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1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 2025-2026 学年高二下学期期中模拟卷01 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58 分） 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．下列求导正确的（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数加法运算法则判断A；根据复合函数的导数判断B；根据导数除法运算法则判断C；根 据导数乘法运算法则判断D. 【详解】 ，A 不正确； ，B 不正确； ，C 不正确； ，D 正确. 故选：D 2．已知函数 的导函数为 ，满足 ，则 （ ） A． B． C．3 D．8 【答案】A 【分析】应用导数的加减法则对函数求导得 ，代入 求得 ，进而求 . 【详解】由题设 ，可得 ，故 ， 2 / 16 学科网（北京）股份有限公司 所以 ，故 . 故选：A 3．某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3 个班各有2 名同学获奖，现将这6 人站成一排拍照，其中甲班的 2 名同学相邻，且乙班的2 名同学不相邻的站法种数共有（ ） A．36 种 B．72 种 C．144 种 D．288 种 【答案】C 【分析】甲班的2 名同学相邻，用“捆绑法”，乙班的2 名同学不相邻，用“插空法”，再根据分步乘法 计数原理即可求解. 【详解】第一步，将甲班的2 人捆绑，连同丙班的2 人作全排列，有 种站法； 第二步，将乙班的2 人插入前后4 个空档，有 种站法. 根据分步乘法计数原理，不同的站法共有 种. 故选：C 4．设数列 满足 ，且 ，则 （ ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据给定的递推公式，计算数列 前5 项确定周期，进而求出指定项. 【详解】数列 中， ，且 ，则 ， ，因此数列 是周期为4 的数列， 所以 . 故选：C 5．学校要从5 名男生和3 名女生中选择2 人组成“研学团”，在男生甲被选中的条件下，研学团中男生人 数多于女生的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设事件 为研学团中男生人数多于女生， 事件 为男生甲被选中，分别求出 ，再根 3 / 16 学科网（北京）股份有限公司 据条件概率的公式 求解即可. 【详解】事件 为研学团中男生人数多于女生， 设事件 为男生甲被选中， 则事件 为男生甲被选中且研学团中男生人数多于女生. 所以 ， ， 所以在男生甲被选中的条件下，研学团中男生人数多于女生的概率为 . 故选：B 6．已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，将问题转化成 对 恒成立，构造函数 ，利用导数求得 的最小值，即可得解. 【详解】因为 在 上单调递增， 所以 在 恒成立，即 对 恒成立， 令 ，则 ，令 ，得 ， 当 时， ，当 时， ， 所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， 所以 ，即 的取值范围是 . 故选：B. 7．已知数列 满足 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 4 / 16 学科网（北京）股份有限公司 【答案】A 【分析】根据题意，利用叠加法，求得 ，得到 ，结合函数 的单调性， 以及 ，即可求解. 【详解】由数列 满足 ， 则 ， 所以 ， 又由函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 因为 ， 当 时，可得 ；当 时，可得 ， 因为 ，所以 的最小值为 . 故选：A. 8．已知实数 ， 满足 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设 ，题设转化为 ，进而构造函数 和 ，即可求导，得函数的最值，进而根据 ，得 ， ，进而求解即可. 【详解】由题意可得 ， 设 ，则 ， 故 ，即 ， 令 ，则 ， 当 时， ， 在 单调递增； 当 ， ， 在 单调递减. 所以 ，所以 ， 令 ，则 ， 5 / 16 学科网（北京）股份有限公司 当 ， ， 在 单调递增； 当 ， ， 在 单调递减. 故 ，所以 . 由题意可知若 ，则 ，故 ， ， 此时 且 ，解得 ，故 . 故选：A. 二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分． 