第05 讲 导数与函数的单调性
目 录
思维导图......................................................................................................................................................2
高考分析......................................................................................................................................................2
学习目标......................................................................................................................................................3
知识要点......................................................................................................................................................3
解题策略......................................................................................................................................................5
题型归纳......................................................................................................................................................6
题型01：导函数与原函数函数图象.......................................................................................................6
题型02： 不含参数的函数的单调性...................................................................................................11
题型03： 含参数的函数的单调性......................................................................................................12
（一）导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）...................................................................12
（二）导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型-二次项系数不含参.............13
（三）导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型-二次项系数含参................16
（四）导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型.......................................18
题型04： 已知单调性求参数值..........................................................................................................19
（一）已知函数y = f ( x)在区间D上单调.....................................................................................19
（二）已知函数f (x)在区间D上存在单调区间.............................................................................23
（三）已知函数f (x)在区间D上不单调........................................................................................24
（四）已知函数y = f ( x)有三个单调区间....................................................................................26
题型05：单调性的应用——构造函数比较大小...................................................................................27
题型05:单调性的应用——构造函数解不等式.....................................................................................29
题型07：利用导数的运算法则构造函数..............................................................................................32
题型08：通过变量构造具体函数........................................................................................................35
题型09：通过数值构造具体函数........................................................................................................37
题型10：切线放缩与泰勒展开式........................................................................................................39
巩固提升....................................................................................................................................................43
1. 考纲定位
数与函数的
性是高考数学核心考点，属于
数
用的基
模
，
接
数的几何意
与函数极
导
单调
导
应
础
块衔
导
义
、最
，在
、填空、解答
中均有分布，解答
常作
数
合
的第一
，分
占比
值
值问题
选择
题
题
为导
综
题
问
值
约5-12 分。
2. 命题趋势
①基
型：直接考
利用
数求解不含参函数的
区
，或已知
区
求参数的取
范
，
重
础题
查
导
单调
间
单调
间
值
围侧
对
数运算、不等式求解的基本能力考
。
导
查
②
合
型：与含参函数的分
合，需根据参数范
分析
数符号的
化；或与函数的奇偶性、周期
综
题
类讨论结
围
导
变
性、不等式
明、零点
，考
推理与
合
用能力。
证
问题联动
查逻辑
综
应
③
新方向：
合
用
（如
化
），通
分析函数
性确定最
；或引入分段函数、抽象函数
创
结
实际应
问题
优
问题
过
单调
值
，
增加思
度。
维难
3. 高频考点分布
①选择/填空
：求函数
区
、判断
性与参数的关系、比
函数
大小（利用
性）。
题
单调
间
单调
较
值
单调
②解答
：含参函数
性的分
、已知
性求参数范
、
性在极
题
单调
类讨论
单调
围单调
值/零点
中的
用。
问题
铺垫应
4. 易错点警示
①忽略函数定
域
区
的限制，直接求解
数大于零（或小于零）的不等式。
义
对单调
间
导
②含参
，
漏参数的
界
（如
数
零的点是否在定
域内）。
讨论时遗
临
值
导
为
义
③混淆“函数在区
上
”与“函数的
区
包含
区
”的区
。
间
单调
单调
间
该
间
别
1. 知识目标
①理解
数与函数
性的核心关系：函数在区
内可
，
导
单调
间
导时f'(x)>0
函数
增，
则
单调递
f'(x)<0
函数
减
则
单调递
；
明确 f'(x)≥0（或 ≤0）且等号
在有限个点成立
，函数仍
。
仅
时
单调
②掌握不含参函数
区
的求解步
，能准确
理定
域
区
的限制。
单调
间
骤
处
义
对单调
间
③学会含参函数
性的分
方法，能根据参数范
分析
数零点的存在性、零点的大小关系及零点是否
单调
类讨论
围
导
在定
域内。
义
2. 能力目标
①提升
数运算能力，熟
多
式函数、分式函数、指数
数函数、三角函数等常
函数求
。
导
练对
项
对
见
导
②培养
推理能力，能利用函数
性解决比
函数
大小、
明不等式、分析函数零点个数等衍生
。
逻辑
单调
较
值
证
问题
③
化分
与数形
合思想的
用，能借助
数
像分析函数
性的
化
律。
强
类讨论
结
应
导
图
单调
变
规
3. 素养目标
①渗透数学抽象素养，理解
数符号与函数增减性之
的本
系。
导
间
质联
②提升数学运算与
推理素养，在含参
中做到条理清晰、不重不漏。
逻辑
讨论
知识点一：函数的单调性的概念
在某个区间(a,b)内，如果f
' (x)≥0，那么函数y = f (x)在
个区
内
增；
这
间
单调递
如果f
' (x)≤0，那么函数y = f (x)在
个区
内
减．
这
间
单调递
【注意】
（1）在某区
内
间
f
' (x)>0（f
' (x)<0）是函数f (x)在此区
上
增（减）函数的充分不必要条件；
间
为
（2）可
函数
导
f (x)在(a,b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f
' (x)≥0（f
' (x)≤0）且f
' (x)在
(a,b)上的任何子区
内都不恒
零．
间
为
知识点二：函数的单调性与导数的关系
条件
恒有
结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导
f
'( x)>0
f(x)在(a，b)上
增
单调递
f
'( x)<0
f(x)在(a，b)上
减
单调递
f
'( x)=0
f(x)在(a，b)上是常数函数
1.在某区
内
间
f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区
上
增
间
为
(减)函数的充分不必要条件．
2. (1)在函数定
域内
数的符号．
义
讨论导
(2)两个或多个增(减)区
之
的
接符号，不用“∪”，可用“，”或用“和”．
间
间
连
知识点三：由函数的单调性求参数的取值范围：
条件
结论
可
函数
导
f(x)在(a，b)上
增
单调递
f
'( x)>0在(a，b)上恒成立
减
单调递
f
'( x)<0在(a，b)上恒成立
常数函数
f
'( x)=0在(a，b)上恒成立
存在
增区
单调递
间
f
'( x)>0在(a，b)上有解
存在
减区
单调递
间
f
'( x)<0在(a，b)上有解
（1）函数
f x 在区间D 上
增（
减）
单调
单
）
（
0
0
)
(
x
f
在区间D 上恒成立；
（2）函数
f x 在区间D 上存在
增（
减）区
单调
单
间
）
（
0
0
)
(
x
f
在区间D 上能成立；
（3）已知函数
f x 在区间D 内单调
)
(x
f
不存在
号零点
变
（4）已知函数
f x 在区间D 内不单调
)
(x
f
存在
号零点
变
含参函数单调性讨论依据：
（1）
函数有无零点
（或零点有无意
）；
导
讨论
义
（2）
函数的零点在不在定
域或区
内；
导
义
间
（3）
函数多个零点
大小的
。
导
时
讨论
知识点四：利用导数判断函数单调性的步骤：
方法一：第1 步，确定函数的定
域，求出
函数
义
导
f′(x)；
第2 步，求出
函数
导
f′(x)的零点；
第3 步，用f′(x)的零点将f(x)的定
域划分
若干个区
，列表
出
义
为
间
给
f′(x)在各区
上的正
，由
间
负
此得出函数y＝f(x)在定
域内的
性
义
单调
.
方法二：第1 步，确定函数的定
域，求出
函数
义
导
f′(x)；
第2 步，解不等式f
'( x)>0，
合定
域得到
增区
；
结
义
递
间
或解不等式f
'( x)<0得到
减区
；
递
间
知识点五：单调性的应用
1.比
大小：若自
量不在同一
区
内，
要
化到同一个
区
上，再
行比
．
较
变
单调
间
则
转
单调
间
进
较
2.利用
性比
大小或解不等式，关
是构造
助函数，利用构造的函数的
性
行比
．
单调
较
键
辅
单调
进
较
3.恒成立
的
理思路
问题
处
(1)f (x)>0恒成立⇔f (x)min>0；f (x)<0恒成立⇔f (x)max<0．
(2)f (x)>a恒成立⇔f (x)min>a；f (x)<a恒成立⇔f (x)max<a．
(3)f (x)> g(x)恒成立
[f (x)−g(x)]min>0；f (x)<g(x)恒成立
[f (x)−g(x)]max<0．
(5)∀x1∈M ,∀x2∈N ,f (x1)>g(x2)⇔f (x1)min>g(x2)max．
4.“有解”
的
理思路
问题
处
(1)f (x)>0有解⇔f (x)max>0；f (x)<0有解⇔f (x)min<0．
(2)f (x)>a有解⇔f (x)max>a；f (x)<a有解⇔f (x)min<a．
(3)f (x)> g(x)有解⇔[f (x)−g(x)]max>0；f (x)<g(x)有解⇔[f (x)−g(x)]min<0．
(4)
，使得f (x1)> g(x2)⇔f (x1)max>g(x2)min
1. 基
型：不含参函数
区
的求解
础题
单调
间
步骤1：确定函数 f(x) 的定
域（关
前提，避免因忽略定
域
致区
）。
义
键
义
导
间错误
步骤2：求
函数
导
f'(x)，并将其化
便于判断符号的形式（如因式分解）。
简为
步骤3：解不等式 f'(x)>0 和 f'(x)<0，
合定
域确定函数的
增、
减区
。
结
义
单调递
递
间
2. 核心
型：含参函数的
性
题
单调
讨论
①策略1：
数
一次函数型
导
为
若 f'(x)=kx+b（k 含参），先
讨论k=0
时f'(x) 的符号；再
讨论k\neq0
，
数零点
时导
x=-\frac{b}{k}
是否在定
域内，
合定
域分区
判断符号。
义
结
义
间
②策略2：
数
二次函数型
导
为
若 f'(x)=ax^2+bx+c（a 含参），先
讨论a=0
化
一次函数；再
转
为
讨论a\neq0
，
算判
式
时计
别
\Delta，根据 \Delta\le0（
数符号不
）和
导
变
\Delta>0（求零点，比
零点与定
域的位置关系）分
，逐区
较
义
类
判断
数符号。
间
导
③关
原
：先定零点，再看区
，分
不重不漏。
键
则
间
类
3. 拓展
型：已知
性求参数范
题
单调
围
①等价
化：函数
转
f(x) 在区
间D 上
增
单调递
f'(x)≥0 在 D 上恒成立；
减
单调递
f'(x)≤e0 在 D 上恒成
立（等号
在有限个点成立）。
仅
②求解方法：分离参数法（
先）或分
法，将恒成立
化
求函数最
。
优
类讨论
问题转
为
值问题
题型01：导函数与原函数函数图象
【典型例题1】设f
' (x)是函数f (x)的
函数，
导
y = f
' (x)的
象如
所示，
图
图
则f (x)的
象可能是（ ）
图
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】解法一：因
在
为
(−3,−1)和
上f
' (x)>0，在(−1,0)和(1,3)上f
' (x)<0，
所以函数f (x)在(−3,−1)，
上
增，在
单调递
(−1,0)，(1,3)上
减，
单调递
察各
知，只有
观
选项
D 符合
意
题
.
解法二：由
知，
题图
y = f
' (x)在x =−1的左
大于
侧
0、右
小于
侧
0，
所以函数f (x)在x =−1
取得极大
，
察各
知，只有
处
值观
选项
D 符合
意
题
.故
：
选D.
【典型例题2】已知函数
的
象是下列四个
象之一，且其
函数
图
图
导
y = f
' (x)的
象如下
所示，
图
图
则该
函数的大致
象是（
图
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由
函数
象知，
导
图
x∈(−1,1)，f
'( x)>0恒成立，即函数y = f ( x)在[−1,1]上
增，
单调递
而函数
在
上
增，在
单调递
[0,1]上
减，
单调递
因此在
上，函数y = f ( x)的
化率逐
增大，
变
渐
即函数
象逐
由
陡，
图
渐
缓变
选项AD 不
足，
满
在[0,1]上，函数y = f ( x)的
化率逐
减小，即函数
象逐
由陡
，
变
渐
图
渐
变缓
选项C 不
足，
满
选项B 符合
意
题
.故
：
选B.
