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专题 08 函数中的情景题与数学文化题
一、单选题
1．（2023届福建省三明市高三三模）17世纪，法国数学家马林·梅森在欧几里得､费马等人研究的基础上，
对 （ 为素数）型的数作了大量的研算，他在著作《物理数学随感》中断言：在 的素数中，
当 ，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时， 是素数，其它都是合数.除了 和
两个数被后人证明不是素数外，其余都已被证实.人们为了纪念梅森在 型素数研究中所做的开
创性工作，就把 型的素数称为“梅森素数”，记为 .几个年来，人类仅发现51个梅森素数，
由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们答为“数海明珠”.已知第7个梅森素数 ，第8个梅森
素数 ，则 约等于（参考数据： ）（ ）
A．17.1 B．8.4 C．6.6 D．3.6
2．（2023届海南省高三上学期期末学业水平诊断）天文学中常用“星等”来衡量天空中星体的明亮程度，
一个望远镜能看到的最暗的天体星等称为这个望远镜的“极限星等”．在一定条件下，望远镜的极限星等
M与其口径D（即物镜的直径，单位：mm）近似满足关系式 ，例如： 口径的望远镜
的极限星等约为10.3．则 口径的望远镜的极限星等约为（ ）
A．12.8 B．13.3 C．13.8 D．14.3
3．（2023届四川省绵阳市高三下学期3月月考）通过加强对野生动物的栖息地保护和拯教繁育，某濒危
野生动物的数量不断增长，根据调查研究，该野生动物的数量 （t的单位：年），其中K为栖息地所能承受该野生动物的最大数量.当 时，该野生动物的濒危程度降到较为安全的级
别，此时 约为（ ）（）
A．9 B．10 C．11 D．12
4．（2023届陕西省咸阳市武功县高三下学期5月模拟）陕西榆林神木石峁遗址发现于1976，经过数十年
的发掘研究，已证实是中国已发现的龙山晚期到夏早期规模最大的城址，出土了大量玉器、陶器、壁画、
房屋、城池、人体骨骼等遗迹，2019年科技人员对遗迹中发现的某具人娄骨骼化石进行碳14测定年代，
公式为： （其中 为样本距今年代， 为现代活体中碳14放射性丰度， 为测定样
本中碳14放射性丰度），已知现代活体中碳14放射性丰度 ，该人类骨骼碳14放射性丰度
，则该骨骼化石距今的年份大约为（ ）（附： ， ，
）
A．3353 B．3997 C．4125 D．4387
5．（2024届重庆市第八中学校高三上学期测试）随着新一代人工智能技术的快速发展和突破，以深度学
习计算模式为主的AI算力需求呈指数级增长.现有一台计算机每秒能进行 次运算，用它处理一段自
然语言的翻译，需要进行 次运算，那么处理这段自然语言的翻译所需时间约为（参考数据：
， ）（ ）
A． 秒 B． 秒 C． 秒 D． 秒
6．（2024届江西省宜春市丰城市江西省丰城中学高三上学期开学考）“ChatGPT”以其极高的智能化引起
世界关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优
化中，指数衰减的学习率模型为 ，其中 表示每一轮优化时使用的学习率， 表示初始学习率，表示衰减系数， 表示训练迭代轮数， 表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率
为 ，衰减速度为 ，且当训练迭代轮数为 时，学习率为 ，则学习率衰减到 以下（不含 ）所
需的训练迭代轮数至少为（参考数据： ）（ ）
A．75 B．74 C．73 D．72
7．（2023届浙江省金丽衢十二校高三下学期第二次联考）提丢斯一波得定则，简称“波得定律”，是表
示各行星与太阳平均距离的一种经验规则.它是在1766年德国的一位中学教师戴维·提丢斯发现的.后来被柏
林天文台的台长波得归纳成了一个如下经验公式来表示：记太阳到地球的平均距离为1，若某行星的编号
为n，则该行星到太阳的平均距离表示为 ，那么编号为9的行星用该公式推得的平均距离位于
（ ）
金 土
行星 星 地球 火星 谷神星 木星 星 天王星 海王星
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
公式推得值 0.7 1 1.6 2.8 5.2 10 19.6 38.8
实测值 0.72 1 1.52 2.9 5.2 9.54 19.18 30.06
A． B． C． D．
8．（2023届上海市七宝中学高三5月第二次模拟）某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标
的企业要限期整改、设企业的污水排放量 与时间t的关系为 ，用 的大小评价在
这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下
