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专题 9.10 不等式与不等式组（全章分层练习）（提升练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知 ，下列各式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．若关于x的不等式 的解集是 ，则关于x的不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
3．某商店分别购进价格为每千克a元的甲种糖果 和价格为每千克b元的乙种糖果 ，若该商店
以每千克 元的价格将两种糖果全部卖完，为保证盈利，a与b应满足的关系是（ ）
A．a>b B．a<b C．a≤b D．a≥b
4．不等式组 的所有整数解的和为7，则整数 的值有（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
5．已知关于x的不等式 的负整数解只有 , 则m的取值范围是 （ ）．
A． B． C． D．
6．某运行程序如图所示，从“输入实数 ”到“结果是否 ”为一次程序操作，若输入 后程序操作进
行了两次就停止，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知关于 的不等式组 的最小整数解是3，则实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
8．定义：符号 表示大于或等于x的最小整数、符号 表示小于或等于x的最大整数，例如： ，
， ， ．给出下列说法：
① ；
② ；
③若 ，且 ，则 ．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．若整数a使关于x的不等式组 至少有4个整数解，且关于x的方程 的解为整
数，那么所有满足条件的整数a的个数是（ ）
A．8 B．5 C．4 D．3
10．小明为了估算玻璃球的体积，做了如下实验：在一个容量为 的杯子中倒入 的水；再将
同样的玻璃球逐个放入水中，发现在放第5个时水未满溢出，但当放入第6个时，发现水满溢出．根据以
上的过程，推测这样一颗玻璃球的体积范围是（ ）
A． 以上， 以下 B． 以上， 以下
C． 以上， 以下 D． 以上， 以下
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．点 在第四象限内，则a的取值范围是 ．
12．用若干辆载重量为8t的汽车运一批货物，若每辆汽车只装4t，则剩下20t货物；若每辆汽车装满8t，则最后一辆汽车不满也不空，若设有x辆汽车，可列不等式组 ．
13．疫情期间，有一批患者要入住邵阳市中心医院的某栋大楼，若每间住4人，则有38人无法入住；若
每间住5人，则最后一间没住满．若设房间数为x间，则可列不等式组为： ．
14．高速公路的建设，对我县经济发展具有重要意义．毕威高速平山隧道入口处，有如图所示的一块交
通标识牌，在遵守交通规则的前提下，小车通过该隧道所用时间至少为 分钟．
15．学完不等式的解集后，小明说：“ 的解集是 ”小刚说：“ 是 的一个解 ”小
颖说：“ 的整数解有无数个 ”他们的说法中错误的是 ．
16．已知关于x，y的二元一次方程组 的解满足 ．求
（1）实数a的取值范围是 ．
（2）若关于x的不等式组 无解，则所有符合条件的整数a的和为 ．
17．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为 ，即：当n为非负整数时，如果 ，则
．如： ， ．
（1）如果 ，则x的取值范围为
（2）如果 ，则
18．在平面直角坐标系 中，点 在第三象限，将点P向上平移得到第二象限的点 ，
且 ，则下列结论正确的有 ．（写出所有正确结论的序号）
①若点P的纵坐标为 ，则 ；
②若点Q到x轴的距离为1，则 ；③ 的最大值为16；
④点M在y轴上，当 时，三角形 的面积最大值为16．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）19．（1）解不等式： ．
（2）解不等式组： ，并写出它的所有整数解．
20．（8分） 为平面直角坐标系内的一点．
(1)若点M的横坐标不小于纵坐标，求m的取值范围．
(2)若点M在第三象限，求m的取值范围．
21．（10分）已知关于x、y的方程组 的解满足 ， ．
(1)求m的取值范围；
(2)是否存在整数m，使不等式 的解集为 ．若不存在，请说明理由；若存在，请求出整
数m的值．
22．（10分）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：解一元二次不等式
解： ，，可化为 ．
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，
得情况① ；或情况②
解不等式组①，得 ；解不等式组②，得 ，
的解集为 或 ，
即一元二次不等式 的解集为 或 ．
(1)一元二次不等式 的解集为______；
(2)解一元二次不等式 ；
(3)解分式不等式 ．
23．（10分）随着疫情的结束，光雾山的游客人数越来越多，光雾山旅游公司打算购买游览车20辆，现