【典型例题3】如
是函数
图
的
函数
导
y = f
' (x)的
象，若
图
f (2)=0，则
的
象大致
（
图
为 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由y = f
'( x)的
象可知，当
图
0< x<1
，
时( A ,C2)，
在区
则
间(0,1)上，
函数y = f ( x)上各点
切
的斜率在区
处
线
间(0,1)内，
于
对
A，在区间(0,1)上，函数y = f ( x)上各点
切
的斜率均小于
处
线
0，故A 不正确；
于
对
B，在区间(0,1)上，函数y = f ( x)上存在点，在
点
切
的斜率大于
该
处
线
1，故B 不正确；
于
对
C，在区间(0,1)上，函数y = f ( x)上存在点，在
点
切
的斜率大于
该
处
线
1，故C 不正确；
于
对
D，由y = f
'( x)的
象可知，当
图
0< x<1
，
时( A ,C2)，
当1< x<3
，
时f
'( x)<0，当x>3
，
时f
'( x)>0，
所以函数y = f ( x)上各点
切
的斜率在区
处
线
间(0,1)内，在(0,1)上
增，
单调递
在(1,3)上
减，在
单调递
(3,+∞)上
增，
单调递
而函数y = f ( x)的
象均符合
些性
，故
图
这
质
D 正确.故
：
选D
【典型例题4】已知函数f ( x)的
函数
导
像如
所示，
图
图
则f ( x)的
像是
四个
像中的（
图
图
图
）．
A．
．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
意可知，当
题
−2< x<0
，
时f
' (x)>0，则f (x)在(−2,0)上
增，
单调递
当0< x<2
，
时f
' (x)<0，则f (x)在(0,2)上
减，
单调递
当−2< x<−1
，
时f
' (x)
增，
单调递
则f (x)在(−2,−1)上增的越来越快，
当−1< x<0
，
时f
' (x)
减，
单调递
则f (x)在(−1,0)上增的越来越慢，
当0< x<1
，
时f
' (x)
减，
单调递
则f (x)在
上减的越来越快，
当1< x<0
，
时f
' (x)
增，
单调递
则f (x)在(1,2)上减的越来越慢，
只有A
符合
选项
.故
：
选A.
【典型例题5】已知函数f(x)＝x2＋2cosx，若f′(x)是f(x)的
函数，
函数
导
则
f′(x)的
象大致是
图
( )
A B C D
【答案】A
【解析】设g(x)＝f′(x)＝2x－2sin x，则g′(x)＝2－2cos x≥0．所以f′(x)在R 上
增，故
单调递
选A．
【变式训练1-1】已知函数y = f ( x)的
像如
所示，
其
函数
图
图
则
导
y = f
' (x)的
像可能是
图
( )
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-2】已知函数y = x f
' (x)的
象如
所示（其中
图
图
f
' (x)是函数f (x)的
函数），下面四个
象中可
导
图
能是
象的是（
图
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-3】
函数
设
f (x)的
函数
导
为f
' (x)，y = f
' (x)的部分
象如
所示，
（
图
图
则 ）
A．函数f (x)在
上
增
单调递
B．函数f (x)在(0,4)上
增
单调递
C．函数f (x)在x =3
取得极小
处
值
D．函数f (x)在x =0
取得极大
处
值
【变式训练1-4】如
是函数
图
的
函数
导
y = f
' (x)的
象，
下列判断正确的是（
图
则
）
A．在区
（－
间
2，1）上，f (x)是增函数
B．当
，
时f (x)取到极小值
C．在区
（
间1，3）上，f (x)是减函数
D．在区
（
间4，5）上，f (x)是增函数
【变式训练1-5】已知函数
的
象是下列四个
象之一，函数
图
图
y = f ' (x)的
象如
所示，
函数
图
图
则
象是（
图
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-6】函数f (x)的
函数
导
f
' (x)的
象如
所示，
函数
图
图
则
f (x)的
象（
图
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-7】 设
是f ( x)的
函数，将
导
y = f ( x)和y = f
'( x)的
象画在同一个直角坐
系中，不可
图
标
能的是( )
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-8】已知函数f ( x)= x
α( x>0)，α
数，
为实
f ( x)的
函数
导
为
，在同一直角坐
系中，
标
f ( x)
与
的大致
象不可能是
图
( )
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-9】已知函数y＝f(x)的
函数
导
y＝f′(x)的
象如
所示，
函数
图
图
则
y＝f(x)的
象可以是
图
( )
【变式训练1-10】已知函数的
函数的
象如
所示，
函数的
增区
是 ．
导
图
图
则
单调
间
【变式训练1-11】函数y＝f(x)的
象如
所示，
图
图
则y＝f′(x)的
象可能是
图
( )
【变式训练1-12】已知函数y = x f
'( x)的
象如
所示
图
图
(其中
是函数f ( x)的
函数
导
)，
下面四个
象
则
图
中，
的
象大致是
图
( )
A．
B．
C．
D．
题型02： 不含参数的函数的单调性
【典型例题1】函数f (x)= x e
x的
增区
是（
单调递
间
）
A．
B．(−∞,0)
C．(0,+ ∞)
D．
【答案】D
【解析】f
' (x)=e
x+ x e
x =e
x(x +1)，由f
' (x)>0，得x>−1，
所以函数f (x)的
增区
是
单调递
间
．
故
：
选D.
【典型例题2】函数f (x)= x
2ln x的
增区
（
单调递
间为 ）
A．(0,❑√e)
B．(
❑√e
e ,+ ∞)
C．(❑√e ,+∞)
D．(0,
❑√e
e )
【答案】B
【解析】函数f (x)的定
域
义
为(0,+ ∞)，
f
' (x)=2 x ln x + x
2⋅1
x =2 x ln x + x = x (2ln x +1)，
令f
' (x)>0，得2ln x +1>0，解得x>
❑√e
e
，
故函数f (x)= x
2ln x的
增区
单调递
间为(
❑√e
e ,+∞)．
故
：
选B．
【典型例题3】若函数f ( x)= ln x +1
e
x
，
函数
则
f ( x)的
减区
单调递
间为 .
【答案】(1,+ ∞)
【解析】因为f ( x)的定
域
义
为(0,+∞)，则f
'( x)=
1
x −ln x−1
e
x
，
令φ(x)= 1
x −ln x−1，x∈(0,+∞)，则φ
' (x)=−1
x
2 −1
x <0，
φ(x)在(0,+ ∞)上
减，且
单调递
φ(1)=0，
∴当x∈(0,1)
，
时φ(x)>0，即f
'( x)>0，
当x∈(1,+∞)
，
时φ(x)<0，即f
'( x)<0，
∴f (x)在
上
增，在
单调递
(1,+∞)上
减，
单调递
即函数f ( x)的
减区
单调递
间为(1,+∞).
【典型例题4】函数y = x
2+2
x
+ ln x的
增区
（
单调递
间为 ）
A．
B．(0,1) C．(2,+∞) D．
【答案】D
【解析】函数的定
域
义
为(0,+ ∞).
y = x
2+2
x
+ ln x = x + 2
x + ln x，则y
' =1−2
x
2 + 1
x = x
2+ x−2
x
2
= ( x +2)( x−1)
x
2
.
令{
y
'>0
x>0
，解得x∈(1,+∞).故
：
选D
【变式训练2-1】函数
的
增区
是
单调递
间
( )
A．(−∞,−1),(0,+∞) B．(−∞,−1)∪(0,+∞) C．(−1,0) D．(−∞,0),(1,+∞)
【变式训练2-2】函数f (x)= x
2+ln x−3 x的
减区
是
单调递
间
( )
A．
B．(
1
2 ,1)
C．(1,+∞)
D．(−∞, 1
2)
【变式训练2-3】函数f (x)= x−1
e
x
的
增区
是
单调
间
( )
A．(0,2)
B．(−∞,2)
C．(1,+∞)
D．(2,+∞)
【变式训练2-4】已知x∈(0,π )，函数f (x)=e
xcos x的
增区
（
单调递
间为 ）
A．(0, π
2)
B．(0, 3 π
4 )
C．
D．(
3 π
4 ,π)
【变式训练2-5】已知函数f (x)=2sin x−ax ,a∈R，若曲线
在点( π
2 ,f ( π
2 ))
的切
方程
处
线
为
x + y + k =0，
函数
则
在(0,2π )内的
减区
是（
单调递
间
）
A．[ π
3 , 5 π
3 ]
B．(0,π ]
C．[ π ,2π )
D．(0, π
3 ],[ 5
3 π ,2π )
【变式训练2-6】函数
的
增区
（
单调
间为 ）
A．(−∞,1)
B．(0,1)
C．(1,e)
D．(1,+∞)
【变式训练2-7】函数f ( x)= ln x + e
x+1
x
的
增区
（
单调
间为 ）
A．(0,1)
B．(0,e)
C．(1,+∞)
D．(e ,+∞)
【变式训练2-8】函数f (x)=e
−xcos x , x∈(0,π )的
增区
单调递
间为 .
【变式训练2-9】函数y =−1
x +3 ln x的
增区
单调递
间为________．
【变式训练2-10】已知函数f (x)=
sin x
2+cos x , x∈(0,2π )，写出函数f (x)的
减区
单调递
间 ．
【变式训练2-11】已知函数f (x)= ln x−2 x.
(1)求f (x)的
区
；
单调
间
【变式训练2-12】已知函数f ( x)= ln x−ax +a(a>0).
(1)当a=2
，求
时
f ( x)的
区
；
单调
间
题型03： 含参数的函数的单调性
（一）导函数有效部分是一次型（或可化为一次型）
【典型例题1】若g( x)= 1
x −f ( x)，讨论g(x)的
性．
单调
【答案】答案
解析
见
【解析】由
知
题
g(x)= x−a ln x的定
域
义
为(0,+∞)，g
'( x)=1−a
x = x−a
x
．
（i）若a＜0，则g
' (x)>0，所以g(x)在(0,+ ∞)上
增．
单调递
（ii）若a＞0，
当
则
x∈(0,a)
，
时g
' (x)<0；当x∈(a,+ ∞)
，
时g
' (x)>0．
所以g(x)在
上
减，在
单调递
(a,+ ∞)上
增．
单调递
【典型例题2】已知函数f ( x)=ae
x−4 x，a∈R求函数f (x)的
区
单调
间.
【答案】当a≤0
，
时f ( x)的增区间为(−∞,+ ∞)；
当a>0
，
时f ( x)的增区间为(ln 4
a ,+ ∞)，减区间为(−∞,ln 4
a).
【解析】因为f
'( x)=ae
x−4
当a≤0
，
时f
' (x)<0,f (x)在R上
减；
单调递
当a>0
，令
时
f
' (x)<0，可得x<ln 4
a
，令f
' (x)>0，可得x>ln 4
a
，
所以f (x)在(−∞,ln 4
a)上
减，在
单调递
(ln 4
a ,+ ∞)上
增．
单调递
上所述：
综
当a≤0
，
时f ( x)的增区间为(−∞,+ ∞)；
当a>0
，
时f ( x)的增区间为(ln 4
a ,+ ∞)，减区间为(−∞,ln 4
a).
【变式训练3-1-1】已知函数f (x)= x−mln x−m，
函数
讨论
f (x)的
性
单调
.
【变式训练3-1-2】已知函数f (x)=ax−a
2 ln x−3，其中a≠0，求函数f (x)的
区
单调
间.
【变式训练3-1-3】已知函数f (x)=a x
4+7 x
3.
(1)讨论f (x)的
性
单调
.
【变式训练3-1-4】已知函数
．
(2)讨论
的
性．
单调
（二）导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型-二次项系数不含参
【典型例题1】已知函数f (x)= 1
3 x
3−a+ 4
2
x
2+ 4 ax．
(1)若a=2，求曲线
在点(1,f (1))
的切
方程．
处
线
(2)讨论f (x)的
性．
单调
【答案】(1)9 x−3 y +7 =0 (2)
解析
见
【解析】（1）当a=2
，
时f (x)= 1
3 x
3−3 x
2+8 x，则f (1)= 1
3 −3+8= 16
3
，
∴
，
∴f
' (1)=1−6+8=3，
所以曲线
在点(1,f (1))
的切
方程
处
线
为y −16
3 =3(x−1)，
即9 x−3 y +7 =0.