图所示.则下列正确的命题是（ ）
A．在 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱；B．在 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱；
C．在 时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标；
D．甲企业在 ， ， 这三段时间中，在 的污水治理能力最强
9．（2023届安徽省A10联盟高三最后一卷）19世纪美国天文学家西蒙·纽康在翻阅对数表时，偶然发现表
中以1开头的数出现的频率更高．约半个世纪后，物理学家本·福特又重新发现这个现象，从实际生活得出
的大量数据中，以1开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出本·福特定律，即在大量 进制随机数据
中，以 开头的数出现的概率为 ，如斐波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后
来常有数学爱好者用此定律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若
（ ， ），则 的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（2024届北京市景山学校高三上学期开学考试）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊
空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内
空气中二氧化碳最高容许浓度为 .经测定，刚下课时，空气中含有 的二氧化碳，若开窗通风后
教室内二氧化碳的浓度为 ，且y随时间t（单位：分钟）的变化规律可以用函数
描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间t（单位：分钟）的最小整数值为（ ）
（参考数据 ）
A．5 B．7 C．9 D．10
11．（2024届陕西省渭南市富平中学高三上学期开学考试）2023年2月27日，学堂梁子遗址入围2022年
度全国十大考古新发现终评项目．该遗址先后发现石制品300多件，已知石制品化石样本中碳14质量N随
时间t（单位：年）的衰变规律满足 （ 表示碳14原有的质量）．经过测定，学堂梁子遗址
中某件石制品化石样本中的碳14质量约是原来的 倍，据此推测该石制品生产的时间距今约（ ）．（参考数据： ， ）
A．8037年 B．8138年 C．8237年 D．8337年
12．（2024届湖南省衡阳市第八中学高三上学期开学检测）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数
学家黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛应用，其定义为: 时，
.若数列 ，则下列结论:① 的函数
图像关于直线 对称；② ；③ ；④ ；⑤ .其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②④⑤ C．①③④ D．①④⑤
【
二、多选题
13．（2024届】湖南省长沙市高三上学期入学考试）济南大明湖的湖边设有如图所示的护栏，柱与柱之间
是一条均匀悬链.数学中把这种两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀、柔软的链条，在重力的作用下所
具有的曲线形状称为怠链线.如果建立适当的平面直角坐标系，那么悬链线可以表示为函数
，其中 ，则下列关于悬链线函数 的性质判断正确的是（ ）
A． 为偶函数 B． 为奇函数
C． 的单调递减区间为 D． 的最大值是
14．（2024届贵州省遵义市凤冈县第二中学高三上学期9月月考）星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如，
1等星的星等值为1， 等星的星等值为 .已知两个天体的星等值 ， 和它们对应的亮度 ，
满足关系式 ，关于星等下列结论正确的是（ ）
A．星等值越小，星星就越亮
B．1等星的亮度恰好是6等星的100倍
C．若星体甲与星体乙的星等值的差小于2.5，则星体甲与星体乙的亮度的比值小于
D．若星体甲与星体乙的星等值的差大于10，则星体甲与星体乙的亮度的比值小于
15．欧拉函数 的函数值等于所有不超过 ，且与 互素（两个数的最大公约数为1）的正整数
的个数，例如 .欧拉函数具有以下性质：如果 是互素的正整数，那么
.下列说法中正确的是（ ）
A．
B．若 为素数，则
C．若 为奇数，则
D．若 ，则
16．麦克斯韦妖（Maxwell＇s demon），是在物理学中假想的妖，能探测并控制单个分子的运动，于1871
