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人教版八年级期数学上学期中提升精选 30 题
一、选择题(共8小题)
1．（2022·山东·滨州市滨城区教学研究室八年级期中）下列所给的各组线段，能组成三角形的是：( )
A．2，11，13 B．5，12，7 C．5，5，11 D．5，12，13
【答案】D
【分析】根据三角形三边关系定理，判断选择即可．
【详解】∵2+11=13，
∴A不符合题意；
∵5+7=12，
∴B不符合题意；
∵5+5=10＜11，
∴C不符合题意；
∵5+12=17＞13，
∴D符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了构成三角形的条件，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．
2．（2021·重庆市璧山中学校八年级期中）下列四幅图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，故本选项不合题意；
B．是轴对称图形，故本选项不合题意；
C．是轴对称图形，故本选项不合题意；
D．不是轴对称图形，故本选项符合题意．
故本题选：D．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别．掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．轴对称：如果一
个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形．
3．（2022·黑龙江双鸭山·七年级阶段练习）在下列长度的四根木棒中，能与5cm、9cm长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．14cm
【答案】C
【分析】直接根据“三角形第三边大于两边之差小于两边之和”判断即可．
【详解】解：设三角形的第三边长为acm,
5+9=14，9-5=4，
则4<a<14,
故选C
【点睛】本题考查了三角形三边的关系，解题的关键是熟记“三角形第三边大于两边之差小于两边之和”．
4．（2022·江苏扬州·七年级期末）在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有
一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形
的高，判断即可．
【详解】解：在四个图形中，只有第一个图形是过点B作线段AC所在直线的垂线段，
其它三个都不是，
故选：C．
【点睛】本题考查的是三角形的高的概念，读懂题意是解题的关键.
5．（2021·重庆·巴川初级中学校八年级期中）如图，在△ABC中，已知点D，E，F分别为边BC，AD，
CE中点，且△ABC的面积等于4cm2，则阴影部分图形面积等于（ ）.
A．1cm2 B．2cm2 C．0.5cm2 D．1.5cm2
【答案】A【分析】根据三角形中线的性质可得S EBC= S ABC， ，结合已知条件即可求
△ △
解．
【详解】解：∵点D，E分别为边BC， AD中点，
，
，
∵F是EC的中点，
，
，
△ABC的面积等于4cm2，
∴S BEF=1cm2，
即阴△影部分的面积为1cm2,
故选：A．
【点睛】本题主要考查了三角形的中线的性质，掌握三角形的中线的性质是解题的关键．
6．（2022·河北·平乡县第二中学八年级阶段练习）如图，为促进某地旅游业的发展，当地旅游部门要在三
条公路AB，AC，BC两两相交后围成的三角形区域内修建一个度假村，若这个度假村到三条公路的距离相
等，则度假村应建在（ ）
A．三边的垂直平分线的交点上 B．三条角平分线的交点上
C．三条高线的交点上 D．三边中线的交点上
【答案】B
【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质即可得出结论．
【详解】解：∵度假村在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等，
∴度假村应该在 ABC三条角平分线的交点处．
故选：B． △
【点睛】本题考查了角平分线性质的实际应用，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
7．（2022·四川·渠县第二中学七年级阶段练习）如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AC，垂足为 E，
交 ED 的延长线于点 F，若 BC 恰好平分∠ABF．下 列结论：①DE＝DF；②DB＝DC；
③AD⊥BC，其中正确的是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】证明△ABC为等腰三角形，根据等腰三角形的三线合一判断②③，证明△CDE≌△BDF，根据全等
三角形的性质判断①．
【详解】解：∵BC平分∠ABF，
∴∠ABC=∠FBC，
∵ ，
∴∠ACB=∠FBC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴DB=DC，AD⊥BC，②、③结论正确；
在△CDE和△BDF中，
，
∴△CDE≌△BDF（ASA），
∴DE=DF，①结论正确；
故①②③均正确，
故选：D．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质
