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专题 17.4 勾股定理与最短路径问题的七大类型
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对勾股定理与最短路径问题的七
大类型的理解！
【类型1 平面图形上的“捷径”问题】
1．（2023春·安徽合肥·八年级期末）课间休息时，嘉嘉从教室窗户向外看，看到行人为了从A处快速到达
图书馆B处，直接从长方形草地中穿过．为保护草地，嘉嘉想在A处立一个标牌：“少走■米，踏之何
忍？”如图，若AB＝17米，BC＝8米，则标牌上“■”处的数字是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．11
2．（2023春·湖南岳阳·八年级统考期末）如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷
径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．．
3．（2023春·八年级单元测试）如图，有两条互相垂直的街道a和b ，a路上有一小商店A,b路上有一批
发部B ．小商店主人每次进货都沿着 A—O—B路线到达 B处，然后原路返回．已A,B两处距十字 路口
O的距离分别为 600 米、800 米，如果小商店主人重新选一条最近的路线，那么往返一趟最多可比原来少
走 米．4．（2023春·广东深圳·八年级深圳市高级中学校考期末）某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之
下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知AB=9m，BC=12m，CD=17m，
AD=8m．技术人员通过测量确定了∠ABC=90°．
(1)小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开
辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？
(2)这片绿地的面积是多少？
5．（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）如图，某学校进大门是一直角通道（A→B→C），为方便学生进
入教学楼，学校打开了操场绿色通道（A→C）进行分流，学生可以走“捷径AC”直接到达教学楼，若AB
＝80米，BC＝60米，则走“捷径AC”可以少走多少米？
【类型2 平面图形上的“饮水”问题】
1．（2023春·八年级课时练习）如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为
2，点B到直线b的距离为3，AB2=120．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且
AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB＝（ ）A．6 B．8 C．10 D．1
2．（2023春·河南许昌·八年级校考期末）如图，一个牧童在小河正南方向4km的A处牧马，若牧童从A点
向南继续前行7km到达点C．则此时牧童的家位于C点正东方向8km的B处．牧童打算先把在A点吃草的
马牵到小河边饮水后再回家，请问他应该如何选择行走路径才能使所走的路程最短？最短路程是多少？请
先在图上作出最短路径，再进行计算．
3．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距
离分别为AC=1千米，BD=3千米，CD=3千米.现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自来水
（水管需直接到A、B村）.
(1)水厂应修建在什么地方，可使所用的水管最短（请你在图中设计出水厂的位置）：
(2)如果铺设水管的工程费用为每千米20000元，为使铺设水管费用最节省，请求出最节省的铺设水管的费
用为多少元？
4．（2023春·江苏南京·八年级南京第五初中校考阶段练习）“数学建模”：
(1)模型——小马喝水问题：直线MN表示一条河流的岸，在河流同侧有A、B两地，小马从A地出发到B
地，中间要在河边饮水一次，请在图①中用三角板作出使小马行走最短路程的饮水点P的位置．（保留作
图痕迹）(2)运用——和最小问题：如图②，长方形ABCD，E是BC的中点，AB=4，BC=4√3，P是对角线BD上的
一个动点，求PC＋PE的最小值．
5．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别
为AC、BD，已知AC=200米，BD=600米，且CD=600米．
(1)牧童从A处放牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？
(2)所走最短路程是多少？
6．（2023春·全国·八年级专题练习）在进行13.4《最短路径问题》的学习时，同学们从一句唐诗“白日登
山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐•李颀《古从军行》出发，一起研究了蕴含在其中的数学问题——“将
军饮马”问题．同学们先研究了最特殊的情况，再利用所学的轴对称知识，将复杂问题转化为简单问题，
找到了问题的答案，并进行了证明．下列图形分别说明了以上研究过程．
证明过程如下：如图4，在直线l上另取任一点C'，连结AC',BC',B'C'，
∵点B，B'关于直线l对称，点C，C'在l上，
∴CB=_________，C'B= _________，∴AC+CB=AC+CB'=_________．
在△AC'B'中，∵AB'<AC'+C'B'，∴AC+CB<AC'+C'B'，即AC+CB最小．
(1)请将证明过程补充完整．（直接填在横线上）
