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重难点培优02 抽象函数的定义域、求值、解析式、单调性、
奇偶性（对称）、周期性的应用
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01 知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1
02 题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................3
题型一 抽象函数的定义域（★★★）........................................................................................................3
题型二 抽象函数的求值问题（★★★★）................................................................................................4
题型三 抽象函数的解析式（★★★★）....................................................................................................5
题型四 抽象函数的奇偶性（★★★）........................................................................................................6
题型五 抽象函数的单调性（定义法）（★★★）....................................................................................6
题型六 抽象函数的周期性（★★★★★）................................................................................................8
题型七 抽象函数的对称性（★★★★★）................................................................................................9
03 实战检测・分层突破验成效........................................................................................................10
检测Ⅰ组 重难知识巩固..............................................................................................................................10
检测Ⅱ组 创新能力提升..............................................................................................................................13
【注意：本专题以赋值法为主干去破解相关难题，掌握模型可以快速解题】
1、常见的抽象函数模型
【反比例函数模型】
反比例函数：
，则
，
【一次函数模型】
模型1：若
，则
；
模型2：若
，则
为奇函数；
模型3：若
则
；
模型4：若
则
；
【指数函数模型】
模型1：若
，则
；
模型2：若
，则
；
模型3：若
，则
；
模型4：若
，则
；
【对数函数模型】
模型1：若
，则
模型2：若
，则
模型3：若
，则
模型4：若
，则
模型5：若
，则
【幂函数模型】
模型1：若
，则
模型2：若
，则
代入
则可化简为幂函数；
【正弦函数模型】
对于正弦函数
，与其对应的抽象函数为
注： 此抽象函数对应于正弦平方差公式：
【余弦函数模型】
对于余弦型函数
，涉及2 种余弦的和差化积公式
1、公式一：
其抽象函数模型是：
2、公式二：
其抽象函数模型是：
3、若
，则
【正切函数模型】
模型：若
，则
2、其他技巧
（1）观察不等式两端的特点，化为同类函数；
（2）借助函数的单调性，脱掉“ f ”；
（3）注意定义域及单调区间，特别是对数函数中真数大于0.
题型一 抽象函数的定义域
【技巧通法·提分快招】
抽象函数的定义域的求法
(1)若已知函数f (x)的定义域为[a，b]，则复合函数f (g(x))的定义域由a≤g(x)≤b 求出．
(2)若已知函数f (g(x))的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为g(x)在x [
∈a，b]时的值域．
注：求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用
集合或区间来表示.
1．已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三下·湖南长沙·月考）已知函数
的定义域和值域分别为
和
，则函数
的定义域和值域分别为（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
4．若函数
的定义域为
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·湖北武汉·二模）已知函数
的定义域为
，则函数
的定义域为
.
6．（24-25 高三上·湖南邵阳·月考）已知函数
的定义域是
，则函数
的定
义域为 ．
题型二 抽象函数的求值问题
【技巧通法·提分快招】
一般采用赋值法，0,1，x,-x 是常见的赋值手段，或者是代入……，
，……等特殊值求解；
1．若对任意的
，函数
满足
，则
（ ）
A．6
B．4
C．2
D．0
2．函数
定义域为
，对任意
，
都有
，又
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）已知定义在
上函数
满足
，若
，
则
（ ）
A．1
B．16
C．128
D．256