（2）函数f (x)的定
域
义
为
，
f
' (x)= x
2−(a+ 4) x + 4 a=(x−4)(x−a),
当
，由
时
f
' (x)>0得x<a或x>4，由f
' (x)<0得a< x<4，
所以f (x)在(−∞,a)上
增，在
单调递
(a,4)上
减，在
单调递
(4 ,+∞)上
增；
单调递
当a= 4
，由
时
f
' (x)≥0恒成立，
所以f (x)在
上
增；
单调递
当
，由
时
f
' (x)>0得x<4或x>a，由f
' (x)<0得4< x<a，
所以f (x)在(−∞,4)上
增，在
单调递
(4 ,a)上
减，在
单调递
(a,+ ∞)上
增；
单调递
上可知：当
综
，
时f (x)在(−∞,a)上
增，在
单调递
(a,4)上
减，在
单调递
(4 ,+ ∞)上
增；
单调递
当a= 4
，
时f (x)在
上
增；
单调递
当
，
时f (x)在(−∞,4)上
增，在
单调递
(4 ,a)上
减，在
单调递
(a,+ ∞)上
增；
单调递
【典型例题2】已知函数f (x)= 1
3 x
3+a x
2−3a
2 x +1(a∈R)．
(1)当a=1
，求函数
时
f (x)在[−4,4]上的最大
和最小
；
值
值
(2)
函数
试讨论
f (x)的
性．
单调
【答案】(1)最大值为79
3
，最小值为−2
3
(2)答案
解析
见
【解析】（1）由
意
题
a=1
，函数
时
f (x)= 1
3 x
3+ x
2−3 x +1，
所以f
' (x)= x
2+2 x−3=(x +3)(x−1)，
令f
' (x)=0得x =−3或x =1，x∈[−4,4]，
当−4< x<−3或1< x<4
，
时f
' (x)>0；
当−3< x<1
，
时f
' (x)<0；
所以f (x)在(−4 ,−3)和(1,4)上
增，在
单调递
(−3,1)上
减
单调递
.
所以函数f (x)在x =−3
取得极大
，且
时
值
f (−3)=10；
f (x)在x =1
取得极小
．且
时
值
f (1)=−2
3
，
又f (−4)= 23
3
，f (4)= 79
3
，
所以函数f (x)在区间[−4,4]上取得最大值为79
3 ，最小值为−2
3；
（2）f
' (x)= x
2+2ax−3a
2=(x +3a)(x−a)，且
，
当a=0
，
时f
' (x)= x
2≥0，此时f (x)在
增；
单调递
当a<0
，
时
，
时f
' (x)>0，此时f (x)
增；
单调递
，
时f
' (x)<0，此时f (x)
减；
单调递
当a>0
，
时x∈(−∞,−3a)∪(a,+ ∞)
，
时f
' (x)>0，此时f (x)
增；
单调递
，
时f
' (x)<0，此时f (x)
减；
单调递
上所述：当
综
a=0
，函数
时
f (x)
增区
单调递
间为
，
当a<0
，函数
时
f (x)的
增区
单调递
间为(−∞,a)，
；函数f (x)的
减区
单调递
间为(a,−3a)．
当a>0
，函数
时
f (x)的
增区
单调递
间为
，(a,+ ∞)；函数的f (x)
减区
单调递
间为
．
【典型例题3】已知函数f ( x)=(x
2−ax)ln x−3
2 x
2+2ax．
(1)记f
'( x)= g( x)，若
定
域内任意的
对
义
x，g( x)≥0恒成立，求
数
实
a的范
；
围
(2)
函数
试讨论
f ( x)的
性．
单调
【答案】(1)a=2e
(2)
解析
见
【解析】（1）
然
显
x>0，f
'( x)=(2 x−a)ln x +(x
2−ax) 1
x −3 x +2a=(2 x−a)(ln x−1)
即g( x)=(2 x−a)(ln x−1)≥0，对x>0恒成立，
当0< x ≤e
，
时ln x−1≤0,∴2 x−a≤0,∴a≥(2 x)max =2e；
当x ≥e
，
时ln x−1≥0,∴2 x−a≥0,∴a≤(2 x)min =2e．
上，
综
a=2e．
（2）由（1）知g( x)=(2 x−a)(ln x−1)
①当a≤0
，
时2 x−a>0，
当x>e
，
时f
'( x)>0,f ( x)
增，
单调递
当0< x<e
，
时f
'( x)<0，f ( x)
减，
单调递
即当a≤0时f ( x)在(0,e)上
减，
递
(e ,+ ∞)上
增
递
②当a>0
，
时
当a=2e
，由（
时
1）知f
'( x)≥0,f ( x)在(0,+∞)
增
单调递
当a>2e
，当
时
，
时2 x−a>0,ln x>0，当0< x<e时2 x−a<0,ln x<0,故当0< x<e和
，
时
f
' (x)>0，当e< x< a
2
，
时f
' (x)<0,因此f ( x)在(e , a
2)上
减，在
单调递
(0,e),(
a
2 ,+ ∞)上
增
单调递
当0<a<2e
，当
时
x< a
2
，
时2 x−a<0,ln x<0，当x>e时2 x−a>0,ln x>0,故当x>e和x< a
2
，
时f
' (x)>0，
当a
2 < x<e
，
时f
' (x)<0,f ( x)在(
a
2 ,e)上
减，
递(0, a
2),(e ,+∞)上
增
递
【典型例题4】已知函数f ( x)= 1
2 x
2−2ax−3a
2ln x．
(1)
函数
讨论
f ( x)的
性；
单调
【答案】(1)答案
解析
见
【解析】（1）f (x)的定
域
义
为(0,+ ∞)，f
' (x)= x−2a−3a
2
x = ( x−3a)( x +a)
x
.
当a<0
，
时f (x)在区间(0,−a),f
' (x)<0,f (x)
减；在区
递
间(−a,+ ∞),f
' (x)>0,f (x)
增
递
.
当a=0
，
时f
' (x)= x>0,f (x)在(0,+ ∞)上
增
递
.
当a>0
，
时f (x)在区间(0,3a),f
' (x)<0,f (x)
减；在区
递
间(3a,+ ∞),f
' (x)>0,f (x)
增
递
.
【变式训练3-2-1】已知函数f (x)=e
2 x+(a+2)e
x+ax．
(1)讨论f ( x)的
性；
单调
【变式训练3-2-2】已知函数f (x)= 1
3 x
3−1
2 a x
2+2，a∈R.讨论f (x)的
性
单调
.
【变式训练3-2-3】已知函数f (x)= 1
2 x
2−(a+a
2) x−a+a
3ln x，若a
2−a≠0，讨论f (x)的
性
单调
.
【变式训练3-2-4】已知函数f (x)=aln x−(2a+1) x + x
2．
(2)若a>0，试讨论f (x)的
性．
单调
【变式训练3-2-5】已知函数f (x)=e
x(x
2+ax +1).
(2)当a≠0
，求函数
时
f (x)的
区
单调
间.
【变式训练3-2-6】已知函数
．
(2)讨论f (x)的
性．
单调
【变式训练3-2-7】已知函数f (x)=(x−1)e
x−a
2 x
2.
(2)讨论f (x)的
性
单调
.
【变式训练3-2-8】已知函数f (x)= 1
3 x
3+ a
2 x
2+(a−1) x +1
(1)
函数
讨论
f (x)的
性
单调
.
（三）导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且可因式分解型-二次项系数含参
【典型例题1】已知函数
(a∈R).
(1)若a=−1，
明：
证
f (x)≥1−x−3
x
；
(2)讨论f (x)的
性
单调
.
【答案】(1)
明
解析
证
见
(2)答案
解析
见
【解析】（1）当a=−1
，令
时
g(x)= f (x)−(1−x−3
x)= ln x−1+ 1
x ,(x>0)，
g
' (x)= 1
x −1
x
2 = x−1
x
2 ，
可得
，
时g
'( x)<0，此
函数
时
g( x)
减；
单调递
x∈(1,+∞)
，
时g
'( x)>0，此
函数
时
f ( x)
增，
单调递
∴x =1
，函数
时
g( x)取得极小
即最小
，
值
值g(1)=0．
∴g(x)≥0，即f (x)≥1−x−3
x
（2）函数的定
域
义
为(0,+∞)，
f
' (x)=a−2a+1
x
+ 2
x
2 = (ax−1)(x−2)
x
2
，
a≤0
，
时
，
时f
' (x)>0，此
函数
时
f ( x)
增，
单调递
，
时f
' (x)<0，此
函数
时
f ( x)
减；
单调递
a= 1
2
，
时f
' (x)= (x−2)
2
2 x
2
，f
' (x)≥0，此
函数
时
f ( x)在(0,+∞)
增；
单调递
a> 1
2
，
时x∈(0, 1
a )∪(2,+ ∞)
，
时f
' (x)>0，此
函数
时
f ( x)
增区
单调递
间为(0, 1
a ),(2,+∞)；x∈( 1
a ,2)
，
时f
' (x)<0，此
函数
时
f ( x)
减．
单调递
0<a< 1
2
，
时x∈(0,2)∪(
1
a ,+ ∞)
，
时f
' (x)>0，此
函数
时
f ( x)
增区
单调递
间为(0,2),(
1
a ,+∞)；
，
时f
' (x)<0，此
函数
时
f ( x)
减．
单调递
上，当
综
a≤0
，函数
时
f ( x)在
增，在
单调递
(2,+∞)
减；
单调递
当a= 1
2
，函数
时
f ( x)在(0,+∞)上
增；
单调递
当a> 1
2
，函数
时
f ( x)在(0, 1
a ),(2,+∞)上
增，函数
单调递
f ( x)在
上
减；
单调递
当0<a< 1
2
，函数
时
f ( x)在(0,2),(
1
a ,+∞)上
增，函数
单调递
f ( x)在(2, 1
a )上
减
单调递
.
【典型例题2】求函数f (x)= 1
x
2 +aln x (a∈R)的
减区
单调递
间.
【答案】答案
解析
见
【解析】求
后，分
判定
数
的情况即可
导
类讨论
导
值为负
.
函数f (x)的定
域是
义
(0,+ ∞)，f
' (x)=−2
x
3 + a
x = a x
2−2
x
3
.
①当a≤0
，
时f
' (x)<0在(0,+ ∞)上恒成立，故f (x)在(0,+∞)上
减
单调递
.
②当a>0
，若
时
0< x<❑√
2
a
，则f
' (x)<0；
若x>❑√
2
a
，则f
' (x)>0，
所以f (x)在(0,❑√
2
a)上
减，在
单调递
(
❑√
2
a ,+∞)上
增
单调递
.
上可知，当
综
a≤0
，
时f (x)的
减区
单调递
间为
，当a>0
，
时f (x)的
减区
单调递
间为(0,❑√
2
a).
【典型例题3】已知函数
，讨论
的
性
单调
.
【答案】答案
解析
见
【解析】求出函数的
数，
导
讨论a 的取
范
，
合二次函数的性
判断
数正
，即可求得答案
值
围结
质
导
负
.
函数
的定
域
义
为
.
.
当
，
时
，若
，则
；
若
，则
0，所以
在
上
增，在
单调递
上
减
单调递
.
当
，
时
，所以
在
上
增
单调递
.
当
，
时
，若
或
，则
，
若
，则
.
所以
在
上
增，在
单调递
上
减
单调递
.
当
，
时
，若
或
，则
；
若
，则
.
所以
在
上
增，在
单调递
上
减
单调递
.
上所述，
综
，
时
在
上
增，在
单调递
上
减；
单调递
，
时
在
上
增；
单调递
，
时
在
上
增，在
单调递
上
减；
单调递
，
时
在
，
上
增，在
单调递
上
减
单调递
.