定理是解题的关键．8．（2022·江苏·八年级单元测试）如图，AB＝7cm，AC＝5cm，∠CAB＝∠DBA＝60°，点P在线段AB上
以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线BD上运动速度为xcm/s，它们运动的时间为t（s）
（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．当点P、Q运动到某处时，有 ACP与 BPQ全等，则相应
的x、t的值为（ ） △ △
A．x＝2，t＝ B．x＝2，t＝ 或x＝ ，t＝1
C．x＝2，t＝1 D．x＝2，t＝1或x＝ ，t＝
【答案】D
【分析】分两种情况：①△ACP≌△BPQ时AC=BP，AP=BQ，②△ACP≌△BQP时AC=BQ，AP=BP，建立方
程组求得答案即可
【详解】解：①若 ACP≌△BPQ，则AC=BP，AP=BQ，
可得：5=7－2t，2t△=xt
解得：x=2，t=1；
②若 ACP≌△BQP，则AC=BQ，AP=BP，
可得△：5=xt，2t=7－2t
解得：x= ，t= ．
故选D．
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，注意分类讨论思想的渗透．
二、填空题(共8小题)
9．（2022·山东·滨州市滨城区教学研究室八年级期中）如果一个多边形的每个内角为160°，那么它的边数
为_______．
【答案】
【分析】先求出这个多边形的每一个外角的度数，再用360°除以外角即可得到边数
【详解】解：∵多边形的每一个内角都等于160°∴ 多边形的每一个外角都等于180°-160°=20°
∴ 边数n=360°÷20°=18
故答案为：18
【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角关系，求出每一个外角的度数是解题关键．
10．（2022·黑龙江·兰西县红星乡第一中学校七年级期中）如图所示的手机支架．把手机放在上面就可以
方便地使用手机，这是利用了三角形的___________．
【答案】稳定性
【分析】利用三角形的稳定性的性质直接回答即可．
【详解】解：把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的稳定性，
故答案为：稳定性．
【点睛】本题考查了三角形的稳定性，解题的关键是掌握三角形具有稳定性．
11．（2020·北京·垂杨柳中学八年级期中）已知点 和点 关于y轴对称，则 ＝
________．
【答案】1
【分析】根据关于y轴对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同，进行求解即可．
【详解】解：∵点 和点 关于y轴对称，
∴y＝﹣2，x＝3，
∴x＋y＝1，
∴ ．
故答案为：1．
【点睛】本题考查已知字母的值，求代数式的值．熟练掌握关于y轴对称的点的特征是解题的关键．
12．（2022·山东泰安·七年级期末）如图，AD为∠BAC的平分线，请你添加一个适当的条件______，使得
．【答案】AB=AC（答案不唯一）
【分析】根据角平分线定义推出∠BAD=∠CAD，进而利用全等三角形的判定解答即可．
【详解】解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AD=AD，
添加AB=AC，
利用SAS可得 ABD≌△ACD；
添加∠B=∠C，△
利用AAS可得 ABD≌△ACD；
添加∠ADB=∠△ADC，
利用ASA可得 ABD≌△ACD；
故答案为：AB△=AC（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
13．（2022·黑龙江大庆·七年级期末）琪琪画了一个等腰三角形，量得两条边长分别为12cm和5cm，那么
它的周长为______．
【答案】29cm##29厘米
【分析】因为三角形为等腰三角形，应分两种情况：①12cm是底边时；②5cm是底边时分别求解．
【详解】解：应分两种情况：
当12cm是底边，5cm是腰时，
此时等腰三角形的三边长分别为：12cm，5cm，5cm，
∵ ，
∴此时不能构成三角形；
当5cm是底边，12cm是腰时，
等腰三角形的三边长分别为：12cm，12cm，5cm，此时 ，满足三角形的任意两边之和大于第三边，能构成三角形，
∴三角形的周长为：12cm＋12cm＋5cm＝29cm，
综上可得三角形的周长为29cm．
故答案为：29cm．
【点睛】本题考查了三角形的三边之间的关系，等腰三角形的定义及分类讨论的思想，熟记三角形任意两
边之和大于第三边是解题的关键．
14．（2022·辽宁·丹东市第十九中学八年级期末）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的
垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．已知△ADE的周长为13cm．分别连接
OA、OB、OC，若△OBC的周长为27cm，则OA的长为______cm．
【答案】7
【分析】根据线段垂直平分线的性质得 ， ， ，从而可得求出 cm，
然后根据 的周长为27cm，即可求出解．
【详解】解：连接OB，OC，
∵OM是线段AB的垂直平分线，
∴ ， ，
∵ON是AC的垂直平分线，
∴ ， ，
∴ ．
∵ 的周长13cm，
∴ cm，∴ cm．
∵ 的周长为27cm，
