文档内容
2025 年中考押题预测卷（南京卷 01）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题给出的四个选项中，恰有一
项是符合题目要求的）
1．下列各数中，最小的数是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【知识点】化简多重符号、求一个数的绝对值、有理数大小比较
【分析】本题考查比较有理数的大小，去绝对值，化简多重符号，根据正数大于0，0大于负数，进行判断
即可．
【详解】解： ， ，
∴ ，
∴最小的数为： ．
故选D．
2． 团队在人工智能研发过程中坚持自主创新．实验数据显示，他们的模型训练效率达到了惊人
的 次浮点运算/秒．若某次连续训练持续了 秒，则总共完成了多少次浮点运算（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】用科学记数法表示绝对值大于1的数、同底数幂相乘
【分析】本题考查了同底数幂相乘和科学记数法，根据题意计算 ，即可解答，熟练计算
是解题的关键．
【详解】解：根据题意， ，
故选：C．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】合并同类项、积的乘方运算、运用完全平方公式进行运算、二次根式的加减运算
【分析】本题主要考查了积的乘方运算，完全平方公式，整式加法运算，二次根式的加法运算等知识，掌
握相关运算法则和运算公式是解题关键．
根据积的乘方运算，完全平方公式，整式加法运算，二次根式的加法运算法逐项分析判断即可．
【详解】解：A： ，故运算错误，不符合题意；
B： ，故运算错误，不符合题意；
C： 与 不是同类项，不能合并，不符合题意；
D： ，运算正确，符合题意．
故选：D．
4．榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯
台形，形似燕尾．如图是燕尾榫的带榫头部分，它的俯视图是（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】判断简单几何体的三视图
【分析】本题考查三视图，根据俯视图是从上往下看，得到的图形，看到的部分用实线表示，看不到的部
分用虚线表示进行判断即可．
【详解】解：由图可知：几何体的俯视图为：
，
故选：A
5．如图， 、 分别与 相切与 ， 两点， 为 上一点，连接 、 、 ，若 ，
， 的半径为 ，则 的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理、切线的性质定理、应用切线长定理求解、解直角三角形的相关计算
【分析】本题考查切线的性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点是解题的关
键：连接 、 ， ，过 点作 于 ，切线的性质结合垂径，定理和解直角三角形，求出
的长，进而求出 的长，切线长定理结合等边对等角，推出 ，得到 ，求出
的长，过 作 于 ，得到 为等腰直角三角形，得到 ，在 中，利用勾股定理进行求解即可。
【详解】解：连接 、 ， ，过 点作 于 ，
、 分别与 相切与 ， 两点，
，
，
，
∵ 的半径为 ，
∴ ，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
过 作 于 ，
则 是等腰直角三角形，
，
，
，
或 不合题意舍去 ，，
故选：B．
6．如图，已知菱形 的边长为3，点 从点 处出发，以每秒1个单位长度的速度，顺着菱形的边顺
时针运动一周 后停止，设 为点 运动 秒后 的面积，当 、 、 三点共
线时 ．那么， 关于 的函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】动点问题的函数图象、一次函数与几何综合、利用菱形的性质求面积、解直角三角形的相关计
算
【分析】根据菱形的性质，可得 ， ， ，
，过点 作 的垂线，垂足为点 ，设
，根据三角函数可得 ，结合点 走
的路程为 ，在分别分析 ， ， ， 四种情况时， 关于 的函数的大致图象，
即可求解．
【详解】解：∵四边形 是菱形，
∴ ， ， ，
，
过点 作 的垂线，垂足为点 ，设 ，如图所示：∵ ，
∴
∵点 从点 处出发，以每秒1个单位长度的速度，
∴点 走的路程为 ，
当 时，点 在 上运动， ，
∴
∴
∵
∴当 时， 关于 的函数的图象大致为上升的直线；
当 时，点 在 上运动， ，
∴
∴
∵
∴当 时， 关于 的函数的图象大致为下降的直线；
同理可得，当 时， 关于 的函数的图象大致为上升的直线；当 时， 关于 的函数的图
象大致为下降的直线；
故选：A．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）
7．单项式 的次数是 ．
【答案】6
【知识点】单项式的系数、次数
【分析】本题考查了单项式的知识，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．根据单项式次
数的概念求解．【详解】解：单项式 的次数是 ，
故答案为：6．
8．因式分解： ．
【答案】
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；因此此题可根据提公因式及平方差公