【变式训练3-3-1】已知函数
，a≤R．
(1)若f (x)在x =1
取得极
，求
处
值
a的
；
值
(2)设g(x)= f (x)+(a−4) x，
函数
试讨论
g(x)的
性．
单调
【变式训练3-3-2】已知函数f ( x)=a x
2−(a+2)x + ln x（a>0）．
(1)若x =1是函数f ( x)的极
点，求
值
f ( x)在区间[
1
2 ,2]上的最
；
值
(2)求函数f ( x)的
增区
．
单调
间
【变式训练3-3-3】若函数f ( x)= k x
2+ x−1
e
x
，k >−1
2
，讨论f (x)的
性．
单调
【变式训练3-3-4】已知函数f ( x)=2ln x−(2−a)x−1
2 a x
2，讨论
的
性
单调
.
【变式训练3-3-5】已知函数f(x)＝ax2－(a＋1)x＋ln x，a>0，
函数
试讨论
y＝f(x)的
性．
单调
（四）导函数有效部分是二次型（或可化为二次型）且不可因式分解型
【典型例题1】已知函数f ( x)= ln x + 1
2 x
2−ax，
函数
讨论
f ( x)的
性．
单调
【答案】答案
解析
见
.
【解析】因为f ( x)= ln x + 1
2 x
2−ax，所以f
'( x)= 1
x + x−a( x>0)，
而x + 1
x ≥2 （当且
当
仅
x =1
取等号），
时
当a≤2
，
时f
'( x)= 1
x + x−a≥2−a≥0，此时f ( x)的增区间为(0,+∞)，
当a>2
，令
时
f
'( x)= 1
x + x−a= x
2−ax +1
x
=0，
则
，
令f
'( x)>0，则0< x< x1或x> x2，f
' (x)<0
，
时则x1< x< x2，
上：当
综
a≤2
，
时f ( x)的增区间为(0,+∞)；
当a>2
，
时f ( x)的增区间为(0, a−
❑√a
2−4
2
)和(
a+
❑√a
2−4
2
,+∞)，减区间为(
a−
❑√a
2−4
2
, a+
❑√a
2−4
2
).
【典型例题2】已知函数
(a>0)，讨论f (x)的
性．
单调
【答案】f (x)在(0, a+
❑√a
2+ 4 a
2
)上是
减，在
单调递
(
a+
❑√a
2+ 4 a
2
,+∞)上
增
单调递
.
【解析】f
' (x)= x−a
x −a= 1
x (x
2−ax−a)，令f
' (x)=0，得x
2−ax−a=0．
因为a>0，则Δ=a
2+ 4 a>0，即原方程有两不等根，设为x1, x2，
由x>0，所以x1= a−
❑√a
2+ 4 a
2
<0（舍去），x2= a+
❑√a
2+ 4 a
2
．
当
则
x∈(0, a+
❑√a
2+ 4 a
2
)
，
时f
' (x)<0，当x∈(
a+
❑√a
2+ 4 a
2
,+ ∞)
，
时f
' (x)>0，
∴f (x)在(0, a+
❑√a
2+ 4 a
2
)上是
减，在
单调递
(
a+
❑√a
2+ 4 a
2
,+∞)上
增
单调递
【变式训练3-4-1】已知函数f (x)=ln(x +1)+ 1
2 x
2+mx (m∈R),g(x)=ae
x−1
2 x
2
+lna−1(a∈R).
(1)求f (x)的
区
；
单调
间
【变式训练3-4-2】
函数
设
f (x)= 1
x −x +aln x
(1)求函数f ( x)的
区
；
单调
间
【变式训练3-4-3】已知函数f (x)= 1
2 x
2−2 x +aln x(a>0).
(1)讨论f (x)的
性；
单调
【变式训练3-4-4】已知函数f ( x)= ln( x +1)−a
x −1，其中x>0，a∈R．
(1)讨论f ( x)的
性；
单调
【变式训练3-4-5】
函数
讨论
f (x)= x
3−x
2+ax +1的
性
单调
.
【变式训练3-4-6】判断函数f (x)= (1−x
2)e
x−1
x
(x>0)的
性．
单调
题型04： 已知单调性求参数值
（一）已知函数y = f ( x)在区间D上单调
【典型例题1】已知函数
在区间
增，
单调递
则
的最大值为( )
A．1
B．
C．
D．
【答案】B【分析】
化
转
为
在
上恒成立，分离参数，即可得到答案.
【解析】因
函数
为
在区间
增，所以
单调递
在区间
上恒成立，
即
；令
，
，则
，所以
在
上
增，
单调递
则
，故
，即
的最大值为，故
：
选B
【典型例题2】若函数
在
上
增，
单调递
则
的取
范
是
值
围
( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D【分析】
元法
化
换
转
为
在
上恒成立；再构造函数
，即可解答.
【解析】
在
上
增，所以
单调递
在
上恒成立，
即
在
上恒成立；令
，则
，所以
在
上恒成立.
又因为
在
上
增，所以当
单调递
时
，故
；故
：
选D.
【典型例题3】若函数f (x)= loga(x
3−ax)（a>0且a≠1）在区间(−1
2 ,0)内
增，
单调递
则a的取
范
是
值
围
（ ）
A．1
4 ,1)
B．3
4 ,1)
C．
D．(1, 9
4)
【答案】B
【解析】函数f ( x)= loga( x
3−ax)(a>0,a≠1)在区
间(−1
2 ,0) 内有意
，
义
则(−1
2 )
3+ 1
2 a⩾0,∴a⩾1
4
，
设t = x
3−ax ,
则y = log❑at，t
' =3 x
2−a
( 1 ) 当 a > 1
，
时y = log❑at 是增函数，
要使函数f ( x)= loga( x
3−ax)(a>0,a≠1)在区间(−1
2 ,0)内
增，
单调递
需使 t = x
3−ax 在区间(−1
2 ,0)内内
增，
单调递
需使
则
t ' =3 x
2−a≥0，
任意
对
x∈(−1
2 0)恒成立 , 即a≤3 x
2
任意
对
x∈(−1
2 ,0)恒成立；
因为x∈(−1
2 ,0)
，
时0<3 x
2< 3
4
所以a<0与a> 1
4
矛盾，此
不成立
时
.
( 2 ) 当
，
时y =1o gat是减函数，
要使函数f ( x )=lo ga( x
3−ax )(a>0,a≠1)在区间(−1
2 ,0)内
增，
单调递
需使t = x
3−ax在区间(−1
2 ,0)内内
减，
单调递
需使
则
t ' =3 x
2−a≤0
任意
对
x∈(−1
2 ,0)恒成立，
即a≥3 x
2
任意
对
x∈(−1
2 ,0)恒成立，
因为x∈(−1
2 ,0) 时,0<3 x
2< 3
4
，
所以a⩾3
4
，
又a<1，所以3
4 ⩽a<1.
上，
综
a的取
范
是
值
围
3
4 ⩽a<1
故
：
选B
【典型例题4】已知函数
在区间
上
，且
单调
，
数
则实
的取
范
是
值
围
．
【答案】
【解析】由
可得
题
，令
，设
，
，可得
在
上
减
单调递
.最后讨论
，
两种情况可得答案.
令
，
,
，设
，
则
，
∵
，∴
，
，∴
在
上
减，
单调递
∴
．
当
即
，
时
，
此时
在
上
增，
单调递
则
，
又
，则
，即当
足
意；
时满
题
当
即
，
时
，当
，
时
，
∴
，使得
．即存在
使得
，
且
足
满
在
上
增，在
单调递
上
减，
单调递
不
足
意．
上所述
足
意的
数
满
题
综
满
题
实
的取
范
是
值
围
．
故答案
：
为
例题4．
函数
设
h(x)= x
2−3 x + ln x，若函数h(x)在区间[
1
2 ,m−1]上是
函数，求
数
单调
实
m的取
范
值
围.
【答案】3
2 ,2
【解析】h
' (x)= 1
x +2 x−3= (2 x−1)(x−1)
x
，(x>0)，
令h
' (x)>0，解得
或x>1，
令h
' (x)<0，解得1
2 < x<1.
故h(x)在
上
格增，在
严
(
1
2 ,1)上
格减，在
严
(1,+∞)上
格增
严
.
又h(x)在区间[
1
2 ,m−1]上是
函数，
单调
只需
则
1
2 <m−1≤1，解得m∈3
2 ,2.
故
数
实
m 的取
范
值
围为3
2 ,2.
【典型例题5】已知函数f (x)=(−x
2+ax)e
x（x∈R ,e
自然数
数的底数）
为
对
.
（1）当a=2
，求函数
时
f (x)的
区
；
单调
间
（2）若函数f (x)在(−1,1)上
增，求
单调递
a的取
范
值
围.
【答案】(1)
减区
是
递
间
(−∞,−❑√2)和(❑√2,+ ∞)，
增区
是
递
间
(−❑√2,❑√2)；(2)a≥3
2
.
【解析】(1)当a=2
，
时f (x)=(−x
2+2 x)e
x，求
得
导
f
' (x)=(−x
2+2)e
x =−( x + ❑√2)( x −❑√2)e
x，
解f
' (x)<0得x<−❑√2或
，解f
' (x)>0得−❑√2< x<❑√2，
所以函数f (x)的
减区
是
单调递
间
(−∞,−❑√2)和(❑√2,+∞)，
增区
是
单调递
间
(−❑√2,❑√2)；
(2)依
意，
题
f
' (x)=(−2 x +a)e
x+(−x
2+ax)e
x =[−x
2+(a−2)x +a]e
x，
因函数f (x)在(−1,1)上
增，
单调递
则∀x∈(−1,1),f
'( x)≥0⇔−x
2+(a−2)x +a≥0⇔a≥x
2+2 x
x +1
，
令t = x +1∈(0,2)，x
2+2 x
x +1 = ( x +1)
2−1
x +1
=t −1
t
，
然
显
t −1
t
在
上
增，于是得
单调递
t =2
，
时
(t −1
t ) 3
2 max
，则a≥3
2
，
所以a的取
范
是
值
围
a≥3
2
.
【变式训练4-1-1】若函数
在
上
增，
数
单调递
则实
的取
范
值
围为( )
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-1-2】上随机取一个
数
实
，使
在
上
增的概率是
单调递
( )
A．
B．
C．
D．
【变式训练4-1-3】设a∈(0,1)，若函数f (x)=a
x+(1+a)
x在(0,+∞)
增，
递
则a的取
范
是
值
围
( )
A．[
❑√5−1
2
,
❑√5+1
2 ] B．
❑√5−1
2
,1) C．(
❑√5−1
2
,1)D．(0,
❑√5−1
2 )
【变式训练4-1-4】若函数f (x)=e
x
2−ax在区间(1,3)上
增，
单调递
则a的可能取值为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
【变式训练4-1-5】已知函数f (x)=ae
x−ln x在区间(1,2)上
增，
单调递
则a 的最小
（
值为 ）．
A．e
2 B．e C．e
−1 D．e
−2
【变式训练4-1-6】若函数f ( x)= x
3−3kx +1的
减区
单调递
间为
，
数
则实
k 的
（
值为 ）
A．1 B．
C．3 D．−3
【变式训练4-1-7】若函数f (x)=a
xloga x是
增函数
单调递
(a>0，且a≠1)，则a的取
范
（
值
围为 ）
A．e
e,+∞)
B．1,e
e
C．e
−e,1)
D．1,e
1
e
【变式训练4-1-8】已知函数f(x)，
足
满
f ( x)=a ln x−1
2 x
2+6 x在定
域内
减，
数
义
单调递
则实
a的取
范
是
值
围
（ ）
A．(−∞,−3)
B．−3,+ ∞)
C．[−9,+∞)
D．(−∞,−9]
【变式训练4-1-9】若函数
在R上
增，
数
单调递
则实
a的取
范
是
值
围
________．
【变式训练4-1-10】已知函数f (x)=ax−cos x
sin
3 x
−sin2 x在区间(0, π
2)上
，且
单调
f (x)<0，
数
则实
a的取
范
是
值
围
．
【变式训练4-1-11】若函数f(x)＝ax
3－12x＋a 的减区间为(－2，2)，求
数
实
a 的
．
值
【变式训练4-1-12】已知函数g(x)= 1
3 x
3−1
2 a x
2+2 x，若g(x)在(－2，－1)内
减函数，求
数
为
实
a 的取
范
值
围.