∴ cm，
∴ cm，
∴ cm．
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质，熟记线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解决
问题的关键．
15．（2022·河南·漯河市第三中学八年级期末）如图，在△ABC中，P，Q分别是BC，AC上的点，
PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，若AQ=PQ，PR=PS，那么下面四个结论：①AS=AR：②QP AR；
③△BRP≌△QSP：④BR=QS，其中一定正确的是（填写编号）________．
【答案】①②##②①
【分析】通过证明△APR≌△APS，可得AS=AR，∠BAP=∠PAS，可证QP AR，可求解．
【详解】解：如图，连接AP，
①∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，
∴点P在∠BAC的平分线上，∠ARP=∠ASP=90°，
∴∠SAP=∠RAP，
又AP=AP，∠ARP=∠ASP=90°，
∴△APR≌△APS（AAS），
∴AR=AS，∴①正确；
②∵AQ=QP，
∴∠QAP=∠QPA，
∵∠QAP=∠BAP，∴∠QPA=∠BAP，
∴QP AR，∴②正确；
③④在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS，
不满足三角形全等的条件，故③④错误；
故答案为：①②
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定，角平分线性质的应用，熟练掌握全等三角
形的判定和性质是解题的关键．
16．（2021·江苏省淮阴中学开明分校八年级阶段练习）如图，直线a，b相交于点O，∠1=50°，点A是直
线a上的一个定点，点B在直线b上运动，若以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，则∠OAB的度
数是_____．
【答案】50°或65°或80°或25°
【分析】根据△OAB为等腰三角形，分四种情况讨论：①以 为顶点时的等腰 OA ，②以A为顶点时
△
的等腰 OA ，③以O为顶点时的等腰 OA ，④以O为顶点时的等腰 OA ，分别求得符合的点B，
△ △ △
即可得解．
【详解】解：要使 OAB为等腰三角形分四种情况讨论：
△
①以 为顶点时的等腰 OA ，当 时，∠OAB=∠1=50°；
△
②以A为顶点时的等腰 OA ，当 时，∠OAB=180°-2×50°=80°；
△
③以O为顶点时的等腰 OA ，当 时，∠OAB=∠OBA= (180°-50°)=65°；
△
④以O为顶点时的等腰 OA ，当 时，∠OAB=∠OBA= ∠1=25°；
△
综上所述，∠OAB的度数是50°或65°或80°或25°，
故答案为：50°或65°或80°或25°．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．
三、解答题(共14小题)
17．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，△ABC≌△DBE，点D在边AC上，BC与DE交于点P．已知
， ， ， ．
（1）求∠CBE的度数．
（2）求△CDP与△BEP的周长和．
【答案】（1）66°；（2）15.5
【分析】（1）根据全等三角形的性质得到∠ABC=∠DBE，然后根据角度之间的关系计算即可．
（2）根据全等三角形的性质求出BE，DE，然后根据三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：（1）解：∵△ABC≌△DBE，
∴∠ABC=∠DBE．
∴∠ABC-∠DBC =∠DBE-∠DBC，即∠ABD=∠CBE．
∵∠ABD+∠DBC+∠CBE =∠ABE，
∴∠CBE= (∠ABE-∠DBC)=×(162°-30°)=66°．
（2）解：∵△ABC≌△DBE，
∴DE=AC=AD+DC=5，BE=BC=4，
∴△CDP与△BEP的周长和=DC+DP+PC+BP+PE+BE=DC+DE+BC+BE=2.5+5+4+4=15.5．
【点睛】此题考查了全等三角形的性质，角的和与差的应用，解题的关键是熟练掌握全等三角形的对应边
相等，对应角相等．
18．（2021·辽宁·鞍山市华育高新区学校八年级阶段练习）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E，若∠B＝35°，∠ACB＝85°．
(1)求∠DAC的度数；
(2)求∠E的度数．
【答案】(1)∠DAC＝30°，
(2)∠E＝25°
【分析】（1）直接根据角平分线的定义以及三角形内角和定理可得答案；
（2）根据三角形内角和定理以及三角形外角的性质可的结果．
（1）
解：∵∠B＝35°，∠ACB＝85°，
∴∠BAC＝60°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝ BAC＝30°；
（2）
∵∠BAD＝ BAC＝30°，
∴∠ADC＝35°+30°＝65°，
∵∠EPD＝90°，
∴∠E=90°﹣65°＝25°．
【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义和三角形外角的性质，根据已知得出
∠BAD度数是解题关键．
