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重难点01 利用基本不等式求最值【八大题型】
【新高考专用】
【题型1 直接法求最值】..........................................................................................................................................2
【题型2 配凑法求最值】..........................................................................................................................................3
【题型3 常数代换法求最值】..................................................................................................................................4
【题型4 消元法求最值】..........................................................................................................................................6
【题型5 构造不等式法求最值】..............................................................................................................................7
【题型6 多次使用基本不等式求最值】................................................................................................................10
【题型7 实际应用中的最值问题】........................................................................................................................12
【题型8 与其他知识交汇的最值问题】................................................................................................................16
基本不等式是高考热点问题，是常考常新的内容，是高中数学中一个重要的知识点.题型通常为选择
题或填空题，但它的应用范围很广，涉及到函数、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何、导数等内
容，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等.在高考中经常考察运用基本不等式求函数或代
数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点.在复习中切忌生搬硬套，在应用时一定要紧扣
“一正二定三相等”这三个条件灵活运用.
【知识点1 利用基本不等式求最值的方法】
1．利用基本不等式求最值的几种方法
(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值．
(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.
(3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t 为常数),求
的最值”的问题，先将
转化为
，再用基本不等式求最值.
(4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出
“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.
(5)构造不等式法：构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利
用基本不等式，构造目标式的不等式求解.
【知识点2 基本不等式的实际应用】
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1．基本不等式的实际应用的解题策略
(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.
(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.
(3)在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解.
【题型1 直接法求最值】
【例1】（2023 上·北京·高一校考阶段练习）已知a>0，则a+ 1
a +1的最小值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【解题思路】用基本不等式求解即可.
【解答过程】因为a>0，
所以a+ 1
a +1≥2√a⋅1
a +1=3，当且仅当a= 1
a即a=1时取等号；
故选：B.
【变式1-1】（2023·北京东城·统考一模）已知x>0，则x−4+ 4
x 的最小值为（ ）
A．－2
B．0
C．1
D．2√2
【解题思路】由基本不等式求得最小值．
【解答过程】∵x>0，∴x + 4
x −4≥2√x× 4
x −4 =0，当且仅当x = 4
x 即x =2时等号成立．
故选：B．
【变式1-2】（2023 上·山东·高一统考期中）函数y = x
2−x +9
x
（x>0）的最小值为（ ）
A．1
B．3
C．5
D．9
【解题思路】利用均值不等式求最小值即可.
【解答过程】y = x
2−x +9
x
= x + 9
x −1≥2√x⋅9
x −1=5，当且仅当x = 9
x ，即x =3时等号成立，
故选：C.
【变式1-3】（2023 下·江西·高三校联考阶段练习）(3+ 1
x
2)(1+ 4 x
2)的最小值为（ ）
A．9√3
B．7+ 4√2
C．8√3
D．7+ 4√3
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【解题思路】依题意可得(3+ 1
x
2)(1+ 4 x
2)=7+ 1
x
2 +12 x
2，再利用基本不等式计算可得.
【解答过程】(3+ 1
x
2)(1+ 4 x
2)=7+ 1
x
2 +12 x
2≥7+2√
1
x
2 ⋅12 x
2=7+ 4√3，
当且仅当1
x
2 =12 x
2，即x
4= 1
12时，等号成立，
故(3+ 1
x
2)(1+ 4 x
2)的最小值为7+ 4√3.
故选：D.
【题型2 配凑法求最值】
【例2】（2023·浙江·校联考模拟预测）已知a>1，则a+ 16
a−1的最小值为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
【解题思路】运用基本不等式的性质进行求解即可.
【解答过程】因为a>1，
所以由a+ 16
a−1 =a−1+ 16
a−1 +1≥2√
(a−1)⋅16
a−1 +1=9，当且仅当a−1= 16
a−1时取等号，即a=5时取
等号，
故选：B.
【变式2-1】（2023 上·吉林·高一校考阶段练习）已知x>3，则y =
2
x−3 +2 x的最小值是（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
【解题思路】利用基本不等式求和的最小值，注意取值条件.
【解答过程】由x−3>0，则y =
2
x−3 +2( x−3)+6≥2√
2
x−3 ⋅2( x−3)+6=10，
当且仅当x = 4时等号成立，故最小值为10.
故选：C.
【变式2-2】（2023 上·海南省直辖县级单位·高三校联考阶段练习）设x>2，则函数y = 4 x−1+
4
x−2，的
最小值为（ ）
A．7
B．8
C．14
D．15
【解题思路】利用基本不等式求解.
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【解答过程】因为x>2，所以x−2>0，
所以y = 4 x−1+
4
x−2 = 4 (x−2)+
4
x−2 +7≥2√4 (x−2)⋅
4
x−2 +7=15，
当且仅当4 (x−2)=
4
x−2，即x =3时等号成立，
所以函数y = 4 x−1+
4
x−2的最小值为15，
故选:D．
【变式2-3】（2023 上·辽宁·高一校联考期中）若x>0，y >0且满足x + y = xy，则2 x
x−1 + 4 y
y −1的最小值
为（ ）
A．6+2√6
B．4 +6√2
C．2+ 4√6
D．6+ 4√2
【解题思路】结合条件等式，利用基本不等式求和的最小值.
【解答过程】若x>0，y >0且满足x + y = xy，则有1
x + 1
y =1，所以x>1，y >1，
2 x
x−1 + 4 y
y −1 = 2(x−1)+2
x−1
+ 4 ( y −1)+ 4
y −1
=6+
2
x−1 +
4
y −1
≥6+2√
2
x−1 ⋅
4
y −1 =6+2√
8
x y−(x + y)+1 =6+ 4√2，
当且仅当
2
x−1 =
4
y −1，即x =1+ √2
2 , y =1+√2时等号成立.
所以2 x
x−1 + 4 y
y −1的最小值为6+ 4√2.
故选：D.
【题型3 常数代换法求最值】
【例3】（2023 上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）已知a>0，b>0，若 2
a + 3
b =1，则 2a+ b
3 的最
小值是（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
【解题思路】利用基本不等式“1”的应用即可求解.
