曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
4.2 利用导数研究函数的单调性、极值和最值
考点一 利用导数研究函数的单调性
1
1.(2016课标Ⅰ文,12,5分)若函数f(x)=x- sin 2x+asin x在(-∞,+∞)单调递增,则a的取值范围是( )
3
A.[-1,1] B.[ 1]
−1,
3
C.[ 1 1] D.[ 1]
− , −1,−
3 3 3
2 2 4 5
答案 C f '(x)=1- cos 2x+acos x=1- (2cos2x-1)+acos x=- cos2x+acos x+ , f(x)在R上单调递增,则f
3 3 3 3
4 5
'(x)≥0在R上恒成立,令cos x=t,t∈[-1,1],则- t2+at+ ≥0在[-1,1]上恒成立,即4t2-3at-5≤0在[-1,1]上恒成立,
3 3
令g(t)=4t2-3at-5,则{ g(1)=4−3a−5≤0, 解得-1≤a≤1,故选C.
g(−1)=4+3a−5≤0, 3 3
疑难突破 由函数的单调性求参数范围,利用导数将问题转化为恒成立问题,再利用二次函数来解决.
评析 本题考查由函数的单调性求参数范围,利用导数将问题转化为恒成立问题,再利用二次函数来解决即
可.
2.(2015课标Ⅱ理,12,5分)设函数f '(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数, f(-1)=0,当x>0时,xf '(x)-f(x)<0,则使得
f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(-1,0) D.(0,1)∪(1,+∞)
答案 A 令g(x)=f(x),则g'(x)=xf '(x)−f(x),由题意知,当x>0时,g'(x)<0,∴g(x)在(0,+∞)上是减函
x x2
数.
∵f(x)是奇函数, f(-1)=0,∴f(1)=-f(-1)=0,
f(1)
∴g(1)= =0,
1
∴当x∈(0,1)时,g(x)>0,从而f(x)>0;
当x∈(1,+∞)时,g(x)<0,从而f(x)<0.曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
f(−x) −f(x) f(x)
又∵g(-x)= = = =g(x),∴g(x)是偶函数,
−x −x x
∴当x∈(-∞,-1)时,g(x)<0,从而f(x)>0;
当x∈(-1,0)时,g(x)>0,从而f(x)<0.
综上,所求x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1).
评析 出现xf '(x)+f(x)>0(<0)时,考虑构造函数F(x)=xf(x);出现xf '(x)-f(x)>0(<0)时,考虑构造函数g(x)=
f(x)
.
x
3.(2015课标Ⅰ理,12,5分)设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x 使得f(x)<0,则a的取值范
0 0
围是( )
A.[ 3 ) B.[ 3 3) C.[ 3 3) D.[ 3 )
− ,1 − , , ,1
2e 2e 4 2e 4 2e
答案 D 由f(x
0
)<0,即ex 0(2x
0
-1)-a(x
0
-1)<0得ex 0(2x
0
-1)<a(x
0
-1).
当x=1时,得e<0,显然不成立,所以x≠1.
0 0
若x 0 >1,则a>
ex 0(2x
0
−1).
x −1
0
令g(x)=ex (2x−1),则g'(x)=
2xex(
x−
3)
.
2
x−1
(x−1) 2
当x∈( 3)时,g'(x)<0,g(x)为减函数,
1,
2
当x∈(3 )时,g'(x)>0,g(x)为增函数,
,+∞
2
5
要满足题意,则x=2,此时需满足g(2)<a≤g(3),得3e2<a≤ e3,与a<1矛盾,所以x<1.
0 0
2
因为x 0 <1,所以a<
ex 0(2x
0
−1).
x −1
0
易知,当x∈(-∞,0)时,g'(x)>0,g(x)为增函数,
当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)为减函数,
要满足题意,则x=0,此时需满足g(-1)≤a<g(0),
0曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
3
得 ≤a<1(满足a<1).故选D.