19．（2022·河南省实验中学八年级开学考试）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了阴影．
现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成阴影，使整个涂成阴影的图形成为轴对称图形，请在图中
补全图形，并画出它们各自的对称轴．（要求画出3种不同方法）【答案】见解析
【分析】根据轴对称图形的概念作图即可．
【详解】解：如图所示：
．
【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，关键是掌握轴对称图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分
能完全重合．
20．（2022·河南·上蔡县第一初级中学七年级阶段练习）如图，在△ABC中，点D是BC边上的一点，
∠B=50°，∠BAD=30°，将△ABD沿AD折叠得到△AED，AE与BC交于点F．
(1)填空：∠AFC=______度；
(2)求∠EDF的度数．
【答案】(1)110
(2)∠EDF的度数为20°
【分析】（1）根据折叠求出 ，根据三角形外角性质求出即可；
（2）根据三角形内角和定理求出 ，求出 ，根据三角形外角性质求出 ，即可求出答案．
（1）
解：∵ 沿AD折叠得到 ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ．
故答案为：110．
（2）
解：∵ ， ，
∴ ，
，
∵ 沿AD折叠得到 ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角性质和折叠的性质，能根据定理求出各个角的度数，
是解此题的关键．
21．（2022·河南·金明中小学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标分别
是 ， ， ．
(1)在图中作出 ，使 和△ABC关于x轴对称，并写出点 的坐标；
(2)在x轴上求作一点P，使得△APC的周长最小．（不写作法，请保留作图痕迹）【答案】(1)见解析，
(2)见解析
【分析】（1）找出 各顶点关于x轴的对称点 ，再顺次连接即可．根据关于x轴对称的点
的坐标横坐标不变，纵坐标互为相反数即得出 点坐标；
（2）连接 ， 与x轴的交点即为P点．
(1)
如图， 为所求， ．
(2)
如图，点P为所求．
【点睛】本题考查作图—轴对称，轴对称的性质，两点之间线段最短．利用数形结合的思想是解题的关键．
22．（2022·全国·八年级期中）如图， ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点
E，且BD=DE． △(1)若∠BAE=40°，求∠C的度数；
(2)若 ABC周长为20cm，AC=6cm，求DC长．
【答案△】(1)35°
(2)7cm
【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB=AE=CE，求出∠AEB和∠C=∠EAC，即可得
出答案；
（2）根据已知能推出2DE+2EC=14cm，即可得出答案．
（1）
解：∵AD垂直平分BE，EF垂直平分AC，
∴AB=AE=EC，
∴∠C=∠CAE，
∵∠BAE=40°，
∴∠AED=70°，
∴∠C= ∠AED=35°；
（2）
解：∵△ABC周长20cm，AC=6cm，
∴AB+BE+EC=14cm，
即2DE+2EC=14cm，
∴DE+EC=DC=7cm．
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解
题的关键．
23．（2022·浙江·宁波市鄞州区咸祥镇中心初级中学八年级阶段练习）如图，在△ABC中，AE，CD分别是
∠BAC， ∠ACB的平分线，且AE，CD相交于点F．
(1)若∠BAC=80°，∠ACB=40°，求∠AFC的度数；
(2)若∠B=80°，求∠AFC的度数；
(3)若∠B=x°，用含x的代数式表示∠AFC的度数．【答案】(1)120°
(2)130°
(3)90°+ x°
【分析】（1）根据角平分线的定义可以得到∠FAC和∠FCA的度数，然后根据三角形内角和，即可求得
∠AFC的度数；
（2）根据∠B的度数，可以求得∠BAC+∠BCA的度数，然后根据角平分线的定义和三角形内角和可以计
算出∠AFC的度数；
（3）根据角平分线的定义和三角形内角和可以用含x的代数式表示出∠AFC．
（1）
解：∵∠BAC=80°，∠ACB=40°，AE，CD分别是∠BAC，∠ACB的平分线，
∴∠FAC=40°，∠FCA=20°，
∴∠AFC=180°-∠FAC-∠FCA=120°．
（2）
解：∵∠B=80°，
∴∠BAC+∠BCA=100°，
∵AE，CD分别是∠BAC，∠ACB的平分线，
∴∠FAC+∠FCA=50°，
∴∠AFC=130°．
（3）
解：∵∠B=x°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-x°，
∵AE，CD分别是∠BAC，∠ACB的平分线，
∴∠FAC+∠FCA= （180°-x°），
∴∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）=180°- （180°-x°）=90°+ x°．