【变式训练4-1-13】（1）若f ( x)=−1
2 x
2+mln x在1,+∞)是减函数，求
数
实
m 的取
范
；
值
围
（2）已知函数f ( x)= 1
3 a x
3−1
2 (a+1)x
2+ x +1(a≥1)在R 上无极
点，求
值
a 的值.
【变式训练4-1-14】已知函数
．
(1)若f ( x)在[1，+∞)上是减函数，求
数
实
a的取
范
．
值
围
（二）已知函数f (x)在区间D上存在单调区间
【典型例题1】若函数g( x)= ln x + 1
2 x
2−(b−1) x存在
减区
，
数
单调递
间则实
b 的取
范
是（
值
围
）
A．3,+∞) B．(3,+ ∞) C．(−∞,3) D．−∞,3
【答案】B
【解析】函数g( x)= ln x + 1
2 x
2−(b−1) x的定
域
义
为(0,+∞) ，且其
数
导
为g
' (x)= 1
x + x−(b−1)．
由g(x)存在
减区
知
单调递
间
g
' (x)<0在(0,+ ∞) 上有解，即1
x + x−(b−1)有解．
因
函数
为
g(x)的定
域
义
为(0,+ ∞) ，所以x + 1
x ≥2．
要使1
x + x−(b−1)有解，只需要
的最小
小于
值
b−1，所以2<b−1，即b>3，
所以
数
实
b的取
范
是
值
围
(3,+ ∞) ．故选:B．
【典型例题2】已知函数f ( x)=−1
3 x
3+ x
2+2ax，g( x)= 1
2 x
2−4.
（1）若函数f ( x)在(0,+ ∞)上存在
增区
，求
数
单调递
间
实
a的取
范
；
值
围
【答案】（1）a>−1
2
；（2）最大
点
值
为3+ ❑√11
6
.x = 3+ ❑√11
6
.
【解析】（1）∵f ( x)在(0,+ ∞)上存在
增区
，
单调递
间
∴f
' (x)=−x
2+2 x +2a>0在(0,+ ∞)上有解，
即f
' (x)max在(0,+ ∞)上成立，
而f
' (x)的最大值为f
' (1)=1+2a，
∴1+2a>0，
解得：a>−1
2
.
【变式训练4-2-1】已知函数
在
上存在
减区
，
数
单调递
间则实
的取值
范围为( )
A．(−∞, 2e−1
e
2 ] B．
C．(−∞, 2e−1
e
2
) D．
【变式训练4-2-2】已知函数f ( x)= 1
2 x
2+2ax−ln x，若
在区间[
1
3 ,2]上存在
增区
”，求
单调递
间
a的
取
范
．
值
围
【变式训练4-2-3】已知函数f (x)= x
3+a x
2+bx +a
2，当a=0若f (x)在区间(−1,1)上存在减区
，求
间
b的取
范
值
围.
【变式训练4-2-4】已知函数f (x)= ln x−a x
2−2 x（a∈R且a≠0）存在
减区
，求
数
单调递
间
实
a的取
范
值
围．
【变式训练4-2-5】已知函数f (x)= a
x −a−2ln x (a∈R)．
（Ⅰ）若函数f (x)在1,2)上存在
减区
，求
单调递
间
a的取
范
；
值
围
（三）已知函数f (x)在区间D上不单调
【典型例题1】若函数
在区间
上不
，
数
单调则实
m 的取
范
值
围为( )
A．
B．
C．
D．m>1
【答案】B
【解析】由
意得极
点在区
题
值
间
内，且
，得出关于
的不等式
，求解即可．
组
函数
的定
域
义
为
，且
，
令
，得
，因为
在区间
上不
，所以
单调
，解得：
；故
：
选B.
【典型例题2】已知函数
在区间[1,2]上不是
函数，
单调
则m的取
范
是（
值
围
）
A．(−∞,−3)
B．[−24 ,−3]
C．
D．
【答案】C
【解析】f
'( x)=3 x
2+ m
x = 3 x
3+m
x
当m≥0
，
时f
'( x)>0，即函数f (x)在区间[1,2]上
增，不符合
意
单调递
题
当m<0
，
时f
'( x)>0⇒x>
3√−m
3
，f
'( x)<0⇒0< x<
3√−m
3
函数
则
f (x)在区间(0,
3√−m
3)上
减，在区
单调递
间(
3√−m
3 ,+∞)上
增
单调递
要使得函数
在区间[1,2]上不是
函数，
单调
则
解得−24<m<−3
故
：
选C
【典型例题3】若
于任意
对
t ∈[1,2] ，函数g(x)= x
3+(
m
2 +2)x
2−2 x在区间(t,3)上
不
函数，
总
为单调
则实
数m 的取
范
是
值
围
．
【答案】(−37
3 ,−9)
【解析】g
' (x)=3 x
2+(m+ 4)x−2，若存在t ∈[1,2]，g(x)在区间(t ,3)上
函数，
为单调
①
则
g
' (x)≥0在(t ,3)上恒成立，或②g
' (x)≤0在(t ,3)上恒成立．
由①得3 x
2+(m+ 4)x−2≥0在(t ,3)上恒成立，由于t ∈[1,2]，所以x>0，
即m+ 4≥2
x −3 x在x∈(t ,3)上恒成立，由于函数y = 2
x , y =−3 x均为x∈(t ,3)上的
减函
单调递
数，
所以y = 2
x −3 x
减，当
单调递
x =t
，取最大
，
时
值则m+ 4≥2
t −3t，
又存在t ∈[1,2]，所以m+ 4≥2
t −3t，
当t =2
，
时2
t −3t取到最小值-5，所以m+ 4≥−5，即m≥−9；
由②得m+ 4≤2
x −3 x在x∈(t ,3)上恒成立，则m+ 4≤2
3 −9，即m≤−37
3
，
所以存在t ∈[1,2]，函数g(x)在区间(t,3)上
函数的
为单调
m 的取
范
值
围为m≤−37
3
或m≥−9，
因此使函数g(x)在区间(t,3)上
不
函数的
总
为单调
m 的取
范
值
围为−37
3 <m<−9.
故答案
：
为(−37
3 ,−9)
【变式训练4-3-1】已知函数f ( x)=ax−ln x在(1,e)上不
，
单调则a的取
范
是（
值
围
）
A．(0, 1
e)
B．(1,e)
C．
D．(0,e)
【变式训练4-3-2】函数f (x)= x
2
2 −ln x在其定
域内的一个子区
义
间[k −1,k +1]内不是
函数，
单调
则k的取
范
是
值
围
______________．
【变式训练4-3-3】若函数f ( x)=e
x(x
2−ax +a)在(2,3)上不
，
数
单调则实
a 的取
范
是
值
围
______.
【变式训练4-3-4】已知函数
在
上不
，
单调则t的取
范
是
值
围
________.
【变式训练4-3-5】已知y＝
x3＋bx2＋(b＋2)x＋3 在R 上不是
增函数，求
单调
b 的取
范
．
值
围
（四）已知函数y = f ( x)有三个单调区间
【典型例题1】若函数
恰有三个
区
，
数
单调
间则实
a 的取
范
值
围为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据
函数有两个不等根
算即可
导
计
.
由
意得函数
题
的定
域
义
为
，
，
要使函数
恰有三个
区
，
单调
间则
有两个不相等的
数根，
实
∴
，解得
且
，故
数
实
a 的取
范
值
围为
，
【典型例题2】若函数y =−4 x
3+3bx有三个
区
，
单调
间则b的取
范
是（
值
围
）
A．(0,+∞)
B．(−∞,+ ∞)
C．(−∞,0)
D．0,+ ∞)
【答案】A
【解析】由
意，函数
题
y =−4 x
3+3bx，可得y
' =−12 x
2+3b，
要使得函数y =−4 x
3+3bx有三个
区
，
单调
间
足
则满
Δ=0−4×(−12)×3b=144 b>0，即b>0.
故
：
选A.
【典型例题3】已知函数f ( x)=a x
3+3 x
2−x( x ∈R)恰有三个
区
，
数
单调
间则实
a的取
范
值
围为
A．(−3,+ ∞)
B．(−3,0)∪(0,+ ∞)
C．(−∞,0)∪(0,3)
D．−3,+∞)
【答案】B
【解析】f '( x)=3a x
2+6 x −1，∴f ( x)有三个
区
，∴
单调
间{
a≠0
Δ=36+12a>0，解得a>−3且a≠0．
故选B．
【变式训练4-4-1】已知y = 1
3 x
3+b x
2+(b+6) x +3在R上存在三个
区
，
单调
间则b的取
范
是（ ）
值
围
A．b≤−2或b≥3
B．−2≤b≤3
C．−2<b<3
D．b<−2或b>3
【变式训练4-4-2】若函数f ( x)=a x
3−3 x
2+ x +8恰好有三个
区
，
数
单调
间则实
a的取
范
是
值
围
A．
B．
C．(−∞,0)∪(0,3]
D．(−∞,0)∪(0,3)
【变式训练4-4-3】已知函数f ( x)=( x−a)ln x(a∈R)，若函数f (x)存在三个
区
，
数
单调
间则实
a的取
范
值
是
围
__________.
【变式训练4-4-5】若函数f ( x)=a x
3+a x
2+ x恰好有三个
区
，
数
单调
间则实
a的取
范
是
值
围
______.
【变式训练4-4-6】若函数f (x)=a x
3+3 x
2−x恰好有三个
区
，
数
单调
间则实
a的取
范
是
值
围
________.
【变式训练4-4-7】若f (x)= x
3+3a x
2+3(a+2) x +1有三个
区
，
单调
间则a的取
范
是
值
围
______.
题型05：单调性的应用——构造函数比较大小
【典型例题1】设
则a，b，c 之
的大小关系式是（
间
）
A．a<b<c B．
C．
D．b<c<a
【答案】B
【解析】
，
构造函数f ( x)= x
ln x ( x>0)，得
，
由ln x−1>0得x>e时f
'( x)>0，
知f ( x)在区间(e ,+∞)上是增函数，于是
，即
.故
：
选B．
【典型例题2】设a= 3
e
2 ln e
2
3
，b= 1
e
，c =ln2
2
，则a，b，c的大小
序
（
顺
为 ）
A．a<c<b B．c<a<b C．a<b<c D．
【答案】B
【解析】令
(x>0)，则f
'( x)= 1−ln x
x
2
，
当x>e
，
时f
'( x)<0，函数
减，当
单调递
0< x<e
，
时f
'( x)>0，函数
增，
单调递
故当x =e
，函数取得最大
时
值f (e)= 1
e
，
因为a= 3
e
2 ln e
2
3 = f(
e
2
3)，c = ln2
2 = f (2)，b= 1
e = f (e)，
∵2< e
2
3 <e，
当0< x<e
，函数
时
f (x)
增，
单调递
可得f (2)<f(
e
2
3)<f (e)，即c<a<b．故
：
选B．
【典型例题3】已知函数f ( x)=e
x
2
+cos x，设a= f (2
0.2)，b= f(
π
5)，
，
（
则 ）
A．a>c>b
B．a>b>c
C．c>b>a
D．c>a>b
【答案】B
【解析】利用奇偶函数的判断方法，得到f ( x)=e
x
2+cos x
偶函数，利用
数与函数
性
的关系
为
导
单调
间
，
得到f ( x)=e
x
2+cos x在区间(0,+ ∞)上
增，根据条件有
单调递
c = f (log52)，再比较2
0.2, π
5 ,log52的大小，即
可求解.