2e
评析 本题主要考查导数的应用及分类讨论思想,分离参变量是解决本题的关键,本题综合性较强,属难题.
4.(2014课标Ⅰ,理11,文12,5分)已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x,且x>0,则a的取值范围是
0 0
( )
A.(2,+∞) B.(1,+∞)
C.(-∞,-2) D.(-∞,-1)
答案 C (1)当a=0时,显然f(x)有两个零点,不符合题意.
2
(2)当a≠0时, f '(x)=3ax2-6x,令f '(x)=0,解得x=0,x= .
1 2
a
当a>0时,2>0,所以函数f(x)=ax3-3x2+1在(-∞,0)与(2 )上为增函数,在( 2)上为减函数,因为f(x)
,+∞ 0,
a a a
存在唯一零点x,且x>0,则f(0)<0,即1<0,不成立.
0 0
当a<0时,2<0,所以函数f(x)=ax3-3x2+1在( 2)和(0,+∞)上为减函数,在(2 )上为增函数,因为f(x)
−∞, ,0
a a a
存在唯一零点x
0
,且x
0
>0,则f(2)>0,即a· 8 -3· 4 +1>0,解得a>2或a<-2,又因为a<0,故a的取值范围为(-
a a3 a2
∞,-2).选C.
5.(2014课标Ⅱ文,11,5分)若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)单调递增,则k的取值范围是( )
A.(-∞,-2] B.(-∞,-1]
C.[2,+∞) D.[1,+∞)
1 1
答案 D 依题意得f '(x)=k- ≥0在(1,+∞)上恒成立,即k≥ 在(1,+∞)上恒成立,
x x
1
∵x>1,∴0< <1,
x
∴k≥1,故选D.
6.(2019课标Ⅲ文,20,12分)已知函数f(x)=2x3-ax2+2.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)当0<a<3时,记f(x)在区间[0,1]的最大值为M,最小值为m,求M-m的取值范围.
解析 本题考查函数的导数及其应用的基础知识,考查导数与函数单调性之间的关系以及利用导数求函数
最值的方法,考查学生的运算求解能力、推理论证能力以及分类讨论思想的应用.曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
(1)f '(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).
a
令f '(x)=0,得x=0或x= .
3
若a>0,则当x∈(-∞,0)∪(a )时, f '(x)>0;
,+∞
3
当x∈( a)时, f '(x)<0.
0,
3
故f(x)在(-∞,0),(a )单调递增,在( a)单调递减;
,+∞ 0,
3 3
若a=0, f(x)在(-∞,+∞)单调递增;
若a<0,则当x∈( a)∪(0,+∞)时, f '(x)>0;
−∞,
3
当x∈(a )时, f '(x)<0.
,0
3
故f(x)在( a),(0,+∞)单调递增,在(a )单调递减.
−∞, ,0
3 3
(2)当0<a<3时,由(1)知, f(x)在( a)单调递减,在(a )单调递增,所以f(x)在[0,1]的最小值为f(a)=-
0, ,1
3 3 3
a3
+2,最大值为f(0)=2或f(1)=4-a.
27
a3 {4−a,0<a<2,
于是m=- +2,M=
27 2,2≤a<3.
{
a3
2−a+ ,0<a<2,
27
所以M-m=
a3
,2≤a<3.
27
当0<a<2时,可知2-a+a3 单调递减,所以M-m的取值范围是( 8 ).
,2
27 27曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
当2≤a<3时,a3 单调递增,所以M-m的取值范围是[ 8 ).
,1
27 27
综上,M-m的取值范围是[ 8 ).
,2
27
规律总结 含参函数单调性的讨论,关键在于确定参数的分界值,确定分界值的顺序:(1)f'(x)最高次项系数是
否等于0;(2)方程f'(x)=0是否有实数解;(3)方程f'(x)=0的解是否在定义域内;(4)f'(x)=0的解x,x 之间的大小
1 2
比较.
