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第七章 复数
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
一、基础巩固
1．已知 是虚数单位，复数 的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
复数 的虚部为 .
2．已知 为虚数单位，则 等于（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【详解】
，
3．设复数 (其中 ， 为虚数单位)，则“ ”是“ 为纯虚数”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】B
【详解】
若复数 是纯虚数，则 ， ，
则 不能证得 为纯虚数， 为纯虚数可以证得 ，
故“ ”是“ 为纯虚数”的必要非充分条件，4．已知 为虚数单位，若 为纯虚数，则实数 的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为 ，
又 为纯虚数，所以 ，即 .
5．若 是纯虚数，则 （ ）
A． 或2 B．2 C． D．3
【答案】C
【详解】
解： 是纯虚数，
，
解得： .
6．已知复数z满足 ，(其中i为虚数单位)，则复数z的虚部为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【详解】
解： ，
，
的虚部是 ，7．已知复数 ，则（ ）
A． 的虚部为 B． 的实部为2 C． D．
【答案】B
【详解】
因为 ，
所以复数 的实部为2，
8．若 是纯虚数，则实数 的值为（ ）．
A． B．0 C．1 D．
【答案】C
【详解】
由题 是纯虚数，
为纯虚数，
所以m=1.
9．在下列命题中，正确命题的个数是（ ）.
①两个复数不能比较大小；
②复数 对应的点在第四象限；
③若 是纯虚数，则实数 ；
④若 ，则 .
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【详解】对于①中，例如复数 ，此时 ，所以①是错误的；
对于②中，复数 对应的点坐标为 位于第二象限，所以②是错误的；
对于③中，若 是纯虚数，则满足 ，解得 ，
所以③是正确的；
对于④中，例如 ，则 ，所以④错误的.
10．（多选）已知复数 ，则（ ）
A． B． 的虚部是
C．若 ，则 ， D．
【答案】CD
【详解】
对于A选项，取 ，则 ，A选项错误；
对于B选项，复数 的虚部为 ，B选项错误；
对于C选项，若 ，则 ， ，C选项正确；
对于D选项， ，D选项正确.
11．（多选）已知复数 满足 ，则 可能为（ ）.
A．0 B． C． D．
【答案】AC
【详解】
令 ，代入 ，
得 ，解得 ，或 ，或 ，
所以 ，或 ，或 .
12．（多选）若复数 ，其中 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）
A． 的虚部为 B．
C． 为纯虚数 D． 的共轭复数为
【答案】ABC
【详解】
因为 ，
对于A： 的虚部为 ，正确；
对于B：模长 ，正确；
对于C：因为 ，故 为纯虚数，正确；
对于D： 的共轭复数为 ，错误.
二、拓展提升
13．已知复数 ，当 取何实数值时，复数 是：
（1）纯虚数；
（2） .
【答案】（1） ；（2） .
【详解】
（1）若复数是纯虚数，则 ，解得 ，所以（2）利用复数相等的条件实部与虚部分别相等可得 ，
解得 ，即
14．（1）设 为虚数单位，若复数 是纯虚数，求实数 的取值范围；
（2）已知 （ 是虚数单位）是关于 的方程 的根， 、 ，求 的值.
【答案】（1） ；（2）1.
【详解】
（1）由已知得 ，
解得 ；
（2）由已知得 ，
，
，解得 ，
.
15．设z＝2x+1+（x2﹣3x+2）i，z＝x2﹣2+（x2+x﹣6）i（x∈R）．
1 2
（1）若z 是纯虚数，求实数x的取值范围；
1
（2）若z＞z，求实数x的取值范围．
1 2
【答案】(1) ; (2) .
【详解】
解：(1)由题意知， ，解得 且 ，即 .(2)由题意知， 均为实数，即 ，解得 ，
即 ，满足 ，则 .