【解答过程】由题意得a>0，b>0，2
a + 3
b =1，
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所以2a+ b
3 =(2a+ b
3)(
2
a + 3
b)= 4+1+ 2b
3a + 6a
b ≥5+2√
2b
3a × 6a
b =9，
当且仅当2b
3a = 6a
b 时，即a=3，b=9，取等号，故B 项正确.
故选：B.
【变式3-1】（2023·河南·校联考模拟预测）已知正实数a，b，点M (1,4)在直线x
a + y
b =1上，则a+b的最
小值为（ ）
A．4
B．6
C．9
D．12
【解题思路】根据题意可得1
a + 4
b =1，结合基本不等式运算求解.
【解答过程】由题意得1
a + 4
b =1，且a>0,b>0，
故a+b=(a+b)⋅(
1
a + 4
b)=5+ b
a + 4 a
b ≥5+2√
b
a × 4 a
b =9，
当且仅当b
a = 4 a
b ，即a=3，b=6时，等号成立.
故选：C.
【变式3-2】（2023 上·重庆·高一统考期末）若正实数x，y 满足2 x +8 y −xy =0，则
2
x + y 的最大值为
（ ）
A．2
5
B．1
6
C．3
7
D．1
9
【解题思路】根据等式计算得出1，再结合常值代换求和的最值，计算可得最大值.
【解答过程】∵x>0, y >0,2 x +8 y −xy =0,∴2
y + 8
x =1,
x + y =(x + y)(
2
y + 8
x)= 2 x
y +8+2+ 8 y
x ≥2√
2 x
y × 8 y
x +10=18,
∴
2
x + y ≤2
18 = 1
9.
故选:D.
【变式3-3】（2023·重庆·统考一模）已知a，b 为非负实数，且2a+b=1，则2a
2
a+1 + b
2+1
b
的最小值为
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（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【解题思路】首先根据题意求出0≤a< 1
2，0<b≤1，然后将原式变形得2a
2
a+1 + b
2+1
b
=
2
a+1 + 1
b −1，最后
利用1 的妙用即可求出其最值.
【解答过程】∵2a+b=1，且a,b为非负实数，b≠0，
则a≥0,b>0
则b=1−2a>0，解得0≤a< 1
2，2a=1−b≥0，解得0<b≤1，
∴2a
2
a+1 + b
2+1
b
= 2(a+1)
2−4(a+1)+2
a+1
+ b
2+1
b
=2(a+1)−4 +
2
a+1 +b+ 1
b =(2a+b−2)+
2
a+1 + 1
b =
2
a+1 + 1
b −1
2
a+1 + 1
b =
4
2a+2 + 1
b = 1
3 [(2a+2)+b]⋅(
4
2a+2 + 1
b)
= 1
3(5+
4 b
2a+2 + 2a+2
b )≥1
3(5+2√
4 b
2a+2 ⋅2a+2
b )=3，
当且仅当4 b
2a+2 = 2a+2
b
即2a+2=2b，2a+b=1时,即b=1,a=0时等号成立，
故(
2
a+1 + 1
b −1)min
=2，
故选：B.
【题型4 消元法求最值】
【例4】（2023 上·江苏·高一校联考阶段练习）已知正数x，y 满足3
x−4=9
y，则x + 8
y 的最小值为
12
.
【解题思路】根据指数方程，得出x , y的关系式，运用消元法将所求式化成关于y的关系式，再利用基本
不等式求解.
【解答过程】由3
x−4=9
y，可得x−4 =2 y，即x =2 y + 4，代入x + 8
y 中，
可得2 y + 4+ 8
y =2 y + 8
y + 4≥2√2 y ⋅8
y + 4 =12,
当且仅当y =2, x =8时，取等号，
所以x + 8
y 的最小值为12.
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故答案为：12.
【变式4-1】（2023 上·安徽池州·高一统考期中）已知x , y ∈R
+，若2 x + y + xy =7，则x +2 y的最小值为
6√2−5 .
【解题思路】根据题意，化简得到x +2 y = x
2−3 x +14
x +1
，设t = x +1，求得x
2−3 x +14
x +1
=t + 18
t −5，结合
基本不等式，即可求解.
【解答过程】由x , y ∈R
+，且2 x + y + xy =7，可得y = 7−2 x
x +1 ，
则x +2 y = x +2× 7−2 x
x +1 = x
2−3 x +14
x +1
，
设t = x +1，可得x =t −1且t >1，
可得x
2−3 x +14
x +1
= t
2−5t +18
t
=t + 18
t −5≥2√t ⋅18
t −5=6√2−5，
当且仅当t = 18
t 时，即t =3√2时，等号成立，所以x +2 y的最小值为6√2−5.
故答案为：6√2−5.
【变式4-2】（2023 上·山东淄博·高一校考阶段练习）已知正实数a,b，且2a+b+6=ab，则a+2b的最小
值为
13
.
【解题思路】根据基本不等式即可求解.
【解答过程】由2a+b+6=ab可得a= b+6
b−2 >0，由于b>0，所以b>2，
故a+2b= b+6
b−2 +2b=
8
b−2 +2(b−2)+5，
由于b>2，所以
8
b−2 +2(b−2)≥2√16=8，当且仅当b= 4时等号成立，
故a+2b=
8
b−2 +2(b−2)+5≥13，
故a+2b的最小值为13，
故答案为：13.
【变式4-3】（2023·上海崇明·统考一模）已知正实数a, b, c , d满足a
2 −ab+1=0，c
2 +d
2 =1，则当
(a−c)
2 +(b−d)
2取得最小值时，ab= √2
2 +1 ．
【解题思路】将(a−c)
2+(b−d )
2转化为(a,b)与(c ,d)两点间距离的平方，进而转化为(a,b)与圆心(0,0)的
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距离，结合基本不等式求得最小值，进而分析求解即可.