易错警示 解题时,易犯以下两个错误:①对参数a未讨论或对a分类讨论不全面,尤其易忽略a=0的情形而
导致失分;②当a>0时, f(x)在(-∞,0),(a )单调递增,将这两个区间合并表示为f(x)在(-∞,0)∪
,+∞
3
(a )单调递增导致错误,从而失分.
,+∞
3
7.(2019浙江,22,15分)已知实数a≠0,设函数f(x)=aln x+√1+x,x>0.
3
(1)当a=- 时,求函数f(x)的单调区间;
4
(2)对任意x∈[ 1
,+∞
)均有f(x)≤√x,求a的取值范围.
e2 2a
注:e=2.718 28…为自然对数的底数.
解析 本题主要考查函数的单调性,导数的运算及其应用,同时考查逻辑思维能力和综合应用能力.考查数学
抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养.
3 3
(1)当a=- 时,f(x)=- ln x+√1+x,x>0.
4 4
f '(x)=- 3 + 1 =(√1+x−2)(2√1+x+1),
4x 2√1+x 4x√1+x
所以,函数f(x)的单调递减区间为(0,3),单调递增区间为(3,+∞).
1 √2
(2)由f(1)≤ ,得0<a≤ .
2a 4
√2 √x √x 2√1+x
当0<a≤ 时,f(x)≤ 等价于 - -2ln x≥0.
4 2a a2 a曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
令t= 1 ,则t≥2 .设g(t)=t2 -2t -2ln x,t≥2 ,则g(t)= ( √ 1) 2 - 1+x -2ln x.
√2 √x √1+x √2 √x t− 1+
a x √x
(i)当x∈[1 )时,√ 1≤2 ,
,+∞ 1+ √2
7 x
则g(t)≥g(2√2)=8√x-4√2√1+x-2ln x.
1
记p(x)=4√x-2√2√1+x-ln x,x≥ ,
7
2 √2 1 2√x√x+1−√2x−√x+1
则p'(x)= - - =
√x √x+1 x x√x+1
=
(x−1)[1+√x(√2x+2−1)]
.
x√x+1(√x+1)(√x+1+√2x)
故
1 (1 )
x ,1 1 (1,+∞)
7 7
p'(x) - 0 +
(1)
p(x) p 单调递减 极小值p(1) 单调递增
7
所以,p(x)≥p(1)=0.
因此,g(t)≥g(2√2)=2p(x)≥0.
(ii)当x∈[ 1 1)时,
,
e2 7
g(x)≥g(√ 1)= −2√xlnx−(x+1).
1+
x 2√x
令q(x)=2 ln x+(x+1),x∈[ 1 1],
√x ,
e2 7
lnx+2
则q'(x)= +1>0,
√x
故q(x)在[ 1 1]上单调递增,
,
e2 7曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
所以q(x)≤q(1).
7
由(i)得,q(1)=-2√7p(1)<-2√7p(1)=0.
7 7 7 7
所以,q(x)<0.
因此,g(t)≥g(√ 1)=- q(x)>0.
1+
x 2√x
由(i)(ii)知对任意x∈[ 1
,+∞
),t∈[2
√2
,+∞),g(t)≥0,即对任意x∈[ 1
,+∞
),
e2 e2
√x
均有f(x)≤ .
2a
综上所述,所求a的取值范围是( √2].
0,
4
疑难突破 (1)导函数f '(x)通分后,对分子的因式分解比较困难,可以选择先求分子等于0时的根,从而确定
根两侧导函数的正负.
(2)先对本题复杂不等式化简变形是解题的切入点,由于a的范围太大,借助恒成立的条件用特殊值缩小a的
范围是解题的关键,另外,对双变量不等式,合理确定主元,是解决本题的思维转折点.
8.(2017课标Ⅰ文,21,12分)已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)≥0,求a的取值范围.
解析 本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值.
(1)函数f(x)的定义域为(-∞,+∞), f '(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a).