式进行因式分解．
【详解】解：原式 ；
故答案为 ．
9．计算： ．
【答案】2
【知识点】二次根式的混合运算
【分析】本题考查二次根式混合运算，熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键．
先根据二次根式乘法法则计算，再化简，最后计算加减即可．
【详解】解：原式
．
故答案为：2．
10．已知 是方程组 的解，则 ．
【答案】1
【知识点】加减消元法
【分析】将方程组的解代入原方程可得到关于参数a，b的二元一次方程组，分别利用两式相减可得到
，利用两式相加可得到 ，再代入 进行计算，即可解题．本题考查了二元一次方程组，已知式子的值求代数式的值，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
【详解】解：∵ 是方程组 的解，
∴ ，
得 ，解得 ；
得 ，解得 ；
∴
故答案为 ．
11．方程 的解为 ．
【答案】
【知识点】解分式方程（化为一元一次）
【分析】此题考查了解分式方程，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检
验即可得到分式方程的解．
【详解】解： ，
方程两边同时乘 得： ，
解得： ，
经检验， 时， ，
分式方程的解为 ，
故答案为： ．
12．如图，A是反比例函数 的图象上一点， 轴于点B，点C与点B关于x轴对称，连接
．若 的面积为8，则k的值为 ．【答案】
【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）
【分析】本题考查了反比例函数系数 的几何意义，反比例函数的图象和性质，轴对称的性质，连接 ，
可得 ，进而由轴对称可得 ，即得 ，再根据反比例函数的图象
和性质即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接 ，
∵ 轴于点 ，
∴ ，
∵点 与点 关于 轴对称，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵反比例函数图象分布在第二象限，∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
13．如图，在平行四边形 中，对角线 相交于点 ，点 是 的中点，连接 ，取 的
中点 ，连接 ，若 ，则 等于 ．
【答案】4
【知识点】利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】本题主要考查平行四边形的性质及三角形中位线，熟练掌握平行四边形的性质及三角形中位线是
解题的关键；由题意易得点O为 的中点， ，然后根据三角形的中位线可进行求解．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，即点O为 的中点，
∵点 是 的中点， ，
∴ ，
∵点 是 的中点，
∴ ；
故答案为4．
14．如图，矩形 中， ，将矩形 绕着点 顺时针旋转得矩形 ， 恰好落在对
角线 上，连接 ，如果 与边 相交，且 ，那么 的长是 ．
【答案】
【知识点】公式法解一元二次方程、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解
【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，公式法解一元二次
方程．先证明 ，推出 ，设 ，由勾股定理得 ，
，根据 ，列式计算即可求解．
【详解】解：设 ，记 和 相交于点 ，
∵矩形 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
由旋转的性质得 ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∴ ， ，
由勾股定理得 ， ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
∴ ．
故答案为： ．
15．如图，在正方形 中，点E，点F分别在边 上（点E不与点B，C重合），且 ．
连接 交于点G，连接 交于点H．若 ，则 ．
【答案】
【知识点】全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、相似三角形的判定与性
质综合
【分析】证明 ，得 ， ，再证明 ，推导出
，则 ， ，再推导出 ，再证明 ，得
到 ， ，设设 ，利用勾股定理计算，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
连接 ，则 垂直平分 ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
设 ，则 ，
∴ ，
，
∴ ， ，∴ ，
故答案为： ．
16．在数学游艺会上，张华负责一个游戏项目，她准备了 张同样的卡片，上面分别写有 ， ， ，..，
， ，游戏规则是：先将卡片顺序打乱，参与者从中随机抽取 五张，并将它
们正面向下放置在桌上(如图)，这五张卡片分别记为 ， ， ， ， ，张华
依次将相邻两张卡片上的数的和告诉参与者，请参与者猜出其中哪 张卡片上的数