【点睛】本题考查三角形内角和、列代数式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24．（2022·四川·会东县参鱼中学八年级期中）如图，在长方形ABCD中，AB=CD=6cm ，BC=10cm，点P
从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t秒．(1)当t为何值时，∆ABP与∆DCP全等．
(2)当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以v cm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样
的v值，使得∆ABP与∆PQC全等？若存在，请求出v的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)t=2.5秒
(2)存在，v=2或v=2.4
【分析】（1）根据题意得出当△ABP≌△DCP时， BP=CP，据此计算出t即可；
（2）分情况根据三角形全等得出v的值即可．
（1）
解：由题意知，PC=10-2t，
当△ABP≌△DCP时，
∴2t=10-2t，
解得t=2.5．
当t=2.5s时，△ABP≌△DCP．
（2）
解：①当BP=CQ，AB=PC时，△ABP≌△PCQ，
∵AB=6cm，
∴PC=6cm，
∴BP=10-6=4（cm），t=4÷2=2，
∴2v=4，
解得v=2；
②当BA=CQ，PB=PC时，△ABP≌△QCP，
∵BP=PC，
∴BP=PC= BC=5cm，
∴2t=5，解得t=2.5，
∵CQ=AB=6cm，
即2.5v=6，
解得v=2.4；
综上所述，当v=2.4cm/秒或2cm/秒时△ABP和△PQC全等．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．
25．（2022·甘肃·甘州区金安苑学校七年级期末）如图，已知 中， 厘米， 厘米，
，点 为 的中点，如果点 在线段 上以 厘米/秒的速度由 点向 点运动，同时，点
在线段 上以 厘米 秒的速度由 点向 点运动．
(1)若 ，经过 秒后，此时 与 是否全等？请说明理由．
(2)若 ，当 ， 为何值时，能够使 与 全等？请说明理由．
(3)是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，求此时 的度数，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2) ，理由见解析
(3)存在点 ， 为等腰三角形， 的度数是 或 或 时，使 为等腰三角形，理
由见解析
【分析】（1）先求得 ， ，然后根据等边对等角求得 ，最后根据 即
可证明；
（1）因为 ，所以 ，又 ，要使 与 全等，只能 ，根据全等得
出 ，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和 的长即可求得 的运动速度；（1）由三角形内角和定理和等腰三角形的性质求得 的度数．需要分类讨论： 、
、 三种情况．
（1）
解： 秒，
厘米
厘米， 为 中点，
厘米
又 厘米
，
，
在 与 中，
，
≌ ；
（2）
解： ，
，
又 ，
要使 ≌ ，只能 ，
≌ ，
．
点 的运动时间 秒 ，
此时 厘米 秒 ．（3）
解：存在点 ，使 为等腰三角形．理由如下：
中， ， ，
．
当 时， 为等腰三角形
当 时， 为等腰三角形，此时 ．
当 时， 为等腰三角形，
综上所述， 的度数是 或 或 时， 为等腰三角形．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，以及数形结合思想的运用，解题的根
据是熟练掌握三角形全等的判定和性质．
26．（2022·江苏镇江·八年级阶段练习）如图，在 ABC中，AB=AC=8，BC=12，点D从B出发以每秒2个
单位的速度在线段BC上从点B向点C运动，点E△同时从C出发以每秒2个单位的速度在线段CA上向点A
运动，连接AD、DE，设D、E两点运动时间为t秒（0<t<4）
(1)运动 秒时，AE= DC；
(2)运动多少秒时， ABD≌△DCE能成立，并说明理由；
(3)若 ABD≌△DCE，△∠BAC=α，则∠ADE= （用含α的式子表示）．
【答案△】(1)3
(2)2秒，理由见解析(3)
【分析】（1）依据BD=CE=2t，可得CD=12-2t，AE=8-2t．再根据当 时， ，解
出t的值即可；
（2）当△ABD≌△DCE成立时，AB=CD=8，即得出12-2t=8，解出t的值即可；
（3）由三角形全等的性质可知∠CDE=∠BAD．由∠ADE=180°-∠CDE-∠ADB，∠B=∠180°-∠BAD-∠ADB，
即可得到∠ADE=∠B，再根据∠BAC=α，AB=AC，即可得出∠ADE的大小．
（1）
由题可得，BD=CE=2t，
∴CD=12-2t，AE=8-2t，
∴当 时，即 ，
解得t=3，
故答案为：3；
（2）
当△ABD≌△DCE成立时，AB=CD=8，
∴12-2t=8，
解得t=2，
∴运动2秒时，△ABD≌△DCE能成立；
（3）
当△ABD≌△DCE时，
∴∠CDE=∠BAD，
又∵∠ADE=180°-∠CDE-∠ADB，∠B=∠180°-∠BAD-∠ADB，
∴∠ADE=∠B，
又∵∠BAC=α，AB=AC，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识点的综合