有A和B两种型号车，如果购买A型号车6辆，B型号14辆，需要资金580万元；如果购买A型号车12
辆，B型号车8辆，需要资金760万元．经预算，光雾山旅游公司准备购买设备的资金不高于500万元．
（每种型号至少购买1辆）．已知每种型号游览车的座位数如表所示：
A型号 B型号
座位数（个/辆） 60 30
(1)每辆A型车和B型车各多少万元？
(2)请问光雾山旅游公司有几种购买方案？且哪种方案的座位数最多，是多少？
24．（12分）为响应习总书记“足球进校园”的号召，某校决定购买甲、乙两种足球，已知购买3个甲种足球和2个乙种足球共花费410元；若购2个甲种足球和5个乙种足球共花费530元．解答下列问题：
(1)购买一个甲种足球、一个乙种足球各需要多少钱？
(2)学校为开展校内足球联赛，决定购买80个足球，此次购买甲、乙两种足球的总费用不少于6000元，
且甲种足球最多买22个．学校共有几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，学校又同时购买了甲、乙两种足球共8个，学校把全部足球平均分给8个足球队，
每队分得两种足球数量分别相等，且每队甲种足球至少3个，直接写出这8个足球的购买方案．参考答案：
1．C
【分析】本题考查不等式性质的应用，熟练掌握不等式的性质是解决本题的关键．根据解不等式的性质将
不等式变形，从而选出正确的选项．
【详解】A、 ，故A错误；
B、当 时， ，故B错误
C、两边同乘 ，不等号要改变方向，即 ，故C正确；
D、 ，故D错误；
故选：C．
2．C
【分析】本题考查了解一元一次不等式，能求出m，n的值是解此题的关键．先根据第一个不等式的解集
求出 ， ， ，再代入第二个不等式，求出不等式的解集即可．
【详解】解： ，
，
关于x的不等式 的解集是 ，
， ，
， ，
， ，
关于x的不等式 的解集为 ．
故选：C．
3．A
【分析】本题考查了不等式的应用，根据题目要求列出不等式是求解的关键．要保证盈利，即售价必须大
于进价，进价为 ，售价为 ，列出不等式，求解即可．
【详解】解：根据题意有：
，
，，
，
故选：A．
4．B
【分析】本题考查由不等式组整数解的情况求参数，涉及解含参数不等式组、不等式组的整数解等知识，
根据题意，求出不等式组的解集为 ，再由不等式组整数解的情况求出 或 ，由
不等式的性质分情况讨论求解即可得到答案，熟练掌握由不等式组整数解的情况求参数的方法是解决问题
的关键．
【详解】解： ，
由①得 ；
由②得 ；
不等式组的解集为 ，
不等式组 的所有整数解的和为7，
或 ，
当 时，解得 ，则整数 的值有 共3个；
当 时，解得 ，则整数 的值有 共3个；
综上所述，满足题意的整数 的值有 个，
故选：B．
5．B
【分析】先求得不等式的解集，再利用数轴求解即可．本题考查了不等式的解集，根据解集求参数，熟练
掌握不等式解集是解题的关键．
【详解】∵ ，
∴ ，∵不等式 的负整数解只有 ,
∴符合题意的m取值范围如图所示，
∴ ，
故选B．
6．D
【分析】本题考查了程序图，解一元一次不等式组；由操作两次可得不等式组 ，即可求
解；理解程序图是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
解得： ；
故选：D．
7．D
【分析】本题考查已知一元一次不等式组的解集情况求参数问题，先求解一元一次不等式组，再根据题意
建立关于参数的不等式即可求解．
【详解】解：
由①得： ；
由②得：
∵不等式组 的最小整数解是3，
∴ ，
解得：
故选：D8．B
【分析】
此题考查了解不等式组的应用，新定义实数运算，根据新定义逐项进行分析解答即可．
【详解】解：① ，故选项正确；
②当 时， ，则 ，故选项错误，
③∵ ，
∴ ，
∴ 均等于0或1，
∵ ，
∴其中必有9个1，
∴
解得 ，
∴ ，
∴ 或19，
故选项错误，
综上可知，只有①正确，
故选：B
9．D
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次方程，根据整数解的个数和方程的解为整数
确定a的取值范围是解题关键．分别将不等式组的解集，方程的解表示出来，确定a的取值范围即可．
【详解】解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式的解集为： ，∵至少有4个整数解，
∴ ，
∴ ，
，
解得： ，
∵ 为整数，
∴ 或 或 或 ，
∵ ，
∴ 或 或 ，
∴满足条件的a的个数为3个．
故选：D．
10．C
【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组，再解出不等式组的解集即可．
【详解】解：根据题意，设一颗玻璃球的体积为 ，
则有： ，
解得： ，
∴一颗玻璃球的体积在 以上， 以下，
故选：C．
11．
【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的
关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限 ；第二象限 ；第三象限 ；第四象限 ．
根据第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式组，然后求解即可．
