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2025-2026 学年八年级下册数学单元检测卷
第十九章二次根式
建议用时：120分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．要使二次根式 有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．实数 在数轴上对应点的位置如图所示，化简 的结果是（ ）
A． B．a C． D．b
5．如图，正方形 ，顶点 在数轴上表示的数为1，若点 在数轴上（点 在点 的右侧），且
，则点 所表示的数为 ，则正方形 的面积为（ ）
A． B．7 C． D．10
6．当 ， 时，代数式 的值是（ ）
A． B． C． D．7．估计 的值应在（ ）
A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间
8．若 ，化简 的正确结果是（ ）
A． B．1 C． D．
9．当 时，下列等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
10．当 时，多项式 的值为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．0
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．化简 ．
12．若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 ．
13．化简：将m写到根号中： ．
14．比较大小： （选填“ ”，“ ”，“ ”）
15．二次根式除法可以这样做：如果 ，像这样通过分子、分母同乘一个
式子把分母中的根号化去或者把根号中的分母化去，叫做分母有理化．有下列结论：
①将式子 进行分母有理化，可以对其分子、分母同时乘以 ；
②若a是 的小数部分，则 的值为③比较两个二次根式的大小：
④计算：
以上结论正确的是 ．（写出所有正确的序号）
三、解答题（共9小题，共75分）
16．计算：
(1) ；
(2) ．
17．已知 ．
(1)计算 ________； ________； ________．
(2)求 的值．
18．定义两种新运算，规定： ， ，其中a、b为实数且 ．
(1)求 的值；
(2)求 的解．
19．如图，学校准备制作一块长方形宣传栏 ，用于展示校园文化．已知宣传栏的长 为 ，
宽 为 ．为了突出重点内容，工作人员需要在宣传栏中划出一块长为 、宽为
的小长方形区域制作主题海报（即图中阴影部分），其余区域用于张贴学生作品．(1)计算长方形宣传栏 的周长（结果化为最简二次根式）；
(2)求用于张贴学生作品的面积．
20．在二次根式的比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较 和 的
大小，我们可以把a和b分别平方．
∵ ，
∴ 而 ，
∴ ．请利用“平方法”解决下面问题：
(1)比较 ， 的大小，c_______d；（填写>，<或者=）
(2)猜想 ， 之间的大小关系，并证明．
21．阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数.形如 ，如果你能找到两个数 、 ，使
，且 ，则 可变形为 .从而达到化去一层根
号的目的．
例如化简 ， 且 ，
.
(1)填上适当的数： ＝______．
(2) 能化为最简二次根式，求正整数 的最小值和最大值．
(3)化简： ．
22．阅读下面计算过程：
；；
．
试求：
(1) 的值．
(2)求 的值．
(3)若 ，求 的值．
23．在当今时代，国家人才培养和筛选机制正经历重大转变，以往单纯依靠死记硬背和题海战术的学习方
式，已难以适应新的人才需求，自学能力逐渐成为孩子成长过程中不可或缺的关键因素．小智在学校学完
二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如： ，善于思考的小
智进行了以下探索，若设 ，则有 ， ，这样小
智就找到一种把类似 的式子化为平方式的方法．请你依照小智的方法探索，并解决下列问题．
(1)若 ，当a，b，m，n均为正整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得
________， ________；
(2)若 ，当a，b，m，n均为正整数时，求a的值；
(3)求出 的值．
24．【阅读理解】通过二次根式和乘法公式可以发现：对于任意正实数 ， ，
∵∴
∴ （当且仅当 时， ）
【获得结论】在 （ ， 均为正实数）中，若 为定值 ，则 ，当且仅当 时，
有最小值 ．
如：若 ，则
∴ ，当且仅当 ，即 时， 有最小值2．
【探索应用】根据上述内容，回答下列问题：
(1)若 ，则 的最小值是_____；
(2)已知 ， 是一个大于0的常数，若 的最小值为1，求 的值；
(3)如图，四边形 的对角线 ， 相交于点 ，若 ， ， ，求
的最大值．