【解答过程】可将(a−c)
2+(b−d )
2转化为(a,b)与(c ,d)两点间距离的平方，
由a
2−ab+1=0，得b=a+ 1
a，
而c
2+d
2=1表示以(0,0)为圆心，1 为半径的圆，(c ,d)为圆上一点，
则(a,b)与圆心(0,0)的距离为：√a
2+b
2=√
a
2+(a+ 1
a)
2
=√
2a
2+ 1
a
2 +2≥√
2√
2a
2⋅1
a
2 +2=√2√2+2，
当且仅当2a
2= 1
a
2，即a=±
4√
1
2时等号成立，
此时(a,b)与圆心(0,0)的距离最小，即(a,b)与(c ,d)两点间距离的平方最小，
即(a−c)
2+(b−d )
2取得最小值.
当a=
4√
1
2时，ab=a
2+1= √2
2 +1，
故答案为：√2
2 +1.
【题型5 构造不等式法求最值】
【例5】（2023 下·河南·高三校联考阶段练习）已知2a+b=ab(a>0,b>0)，下列说法正确的是（ ）
A．ab的最大值为8
B．
1
a−1 +
2
b−2的最小值为2
C．a+b有最小值3+√2
D．a
2−2a+b
2−4 b有最大值4
【解题思路】根据基本不等式运用的三个条件“一正二定三相等”，可知
､
､
ab≥8，所以A 错误；将原式
化成(a−1)(b−2)=2，即可得1
a−1 +
2
b−2 =
1
a−1 +(a−1)≥2，即B 正确；不等式变形可得2
b + 1
a =1，利
用基本不等式中“1”的妙用可知a+b≥3+2√2，C 错误；将式子配方可得
a
2−2a+b
2−4 b=(a−1)
2+(b−2)
2−5，再利用基本不等式可得其有最小值−1，无最大值，D 错误.
【解答过程】对于A选项，ab=2a+b≥2√2ab，即√ab≥2√2，故ab≥8，
当且仅当a=2,b= 4时等号成立，故ab的最小值为8，A 错误；
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对于B选项，原式化为(a−1)(b−2)=2,b= 2a
a−1 >0，故a−1>0；a=
b
b−2 >0，故b−2>0；
所以
1
a−1 +
2
b−2 =
1
a−1 +(a−1)≥2，当且仅当a=2,b= 4时等号成立，B正确；
对于C选项，原式化为2
b + 1
a =1，故a+b=(a+b)(
2
b + 1
a)= 2a
b +1+2+ b
a ≥3+2√2，
当且仅当a=√2+1,b=2+√2时等号成立，C错误；
对于D 选项，a
2−2a+b
2−4 b=(a−1)
2+(b−2)
2−5≥2(a−1)(b−2)−5=−1，
当且仅当a=1+√2,b=2+√2时等号成立，故有最小值−1，D 错误．
故选：B.
【变式5-1】（2022 上·山东青岛·高一青岛二中校考期中）已知x>0，y >0，且x + y + xy −3=0；则下列
结论正确的是（ ）
A．xy 的最小值是1
B．x + y的最小值是2
C．x + 4 y的最小值是8
D．x +2 y的最大值是4√2−3
【解题思路】利用基本不等式得x + y + xy −3≥(√xy +3)(√xy −1)、x + y + xy −3≤( x + y)
2
4
+( x + y)−3
分别求xy、x + y的最值，注意取等条件；由题设有x = 3−y
y +1 且0< y <3代入x + 4 y、x +2 y，结合基本不
等式求最值，注意取等条件.
【解答过程】由x + y + xy −3≥xy +2√xy −3=(√xy +3)(√xy −1)，当且仅当x = y =1时等号成立，
即(√xy +3)(√xy −1)≤0，又x>0，y >0，故0<√xy ≤1，仅当x = y =1时等号成立，
所以0< xy ≤1，故xy 的最大值是1，A 错误；
由x + y + xy −3≤( x + y)
2
4
+( x + y)−3，当且仅当x = y =1时等号成立，
所以( x + y)
2
4
+( x + y)−3≥0，即( x + y +6)( x + y −2)≥0，又x>0，y >0，
则x + y ≥2，仅当x = y =1时等号成立，故x + y的最小值是2，B 正确；
由x + y + xy −3=0，x>0，y >0，可得x = 3−y
y +1 ，且0< y <3，
所以x + 4 y = 3−y
y +1 + 4 y = 4 y
2+3 y +3
y +1
= 4( y +1)
2−5( y +1)+ 4
y +1
= 4( y +1)+
4
y +1 −5
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≥2√4( y +1)⋅
4
y +1 −5=3，
当且仅当y +1=1，即y =0、x =3时等号成立，故x + 4 y >3，C 错误；
同上，x +2 y = 3−y
y +1 +2 y = 2 y
2+ y +3
y +1
= 2( y +1)
2−3( y +1)+ 4
y +1
=2( y +1)+
4
y +1 −3
≥2√2( y +1)⋅
4
y +1 −3= 4√2−3，
当且仅当y +1=√2，即y =√2−1、x =2√2−1时等号成立，故x +2 y ≥4√2−3，D 错误；
故选：B.