【详解】解：∵点 在第四象限，
，
解不等式①得 ，解不等式②得 ，
所以 的取值范围是 ．
故答案为： ．
12．
【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，解题关键是掌握题目中的不等关系．
设有 辆车，则有 吨货物．根据若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空，列出不等式
组即可．
【详解】解：设有 辆车，则有 吨货物，根据若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空，
列出不等式组得，
故答案为： ．
13． 或 或
【分析】本题主要考查了列不等式组，审清题意、找到不等关系是解题的关键．
根据不等关系“每间住4人，则有38人无法入住”和“若每间住5人，则最后一间没住满”据此列不等式
组即可．
【详解】解：若设房间数为x间，
由题意可得： 或 或 ．
故答案为： 或 或 （任意一个即可）．
14．2.34/ /
【分析】先将3210米换算为3.12千米，再根据题意列出一元一次不等式，进行计算即可得到答案．【详解】解：根据题意得： ，
设小车通过该隧道所用时间为 小时，
则 ，
解得 ，
，
在遵守交通规则的前提下，小车通过该隧道所用时间至少为： ，
故答案为：2.34．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用，根据题意，正确列出一元一次不等式是解题的关键，注
意单位的换算．
15．小刚
【分析】将不等式 的系数为 即可判断小明的说法；将不等式 的系数化 即可判断小刚的说
法；根据小于 的整数有无数个即可判断小颖的说法；
【详解】解： ，
系数化 得， ，
故小明的说法正确；
，
系数化 得， ，
，
不是 的一个解，
故小刚说法错误；
小于 的整数有无数个，
的整数解有无数个，
故小颖的说法正确；
综上，小刚的说法错误．
故答案为：小刚．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式、一元一次不等式的整数解，解决此类问题的关键在于正确解得
不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得
不等式的整数解．
16． 7【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．
（1）解方程组 得 ，由 得 ，解之即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到并结合不等式组的解集得出关于 的不等
式，解之求出 的范围，继而得出答案．
【详解】解：（1）解方程组 得 ，
由 得 ，
解得 ，
故答案为： ；
（2）由 ，得： ，
由 ，得： ，
不等式组无解，
，
解得 ，
又 ，
，
符合条件的整数 有 、 、0、1、2、3、4，
∴ ，
故答案为：7．
17． 0或
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，新定义：
（1）根据新定义得到 ，解不等式组即可得到答案；
（2）设 （k为非负整数），则 ，可得 ，则 ，解不等式组求出k的
值即可求出x的值．【详解】解：（1）∵ ，
∴ ，
解得 ，
故答案为： ；
（2）设 （k为非负整数），
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴k的值为0或1，
∴x的值为0或 ，
故答案为：0或 ．
18．①③④
【分析】①首先由题意求出a的值，然后求出P点的坐标，然后根据点坐标平移的性质求解即可；
②根据题意求出 ，然后利用点Q在第二象限，横坐标为负判断即可；
③根据题意表示出 ，然后利用 代入 求出 ，进而求解即
可；
④首先根据 得到 ，然后表示出三角形 的面积为 ，即
可求解．
【详解】①∵若点P的纵坐标为 ，∴ ，解得
∴
∴将点P向上平移得到第二象限的点 ，
∴ ，故①正确；
②∵点Q到x轴的距离为1，点Q在第二象限
∴
∵
∴ ，解得
∴ ，解得 ，
∴无法确定a的值，
∴不符合题意，故②错误；
③∵点P向上平移得到第二象限的点 ，
∴ ，
∵
∴
∴
∴
∴ 的最大值为16，即 的最大值为16，故③正确；
④∵
∴
∵
∴三角形 的面积为
∴当 时，三角形 的面积最大值为16，故④正确．
综上所述，正确的有①③④．
故答案为：①③④．
【点睛】此题考查了点的坐标平移的性质，坐标与图形，不等式的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
19．（1） ；（2） ，整数解为：
【分析】本题考查了解不等式以及解不等式组、正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先去分母，再去括号，移项合并同类项，系数化1，即可作答．
（2）分别算出每个不等式的解集，再取它们的公共部分解集，并结合整数解的概念，进行作答即可．
【详解】解：（1）去分母，得：
去括号，得：
移项、合并同类项，得：
两边都除以5，得： ．
（2）
解不等式 ，得 ．
解不等式 ，得 ．
原不等式组的解集为， ．
