义域为
，
，
令
，则
，
则当
时，ℎ
′ (x)<0；当x∈(0,+ ∞)时，ℎ
′ (x)>0；
在
上单调递减，在(0,+ ∞)上单调递增，
，
，
在
，(0,+ ∞)上单调递增，
且
，
或
，
恒成立，即
，
.