【变式5-2】（2023 上·江苏·高一专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．若x>2，则函数y = x +
1
x−1的最小值为3
B．若x>0，y >0，3
x + 1
y =5，则5 x + 4 y的最小值为5
C．若x>0，y >0，x + y + xy =3，则xy 的最小值为1
D．若x>1，y >0，x + y =2，则
1
x−1 + 2
y 的最小值为3+2√2
【解题思路】选项A：将函数变形再利用基本不等式进行判断最值即可，
选项B：由基本不等式进行判断即可，
选项C：结合换元法与基本不等式求最值进行判断即可，
选项D：对式子进行变形得到1+
y
x−1 + 2(x−1)
y
+2，再利用基本不等式进行判断即可．
【解答过程】解：选项A：y = x +
1
x−1 = x−1+
1
x−1 +1⩾2√x−1·
1
x−1 +1=3，当且仅当(x−1)
2=1时
可以取等号，
但题设条件中x>2，故函数最小值取不到3，故A 错误；
选项B：若x>0，y >0，3
x + 1
y =5，
则5 x + 4 y = 1
5(
3
x + 1
y)(5 x + 4 y)= 1
5(19+ 5 x
y + 12 y
x )⩾1
5(19+2√
5 x
y · 12 y
x )= 19+ 4√15
5
，当且仅当
5 x
y = 12 y
x
时不等式可取等号，故B 错误；
选项C：3−xy = x + y ⩾2√xy ⇒xy +2√xy −3⩽0当且仅当x = y时取等号，
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令√xy =t (t ⩾0)，t
2+2t −3⩽0，解得−3⩽t ⩽1，即0<√xy ⩽1，故xy 的最大值为1，故C 错误；
选项D：x + y =2，( x−1)+ y =1，
1
x−1 + 2
y =(
1
x−1 + 2
y)·[(x−1)+ y]=1+
y
x−1 + 2(x−1)
y
+2⩾3+2√
y
x−1 · 2(x−1)
y
=3+2√2，
当且仅当y =√2 x−√2时取等号，
又因为x + y =2，故¿时等号成立，
即
1
x−1 + 2
y 最小值可取到3+2√2， 故D 正确．
故选：D．
【变式5-3】（2023 上·广东中山·高三校考阶段练习）设正实数x , y满足x +2 y =3，则下列说法错误的是
（ ）
A．y
x + 3
y 的最小值为4
B．xy的最大值为9
8
C．√x +√2 y的最大值为2
D．x
2+ 4 y
2的最小值为9
2
【解题思路】根据基本不等式以及“1”的妙用判断各选项.
【解答过程】对于A，y
x + 3
y = y
x + x +2 y
y
= y
x + x
y +2≥2√
yx
xy +2= 4，当且仅当x = y =1时取等号，故A
正确；
对于B，xy = 1
2 ⋅x⋅2 y ≤1
2 ×(
x +2 y
2 )
2
= 1
2 × 9
4 = 9
8 ，当且仅当x =2 y，即x = 3
2 , y = 3
4 时取等号，故B 正
确；
对于C，(√x +√2 y)
2= x +2 y +2√2 xy ≤3+2√2× 9
8 =3+3=6，
则√x +√2 y ≤√6，当且仅当x =2 y，即x = 3
2 , y = 3
4 时，故C 错误；
对于D，x
2+ 4 y
2=( x +2 y)
2−4 xy ≥9−4× 9
8 = 9
2，当且仅当x = 3
2 , y = 3
4 时取等号，故D 正确.
故选：C.
【题型6 多次使用基本不等式求最值】
【例6】（2023·河南·校联考模拟预测）已知正实数a，b，满足a+b≥9
2a + 2
b，则a+b的最小值为（ ）
资料来源：微信公众号 智慧学库
A．5
B．5
2
C．5√2
D．5√2
2
【解题思路】先根据基本不等式求出(
9
2a + 2
b)(a+b)≥25
2 .然后即可根据不等式的性质得出
(a+b)
2≥(
9
2a + 2
b)(a+b)≥25
2 ，列出两个等号同时成立的条件，即可得出答案.
【解答过程】由已知可得，a>0，b>0，a+b>0.
因为(
9
2a + 2
b)(a+b)= 9
2 +2+ 9b
2a + 2a
b ≥2√
9b
2a × 2a
b + 13
2 =6+ 13
2 = 25
2 ，
当且仅当9b
2a = 2a
b ，即2a=3b时等号成立.
所以，(a+b)
2≥(
9
2a + 2
b)(a+b)≥25
2 ，
当且仅当¿，即¿时，两个等号同时成立.
所以，a+b≥3√2
2
+√2= 5√2
2
.
故选：D.
【变式6-1】（2023·山东菏泽·统考一模）设实数x , y满足x + y =1，y >0，x≠0，则1
|x|+ 2|x|
y 的最小值为
（ ）
A．2√2−1
B．2√2+1
C．√2−1
D．√2+1
【解题思路】分为x>0与x<0，去掉绝对值后，根据“1”的代换，化简后分别根据基本不等式，即可求解
得出答案.
【解答过程】当x>0时，1
|x|+ 2|x|
y = x + y
x
+ 2 x
y = y
x + 2 x
y +1≥2√
y
x ⋅2 x
y +1 =2√2+1，
当且仅当y
x = 2 x
y ，即x =√2−1，y =2−√2时等号成立，此时有最小值2√2+1；
当x<0时，1
|x|+ 2|x|
y = x + y
−x + −2 x
y
= y
−x + −2 x
y
−1≥2√
y
−x ⋅−2 x
y
−1=2√2−1.
当且仅当y
−x = −2 x
y
，即x =−1−√2，y =2+√2时等号成立，此时有最小值2√2−1.
所以，1
|x|+ 2|x|
y 的最小值为2√2−1.
故选：A.
资料来源：微信公众号 智慧学库
【变式6-2】（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）已知实数x , y , z>0，满足xy + z
x =2，则当
4
y + 1
z 取得最小值时，y + z的值为（ ）
A．1
B．3
2
C．2
D．5
2
【解题思路】两次应用基本不等式，根据两次不等式等号成立的条件列方程求解即可.
【解答过程】因为实数x , y , z>0，满足xy + z
x =2，
所以xy + z
x =2≥2√xy × z
x =2√yz⇒yz≤1，当且仅当z = y x
2时，yz =1，
所以4
y + 1
z ≥2√
4
y × 1
z =2√
4
yz ≥2√
4
1 = 4，当且仅当4
y = 1
z 且yz =1时，等号成立；
所以当yz =1且4
y = 1
z 时，4
y + 1
z 取得最小值4，
此时解得¿，
故选：D.
【变式6-3】（2023 上·辽宁大连·高一期末）若a>0,b>0,a+b=1，则a
2+3ab
a+2b +
2
b+1 −1
b 的最大值为
（ ）
A．√2
B．2−√2
C．3−√2
D．3−2√2
【解题思路】由已知可得a
2+3ab
a+2b +
1
b+1 =3−2b−
1
b+1，进而有a
2+3ab
a+2b +
2
b+1 −1
b =3−2b−1
b ，结
合基本不等式求最大值，注意取值条件.