易知f ( x)=e
x
2+cos x的定
域
义
为R，关于原点
称
对
又f (−x)=e
(−x)
2+cos(−x)=e
x
2+cos x = f (x)，所以f ( x)=e
x
2+cos x
偶函数，
为
又f
' (x)=2 x e
x
2−sin x，
当x>0
，
时e
x
2>1，所以当x>0
，
时f
' (x)=2 x e
x
2
−sin x>2 x−sin x，
令g(x)=2 x−sin x，则g
' (x)=2−cos x>0恒成立，所以g(x)=2 x−sin x在R上
增，
单调递
当
则
x>0
，
时g(x)=2 x−sin x> g(0)=0，所以当x>0
，
时f
' (x)>0，即f ( x)=e
x
2
+cos x在区间
(0,+∞)上
增，
单调递
因为
，
又易知2
0.2>1，1
2 < π
5 <1，0<log52<log5
❑√5= 1
2
，
所以a= f (2
0.2)>b= f(
π
5)>c = f (log0.22)，
故
：
选B.
【点晴】关
点点晴：本
的关
在利用当
键
题
键
x>0
，
时e
x
2
>1，从而有当x>0
，
时
f
' (x)=2 x e
x
2
−sin x>2 x−sin x，构造函数g(x)=2 x−sin x，利用
数与函数
性
的关系，可得
导
单调
间
g(x)>0，即f ( x)=e
x
2+cos x在区间(0,+ ∞)上
增，即可求解
单调递
.
【典型例题4】已知奇函数f (x)
足
满
∀x∈R ,f (1−x)= f (1+ x).当x∈[0,1]
，
时
f (x)= x
2+2cos x−2,a= f (100),b= f(
33
2 ),c = f(
79
2 )，
（
则 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】先
明
证
4 为f (x)的一个周期，可得a= f (0),b= f(
1
2),c =−f(
1
2)，再利用
数
明
导
证
f (x)在
[0,1]上
增，从而可得答案
单调递
.
由奇函数
足
满
f (1−x)= f (1+ x)，得f (−x)= f (2+ x)=−f (x)，
则f (x + 4)=−f (x +2)=−[−f (x)]= f (x)，所以4 为f (x)的一个周期，
则a= f (100)= f (0),b= f(
33
2 )= f(
1
2),c = f(
79
2 )= f(−1
2)=−f(
1
2)，
当x∈[0,1]
，
时f (x)= x
2+2cos x−2,f
' (x)=2 x−2sin x，令h(x)=2 x−2sin x，
则h
' (x)=2−2cos x ≥0，所以h(x)在[0,1]上
增，
单调递
则h(x)≥h(0)=0,f
' (x)≥0，
所以f (x)在[0,1]上
增，
单调递
则f(
1
2)>f (0)=0,c =−f(
1
2)<0，故
.
故
：
选B.
【变式训练5-1】已知a= ln 2
2 ，b= ln π
π
，c =1n5
5
，
（ ）
则
A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b
【变式训练5-2】设a=ln0.4
0.6
，b=ln0.2
0.8
，c =2ln0.5.
（
则 ）
A．c>a>b B．b>a>c C．b>c>a D．a>b>c
【变式训练5-3】已知a=ln
9
4 ❑√e ,b=ln 16
9
3√e
,c =ln
25
16
4√e
，
（
则 ）
A．a<c<b B．
C．a<b<c D．
【变式训练5-4】已知函数f (x)= x
2+2cos x，设
，
（
则 ）
A．c>b>a
B．c>a>b
C．b>a>c
D．a>b>c
【变式训练5-5】f (x)=3−x
2−2cos x，设a=2
−0.5，b=
❑√3
3
，c = log❑1
3
2，则( )
A．f (c)>f (a)>f (b) B．f (b)>f (a)>f (c) C．f (b)>f (c)>f (a) D．f (c)>f (b)>f (a)
【变式训练5-6】(多选题)函数f ( x)的
函数
导
为
，若当x∈0, π
2)
，
时f
'( x)−tan x ⋅f ( x)<0，则( )
A．
B．2f (0)>f(
π
3) C．❑√3 f(
π
6)>f(
π
3) D．❑√2f(
π
4)<f(
π
3)
【变式训练5-7】己知
，则( )
A．c>b>a
B．b>a>c
C．a>b>c
D．a>c>b
题型05:单调性的应用——构造函数解不等式
【典型例题1】
函数
设
f(x)，g(x)分
是定
在
别
义
R 上的奇函数和偶函数．当x<0
，
时
f
'( x)g( x)+ f ( x)g
'( x)>0，且g(3)=0，
不等式
则
f(x)g(x)>0 的解集是（ ）
A．(−3,0)∪(3,+∞) B．(−3,0)∪(0,3) C．(−∞,−3)∪(3,+ ∞) D．
(−∞,−3)∪(0,3)
【答案】A
【解析】构造函数F(x)＝f(x)·g(x)．由
意可知，当
题
x<0
，
时F
'( x)>0，
所以F(x)在(−∞,0)上
增．
单调递
又因为f(x)，g(x)分
是定
在
别
义
R 上的奇函数和偶函数，
F(−x)= f (−x)g(−x)=−f ( x)g( x)=−F( x)，所以F(x)是定
在
义
R 上的奇函数，
从而F(x)在(0,+ ∞)上
增．
单调递
而F(3)＝f(3)g(3)＝0，所以F(－3)＝－F(3)＝0，
当x>0
，
时f(x)g(x)>0 的解为x>3；
当x<0
，
时f(x)g(x)>0 的解为−3< x<0；
上可知不等式
综
f(x)g(x)>0 的解集为(−3,0)∪(3,+∞).故
：
选A.
【典型例题2】已知f (x)是定
在
义
R上的偶函数且f (1)=2，若f
' (x)<f (x)ln2，则f (x)−2
x +2>0的解集为
.
【答案】
【解析】令g(x)= f (x)
2
x ，则g
' (x)= f
' (x)2
x−f (x)2
x ln 2
(2
x)
2
= f
' (x)−f (x)ln 2
2
x
，
由于f
' (x)<f (x)ln2，所以g
' (x)= f
' (x)−f (x)ln2
2
x
<0，故g(x)在R上
减，
单调递
又f (x)是定
在
义
R上的偶函数且f (1)=2，故f (−1)=2，所以g(−1)= f (−1)
2
−1
= 4，
f (x)−2
x +2>0等价于f (x)
2
x >4⇒g(x)> g(−1)，因此x<−1，
故f (x)−2
x +2>0的解集为(−∞,−1)，
故答案
：
为
【典型例题3】已知奇函数f (x)是定
在
义
R上的可
函数，其
函数
导
导
为f
' (x)，当x>0
，有
时
，则
的解集为 ．
【答案】(−∞,−2022)
【解析】当x>0
，因
时
为2f (x)+ x f
' (x)> x
2>0，所以
，
所以[x
2f ( x)]
'>0，所以g( x)= x
2f ( x)在(0,+∞)上
增函数，
为
因为f ( x)是定
在
义
R上的奇函数，所以
，
所以g(−x)=(−x)
2f (−x)=−x
2f ( x)=−g( x)，且g( x)的定
域
义
为R，关于原点
称，
对
所以g( x)也是定
在
义
R上的奇函数，且g(0)= f (0)=0，
又因为g( x)= x
2f ( x)在(0,+∞)上
增函数，所以
为
g( x)在R上
增函数，
为
由
，得( x +2023)
2f (x +2023)<−f (−1)= f (1)= g(1)，
所以g( x +2023)< g(1)，因为g( x)在R上
增函数，
为
所以x +2023<1，即x<−2022.
所以
的解集为(−∞,−2022).故答案
：
为(−∞,−2022)
【典型例题4】已知函数f (x)的定
域
义
为(−π
2 , π
2)，其
函数是
导
f
' (x).有f
' (x)cos x + f (x)sin x<0，
关于
则
x的不等式f ( x)>2f(
π
3)cos x的解集为 .
【答案】(−π
2 , π
3)
【解析】依
意令
题
F( x)= f ( x)
cos x
，x∈(−π
2 , π
2)，则F
'( x)= f
'( x)cos x + f ( x)sin x
cos
2 x
，
因
当
为
，
时f
' (x)cos x + f (x)sin x<0，
所以当x∈(−π
2 , π
2)
，
时F
'( x)<0，
∴F( x)在(−π
2 , π
2)上
减，
单调递
则f ( x)>2f(
π
3) cos x等价于f ( x)
cos x >
f(
π
3)
cos π
3
，即F( x)> F(
π
3)，
∴{
x< π
3
−π
2 < x< π
2
，解得−π
2 < x< π
3
，所以所求不等式的解集为(−π
2 , π
3).故答案
：
为(−π
2 , π
3)
【典型例题5】已知定
在
义
R 上的偶函数y = f ( x)的
函数
导
为y = f
'( x)，当x>0
，
时
，且
f (2)=−3，
不等式
则
f (2 x−1)<
−6
2 x−1
的解集为 .
【答案】(−∞, 1
2 )∪( 3
2 ,+∞)
【解析】当x>0
，
时f
'( x)+ f ( x)
x
= x f
'( x)+ f ( x)
x
= (xf ( x))
'
x
<0，∴(xf ( x))
'<0，
令g(x)= xf ( x)，∴g(x)在(0,+ ∞)上
减，
单调递
又y = f ( x)是定
在
义
R上的偶函数，∴g(x)是R上的奇函数，即g(x)在R上
减，
单调递
∵f (2)=−3，∴g(2)=−6，
当
，即x> 1
2
，
时f (2 x−1)<
−6
2 x−1 ⇒(2 x−1)f (2 x−1)<−6⇒g(2 x−1)<−6，
∴2 x−1>2⇒x> 3
2
；
当2 x−1<0，即x< 1
2
，
时f (2 x−1)<
−6
2 x−1 ⇒(2 x−1)f (2 x−1)>−6⇒g(2 x−1)>−6，
∴2 x−1<2⇒x< 3
2
，则x< 1
2
.
故不等式f (2 x−1)<
−6
2 x−1
的解集为(−∞, 1
2)∪(
3
2 ,+∞).
故答案
：
为(−∞, 1
2)∪(
3
2 ,+∞).
【变式训练6-1】已知函数
，f (1)=−3
2
，若2f (2a
2−a)<−3，则a的取
范
（
值
围为 ）
A．(−1, 1
2 )
B．(−1
2 ,1)
C．(−1
2 ,0)∪( 1
2 ,1)
D．{
& a=1
& b= 1
2
【变式训练6-2】已知函数f (x)=e
x−e
−x−2 x，若关于x的不等式f (m−sin x)+ f (1−❑√3cos x)>0恒成
立，则m的取
范
（
值
围为 ）
A．(−1,+∞)
B．(1,+ ∞)
C．(2,+∞)
D．(−∞,−2)
【变式训练6-3】已知函数f (x)= x−sin x，
不等式
则
的解集
（
为 ）
A．(−∞,−3)∪(−1,+∞)
B．
C．(−2−❑√7,−2+ ❑√7)
D．(−∞,−2−❑√7)∪(−2+ ❑√7,+∞)
【变式训练6-4】在R 上可
的函数
导
f(x)的
象如
所示，
关于
图
图
则
x 的不等式xf′(x)＜0 的解集为( )
A．(－∞，－1)∪(0，1) B．(－1，0)∪(1，＋∞) C．(－2，－1)∪(1，2) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
【变式训练6-5】已知函数f(x)＝ex－e－x－2x＋1，
不等式
则
f(2x－3)>1 的解集为 ．
【变式训练6-6】
函数
设
f(x)
奇函数，且当
为
x≥0
，
时f(x)＝ex－cosx，
不等式
则
f(2x－1)＋f(x－2)>0 的解集为( )
A．(－∞，1) B．(−∞, 1
3 ) C．( 1
3 ,+∞) D．(1，＋∞)
【变式训练6-7】已知函数f (x)= ln(1+ x
2)+
1
1+ x
2，
不等式
则
f (2 x +1)<f (x−1)的解集为( )
A．(−∞,0)∪(1,+∞) B．(−∞,−2) C．(−∞,−2)∪(0,+ ∞) D．(−2,0)
【变式训练6-8】已知函数y＝f(x)(x∈R)的
象如
所示，
不等式
图
图
则
xf′(x)≥0 的解集为 ．
【变式训练6-9】f(x)＝x3－2x＋ex－，其中e 是自然
数的底数．若
对
f(a－1)＋f(2a2)≤0，
数
则实
a 的取
范
是
值
围
．
【变式训练6-10】若函数f(x)＝lnx＋ex－sinx，
不等式
则
f(x－1)≤f(1)的解集为 ．
题型07：利用导数的运算法则构造函数
导数关系构造函数的一些常见结构：
(1)
于不等式
对
f'(x)+ g'(x)>0，构造函数F(x)= f(x)+g(x).