整数解为： ．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的特征及一元一次不等式组，熟练掌握点的坐标及一元一次不等
式的解法是解决本题的关键．
（1）根据题意列出不等式求解即可；
（2）点M在第三象限，说明该点的横坐标和纵坐标均为负数，由此即可求解．
【详解】（1）解：由题意，得
解得 ．
（2）由题意，得
解得 ．
21．(1)(2)存在． ，
【分析】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式(组)，解决本题的关键是求出方程组的解集．
（1）根据方程的解满足的解满足 ， 得到不等式组，解不等式组就可以得出m的范围；
（2）根据不等式 的解集为 ，求出m的取值范围，即可解答；
【详解】（1）解：
解得 ．
∵解满足 ， ，
∴ ．
解得 ．
（2）存在．
理由：∵ ，
∴ ．
∵解集为 ，
，
解得 ．
由（1）得 ，
∴ ．
∵m取整数，
∴ ， ．
22．(1) 或
(2)
(3)
【分析】此题考查了不等式组的解法，利用了转化的思想，这种转化思想的依据为：两数相乘（除），同号得正，异号得负的取符号法则．
（1）仿照题意求解即可；
（2）先因式分解得到 ，再根据由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，
得情况① ；或情况② ，解两个不等式组即可；
（3）根据有理数的除法法则“两数相除，同号得正”，得情况① ；或情况② 解两个
不等式组即可．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，
得情况① ；或情况②
解不等式组①，得 ；解不等式组②，得 ，
∴ 的解集为 或 ，
即一元二次不等式 的解集为 或 ，
故答案为： 或 ．
（2）解：∵ ，
∴ ，
由有理数的乘法法则“两数相乘，异号得负”，
得情况① ；或情况②
解不等式组①，得 ；解不等式组②，得不等式组无解，
∴ 的解集为 ，即一元二次不等式 的解集为 ；
（3）解：由有理数的除法法则“两数相除，同号得正”，
得情况① ；或情况②
解不等式组①，得 ；解不等式组②，得不等式组无解，
∴ 的解集为 ．
23．(1)每辆 型车50万元，每辆 型车20万元
(2)共有3种购买方案，购买 型车3辆， 型车17辆时，座位数最多，是690个
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，
（1）设每辆 型车 万元，每辆 型车 万元，根据“购买 型号车6辆， 型号14辆，需要资金580万
元；购买 型号车12辆， 型号车8辆，需要资金760万元”，即可得出关于 ， 的二元一次方程组，
解之即可得出结论；
（2）设购买 型车 辆，则购买 型车 辆，根据资金不高于500万元，即可得出关于 的一元一
次不等式，解之即可得出 的取值范围，再结合 ， 均为正整数，即可得出有3种购买方案，分
别求出各方案的座位数，比较后即可得出结论．
解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出
一元一次不等式．
【详解】（1）解：设每辆 型车 万元，每辆 型车 万元，
依题意得： ，
解得： ．
答：每辆 型车50万元，每辆 型车20万元．
（2）设购买 型车 辆，则购买 型车 辆，
依题意得： ，解得： ．
又 ， 均为正整数，
可以为1，2，3，
有3种购买方案，
方案1：购买 型车1辆， 型车19辆，座位数为 （个 ；
方案2：购买 型车2辆， 型车18辆，座位数为 （个 ；
方案3：购买 型车3辆， 型车17辆，座位数为 （个 ．
，
方案3的座位数最多．
答：共有3种购买方案，购买 型车3辆， 型车17辆时，座位数最多，是690个．
24．(1)购买一个甲种足球90元，一个乙种足球70元
(2)学校共有三种方购买案
(3)三种方案，第一种方案：购买甲种足球4个、乙种足球4个；第二种方案：购买甲种足球3个、乙种足
球5个；第三种方案：购买甲种足球2个、乙种足球6个
【分析】（1）设购买一个甲种足球x元，一个乙种足球y元．列出关于 ， 的二元一次方程组，解之即
可得出结论；
（2）设甲种足球买m个，则乙种足球买 个．可得出关于 的一元一次不等式组，解之可得出
的取值范围，再结合 为正整数，即可得出各购买方案．
（3）在（2）的条件下，有3种方案，具体后，结合每队甲种足球至少3个，计算解答即可．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组，并计算整数解．
【详解】（1）设购买一个甲种足球x元，一个乙种足球y元．
根据题意得： ，
解这个方程组得 ．
答：购买一个甲种足球90元，一个乙种足球70元．（2）设甲种足球买m个，则乙种足球买 个．
解得： ．
∵m为整数，
∴ ．
∴学校共有三种方购买案．
（3）根据(2)，得到三种方案具体如下：
第一种方案：购买甲种足球20个、乙种足球60个，
第二种方案：购买甲种足球21个、乙种足球59个，
第三种方案：购买甲种足球22个、乙种足球58个．
由每队甲种足球至少3个，得这8个足球的购买方案如下：
第一种方案：购买甲种足球4个、乙种足球4个，
第二种方案：购买甲种足球3个、乙种足球5个，
第三种方案：购买甲种足球2个、乙种足球6个．