(2)课堂小结时，小明所在的小组同学提出，如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上是否存在
一点P，使PB-PA的值最大呢？请你类比“将军饮马”问题的探究过程，先说明如何确定点P的位置，
再证明你的结论是正确的．
(3)如图，平面直角坐标系中， M(2,2),N(4,-1),MN=√13，P是坐标轴上的点，则|PM-PN|的最大值为_________，此时P点坐标为_________．（直接写答案）
7．（2023春·浙江·八年级专题练习）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：
直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．解法：如图1，作点A关于直
线l的对称点A'，连接A'B，则A'B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为A'B．
请利用上述模型解决下列问题：
（1）几何应用：如图2，ΔABC中，∠C=90°，AC=BC=2，E是AB的中点，P是BC边上的一动点，
则PA+PE的最小值为 ；
（2）几何拓展：如图3，ΔABC中，AC=2，∠A=30°，若在AB、AC上各取一点M、N使CM+MN
的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由．
【类型3 圆柱上的最短路径问题】
1．（2023春·山东临沂·八年级统考期末）如图，已知圆柱底面的周长为6，圆柱高为3，在圆柱的侧面上，
过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（ ）
A．4√3 B．2√3 C．3√5 D．6√2
2．（2023春·河南新乡·八年级新乡市第十中学校考期末）如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正上方的B点，已知知圆柱底面周长是3m，高为16m，则所需彩带最短是（ ）m．
A．8 B．5 C．20 D．10
3．（2023春·湖北省直辖县级单位·八年级统考期末）如图，已知圆柱高为8cm，底面圆的周长为12cm，
蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A爬到点B处吃食，那么它爬行的最短路程是（ ）
A．20cm B．15cm C．12cm D．10cm
4．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，这是一个供滑板爱好者使用的U形池，该U形池可以看作是一个
长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为12m的半圆，其边缘AB=CD=20m
（边缘的宽度忽略不计），点E在CD上，CE=4m.一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为
（ ）
A．28m B．24m C．20m D．18m
5．（2023春·四川乐山·八年级统考期末）如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为
12cm，在容器内壁离容器底部1.5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上
沿1.5cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15cm，则该圆柱底面周长为（ ）A．9cm B．12cm C．18cm D．24cm
6．（2023春·福建泉州·八年级统考期末）如图，透明的圆柱形玻璃容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm，
在容器内壁离容器底部4 cm 的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿4 cm的
点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为15 cm，则该圆柱底面周长为（ ）cm．
A．9 B．10 C．18 D．20
【类型4 圆锥上的最短路径问题】
1．（2023·内蒙古赤峰·统考期末）某班学生表演课本剧，要制作一顶圆锥形的小丑帽．如图，这个圆锥的
底面圆周长为20π cm，母线AB长为30cm，为了使帽子更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一
条从点A处开始，绕侧面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），这条彩带的最短长度是（ ）
A．30 cm B．30√3 cm C．60 cm D．20π cm
2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥，一只小蚂蚁若从A点出发，
绕侧面一周又回到A点，它爬行的最短路线长是 ．3．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·八年级统考期末）已知圆锥的底面半径是4cm，母线长为12cm，C为母线
PB的中点，蚂蚁在圆锥侧面上从A爬到C的最短距离是 ．
4．（2023春·河北保定·八年级统考期末）如图，小明用半径为20，圆心角为θ的扇形，围成了一个底面半
径r为5的圆锥.
（1）扇形的圆心角θ为 ；
（2）一只蜘蛛从圆锥底面圆周上一点A出发，沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是 .
【类型5 正方体上的最短路径问题】
1．（2023春·北京西城·八年级北京十四中校考期中）如图，正方体的棱长为2cm，点B为一条棱的中点.