(2)
于不等式
对
f'(x)-g'(x)>0，构造函数F(x)= f(x)-g(x).
特
地，
于不等式
别
对
f'(x)> k，构造函数F(x)= f(x)-kx.
(3)
于不等式
对
f'(x)g(x)+ f(x) g'(x)>0，构造函数F(x)= f(x)·g(x).
(4)
于不等式
对
f'(x)g(x)-f(x) g'(x)>0，构造函数F(x)=
.
(5)
于不等式
对
xf'(x)+nf(x)>0，构造函数F(x)=
.
(6)
于不等式
对
f'(x)+f(x)>0，构造函数F(x)=
.
(7)
于不等式
对
f'(x)+kf(x)>0，构造函数F(x)=
.
【典型例题1】已知f (x)
定
在
为
义
R上的可
函数，
导
f
' (x)
其
函数，且
为
导
f (x)<f
' (x)恒成立，e 是自然
数的
对
底数，
（
则 ）
A．f (2024)<ef (2025)
B．ef (2024)<f (2025)
C．ef (2024)= f (2025)
D．ef (2024)>f (2025)
【答案】B
【解析】设g(x)= f (x)
e
x ，利用
数求得
导
增，得到
单调递
f (2024)
e
2024
< f (2025)
e
2025
，即可求解.
根据
意知
题
f (x)<f
' (x)，即f
' (x)−f (x)>0，构造函数g(x)= f (x)
e
x ，
可得g
' (x)= f
' (x)−f (x)
e
x
，因为f
' (x)−f (x)>0，所以g
' (x)>0，
所以
在R上
增，
单调递
则f (2024)
e
2024
< f (2025)
e
2025
，两
同乘
边
e
2025，即ef (2024)<f (2025)．
故选:B
【典型例题2】
定
域
设
义
为
的函数
的
函数
导
为f
'( x).已知−f
'( x)= f
'(−x)，f (1)=e，若
f (x)−x f
'( x)<0
在
(0,+ ∞)
上恒成立，
不等式
则
的解集
（
为 ）
A．(−∞,❑√e)
B．(−∞,e)
C．(❑√e ,+∞)
D．(1,❑√e)
【答案】D
【解析】先利用f (x)
函数的奇偶性分析原函数
导
f (x)的奇偶性，再构造函数
，根据
意分析
题
单
性，
合不等式有意
，分
，并
合同构特点利用
性解不等式可得
调
结
义
类讨论
结
单调
.
令G( x)= f (−x)，由−f
'( x)= f
'(−x)，
则G
'( x)=−f
'(−x)= f
'( x)，故G( x)= f (−x)= f ( x)+C，
由x∈R，令x =0，则f (0)= f (0)+C，故C =0，
故f (−x)= f ( x)，可知
偶函数；
为
令
，则g
'( x)= x f
'( x)−f ( x)
x
2
，
当x>0
，由
时
f (x)−x f
'( x)<0，则g
'( x)>0，即
在(0,+∞)上
格
增，
严
递
当
则
x>0
，
时g( x)= f ( x)
x
> g(0)=0，则
；
由偶函数
则
称性可知，当
对
x<0
，
时
.
由f (1)=e，则g(1)= f (1)
1
=e.
不等式
可化为
f (2ln x)<2eln x
，其中x>0
且x≠1
.
当0< x<1
，
时2ln x<0，则f (2ln x)>0,2eln x<0，
故不等式f (2ln x)<2eln x无解；
当x>1
，
时2ln x>0，可得f (2ln x)
2ln x
< f (1)
1
，即g(2ln x)< g(1)，
由
在(0,+ ∞)上
格
增，可知
严
递
2ln x<1，解得x<❑√e，
所以1< x<❑√e；
上所述，不等式的解集
综
为(1,❑√e).
故
：
选D.
【点睛】关
点点睛：根据
意中
函数
足的不等关系及所求解不等式，构造函数
键
题
导
满
f ( x)
x
，利用新函数的
性
单调
求解抽象不等式.
【典型例题3】函数f (x)的定
域
义
为
，且
，f (0)=3，
不等式
则
f (x)>2e
x+1的解集
（
为 ）
A．(−∞,0)
B．(0,+ ∞)
C．(−∞,1)
D．(1,+∞)
【答案】B
【解析】构造一个新的函数，然后根据函数的
性来确定不等式的解集
单调
.
设g( x)= f ( x)−1
e
x
.
对
求
，
导则g
'( x)= f
'( x)e
x−(f ( x)−1)e
x
(e
x)
2
= f
'( x)−f ( x)+1
e
x
.
已知f ( x)<f
'( x)+1，即f
'( x)−f ( x)+1>0，而
恒成立，所以g
'( x)>0恒成立.
明函数
这说
在R上
增
单调递
.
已知f (0)=3
，则
.
不等式f ( x)>2e
x+1可
形
变
为f ( x)−1>2e
x，即f ( x)−1
e
x
>2，也就是g( x)>g(0).
因为
在R上
增，所以
单调递
x>0.
不等式f ( x)>2e
x+1的解集为
，.
故
：
选B
【变式训练7-1】已知函数y = f (x)
于任意的
对
x∈(−π
2 , π
2)
足
满
f
' (x)cos x + f (x)sin x>0（其中f
' (x)是
函数f (x)的
函数），
下列不等式成立的是（
导
则
）
A．
B．
❑√2f(−π
3)>f(−π
4)
C．❑√2f(
π
3)>f(
π
4)
D．f (0)>2f(
π
3)
【变式训练7-2】定
在
义
上的函数
足
满
x f
'( x)−1>0，
下列
正确的是（
则
结论
）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-2】已知函数
是定
在
义
上的偶函数，其
函数
导
为f
'( x)，且当x<0
，
时
2f ( x)+ x f
'( x)<0，
不等式
则
的解集为
【变式训练7-3】定
在
义
(0,+ ∞)上的函数f (x)的
函数
导
为f
' (x)，当x>0
，
时x f
' (x)<2，且f (e)=5，
不等
则
式f (x
2)−4 ln x <3的解集为 ．
题型08：通过变量构造具体函数
【典型例题1】若e
x +1+ x +2> y +1+ ln y，
（
则 ）
A．x +1>ln y
B．x +1<ln y
C．x
2> y
D．x
2> y
【答案】A
【解析】首先构造函数f (x)= ln x + x +1，利用函数的
性即可得到
果
单调
结
.
构造函数f (x)= ln x + x +1，定
域
义
为(0,+ ∞)，
求
得
导
f
' (x)=1+ 1
x = x +1
x
，当x>0
，
时f
' (x)>0，函数f (x)
增；
单调递
又因为e
x +1+ x +2> y +1+ ln y，即f (e
x +1)>f ( y)，
由函数的
性得
单调
e
x +1> y ⇒x +1>ln y，
故
：
选A
【典型例题2】已知
，
（
则 ）
A．
B．b ln a>1
C．
D．
【答案】C
【解析】当a∈(0,1)
，
时ln a<0，因为
，即可判断选项A；由e
1
b =ab(1+ ln a)，得
，构造函数f (x)= x e
x
，利用
数分析函数的
性，利用
性比
导
单调
单调
较
大小，即可判断选项C；由C知
，两
取
数即可判断
边
对
选项B；由
，所以ab(1+ ln a)>a，即可判断
选项D.
于
对
A
，当
选项
a∈(0,1)
，
时ln a<0，因为
，所以A
；
错误
于
对
C
，
选项a>0,b>0，由e
1
b =ab(1+ ln a)，
得
，
令f (x)= x e
x，则f(
1
b)>f (ln a)，f
' (x)=(x +1)e
x，由f
' (x)>0，
得x>−1，由f
' (x)<0，得x<−1，
函数
则
f (x)在(−∞,−1)上
减，
单调递
在(−1,+ ∞)上
增，且
单调递
x<0
，
时f (x)<0，当x>0
，
时
f (x)>0，如
，因
图
为a>0，由f(
1
b)>f (ln a)，得
，即
，
所以
，选项C 正确；
于
对
B
，由
选项
C知
，则
即
，所以B
；
错误
于
对
D
，因
选项
为e
1
b >a,e
1
b =ab(1+ ln a)，
所以ab(1+ ln a)>a，得b(1+ ln a)>1，D 错误.
故
：
选C．
【典型例题3】已知α , β ∈[−π
2 , π
2]，且α sinα −β sin β <0，
（
则 ）
A．α < β
B．
C．α > β
D．α
2> β
2
【答案】B
【解析】构造函数f (x)= x sin x，通
其
性和奇偶性即可求解；
过
单调
构造函数f (x)= x sin x，易知其
偶函数，
为
f
' (x)=sin x + x cos x，
当x∈−π
2 ,0)
，
时sin x<0, x cos x<0，所以f
' (x)<0，
当x∈0, π
2
，
时sin x>0, x cos x>0，所以f
' (x)>0，
所以f (x)= x sin x在x∈−π
2 ,0)
减，
单调递
x∈0, π
2
增，又其
偶函数，
单调递
为
所以α sinα −β sin β <0即α sinα < β sin β，
等价于|α|<|β|，即
，
故
：
选B
【变式训练8-1】已知角α、
足：
满
0<α <π，0< β <π，且α + β +sin α +cos β > 3 π
2
，
一定有（
则
）
A．cosα >0
B．cos β >0
C．sin α +cos β >0
D．cosα +sin β <0
【变式训练8-2】已知α ，β ∈(0,π )，α ≠β，若α
3−β
3=cosα −2cos β，
下列
一定成立的是
则
结论
（ ）
A．sinα <sin β
B．sinα >sin β
C．cosα <cos β
D．cosα >cos β
【变式训练8-3】已知a>e，b>e，且a(1+lnb)=(1+eb)lna，其中e
自然
数的底数，
下列
正确
为
对
则
结论
的是（ ）
A．lna−lnb>1
B．ea<b
C．2
lna+2
lnb>6
D．ab>e
3
题型09：通过数值构造具体函数
【典型例题1】若a= 2❑√2
ln2❑√2 ,b= 2
ln2 ,c = 3
ln3 ，
（
则 ）
A．
B．
C．
D．b<a<c
【答案】C
【解析】根据
意可通
构造函数
题
过
f (x)=
x
ln x ( x>0且x≠1)，利用
数求出其
性，即可比
得出各数的大
导
单调
较
小.
因为a= 2❑√2
ln2❑√2 ,b= 2
ln2 ,c = 3
ln3
，所以构造函数f (x)=
x
ln x ( x>0且x≠1)，
则f
' (x)=ln x−1
(ln x)
2 ，
当x∈(0,1)
，
时f
' (x)<0，所以f (x)在(0,1)上
减，
单调递
当x∈(1,e)
，
时f
' (x)<0，所以f (x)在(1,e)上
减；
单调递
当x∈(e,+∞)
，
时f
' (x)>0，所以f (x)在(e,+ ∞)上
增；
单调递
上可知，
综
f (x)=
x
ln x
在(0,1)与(1,e)上
減，在
单调递
(e ,+ ∞)上
增
单调递
.