【解答过程】由题设，a
2+3ab
a+2b +
1
b+1 = a(a+3b)+1
b+1
= a(2b+1)+1
b+1
，而a=1−b>0，b>0，
所以a(2b+1)+1
b+1
= 2+b−2b
2
b+1
=1+ 1−2b
2
b+1 =1+ 2(1−b
2)−1
b+1
=3−2b−
1
b+1
，
所以a
2+3ab
a+2b +
2
b+1 −1
b =3−2b−1
b 且0<b<1，
又2b+ 1
b ≥2√2b⋅1
b =2√2，当且仅当b= √2
2 时取等号，
所以a
2+3ab
a+2b +
2
b+1 −1
b ≤3−2√2，当且仅当a=1−√2
2 ,b= √2
2 时取等号，
即目标式最大值为3−2√2.
资料来源：微信公众号 智慧学库
故选：D.
【题型7 实际应用中的最值问题】
【例7】（2023 上·四川眉山·高一校联考期中）如图，高新区某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它
的主体造型平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为400m2的十字形地域.计划在正方形
MNPQ上建一座花坛，造价为8400 元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为
420 元/m2；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为160 元/m2.设总造价为y（单位：元），
AD 长为x（单位：m）.
(1)用x 表示AM 的长度，并求x 的取值范围；
(2)当x 为何值时，y 最小？并求出这个最小值.
【解题思路】（1）由题意可得矩形AMQD的面积，即可得出AM = 400−x
2
4 x
；
（2）先表示出总造价y，再由基本不等式求解即可.
【解答过程】（1）由题意可得，矩形AMQD的面积为S AMQD= 400−x
2
4
,
因此AM = 400−x
2
4 x
，
∵AM >0，∴0< x<20.
（2）y =8400 x
2+ 420×(400−x
2) +160×4× 1
2 ×（400−x
2
4 x
）
2
=8000 x
2+ 3200000
x
2
+152000，0< x<20，
由基本不等式y≥2√
8000 x
2× 3200000
x
2
+152000=472000，
当且仅当8000 x
2= 3200000
x
2
，即x=2√5时，等号成立，
故当x=2√5时，总造价y 最小，最小值为472000 元.
资料来源：微信公众号 智慧学库
【变式7-1】（2023 上·山东·高一校联考期中）某校地势较低，一遇到雨水天气校园内会有大量积水，不但
不方便师生出行，还存在严重安全问题.为此学校决定利用原水池改建一个深3 米，底面面积16 平方米的
长方体蓄水池.不但能解决积水问题，同时还可以利用蓄水灌溉学校植被.改建及蓄水池盖儿固定费用800 元，
由招标公司承担.现对水池内部地面及四周墙面铺设公开招标.甲工程队给出的报价如下：四周墙面每平方
米150 元，地面每平方米400 元.设泳池宽为x米.(2≤x ≤6)
(1)当宽为多少时，甲工程队报价最低，并求出最低报价.
(2)现有乙工程队也要参与竞标，其给出的整体报价为900a(x +2)
x
元(a>0)（整体报价中含固定费用）.若
无论宽为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围.
【解题思路】（1）根据题意，列出函数关系式，结合基本不等式代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，列出不等式，分离参数，再结合基本不等式代入计算，即可得到结果.
【解答过程】（1）设甲工程队的总造价为y元，则
y =150×2(x + 16
x )×3+ 400×16+800
=900(x + 16
x )+7200≥900×2√x⋅16
x +7200
=14400
当且仅当x = 16
x 时，即x = 4时等号成立.
即当宽为4 m时，甲工程队的报价最低，最低为14400 元.
（2）由题意可得900(x + 16
x )+7200> 900a(x +2)
x
.对∀x∈[2,6]恒成立.
即a< x
2+8 x +16
x +12
令y = x
2+8 x +16
x +2
=(x +2)+
4
x +2 + 4
∵2≤x ≤6,∴4≤x +2≤8.
令t = x +2,t ∈[4,8]，
则y =t + 4
t + 4在[4,8]上单调递增.
且t = 4时，ymin=9.
∴0<a<9.
即a的取值范围为(0,9).
资料来源：微信公众号 智慧学库
【变式7-2】（2023 上·江苏苏州·高一校考阶段练习）因新冠疫情零星散发，某实验中学为了保障师生安全，
同时考虑到节省费用，拟借助校门口一侧原有墙体建造一间高为4 米、底面积为24 平方米、背面靠墙体的
长方体形状的隔离室．隔离室的正面需开一扇安全门，此门高为2 米，且此门高为此门底的1
3．因此室的
后背面靠墙，故无需建墙费用，但需粉饰．现学校面向社会公开招标，甲工程队给出的报价：正面为每平
方米360 元，左右两侧面为每平方米300 元，已有墙体粉饰为每平方米100 元，屋顶和地面以及安全门报
价共计12000 元．设隔离室的左右两侧面的底边长度均为x米(1≤x ≤5)．
(1)记y为甲工程队整体报价，求y关于x的关系式；
(2)现有乙工程队也要参与此隔离室建造的竞标，其给出的整体报价为4800t( x +1)
x
元，问是否存在实数t，
使得无论左右两侧底边长为多少，乙工程队都能竞标成功（注：整体报价小者竞标成功），若存在，求出t
满足的条件；若不存在，请说明理由．
【解题思路】（1）根据题意分别计算正面和侧面以及其它各面的费用，相加，可得答案;
（2）由题意可得不等关系240( 184
x +10 x)−3120> 4800t( x +1)
x
,对任意x∈[1,5]都成立，进而转化
t < 10 x
2−13 x +184
20( x +1)
恒成立，采用换元法，结合基本不等式求得答案.
【解答过程】（1）由题意，隔离室的左右两侧的长度均为x 米(1≤x ≤5)，则底面长为24
x 米，正面费用为
360(4× 24
x −2×6) ,
故y =360(4× 24
x −2×6)+ 4× 24
x ×100+2×300×4 x +1200
=240( 184
x +10 x)−3120，1≤x ≤5.