字最大.下表是李明抽取的五张卡片中相邻两张卡片上的数的和， 则这五张卡片
上数字最大的是 (填 ， ， ， ， )
卡片编号
两数的和
【答案】
【知识点】不等式的性质、等式的性质1
【分析】本题考查了等式的性质和不等式的应用，熟练掌握等式的性质和不等式的应用是解答本题的关键．
由题意得到关于 的方程，然后作差利用不等式的性质，最后根据题意得结论．
【详解】解：设 ， ， ， ， 卡片上对应的数分别为 ， ， ， ， ，
则 ， ， ， ， ，
，得 ，所以 ，
，得 ，所以 ，
，得 ，所以 ，
，得 ，所以 ，
，得 ，所以 ，
所以 ，且 ，
所以 卡片上的数最大，故答案为： ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）解方程组： ．
【答案】
【知识点】加减消元法
【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用加减法解答即可求解，掌握解二元一次方程组的方法是解题
的关键．
【详解】解： ，
得， ，
∴ ，
把 代入①得， ，
∴ ，
∴方程组的解为 ．
18．（7分）化简 ．
【答案】
【知识点】分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算．原式被除数括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则
计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果即可．
【详解】解：．
19．（8分）已知反比例函数 在其图象所在的各象限内， 随 的增大而减小．
(1)求 的最小整数值．
(2)判断直线 与该反比例函数图象是否有交点，并说明理由．
【答案】(1) 的最小整数值为0
(2)有交点，理由见解析
【知识点】已知反比例函数的增减性求参数、一次函数与反比例函数的交点问题
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，以及正比例函数的图象与性质．
（1）根据反比例函数的增减性质可知 ，解不等式即可；
（2）根据反比例函数图象和正比例函数图象经过的象限进行判定即可．
【详解】（1）解：∵由题意，得
∴
∴ 的最小整数值为0
（2）解：有交点，理由如下：
由题意得，反比例函数的图象在第一、三象限；
∵ ，
∴直线 经过第一、三象限，∴直线 与该反比例函数图象有交点
20．（8分）如图， 是 的直径， ，点E在 的延长线上，且 与 相
交于点F．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 的半径为 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、圆周角定理、证明某直线是圆的切线、解直角三角形的相关计算
【分析】（1）连接 ， ，证明 垂直平分 ，得出 ，证明 ，得出
，说明 ，即可证明结论；
（2）根据 是 的直径，得出 ，根据勾股定理求出 ，根据三角函数定义求出
，得出 ，求出 ，即可得到 的长．
【详解】（1）证明：连接 ， ，如图所示：
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴点O、B在 的垂直平分线上，
∴ 垂直平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ 是 的切线；
（2）连接 ，
解：∵ 的半径为3，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，∴
21．（8分）历史文化名城徐州有着丰富的旅游资源．家住徐州市的小明计划五一假期邀请南京市的好朋
友小强来徐州游玩，他打算从3个人文景点（A．龟山汉墓；B．徐州博物馆；C．徐州户部山古民居）中
随机选取一个，再从2个自然景点（D．徐州吕梁风景区；E.云龙湖风景区）中随机选取一个．
(1)小明从人文景点中选中徐州博物馆的概率是____________；
(2)用树状图或列表的方法求小明恰好选中龟山汉墓和云龙湖风景区的概率．
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率
【分析】本题考查了画树状图求概率，正确理解题意并画出树状图是解题的关键．
（1）根据概率的计算公式计算，即得答案；
（2）先画出树状图，再列举事件总的可能性结果及符合条件的等可能结果，最后根据概率的计算公式计
算，即得答案．
【详解】（1）解：由题意可得，小明从人文景点中选中徐州博物馆的概率是 ，
故答案为： ；
（2）解：树状图如下所示：
由上可得，一共有6种等可能性，其中小明恰好选中龟山汉墓和云龙湖风景区的有
1种，
∴小明恰好选中龟山汉墓和云龙湖风景区的概率为 ．
22．（8分）某校准备开展“行走的课堂，生动的教育”研学活动，并计划从博物馆、动物园、植物园、
海洋馆（依次用字母A，B，C，D表示）中选择一处作为研学地点．为了解学生的选择意向，学校随机抽
取部分学生进行调查，整理绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全条形统计图；扇形统计图中A所对应的圆心角的度数为______°；