年由英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的．当时麦克斯韦意识到
自然界存在着与熵增加相拮抗的能量控制机制．但他无法清晰地说明这种机制．他只能诙谐地假定一种
“妖”，能够按照某种秩序和规则把作随机热运动的微粒分配到一定的相格里．麦克斯韦妖是耗散结构的
一个雏形．可以简单的这样描述，一个绝热容器被分成相等的两格，中间是由“妖”控制的一扇小“门”，
容器中的空气分子作无规则热运动时会向门上撞击，“门”可以选择性的将速度较快的分子放入一格，而
较慢的分子放入另一格，这样，其中的一格就会比另外一格温度高，可以利用此温差，驱动热机做功．这是第二类永动机的一个范例．而直到信息熵的发现后才推翻了麦克斯韦妖理论．设随机变量X所有取值为
1，2，…n，且 （ ，2，…n） ，定义X的信息熵 ，则下列
说法正确的有（ ）
A．n=1时
B．n=2时，若 ，则 与 正相关
C．若 ， ，
D．若n=2m，随机变量y的所有可能取值为1,2,…,m，且 （j=1,2,…,m）则
17．（2023届河北省衡水中学高三第四次综合素养测评）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混
沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学､经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数
的周期点是一个关键概念，定义如下：设 是定义在 上的函数，对于 ，令
，若存在正整数 使得 ，且当 时， ，则称 是 的一个
周期为 的周期点.给出下列四个结论正确的是（ ）
A．若 ，则 存在唯一个周期为1的周期点；
B．若 ，则 存在周期为2的周期点；
C．若 ，则 不存在周期为3的周期点；
D．若 ，则对任意正整数 ， 都不是 的周期为 的周期点.
三、填空题
18．（2023届广东省六校联考）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间 均分为三段，
去掉中间的区间段 ，记为第一次操作；再将剩下的两个区间 分别均分为三段，并各自
去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分
别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是
“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于 ，则需要操作的次数 的最小值为 .（参考数
据： ）
19．（2023届江苏省淮安市淮安区高三上学期期中）有一根蜡烛点燃6min后，蜡烛长为17.4cm；点燃
21min后，蜡烛长为8.4cm．已知蜡烛长度l（cm）与燃烧时间t（min）可用直线方程表示，则这根蜡烛从
点燃到燃尽共耗时 min．
20．生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象.若某
入侵物种的个体平均繁殖数量为 ，一年四季均可繁殖，繁殖间隔 为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在
物种入侵初期，可用对数模型 （ 为常数）来描述该物种累计繁殖数量 与入侵时间 （单
位：天）之间的对应关系，且 ，在物种入侵初期，基于现有数据得出 ， .据此估计该
物种累计繁殖数量比初始累计繁殖数量增加 倍所需要的时间为 天. （ ， ）
21．阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主，英国89岁高龄的著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这
一事件引起了数学界的震动.在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个
数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前著名的数学家欧拉也曾研究过这个问题，
并得到小于数字 的素数个数大约可以表示为 的结论.若根据欧拉得出的结论，不用计算器，估
计10000以内的素数个数为 .（ ，计算结果取整数）
22．（2023届四川省宜宾市高三三模）音乐是由不同频率的声音组成的．若音1（do）的音阶频率为f，则
简谱中七个音1（do），2（re），3（mi），4（fa），5（so），6（la），7（si）组成的音阶频率分别是
f， ， ， ， ， ， ，其中后一个音阶频率与前一个音阶频率的比是相邻两个音的台阶．上述七个音的台阶只有两个不同的值，记为 ， ， 称为全音， 称为半音，则
．