（2）由题意知, 240( 184
x +10 x)−3120> 4800t( x +1)
x
，对任意x∈[1,5]都成立,
即t < 10 x
2−13 x +184
20( x +1)
对任意x∈[1,5]恒成立，
令k = x +1 ,则x =k −1,k ∈[2,6]，
则t < 10(k −1)
2−13(k −1)+184
20k
= 10k
2−33k +207
20k
= k
2 + 207
20k −33
20
，
资料来源：微信公众号 智慧学库
而k
2 + 207
20k ≥2√
k
2 ⋅207
20k =√
207
10 ，当且仅当k =√
207
10 ∈[2,6]取等号，
故0<t <√
207
10 −33
20 ，
即存在实数0<t <√
207
10 −33
20，无论左右两侧长为多少，乙工程队都能竞标成功.
【变式7-3】（2023 上·重庆·高一校考阶段练习）为宜传2023 年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张面
积为36000cm
2的矩形海报纸（记为矩形ABCD，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰
三角形和两个全等的直角三角形），为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm，
设DC = xcm．
(1)将四个宣传栏的总面积y 表示为x 的表达式，并写出x 的范围；
(2)为充分利用海报纸空间，应如何选择海报纸的尺寸（AD和CD分别为多少时），可使用宣传栏总面积
最大？并求出此时宣传栏的最大面积．
【解题思路】（1）根据题意列出总面积y 表示为x 的表达式即可.
（2）根据（1）利用基本不等式求可使用宣传栏总面积最大时|AD|和|CD|的值.
【解答过程】（1）根据题意|DC|= xcm，矩形海报纸面积为36000cm
2，
所以AD = 36000
x
cm，
又因为海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm，
所以四个宣传栏的总面积y =(|CD|−5×10)(|AD|−2×10)=(x−50)(
36000
x
−20)，
其中¿所以x∈(50,1800).
即y =(x−50)(
36000
x
−20), x∈(50,1800).
（2）由（1）知y =(x−50)(
36000
x
−20), x∈(50,1800)，
则y =(x−50)(
36000
x
−20)=37000−(20 x + 1800000
x
), x∈(50,1800)
资料来源：微信公众号 智慧学库
20 x + 1800000
x
≥2√20 x× 1800000
x
=12000，当且仅当x =300时取等号，
则y =37000−(20 x + 1800000
x
)≤25000，当且仅当x =300时取等号，
即|CD|=300cm,|AD|= 36000
300 =120cm时，
可使用宣传栏总面积最大为25000cm
2.
【题型8 与其他知识交汇的最值问题】
【例8】（2023 上·安徽·高三校联考阶段练习）记△ABC的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，满足
c +bcos2 A =2acos A cos B ( A ≤B).
(1)求A；
(2)若角A的平分线交BC于D点，且AD =1，求△ABC面积的最小值.
【解题思路】（1）由已知结合正弦定理边化角即可求解;
（2）表示出所求面积后运用基本不等式即可求解.
【解答过程】（1）由已知和正弦定理可得：sinC +sin Bcos2 A =2sin A cos A cos B，
所以sinC =sin 2 A cos B−sin Bcos2 A =sin(2 A −B)>0.
又因为C ∈(0,π )，2 A −B∈(0,π )，所以C =2 A −B或者C +2 A −B = π.
当C =2 A −B时，A + B+2 A −B = π，A = π
3 ；
当C +2 A −B = π时，A =2B与题设A ≤B不符.
综上所述，A = π
3 .
（2）△ABC面积S = 1
2 bc sin π
3 = √3
4 bc，
由AD是角平分线，∠BAD =∠CAD = π
6 ，
因为S△ABC = S△ABD+ S△ADC，得1
2 bc sin π
3 = 1
2 bsin π
6 + 1
2 c sin π
6 ，
即b+c =√3bc，由基本不等式√3bc≥2√bc，bc≥4
3 ，
当且仅当b=c = 2
3 √3时等号成立.
所以面积S = √3
4 bc≥√3
4 × 4
3 = √3
3 .
资料来源：微信公众号 智慧学库
故△ABC面积的最小值√3
3 .
【变式8-1】（2023 上·安徽铜陵·高二校联考期中）已知圆C的圆心在坐标原点，面积为9π．
(1)求圆C的方程；
(2)若直线l，l
'都经过点(0,2)，且l⊥l
'，直线l交圆C于M，N两点，直线l
'交圆C于P，Q两点，求四边形
PMQN面积的最大值．
【解题思路】（1）根据面积解出半径，再应用圆的标准方程即可；
（2）根据几何法求出弦长，再应用面积公式计算，最后应用基本不等式求最值即可.
【解答过程】（1）由题可知圆C的圆心为C(0,0)，半径r =3．
所以圆C的方程为x
2+ y
2=9．
（2）当直线l的斜率存在且不为0 时，设直线l的方程为y =kx +2，圆心到直线l的距离为d，
则d =
2
√k
2+1
，| MN |=2√3
2−d
2=2√
9−
4
k
2+1
，
同理可得| PQ|=2
√
9−
4
(
1
k)
2
+1
=2√
9−4 k
2
k
2+1，
则
SPMQN = 1
2 | MN |⋅| PQ|= 1
2 ×2√
9−
4
k
2+1
×2√
9−4 k
2
k
2+1
=2√(9−
4
k
2+1)(9−4 k
2
k
2+1)≤9−
4
k
2+1
+9−4 k
2
k
2+1
=14
，
当且仅当9−
4
k
2+1
=9−4 k
2
k
2+1
，即k
2=1时等号成立．
当直线l的斜率不存在时，| MN |=6，| PQ|=2√3
2−2
2=2√5，
此时SPMQN = 1
2 | MN |⋅| PQ|= 1
2 ×6×2√5=6√5．
当直线l的斜率为0 时，根据对称性可得SPMQN =6√5．
综上所述，四边形PMQN面积的最大值为14．
【变式8-2】（2023 上·江苏盐城·高一校考阶段练习）已知在定义域内单调的函数f (x)满足
资料来源：微信公众号 智慧学库
f(f (x)+
1
2
x+1
−ln x)= 2
3
恒成立．
(1)设f (x)+
1
2
x+1
−ln x =k，求实数k的值；
(2)解不等式f (7+2 x)>−
2
x
2
x+1
+ln(−e x)；
(3)设g(x)= f (x)−ln x，若g(x)≥mg(2 x)对于任意的x∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．
【解题思路】（1）由题意列方程求解；
（2）由函数的单调性转化后求解；
（3）参变分离后转化为最值问题，由换元法结合基本不等式求解.