4．（2025·重庆·三模）已知定义在
上的函数
满足对任意的
. 则
（ ）
A．
B．0
C．2
D．1
5．（2025·广东深圳·模拟预测）已知函数
满足：
，
，
，若
，则
（ ）
A．2022
B．2023
C．2024
D．2025
题型三 求抽象函数的解析式
1．（2025·江西萍乡·三模）已知定义在
上的函数
满足对于任意实数x，y 均有
，且
，则
（ ）
A．675
B．1350
C．2025
D．4050
2．（2025·安徽·模拟预测）已知函数
满足
，则以下结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三上·广东·开学考试）已知函数
满足
，则下列结论中正
确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知函数
的定义域为
，对于任意实数
，
满足
，且
，则
（ ）
A．1012
B．2023
C．2024
D．4046
5．（2025·福建泉州·模拟预测）已知定义在
上的函数
满足
，且
，则（ ）
A．
B．方程
有解
C．
D．
6．（2025·辽宁·一模）对任意
，都有
，且
不恒为0，函数
，则
（ ）
A．0
B．2
C．4
D．6
7．已知函数
的定义域为
，且
，则下列选项不正确的是
（ ）
A．
B．
为偶函数
C．
D．
在区间
上单调递减
8．已知函数
的定义域为
，且满足：
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
为偶函数
D．
为奇函数
题型四 抽象函数的奇偶性
【技巧通法·提分快招】
令式子中出现
及
判定抽象函数的奇偶性
1．已知函数
对任意实数
，
都满足
，且
，
，
则函数
是（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．既奇又偶函数
D．非奇非偶函数
2．（24-25 高三上·山东济宁·期中）已知函数
的定义域为
，满足
，
则下列说法正确的是（ ）
A．
是偶函数
B．
是奇函数
C．
是奇函数
D．
是偶函数
3．已知函数
满足
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高三上·江苏扬州·期中）已知
，且
，则
是（
）
A．偶函数
B．奇函数
C．非奇非偶函数
D．不能确定
5．（2024·山西·一模）已知函数
是定义在
上不恒为零的函数，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
为偶函数
D．
为奇函数
题型五 抽象函数的单调性（定义法）
【技巧通法·提分快招】
1、令式子中出现
的变换判定单调性；
2、单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题
①
在
上是奇函数，且
单调递增
若解不等式
，则有
；
在
上是奇函数，且
单调递减
若解不等式
，则有
；
②
在
上是偶函数，且
在
单调递增
若解不等式
，则有
（不
变号加绝对值）；
在
上是偶函数，且
在
单调递减
若解不等式
，则有
（变号
加绝对值）；
③
关于
对称，且
单调递增
若解不等式
，则有
；
关于
对称，且
单调递减
若解不等式
，则有
；
④
关于
对称，且
在
单调递增
若解不等式
，则有
（不变号加绝对值）；
关于
对称，且
在
单调递减
若解不等式
，则有
（不变号加绝对值）；
1．已知函数
的定义域为R，对任意实数
满足
．且
，当
时，
，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．
为增函数
D．
为奇函数
2．已知函数
的定义域为
，且
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
为偶函数
D．
为增函数
3．已知定义域为R 的函数
满足
，
，当
时，
．
(1)用定义法证明：
在定义域内单调递增；
(2)记函数
，判断
的奇偶性，并证明你的结论．
4．设定义在
上的函数
满足：①对
，都有
；②当
时，
；③不存在
，使得
.
(1)求证：
为奇函数；
(2)求证：
在R 上单调递增；
5．已知定义在
上的函数
满足：对
，都有
，且当
时，
.
(1)判断函数
的奇偶性并用定义证明；
(2)判断函数
在
上的单调性，并用单调性定义证明；
(3)解关于的不等式
.
题型六 抽象函数的周期性
【技巧通法·提分快招】
1、换
为
确定周期性.
2、
；
；
；（
为常数）；
1．（2024·四川·模拟预测）已知函数
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·福建厦门·一模）已知函数
的定义域为
，
，
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．4
3．（24-25 高三上·广东广州·月考）已知函数
的定义域为R，且
，
，则
（ ）
A．
B．4
C．0
D．
4．已知函数
的定义域为
，且
，则下列选项不正确的是
（ ）
A．
B．
为偶函数
C．
D．
在区间
上单调递减
5．（23-24 高三上·安徽·月考）已知函数
的定义域为
，任取x，
，当
时恒有
成立，且存在正数m 使得
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
6．（2025·河北保定·一模）已知函数
的定义域为
，且
为偶函数，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
题型七 抽象函数的对称性
【技巧通法·提分快招】
1、对称轴：
或者
关于
对称；
2、对称中心：
或者
关于
对称；
3、如果
同时关于
对称，又关于
对称，则
的周期
1．已知连续函数
的定义域为
，若
，且
，则函数
的图象的对称轴为直线（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·甘肃庆阳·一模）已知函数
的定义域为R，
，
，则下列
结论错误的是（ ）
A．
B．
是奇函数
C．
D．
的图象关于点
对称
3．（2024·贵州遵义·二模）已知定义在
上的函数
满足：
，且
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