(2)该校共有1600名学生，请你估计该校有多少名学生想去海洋馆；
(3)根据以上数据，学校最终将海洋馆作为研学地点，研学后，学校从八年级各班分别随机抽取10名学生
开展海洋知识竞赛．甲班10名学生的成绩（单位：分）分别是：75，80，80，82，83，85，90，90，90，
95；乙班10名学生的成绩．（单位：分）的平均数、中位数、众数分别是：84，83，88．根据以上数据判
断______班的竞赛成绩更好．（填“甲”或“乙”）
【答案】(1)补全条形统计图见解析，54
(2)640人
(3)甲
【知识点】画条形统计图、求扇形统计图的圆心角、求中位数、求众数
【分析】（1）用B的人数除以 求得本次调查的学生总数，进而得出D组的人数，画出统计图，用
乘“A”所占比例可以求得“A”部分所占圆心角的度数；
（2）用1600乘样本中D所占比例即可；
（3）求出甲班的平均数，众数，中位数，再对比，即可解答．
【详解】（1）解：总人数： （人），
D组人数： ；如图：
A所对应的圆心角的度数为： ，
故答案为：54；
（2）解：去海洋馆： （人）答：该校约有640名学生想去海洋馆；
（3）解：∵甲班10名学生的成绩：75，80，80，82，83，85，90，90，90，95，
∴甲班10名学生的成绩的平均数： ，
甲班10名学生的成绩的众数：90；
甲班10名学生的成绩的中位数： ，
∵乙班10名学生的成绩的平均数、中位数、众数分别是：84，83，88．
∴甲班的平均数，中位数，众数都高于乙班，
∴甲班的竞赛成绩更好．
故答案为：甲．
23．（8分）如图1，塑像 在底座 上，点D是人眼所在的位置．当点B高于人的水平视线 时，
由远及近看塑像，会在某处感觉看到的塑像最大，此时视角最大．数学家研究发现：当经过A，B两点的
圆与水平视线 相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑像最大，此时 为最大视角．
(1)请仅就图2的情形证明 ．
(2)经测量，最大视角 为 ，在点P处看塑像顶部点A的仰角 为 ，点P到塑像的水平距
离 为 ．求塑像 的高（结果精确到 ．参考数据： ）．
【答案】(1)见解析
(2)塑像 的高约为
【知识点】圆周角定理、仰角俯角问题(解直角三角形的应用)
【分析】本题考查了圆周角定理，三角形外角的性质，解直角三角形的应用等知识，解题的关键是：
（1）连接 ，根据圆周角定理得出 ，根据三角形外角的性质得出 ，然后
等量代换即可得证；（2）在 中，利用正切的定义求出 ，在 中，利用正切的定义求出 ，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接 ．
则 ．
∵ ，
∴ ．
（2）解：在 中， ， ．
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
在 中， ，
∴ ．
∴ ．
答：塑像 的高约为 ．
24．（8分）如图，在四边形 中，点 、 、 、 分别是各边的中点，且 ， ，
四边形 是矩形．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若矩形 的周长为22，四边形 的面积为10，求 的长．【答案】(1)见解析
(2)
【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、与三角形中位线有关的求解问题、利用矩形的性质证明、证
明四边形是菱形
【分析】（1）连接 ， ，证明四边形 是平行四边形，再利用三角形中位线定理得到 ，
，利用矩形的性质得到 ，即可证明四边形 是菱形；
（2）利用三角形中位线定理和菱形性质得到 ，利用lx 面积公式得到
，再利用完全平方公式结合勾股定理进行变形求解即可得到 ．
【详解】（1）解：连接 ， ，
， ，
四边形 是平行四边形，
四边形 中，点 、 、 、 分别是各边的中点，
， ，
四边形 是矩形，
，
，
四边形 是菱形；
（2）解： 四边形 中，点 、 、 、 分别是各边的中点，
， ，
矩形 的周长为22，
，四边形 是菱形，
即 ，
四边形 的面积为10，
，即 ，
，
，
．
25．（8分）在平面直角坐标系 中，点 在二次函数 的图像上，记该二次
函数图像的对称轴为直线 ．
(1)求 的值；
(2)若点 在 的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次
函数的图像．当 时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；
(3)设 的图像与 轴交点为 ， ．若 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)新的二次函数的最大值与最小值的和为 ；
(3)
【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(二次函数综合)
【分析】（1）把点 代入 可得 ，再利用抛物线的对称轴公式可得答案；
（2）把点 代入 ，可得： ，可得抛物线为 ，将该二
次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为： ，再利用二次
函数的性质可得答案；
（3）由根与系数的关系可得 ， ，结合 ， ，再建立不等式组求解即可.