【解答过程】（1）由题意得f (x)=ln x−
1
2
x+1
+k，f (k )= ln k −
1
2
k +1
+ k，
由于y = ln k −
1
2
k +1
+ k在k ∈(0,+∞)上单调递增，
观察ln k −
1
2
k +1
+k = 2
3，可得k =1；
（2）由于f (x)在定义域内单调，所以f (x)+
1
2
x+1
−ln x为常数，
由（1）得f (x)=ln x−
1
2
x+1
+1，f (x)在x∈(0,+ ∞)上单调递增，
f (−x)=ln(−x)−
1
2
−x+1
+1=ln(-e x)−
2
x
2
x+1
，
故原不等式可化为f (7+2 x)>−
2
x
2
x+1
+ln(−e x)= f (−x)，
由¿，解得−7
3 < x<0，
故原不等式的解集为(−7
3 ,0)；
（3）g(x)= f (x)−ln x =−
1
2
x+1
+1=
2
x
2
x+1
>0，
资料来源：微信公众号 智慧学库
g(x)≥mg(2 x)可化为m≤
2
x
2
x+1
⋅4
x+1
4
x
= 4
x+1
4
x+2
x =1+ −2
x+1
4
x+2
x
对于任意的x∈[1,2]恒成立，
设t =−2
x+1∈[−3,−1]，则
−2
x+1
4
x+2
x =
t
(1−t )
2+1−t
=
1
t + 2
t −3，t ∈[−3,−1]，
由基本不等式得t + 2
t =−(−t + 2
−t)≤−2√2，当且仅当−t = 2
−t 即t =−√2时等号成立，
故当t =−√2时(
1
t + 2
t −3)
min
=2√2−3
，
故m≤2√2−2，当且仅当x = log2(√2+1)等号成立.
实数m的取值范围为(−∞,2√2−2].
【变式8-3】（2023 下·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）如图，在长方体ABCD−A1B1C1 D1中，
点P是长方形A1B1C1 D1内一点，∠APC是二面角A −P D1−C的平面角.
(1)证明：点P在A1C1上；
(2)若AB = BC，求直线PA与平面PCD所成角的正弦的最大值.
【解题思路】（1）由二面角定义知AP⊥P D1,CP⊥P D1，利用线面垂直的判定及性质可证P D1⊥面
APC、P D1⊥面AC C1 A1，结合面APC与面AC C1 A1有交线，确定它们同平面，进而证结论；
（2）构建空间直角坐标系，令P( 1
2 , 1
2 ,k )且k >0，C(1,1,0)，D(0,1,0)，求直线方向向量、平面法向量，
应用空间向量夹角坐标表示、基本不等式求线面角正弦值的最大值，注意取值条件.
【解答过程】（1）由∠APC是二面角A −P D1−C的平面角，则AP⊥P D1,CP⊥P D1，
资料来源：微信公众号 智慧学库
又AP∩CP= P，AP ,CP⊂面APC，则P D1⊥面APC，
又AC ⊂面APC，即P D1⊥AC，由长方体性质知A1C1// AC，故P D1⊥A1C1，
由长方体性质：A A1⊥面A1B1C1 D1，又P D1⊂面A1B1C1 D1，则P D1⊥A A1，
又A1C1∩A A1= A1，A1C1, A A1⊂面AC C1 A1，故P D1⊥面AC C1 A1，
而面APC ∩面AC C1 A1= AC，且P D1⊥面APC、P D1⊥面AC C1 A1，根据过AC 作与PD1垂直的平面
有且仅有一个，
所以面APC与面AC C1 A1为同一平面，又P∈面A1B1C1 D1，面AC C1 A1∩面A1B1C1 D1 = A1C1，
所以点P在A1C1上；
（2）构建如下图示的空间直角坐标系A −xyz，令AB = BC =1，A A1=k，
由题设，长方体上下底面都为正方形，由（1）知P D1⊥A1C1，则P为A1C1中点，
所以P( 1
2 , 1
2 ,k )且k >0，C(1,1,0)，D(0,1,0)，
则⃗AP =( 1
2 , 1
2 ,k )，⃗PC =( 1
2 , 1
2 ,−k )，⃗PD =(−1
2 , 1
2 ,−k )，
若⃗m=( x , y , z)是面PCD的一个法向量，则¿，令y =2，则⃗m=(0,2, 1
k )，
所以
|cos〈⃗AP ,⃗m 〉|=|⃗AP⋅⃗m|
|⃗AP||⃗m|
=
2
√
1
2 +k
2⋅√
4+ 1
k
2
=
2
√
3+ 4 k
2+ 1
2k
2
≤
2
√3+2√2
=2(√2−1)
，
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仅当k =
4√2
2 时等号成立，故直线PA与平面PCD所成角的正弦的最大值为2(√2−1).