运用．利用全等三角形的对应边相等得出方程是解题关键．27．（2021·甘肃·甘州区思源实验学校七年级期末）如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动
点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点
M．
(1)求证：△ABQ≌△CAP；
(2)当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
(3)如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变
化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．∠QMC＝60°
(3)点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变．∠QMC＝120°
【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP；
（2）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠QMC= ；
（3）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ=∠ACP，从而得到∠QMC= ．
（1）
证明：∵△ABC是等边三角形
∴∠ABQ＝∠CAP，AB＝CA，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴AP＝BQ，
在△ABQ与△CAP中，
∵ ，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）；（2）
解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC＝∠ACP+∠MAC，
∴∠QMC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC ；
（3）
解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变化．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC＝∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC=180°-60°=120°．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题
的关键．
28．（2022·广东惠州·八年级期中）已知Rt△ABC中，AB＝AC，点D为直线BC上的一动点（点D不与点
B、C重合），以AD为边作Rt△ADE，AD＝AE，连接CE．
(1)发现问题
如图①当点D在边BC上时．
①请写出BD和CE之间的数量关系为 ，位置关系为 ；
②求证：CE+CD＝BC；
(2)尝试探究
如图②，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，（1）中BC、CE、CD之间存在的数量关系是否
成立？若成立，请证明：若不成立，请写出新的数量关系，说明理由；
(3)拓展延伸如图③，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，若BC＝6，CE＝2，求线段CD的长．
【答案】(1)①BD＝CE，BD⊥CE；②见解析
(2)不成立，存在的数量关系为CE＝BC+CD，理由见解析
(3)8
【分析】（1）①根据条件AB=AC，∠ABC=∠ACB=45°，AD=AE，∠ADE=∠AED=45°，判定△ABD≌△ACE
（SAS），即可得出BD和CE之间的关系；②根据全等三角形的性质，即可得到CE+CD=BC；
（2）根据已知条件，判定△ABD≌△ACE（SAS），得出BD=CE，再根据BD=BC+CD，即可得到
CE=BC+CD；
（3）根据条件判定△ABD≌△ACE（SAS），得出BD=CE，进而得到CD=BC+BD=BC+CE，最后根据
BC=6，CE=2，即可求得线段CD的长．
（1）
①如图1，∵AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝45°，AD＝AE，∠ADE＝∠AED＝45°，
∴∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°，
∴∠BCE＝90°，即BD⊥CE；
故答案为：BD＝CE，BD⊥CE；
②由①得△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
∴BC＝BD+CD＝CE+CD；
（2）
不成立，存在的数量关系为CE＝BC+CD．
理由：如图2，由（1）同理可得，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
∴BD＝BC+CD，
∴CE＝BC+CD；
（3）
如图3，由（1）同理可得，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，
∴CD＝BC+BD＝BC+CE，
∵BC＝6，CE＝2，
∴CD＝6+2＝8．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是掌握：