【详解】（1）解：∵点 在二次函数 的图像上，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线为： ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ；
（2）解：∵点 在 的图像上，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线为 ，
将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为：
，
∵ ，
∴当 时，函数有最小值为 ，
当 时，函数有最大值为
∴新的二次函数的最大值与最小值的和为 ；
（3）∵ 的图像与 轴交点为 ， ．
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ 即 ，
解得： .
26．（9分）如图是由小正方形组成的 网格，每个小正方形的顶点叫做格点． 三个顶点都是格
点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过两条．
(1)在图1中，画出 的高 ；
(2)在（1）的基础上，在 上画点 ，连接 ，使 ；
(3)在图2中，画 ；
(4)在（3）的基础上，在 上画点 ，使 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【知识点】画三角形的高、利用平行四边形的性质求解、正切的概念辨析、格点作图题
【分析】本题主要考查了格点作图、相似三角形的判定与性质、正切的定义、平行四边形的定义等知识点，
理解相关知识成为解题的关键．
（1）根据垂直的定义以及格点的特点即可解答：
（2）根据正切的定义、格点的特点以及（1）的作图即可解答；
（3）根据平行四边形的定义作图即可；
（4）根据格点的特点构造相似三角形求出相关线段的长度，然后运用勾股定理求解发现作法，然后作图
即可．
【详解】（1）解：如图1：线段 即为所求．（2）解：如图1：点G即为所求．
（3）解：如图2： 即为所求．
（4）解：如图：点E即为所求．
27．（9分）在 中， ， ， 绕点C顺时针旋转角度α（ ）得到
．(1)如图1，若 ，连接 交 于点E，若 ，求 的长；
(2)如图2，若 ， 平分 交 于点F，连接 ，过点C作 ，在射线 上取
点G使得 ，连接 ，请用等式表示线段 、 、 之间的数量关系并证明；
(3)如图3，若 ，点P是线段 上一动点，将 绕点P逆时针旋转 得到 ，连接 ，M为
的中点，当 取得最小值时，请直接写出 的面积．
【答案】(1) ；
(2) ，见解析；
(3)8．
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性
质与判定证明、根据旋转的性质求解
【分析】（1）根据旋转可得 ，即可得到 ，据此求解即可；
（2）连接 ， 与 交于点O，根据角平分线可得 ，进而得到
， ，得到 ， ，
可得 ，即可推出 和 是等腰直角三角形，据此求解即可；
（3）如图，过P作 交 于H，交 于O，过Q作 交 于G，延长 交 于
N，延长 至E，使 ，过A作 交 于F，根据一线三垂直模型可证明，得 ， ，设 ,则 ，
，得到四边形 是矩形，四边形 是正方形，再说明M与O重合，
，最后根据 ，得到当A、N、E三点共线时
取得最小值，得到 ，解得 ，最后根据 计算即
可．
【详解】（1）解：由旋转可得 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：连接 ， 与 交于点O，如图2，
由旋转可得 ， ，
∴ ， ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴G、B、D三点共线，且 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
整理得 ；
（3）如图3，过P作 交 于H，交 于O，过Q作 交 于G，延长 交 于
N，延长 至E，使 ，过A作 交 于F，∵将 绕点P逆时针旋转90°得到 ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
设 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴点B在 上， ， ,
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，∴ ， ，
∴O为 的中点，
∵M为 的中点，
∴M与O重合， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴当A、N、E三点共线时 取得最小值，此时 ，
∴ ,
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
