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2025-2026 学年八年级下册数学单元自测
第十九章 二次根式·能力提升
建议用时：60分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各式 ， ， ， 中是二次根式的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列各式中，与 是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．估算 的结果在（ ）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
5．把 根号外的因式移入根号内，下列结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．若 的整数部分是a，小数部分是b，求 的值为（ ）
A． B．3 C．5 D．
7．实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司8．如果a满足 ，那么 的值为（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
9．对于任意的正数m、n定义运算 ： 计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
10．已知代数式 ，其中a，b，c，d，x均为正整数，且x不是完全平方数．若
，且m，n为正整数．则下列说法正确的个数（ ）
①若 ，则 ，
②若 ，且 ，则不存在任何的m，n满足条件；
③若 ，则M，N共有4种结果．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．函数 中的自变量的取值范围是 ．
12．如果最简二次根式 与 是同类二次根式，则 .
13．比较大小： （填“ ”“ ”或“ ”）．
14．若 ，化简 ．
15．已知 ，则 的值为 ．
16．古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦一秦
九韶公式．如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记 ，那么这个三角形的面积为
．若 ， ， ，其面积S的小数部分为m，则m的值为 ．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）
17．计算：
(1) ：
(2) ．
18．某校有一块形状为正方形的绿地（如图），其边长为 米．现在要在正方形绿地内修建四个大
小、形状相同的长方形花坛，每个花坛的长为 米、宽为 米，除去修建花坛的地方，其它地
方全部修建成通道，求通道的总面积．
19．求当 ， 时，下列代数式的值．
(1) ；
(2) ．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司20．对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下： ．如 ．
(1)求 的值．
(2)求 的值．
21．像 ， ，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全
平方式进行化简．
如： ；
．
请用上述方法探索并解决下列问题：
(1)化简： ；
(2)化简： ．
22．若 ，则称x和y是关于3的平衡数．
(1) 与 是关于3的平衡数； 与 是关于3的平衡数；
(2)已知m为整数，若 ，请说明 与 是关于3的平衡数；
(3)已知 为整数，a和b是关于3的平衡数，则 ．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司23．观察下面算式：
第一个算式：
第二个算式：
第三个算式：
第n个算式：………………
(1)根据上述特征，请再写出第五个算式______________
(2)你发现上述等式有什么规律？请用恰当的方式描述这个规律；
(3)请你用含n式子表示上述规律，并证明这个规律．
24．问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形
面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究：
材料 ．古希腊的几何学家海伦（ 约公元50年 ，在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的
海伦公式 （其中a、b、c为三角形的三边长， ，S为三角形的面
积）
材料 ．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：
，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为 ．
(1)利用材料1解决下面的问题：当 时，求这个三角形的面积？
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司(2)利用材料2解决下面的问题：已知 三条边的长度分别是 ，
记 的周长为
①当 时，请直接写出 中最长边的长度；
②若x是满足 的整数，当 取得最大值时，请用秦九韶公式求出 的面积．
25．阅读下面问题： ，
，
，
【问题探究】
（1）根据以上信息，化简： ______________________________．
【应用结论】
（2）利用以上规律，计算：
【拓展应用】
（3）如果有理数a，b满足 ，试求：
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司的值．
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