的周期为4
C．
关于
对称
D．
在
单调递
减
4．（2025·青海海东·二模）（多选题）已知函数
的定义域为
，对任意
，均满足
，且
，则（ ）
A．函数
为偶函数
B．8 是
的一个周期
C．
的图象关于点
对称
D．
5．（24-25 高三上·安徽·期中）（多选题）已知定义在
上的函数
满足：对
，
，且
，函数
为偶函数，则（ ）
A．
B．
C．
为偶函数
D．
6．（23-24 高三下·海南省直辖县级单位·开学考试）（多选题）已知定义域为
的函数
对任意实数
都有
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．函数
的图象关于点
对称
D．
检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（24-25 高三上·江苏扬州·开学考试）已知函数
的定义域为
，则
的定义域为
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·四川南充·开学考试）已知定义在
上的函数
对任意的实数
都有
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·湖北·三模）已知定义在正整数集上的函数
满足
，且有
，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
4．已知对于每一对正实数
，
，函数
满足：
，若
，则满足
的
为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
5．已知定义域为
的函数
满足
，给出以下结论：①
；②
；
③
；④
是奇函数.所有正确结论的序号是（ ）
A．①②
B．①③
C．①③④
D．①②④
6．（2025·贵州铜仁·模拟预测）设函数
的定义域为
，且
，若
，且
不恒等于0，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
7．（2024·河南·模拟预测）已知函数
的定义域为R，对于任意实数x，y 满足
，且
，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
为偶函数
C．
为奇函数
D．
8．（24-25 高三上·贵州贵阳·月考）若函数
的定义域为
，且
，则
（ ）
A．
B．0
C．
D．
9．（2024·广西南宁·一模）已知函数
的定义域为
，且当
时，
，则（ ）
A．
B．
是偶函数
C．
是增函数
D．
是周期函数
10．（2025·甘肃定西·模拟预测）若定义在
上的函数
满足对任意
均有
，则称
为“
函数”.已知
为“
函数”，且
，
，则
（ ）
A．
B．0
C．
D．1
11．（2024·云南昆明·三模）函数
在
上的图象是一条连续不断的曲线，且与
轴有且仅有一个
交点，对任意
，
，
，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
在
单调递减
D．若
，则
12．（多选题）已知函数
对任意实数
，
都满足
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
是偶函数
B．
C．
D．
13．（2025·江西·模拟预测）（多选题）已知定义在R 上的函数
满足：
，
，且
，则（ ）
A．
B．
可能是偶函数
C．
的图象不可能关于点
对称
D．若
，
，则
在
上单调递增
14．（多选题）已知定义在
上的函数
满足：对
，
，
，且
，
，定义：
，则以下结论正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（24-25 高三上·山西太原·期中）（多选题）已知定义域为
的函数
满足对于任意x，
，都
有
，且
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
的图象关于点
对称
C．
的图象关于直线
对称
D．
16．（2025·广东深圳·二模）（多选题）已知函数
的定义域为
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
为偶函数
D．
的最大值为
17．已知函数
的定义域为
，对任意实数u，v，都有
成立，且当
时，
.
(1)判断
的奇偶性；
(2)证明：
在
上单调递增；
(3)判断命题“对任意正有理数
”的真假，并说明理由.
18．已知函数
对于任意实数
，都有
，且
.
(1)求
的值；
(2)令
，求证:函数
为奇函数；
(3)求
的值.
19．定义在
上的非常值函数
、
，若对任意实数x、y，均有
，则称
为
的相关函数.
(1)判断
是否为
的相关函数，并说明理由；
(2)若
为
的相关函数，证明：
为奇函数；
(3)在（2）的条件下，如果
，
，当
时，
，且
对所有
实数
均成立，求满足要求的最小正数
，并说明理由.
检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2025·江西南昌·二模）已知函数
满足
，
且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·青海·二模）已知定义在
上的函数
，其导数为
，且满足
，
，
，给出下列四个结论：①
为奇函数；②
；③
：④
在
上单调递减.其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①②
B．①③
C．②③④
D．①②④
3．（2024·四川泸州·二模）已知
，
都是定义在
上的函数，对任意
，
满足
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若
，则
C．函数
的图像关于直线
对称
D．
4．（2025·河南信阳·二模）（多选题）已知定义在
上的函数
满足
，且当
时，
，则下列错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高三下·河南·月考）（多选题）已知函数
的定义域为
，满足
，则（ ）
A．
B．
是奇函数
C．当
时，
D．
（
，且
）
6．（2024·湖南益阳·模拟预测）已知函数
的定义域为
．对任意的
恒有
，且
，
．则
．