1．（2022·全国·统考高考真题）若x，y 满足x
2+ y
2−xy =1，则（ ）
A．x + y ≤1
B．x + y ≥−2
C．x
2+ y
2≤2
D．x
2+ y
2≥1
【解题思路】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．
【解答过程】因为ab≤(
a+b
2 )
2
≤a
2+b
2
2
（a,b∈R），由x
2+ y
2−xy =1可变形为，
(x + y)
2−1=3 xy ≤3(
x + y
2 )
2
，解得−2≤x + y ≤2，当且仅当x = y =−1时，x + y =−2，当且仅当
x = y =1时，x + y =2，所以A 错误，B 正确；
由x
2+ y
2−xy =1可变形为(x
2+ y
2)−1= xy ≤x
2+ y
2
2
，解得x
2+ y
2≤2，当且仅当x = y =±1时取等号，所
以C 正确；
因为x
2+ y
2−xy =1变形可得(x−y
2)
2
+ 3
4 y
2=1，设x−y
2 =cosθ , √3
2 y =sinθ，所以
x =cosθ+ 1
√3 sinθ , y = 2
√3 sinθ，因此
x
2+ y
2=cos
2θ+ 5
3 sin
2θ+ 2
√3 sinθcosθ =1+ 1
√3 sin 2θ−1
3 cos2θ+ 1
3
= 4
3 + 2
3 sin(2θ−π
6 )∈[
2
3 ,2]，所以当x = √3
3 , y =−√3
3 时满足等式，但是x
2+ y
2≥1不成立，所以D 错
误．
故选：BC．
2．（2020·山东·统考高考真题）已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ）
A．a
2+b
2≥1
2
B．2
a−b> 1
2
C．log2a+ log2b≥−2
D．√a+√b≤√2
【解题思路】根据a+b=1，结合基本不等式及二次函数知识进行求解.
【解答过程】对于A，a
2+b
2=a
2+(1−a)
2=2a
2−2a+1 =2(a−1
2)
2
+ 1
2 ≥1
2，
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当且仅当a=b= 1
2时，等号成立，故A 正确；
对于B，a−b=2a−1>−1，所以2
a−b>2
−1= 1
2，故B 正确；
对于C，log2a+ log2b= log2ab≤log2(
a+b
2 )
2
= log2
1
4 =−2，
当且仅当a=b= 1
2时，等号成立，故C 不正确；
对于D，因为(√a+√b)
2=1+2√ab≤1+a+b=2，
所以√a+√b≤√2，当且仅当a=b= 1
2时，等号成立，故D 正确；
故选：ABD.
3．（2020·全国·统考高考真题）设O为坐标原点，直线x =a与双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的两条渐
近线分别交于D , E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（ ）
A．4
B．8
C．16
D．32
【解题思路】因为C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)，可得双曲线的渐近线方程是y =± b
a x，与直线x =a联立方
程求得D，E两点坐标，即可求得| ED|，根据△ODE的面积为8，可得ab值，根据2c =2√a
2+b
2，结合
均值不等式，即可求得答案.
【解答过程】∵ C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)
∴双曲线的渐近线方程是y =± b
a x
∵直线x =a与双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点
不妨设D为在第一象限，E在第四象限
联立{
x =a
y = b
a x，解得{x =a
y =b
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故D(a,b)
联立{
x =a
y =−b
a x，解得{ x =a
y =−b
故E(a,−b)
∴ | ED|=2b
∴ △ODE面积为：S△ODE= 1
2 a×2b=ab=8
∵双曲线C : x
2
a
2 −y
2
b
2 =1(a>0,b>0)
∴其焦距为2c =2√a
2+b
2≥2√2ab=2√16=8
当且仅当a=b=2√2取等号
∴ C的焦距的最小值：8
故选：B.
4．（2021·天津·统考高考真题）若a>0,b>0，则1
a + a
b
2 +b的最小值为 2√2 ．
【解题思路】两次利用基本不等式即可求出.
【解答过程】∵ a>0,b>0，
∴1
a + a
b
2 +b≥2√
1
a ⋅a
b
2 +b= 2
b +b≥2√
2
b ⋅b=2√2，
当且仅当1
a = a
b
2且2
b =b，即a=b=√2时等号成立，
所以1
a + a
b
2 +b的最小值为2√2.
故答案为：2√2.
5．（2020·天津·统考高考真题）已知a>0, b>0，且ab=1，则1
2a + 1
2b +
8
a+b的最小值为
4
．
【解题思路】根据已知条件，将所求的式子化为a+b
2
+
8
a+b，利用基本不等式即可求解.
【解答过程】∵a>0,b>0,∴a+b>0，ab=1,∴1
2a + 1
2b +
8
a+b = ab
2a + ab
2b +
8
a+b
= a+b
2
+
8
a+b ≥2√
a+b
2
×
8
a+b = 4，当且仅当a+b=4 时取等号，
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结合ab=1,解得a=2−√3,b=2+√3，或a=2+√3,b=2−√3时，等号成立.
故答案为：4.
6．（2020·江苏·统考高考真题）已知5 x
2 y
2+ y
4=1( x , y ∈R)，则x
2+ y
2的最小值是 4
5 ．
【解题思路】根据题设条件可得x
2= 1−y
4
5 y
2 ，可得x
2+ y
2= 1−y
4
5 y
2 + y
2= 1
5 y
2 + 4 y
2
5 ，利用基本不等式即可
求解.
【解答过程】∵5 x
2 y
2+ y
4=1
∴y ≠0且x
2= 1−y
4
5 y
2
∴x
2+ y
2= 1−y
4
5 y
2 + y
2= 1
5 y
2 + 4 y
2
5 ≥2√
1
5 y
2 ⋅4 y
2
5 = 4
5
，当且仅当1
5 y
2 = 4 y
2
5 ，即x
2= 3
10 , y
2= 1
2时取等
号.
∴x
2+ y
2的最小值为4
5 .
故答案为：4
5 .
7．（2019·天津·高考真题）设x>0, y >0, x +2 y =5，则( x +1)(2 y +1)
√xy
的最小值为 4√3 .
【解题思路】把分子展开化为2 xy +6，再利用基本不等式求最值．
【解答过程】∵( x +1)(2 y +1)
√xy
= 2 xy + x +2 y +1
√xy
,
∵x>0, y >0, x +2 y =5, xy >0,∴
2 xy +6
√xy
≥2⋅2√3√xy
√xy
= 4√3，
当且仅当xy =3，即x =3, y =1时成立，
故所求的最小值为4√3．
8．（2017·江苏·高考真题）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存
储费用为4 x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是 30 ．
【解题思路】得到总费用为4 x + 600
x ×6= 4( x + 900
x )，再利用基本不等式求最值．
资料来源：微信公众号 智慧学库
【解答过程】总费用为4 x + 600
x ×6= 4( x + 900
x )≥4×2√900=240，
当且仅当x = 900
x ，即x =30时等号成立．
故答案为30.