蚂蚁在正方体表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是（ ）
A．√10cm B．4cm C．√17cm D．5cm
2．（2023春·广东茂名·八年级茂名市第一中学校考期中）固定在地面上的一个正方体木块（如图①），其
棱长为4cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）去掉一角，得到如图②所示的几何体木块，一只蚂蚁沿着该木块的表面从点A爬行到点B的最短路程为（ ）
A．2(√2+√6) B．4√2+4 C．4√2+2 D．2√6+4
3．（2023春·湖南湘西·八年级统考阶段练习）如右图，一只蚂蚁从棱长为4cm的正方体纸箱的A点沿纸
箱外表面爬到B点，那么它的最短路线的长是 cm．
4．（2023春·安徽合肥·八年级校考期中）如图，正方体盒子的棱长为2√3，O为AE的中点，现有一只蚂
蚁位于点C处，它想沿正方体的表面爬行到点O处获取食物，则蚂蚁需爬行的最短路程为 ．
5．（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期中）一只蚂蚁沿着边长为3的正方体表面从点A出发，按照如图所示
经过3个面爬到点B，则它运动的最短路径长为 ．
6．（2023春·河南郑州·八年级校考期中）棱长分别为5cm，3cm两个正方体如图放置，点P在E F 上，
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且E P= E F ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点P，需要爬行的最短距离是 ．
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【类型6 长方体上的最短路径问题】
1．（2023春·四川成都·八年级统考期末）一个长方体盒子的长、宽、高分别为15cm，10cm，20cm，点
B离点C的距离是5cm，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到点B，蚂蚁爬行的最短路程是（ ）
A．10√5cm B．25cm C．5√29cm D．5√37cm
2．（2023春·贵州贵阳·八年级校考期中）已知长方体的长、宽、高分别为2cm，4cm，8cm，一只蚂蚁沿
着长方体表面从点A爬到点B，则需要爬行的最短距离为（ ）
A．2cm B．4cm C．10cm D．14cm
3．（2023春·山西大同·八年级统考期中）如图，在墙角处放着一个长方体木柜（木柜与墙面和地面均没有
缝腺），一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角C 处．若AB=3，BC=4，CC =5，则蚂蚁爬行的
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最短路程是（ ）A．√74 B．3√10 C．√89 D．12
4．（2023春·全国·八年级期末）如图是一个长方体盒子，其长、宽、高分别为4，2，9，用一根细线绕侧
面绑在点A，B处，不计线头，细线的最短长度为（ ）
A．12 B．15 C．18 D．21
5．（2023春·辽宁丹东·八年级统考期末）如图所示的长方体，AB=BC=2，BD=1，点F是DE的中点，
一只蚂蚁从点A出发，沿长方体表面爬到点F，则蚂蚁爬行的最短距离为 ．
6．（2015秋·江苏苏州·八年级统考期末）现有一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm的无盖长方体木箱
(如图,AB=5dm,BC=4dm,AE=3dm)．
(1) 求线段BG的长；
(2) 现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种
捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．(木板的厚度忽略不计)【类型7 台阶上的最短路径问题】
1．（2023春·广东肇庆·八年级统考期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和
1,A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶
面爬行的最短路程是（ ）
A．18 B．15 C．12 D．8
2．（2023春·陕西渭南·八年级统考期中）如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为60cm、
30cm、10cm．A和B是这个台阶两个相对的端点，在A点有一只蚂蚁，想到B点去受食，那么它爬行的最
短路程是 ．
3．（2023春·四川宜宾·八年级统考期末）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别是4米、
0.7米、0.3米，A、B是这个台阶上两个相对的顶点，A点处有一只蚂蚁，它想到B点去吃可口的食物，则
蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是 米．
4．（2023春·辽宁沈阳·八年级校考期中）如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽40cm，长50cm．一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是 ．
5．（2023春·山东淄博·八年级统考期末）如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于
5cm、3cm、1cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最
短路线有多长？
6．（2023春·重庆九龙坡·八年级统考期末）如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4
分米．
(1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的
高为多少分米？
(2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食
物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？