①若a=0,则f(x)=e2x,在(-∞,+∞)单调递增.
②若a>0,则由f '(x)=0得x=ln a.
当x∈(-∞,ln a)时, f '(x)<0;
当x∈(ln a,+∞)时, f '(x)>0.
故f(x)在(-∞,ln a)单调递减,在(ln a,+∞)单调递增.
③若a<0,则由f '(x)=0得x=ln( a).
−
2曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
当x∈( ( a))时,f '(x)<0;
−∞,ln −
2
当x∈( ln ( − a) ,+∞ )时, f '(x)>0.
2
故f(x)在(
−∞,ln
(
−
a))单调递减,在(
ln
(
−
a)
,+∞
)单调递增.
2 2
(2)①若a=0,则f(x)=e2x,所以f(x)≥0.
②若a>0,则由(1)得,当x=ln a时, f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a2ln a,从而当且仅当-a2ln a≥0,即a≤1时,
f(x)≥0.
③若a<0,则由(1)得,当x=ln( a)时, f(x)取得最小值,最小值为f( ( a))=a2[3 ( a)] .
− ln − −ln −
2 2 4 2
从而当且仅当a2[3 ( a)] ≥0,
−ln −
4 2
3
即a≥-2 时, f(x)≥0.
e4
3
综上,a的取值范围是[-2 ,1].
e4
考点二 利用导数研究函数的极值、最值
1.(2017浙江,7,5分)函数y=f(x)的导函数y=f '(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是( )
答案 D 本题考查函数图象的识辨,利用导数判断函数的单调性和极值.
不妨设导函数y=f '(x)的零点依次为x,x,x,其中x<0<x<x,由导函数图象可知,y=f(x)在(-∞,x)上为减函数,
1 2 3 1 2 3 1
在(x,x)上为增函数,在(x,x)上为减函数,在(x,+∞)上为增函数,从而排除A,C.y=f(x)在x=x,x=x 处取到极小
1 2 2 3 3 1 3
值,在x=x 处取到极大值,又x>0,排除B,故选D.
2 2
方法总结 函数图象的识辨方法:曲一线 2023版《5年高考3年模拟》B版
1.利用函数图象上的特殊点(如函数图象与x轴、y轴的交点,函数图象上的最高点、最低点等)来识辨.
2.利用函数的定义域,在某个区间上的值域来识辨.
3.利用函数的单调性、极值(常用导数来判断)和函数的周期性来识辨.
4.利用函数的零点来识辨.
5.利用函数的奇偶性来识辨,若函数是奇(或偶)函数,则其图象关于原点(或y轴)对称.
6.利用函数图象的中心对称和轴对称来识辨.
7.利用函数图象的渐近线来识辨.如指数型函数、对数型函数、幂函数(指数为负)型函数(含反比例函数)、
正切型函数等,其图象都有渐近线.
2.(2016四川文,6,5分)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=( )
A.-4 B.-2 C.4 D.2
答案 D 由题意可得f '(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),令f '(x)=0,得x=-2或x=2,
则f '(x), f(x)随x的变化情况如下表:
x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞)
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴函数f(x)在x=2处取得极小值,则a=2.故选D.
评析 本题考查了函数的极值问题.正确理解函数的极值点的概念是解题的关键.
πx
3.(2014课标Ⅱ理,12,5分)设函数f(x)=√3sin .若存在f(x)的极值点x 满足x2+[f(x)]2<m2,则m的取值范
m 0 0 0
围是( )
A.(-∞,-6)∪(6,+∞) B.(-∞,-4)∪(4,+∞)
C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
√3π πx
答案 C f '(x)= cos ,
m m
∵f(x)的极值点为x,
0
√3π πx
0
∴f '(x)=0,∴ cos =0,
0
m m
π π
∴ x=kπ+ ,k∈Z,
0
m 2
m
∴x=mk+ ,k∈Z,
0
2
又∵ x2 +[f(x 0 )]2<m2,
0