所以b= 2
ln2 =
4
ln 4 = f (4)>f (3)= 3
ln3 =c.
又因为e<2❑√2<3，所以c = 3
ln3 = f (3)>f (2❑√2)= 2❑√2
ln2❑√2 =a，
可得
.
故
：
选C.
【典型例题2】已知x = ln 3
2 −❑√3，y = ln 5
3 −❑√
10
3
，z = ln2−2，
（
则 ）
A．x> y > z
B．x> z> y
C．
D．
【答案】C
【解析】构造函数f (x)= ln x−❑√2 x，
有
则
x = f(
3
2)、y = f(
5
3)、z = f (2)，
合
数
算可得其
性，即可
结
导
计
单调
得解.
令f (x)= ln x−❑√2 x，则f
' (x)= 1
x −
1
❑√2 x =
❑√2−❑√x
❑√2 x
，
当
则
x∈(0,2)
，
时f
' (x)>0，当x∈(2,+ ∞)
，
时f
' (x)<0，
即f (x)在(0,2)上
增，在
单调递
(2,+∞)上
减，
单调递
又x = ln 3
2 −❑√3= f(
3
2)、y = ln 5
3 −❑√
10
3 = f(
5
3)、z = ln 2−2= f (2)，
由3
2 < 5
3 <2，故
.
故
：
选C.
【变式训练9-1】设a=ln2
2
，b=ln3
2❑√3
，c = 1
e 则a,b,c的大小关系
（
为 ）
A．
B．b<a<c
C．b<c<a
D．
【变式训练9-2】设a= ln 4
4 ，b= 4−ln 4
e
2
，
，
（
则 ）
A．
B．b<c<a
C．
D．
【变式训练9-3】已知a= 1
e ，b= ln5
5 ，c = 2
5，则a，b，c 的大小关系
（
为 ）
A．b<c<a
B．
C．
D．b<a<c
【变式训练9-4】已知a，b，c∈(0,1)，且a−5= ln a−ln5，b−4 = ln b−ln 4，c−3= ln c−ln3，则a，
b，c 的大小关系是 .（用“<”号
接）．
连
题型10：切线放缩与泰勒展开式
常用放缩：e
x≥x +1，ln x ≤x−1，x ≥sin x
放缩结论补充1：不等式e
x−1>tan x> x>ln (x +1)，x∈(0,1)
4
3
2
1
3
2
1
O
x
y
y1= tanx
y2= ex- 1
y3= x
y4 = ln(x + 1)
放缩结论补充2：e
x≤
1
1−x , x∈(−∞，1)
对于e
x−1≥x，该不等式在R 上恒成立，若令x =−x，则有
e
−x−1≥−x⇒1
e
x ≥1−x，当x<1时，不等式两边同乘e
x
1−x
，则有
1
1−x ≥e
x，
最后得出x +1≤e
x≤
1
1−x , x∈(−∞，1)
放缩结论补充3：x−1
x
≤ln x
对于x−1≥ln x，令x = 1
x
，则有1
x −1≥ln 1
x ⇒1−x
x
≥−ln x，可得x−1
x
≤ln x.
【典型例题1】已知a= 31
32 ,b=cos 1
4 ,c = 4 sin 1
4 ，
（
则 ）
A．c>b>a
B．b>a>c
C．a>b>c
D．a>c>b
【答案】A
【解析】由c
b = 4tan 1
4
合三角函数的性
可得
结
质
c>b;构造函数f (x)=cos x + 1
2 x
2−1, x∈(0,+∞),利用导
数可得b>a,即可得解.
[方法一]：构造函数
因
当
为
x∈(0, π
2), x<tan x
故c
b = 4 tan 1
4 >1，故c
b >1，所以c>b；
设
，
f
'( x)=−sin x + x>0，所以
在
增，
单调递
故f(
1
4)>f (0)=0，所以
，
所以b>a，所以c>b>a，故选A
[方法二]：不等式放缩
因
当
为
x∈(0, π
2),sin x< x，
附：常用公式
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
取x = 1
8
得：cos 1
4 =1−2sin
2 1
8 >1−2(
1
8)
2
= 31
32
，故b>a
4 sin 1
4 +cos 1
4 = ❑√17sin(
1
4 +φ)，其中φ∈(0, π
2)，且sin φ =
1
❑√17 ,cosφ =
4
❑√17
当4 sin 1
4 +cos 1
4 = ❑√17
，
时1
4 +φ= π
2
，及φ= π
2 −1
4
此时sin 1
4 =cosφ =
4
❑√17
，cos 1
4 =sin φ =
1
❑√17
故cos 1
4 =
1
❑√17 <
4
❑√17 =sin 1
4 <4 sin 1
4 ，故
所以b>a，所以c>b>a，故选A
[方法三]：泰勒展开
设x =0.25，则a= 31
32 =1−0.25
2
2
，b=cos 1
4 ≈1−0.25
2
2
+ 0.25
4
4!
，
c = 4sin 1
4 =
sin 1
4
1
4
≈1−0.25
2
3!
+ 0.25
4
5!
，
算得
计
c>b>a，故选A.
[方法四]：构造函数
因为
，因
当
为
x∈(0, π
2),sin x< x<tan x，所以
,即
c
b >1，所以c>b；设
，f
'( x)=−sin x + x>0，所以
在
增，
单调递
则f(
1
4)>f (0)=0,
所以
，所以b>a,所以c>b>a，
故
：
选A．
[方法五]：【最
解】不等式放
优
缩
因为
，因
当
为
x∈(0, π
2),sin x< x<tan x，所以
,即c
b >1，所以c>b；因
当
为
x∈(0, π
2),sin x< x，取x = 1
8
得cos 1
4 =1−2sin
2 1
8 >1−2(
1
8)
2
= 31
32
，故b>a
，所以c>b>a
．
故
：
选A．
【整体点
】方法
评
4：利用函数的
性比
大小，是常
思路，
点在于构造合适的函数，属于通性通法；
单调
较
见
难
方法5：利用二倍角公式以及不等式x∈(0, π
2),sin x< x<tan x放
，即可得出大小关系，属于最
解．
缩
优
【典型例题2】已知a=ln1.01，b=1.01，c =e
0.01
（
则 ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】构造函数f (x)=e
x−(x +1)，通
其
性可判断
过
单调
c>b>1，
而可求解
进
.
易知a=ln1.01<1，c =e
0.01>1，
构造函数f (x)=e
x−(x +1)，
求导f
' (x)=e
x−1，易知当x ≥0
，
时f
' (x)=e
x−1≥0，f (x)
增；
单调递
所以f (0.01)=e
0.01−(0.01+1)>f (0)=0，
所以c>b>1，
所以
，
故
：
选A
【典型例题3】已知a= ln 10
9 ，b= 1
9 ，c =e
−8
9，
（
则 ）
A．
B．
C．
D．b<c<a
【答案】B
【解析】利用
数可
导
证ln x−x +1≤0，故可得e
x−1≥x，从而可得三数的大小关系.
令f ( x)= ln x−x +1，所以f
'( x)= 1
x −1= 1−x
x
，
当
，
时f '( x)>0，
增，
单调递
当x∈(1,+∞)
，
时
，
减，所以
单调递
f ( x)≤f (1)=0，所以f ( x)≤0，
当且
当
仅
x =1
取等号，
当
时
则
x = 10
9
，
时f(
10
9 )= ln 10
9 −10
9 +1<0，
即ln 10
9 < 1
9
，所以a<b；
因为ln x−x +1≤0，故e
x−1≥x，当且
当
仅
x =1
等号成立，
时
故e
−8
9 =e
1
9 −1
> 1
9
，故
．
上可知
综
．
故
：
选B．
【变式训练10-1】已知a=cos 1
5
，b= 49
50
，c = ln 99
50
，
（
则 ）
A．
B．
C．
D．b<c<a
【变式训练10-2】已知
，
（
则 ）
A．
B．
C．
D．b<a<c
【变式训练10-3】设a=e
0.1−1，b= 1
11，c = ln1.1，
（
则 ）
A．b<c<a
B．
C．
D．
【变式训练10-4】已知a= ln1.1，b=e
0.1−1，c =sin 0.1，则a，b，c 的大小关系
（）
为
A．a>b>c
B．b>a>c
C．b>c>a
D．c>b>a
一、选填题
1．函数f ( x)=−ln x +2 x
2的
增区
是（
单调递
间
）
A．(−1
2 ,0)和(
1
2 ,+ ∞)
B．(−∞,−1
2)∪(
1
2 ,+∞)
C．
D．(
1
2 ,+∞)
2．若函数
在[−6,−4]上
减，
单调递
则a 的取
范
（
值
围为 ）
A．
B．
C．−1
6 ,+∞)
D．−∞,−1
6
3．已知a= 2
❑√e ,b=
1
eln ❑√2 ,c = 4
5
4√e（其中e
自然
数的底数），
为
对
则a,b,c的大小关系
（
为 ）
A．
B．b<a<c
C．
D．
4．已知函数f ( x)=sin x−x cos x，若
，
，
，则a，b，c的大小关系
（
为 ）
A．a>c>b
B．a>b>c
C．b>c>a
D．c>b>a
5．若0< x1< x2<a都有
成立，则a的最大
（
值为 ）
A．1
2
B．1
C．e
D．2e
6．已知函数f (x)=ae
x−ln x在区间
上
增，
数
单调递
则实
a的最小
（
值为 ）
A．
B．2e
2
C．1
2e
2
D．1
e
2
7．已知函数f (x)= x
3−mx +6ln x在定
域内
增，
数
义
单调递
则实
m的取
范
（
值
围为 ）
A．−∞,9
B．9,+ ∞)
C．(−∞,9)
D．(9,+∞)
8．已知定
在
义
上的函数f (x)的
函数
导
为f
' (x)，且
足
满
f
' (x)−2f (x)>0，f (1012)=e
2024，
不等式
则
f(
1
2 ln x)< x的解集
（
为 ）
A．(0,2024)
B．(0,e
2024)
C．
D．(e
2024,+ ∞)
9．若a= 11
10 ln1.1,b= 1
10 e
0.1,c = 1
10
，
（
则 ）
A．b>a>c
B．a>b>c
C．b>c>a
D．a>c>b
10．已知a=0.02，b=e
−0.96，c = ln1.03，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．b>a>c
B．b>c>a
C．c>a>b
D．a>b>c
11．已知a=ln ❑√2
2
,b=ln3
6 ,c = 1
2e
，则a,b,c的大小
（
为 ）
A．b>c>a
B．a>b>c
C．b>a>c
D．c>b>a
12.(多选)
函数
设
，则( )
A．
是
的极小
点
值
B．当
，
时
C．当
，
时
D．当
，
时
13.已知函数
在区间
上
增，
单调递
则a 的最小值为( )．
A．
B．e
C．
D．
14.设
，若函数
在
上
增，
递
则a 的取
范
是
值
围
.
二、解答题
1.已知函数
(1)当
，
时讨论
的
性；
单调
2.已知函数
．
(1)讨论
的
性；
单调
3.已知函数
．
(2)若函数
在
增，求
单调递
的取
范
．
值
围
4.已知函数
(2)设
，
函数
讨论
在
上的
性；
单调
5.
函数
设
．
(1)求
的
区
；
单调
间
6.已知函数
.
(1)讨论
的
性；
单调
7.已知函数
．
(1)讨论
的
性；
单调
8.已知
且
，函数
．
(1)当
，求
时
的
区
；
单调
间
9.已知函数
．
(1)讨论
的
性；
单调
10.
函数
设
，其中
.
(1)讨论
的
性；
单调
11.已知函数
.
(1)当
，
时讨论
的
性；
单调
12.已知函数f(x)=sin2xsin2x.
(1)讨论f(x)在区间(0，π)的
性；
单调
13.已知函数f (x)= x
2−x +a(ln x−2 x)，(a∈R)．
(1)若函数y = f (x)的
象在
图
x =e
的切
平行于
处
线
x
，求
轴
a 的
；
值
(2)讨论f (x)的
性．
单调
