文档内容
专题 17.4 勾股定理与最短路径问题的七大类型
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对勾股定理与最短路径问题的七
大类型的理解！
【类型1 平面图形上的“捷径”问题】
1．（2023春·安徽合肥·八年级期末）课间休息时，嘉嘉从教室窗户向外看，看到行人为了从A处快速到达
图书馆B处，直接从长方形草地中穿过．为保护草地，嘉嘉想在A处立一个标牌：“少走■米，踏之何
忍？”如图，若AB＝17米，BC＝8米，则标牌上“■”处的数字是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．11
2．（2023春·湖南岳阳·八年级统考期末）如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷
径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．．
3．（2023春·八年级单元测试）如图，有两条互相垂直的街道a和b ，a路上有一小商店A,b路上有一批
发部B ．小商店主人每次进货都沿着 A—O—B路线到达 B处，然后原路返回．已A,B两处距十字 路口
O的距离分别为 600 米、800 米，如果小商店主人重新选一条最近的路线，那么往返一趟最多可比原来少
走 米．4．（2023春·广东深圳·八年级深圳市高级中学校考期末）某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之
下，在临街的拐角建造了一块绿化地（阴影部分）．如图，已知AB=9m，BC=12m，CD=17m，
AD=8m．技术人员通过测量确定了∠ABC=90°．
(1)小区内部分居民每天必须从点A经过点B再到点C位置，为了方便居民出入，技术人员打算在绿地中开
辟一条从点A直通点C的小路，请问如果方案落实施工完成，居民从点A到点C将少走多少路程？
(2)这片绿地的面积是多少？
5．（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）如图，某学校进大门是一直角通道（A→B→C），为方便学生进
入教学楼，学校打开了操场绿色通道（A→C）进行分流，学生可以走“捷径AC”直接到达教学楼，若AB
＝80米，BC＝60米，则走“捷径AC”可以少走多少米？
【类型2 平面图形上的“饮水”问题】
1．（2023春·八年级课时练习）如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为
2，点B到直线b的距离为3，AB2=120．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且
AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB＝（ ）A．6 B．8 C．10 D．1
2．（2023春·河南许昌·八年级校考期末）如图，一个牧童在小河正南方向4km的A处牧马，若牧童从A点
向南继续前行7km到达点C．则此时牧童的家位于C点正东方向8km的B处．牧童打算先把在A点吃草的
马牵到小河边饮水后再回家，请问他应该如何选择行走路径才能使所走的路程最短？最短路程是多少？请
先在图上作出最短路径，再进行计算．
3．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，两个村庄A、B在河CD的同侧，A、B两村到河的距
离分别为AC=1千米，BD=3千米，CD=3千米.现要在河边CD上建造一水厂，向A、B两村送自来水
（水管需直接到A、B村）.
(1)水厂应修建在什么地方，可使所用的水管最短（请你在图中设计出水厂的位置）：
(2)如果铺设水管的工程费用为每千米20000元，为使铺设水管费用最节省，请求出最节省的铺设水管的费
用为多少元？
4．（2023春·江苏南京·八年级南京第五初中校考阶段练习）“数学建模”：
(1)模型——小马喝水问题：直线MN表示一条河流的岸，在河流同侧有A、B两地，小马从A地出发到B
地，中间要在河边饮水一次，请在图①中用三角板作出使小马行走最短路程的饮水点P的位置．（保留作
图痕迹）(2)运用——和最小问题：如图②，长方形ABCD，E是BC的中点，AB=4，BC=4√3，P是对角线BD上的
一个动点，求PC＋PE的最小值．
5．（2023春·山东烟台·八年级统考期中）如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别
为AC、BD，已知AC=200米，BD=600米，且CD=600米．
(1)牧童从A处放牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？
(2)所走最短路程是多少？
6．（2023春·全国·八年级专题练习）在进行13.4《最短路径问题》的学习时，同学们从一句唐诗“白日登
山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐•李颀《古从军行》出发，一起研究了蕴含在其中的数学问题——“将
军饮马”问题．同学们先研究了最特殊的情况，再利用所学的轴对称知识，将复杂问题转化为简单问题，
找到了问题的答案，并进行了证明．下列图形分别说明了以上研究过程．
证明过程如下：如图4，在直线l上另取任一点C'，连结AC',BC',B'C'，
∵点B，B'关于直线l对称，点C，C'在l上，
∴CB=_________，C'B= _________，∴AC+CB=AC+CB'=_________．
在△AC'B'中，∵AB'