两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．解题时注意：全等三角形的对应边相等．
29．（2021·山东·临沭县第三初级中学八年级阶段练习）问题情境：如图1，在直角三角形ABC中，∠BAC
＝90°，AD⊥BC于点D，可知：∠BAD＝∠C（不需要证明）；
特例探究：如图2，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB＝
AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．证明： ABD≌△CAF；
归纳证明：如图3，点B，C在∠MAN的边AM△、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2
分别是 ABE、 CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证： ABE≌△CAF；
拓展应△用：如图△4，在 ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD△＝2BD，点E、F在线段AD上，
∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为15，则 ACF与 BDE的面积之和为 ．
△ △ △【答案】证明见解析，证明见解析，5
【分析】（1）根据图②，求出∠BDA＝∠AFC＝90°，∠ABD＝∠CAF，根据AAS证两三角形全等即可；
（2）根据图③，运用三角形外角性质求出∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA，根据ASA证两三角形全等即
可；
（3）根据图④，由CD＝2BD，△ABC的面积为15，可求出△ABD的面积为5，根据△ABE≌△CAF，得出
△ACF与△BDE的面积之和等于△ABD的面积，据此即可得出答案．
【详解】解：特例探究：
∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN＝90°，
∴∠BDA＝∠AFC＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠BAD+∠CAF＝90°，
∴∠ABD＝∠CAF，
在 ABD和 CAF中，
△ △
∵ ，
∴ ABD≌△CAF（AAS）；
归△纳证明：
∵∠1＝∠2＝∠BAC，∠1＝∠BAE+∠ABE，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，∠2＝∠FCA+∠CAF，
∴∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA，
在 ABE和 CAF中，
△ △
∵ ，
∴△ABE≌△CAF（ASA）；拓展应用：
解：∵△ABC的面积为15，CD＝2BD，
∴△ABD的面积是： ×15＝5，
由图3中证出 ABE≌△CAF，
∴△ACF与 B△DE的面积之和等于 ABE与 BDE的面积之和，即等于 ABD的面积，是5，
故答案为：△5． △ △ △
【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积计算，三角形的外角
性质等知识点的综合应用，判断出两三角形全等是解本题的关键．
30．（2022·山东淄博·七年级期末）数学课上，王老师出示了如下框中的题目．
在等边三角形 中，点 在 上，点 在 的延长线上，且 ，如图，试确定线段 与
的大小关系，并说明理由．
小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
(1)特殊情况，归纳猜想：当点 为 的中点时，如图1，确定线段 与 的大小关系，请你直接写出
结论： （填“＞”，“＜”或“＝”）．
(2)特例启发，演绎证明：如图2，当点 为 边上任意一点时，线段 与 的大小关系是：
（填“＞”，“＜”或“＝”），小敏和小聪过点 作 ，交 于点 ，请帮助小
敏和小聪完成接下来的证明过程．
(3)拓展延伸，问题解决：在等边三角形 中，点 在直线 上，点 在直线 上，且 ．若
等边三角形 的边长为1， ，求 的长．（请自己画图，并完成解答）．
【答案】(1)
(2) ，见解析(3) 或
【分析】（1）先由等边三角形的性质得到 ， ，再证出 ，即可得出
结论；
（2）作 交 于 ．证明 ，推出 ，即可得出 ；
（3）分两种情形讨论：①当 在 的延长线上时，作 交 的延长线于 ，易证 ，
可得 ， ；
②当 在 的延长线上时，作 交 的延长线于 ，易证 ，可得 ，
，由此即可解决问题．
（1）
解： 是等边三角形，点 为 的中点，
， ，
，
，
，
，
，
故答案为： ；
（2）
解： 与 的大小关系是： ，理由如下：
如图2，过点 作 ，交 于点 ．
则 ， ， ，
， ，
是等边三角形，，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
故答案为： ；
（3）
解：如图3，当 在 的延长线上时，作 交 的延长线于
，
同（2）得： ，
，
，
如图4中，当 在 的延长线上时，作 交 的延长线于 ，同（2）得： ，
，
．
综上所述， 的长为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定
和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