9．数列 的前n 项和为 ，且 ，下列说法正确的是（ ） A．若 为等差数列，则 的公差为1 B．若 为等差数列，则 的首项为1 C． D． 【答案】AD 【分析】本题考查等差数列的应用，根据条件构造出 ，两式相减得 ，再根据 选项中的条件进行求解来判断A，B；利用求和公式来判断C，D． 【详解】因为 ，所以 ，两式相减得 ． 若数列 为等差数列，则 的公差 ． 又 ，所以 ，解得 ，所以A 正确，B 错误； ， 所以 ，所以C 错误． 因为 ，所以 恒成立， 即 成立，所以D 正确， 故选：AD． 10．有三个相同的箱子，分别编号1，2，3，其中1 号箱内装有4 个绿球、1 个红球，2 号箱内装有2 个绿 球、3 个红球，3 号箱内装有5 个绿球，这些球除颜色外完全相同.某人等可能从三个箱子中任取一箱并从 中摸出一个球，事件 表示“取到号箱 ”，事件 表示“摸到绿球”，事件 表示“摸到红 6 / 16 学科网（北京）股份有限公司 球”，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据条件概率公式计算判断A，B，应用全概率计算判断C，应用贝叶斯公式计算判断D. 【详解】由题意可知 ，A 正确，B 错误； ，C 正确； ，D 正确； 故选：ACD. 11．设函数 ，则（ ） A．当 时， 有三个零点 B．当 时， 是 的极大值点 C．存在 ，使得 为曲线 的对称轴 D．存在 ，使得点 为曲线 的对称中心 【答案】ABD 【分析】对于A，利用导数确定函数的单调区间，求出极值即可判断；由当 ，可得 ，结合A， 即可判断B；判断 是否有解，即可判断C；求解 ，即可判断 D. 【详解】解：对于A，因为 ， 令 ，解得 ， 所以函数在 上单调递增，在 上单调递减， 所以函数的极大值为 ，极小值为 ， 所以 有三个零点，故A 正确； 对于B，由A 可知，当 时， ， 所以函数在 上单调递增，在 上单调递减， 7 / 16 学科网（北京）股份有限公司 所以 是 的极大值点，故B 正确； 对于C，因为 ， ， 因为 无解， 所以不存在 ，使 得为曲线 的对称轴，故C 错误； 对于D，因为 ， ， 当函数关于点 中心对称时， 则有点 ， 即 ， 所以 ，解得 ， 所以当 时，函数的图象关于 中心对称，故D 正确. 故选：ABD. 【点睛】结论点睛：函数 关于 对称，则有 ；函数 关于 中心 对称，则有 . 第二部分（非选择题 共92 分） 三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分，其中14 题第一空2 分，第二空3 分． 12． 的展开式中 的系数为______ 【答案】 【分析】原式可转化为 ，利用二项展开式通项公式分别求 和 的系数即可. 【详解】因为 ， 由二项展开式通项公式可得 ， 8 / 16 学科网（北京）股份有限公司 令 解得 ，此时 ， 令 解得 ，此时 ， 所以 的展开式中 的系数为 ， 故答案为： 13．已知等比数列 的前 项和 （ 是常数），则 的值为______． 【答案】 【分析】根据 求出数列 的通项公式，结合等比数列的定义可得出关于 的等式，解 之即可. 【详解】因为等比数列 的前 项和 ， 当 时， ， 当 时， ， 满足 ，即 ，解得 ，故 ， 故对任意的 ， ，即数列 为等比数列，故 . 故答案为：． 14．若不等式 对 恒成立，则 的取值范围是__________. 【答案】 【分析】由题可得 ， ，利用导数知识求得函数 值域及 单 调性可得答案. 【详解】不等式 对 恒成立， 则 对 恒成立， ， . 令 ， ， . ； ，则 在 上单调递减，在 上单调递增， 9 / 16 学科网（北京）股份有限公司 从而 .令 ，则 . 令 ， ，则 . 注意到 ，则 ， . 则 在 上单调递增，在 上单调递减， 则 ，从而 . 故答案为： 四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分）已知 的展开式中，第5 项与第3 项的系数之比为7:6. (1)求n 的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)若 ，求 的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求得展开式的通项公式为 ，根据第5 项与第3 项的系数之比为 ， 累成方程，求得 的值； （2）根据二项展开式的性质，可得展开式中的底6 项的二项式系数最大，结合通项公式，即可求解； （3）根据二项展开式的通项公式，得到二项展开式中项的系数的正负，化简得到 ，令 ，即可求解. 【详解】（1）解：由二项式 展开式的通项公式为 ， 因为第5 项与第3 项的系数之比为 ，可得 ， 即 ，解得 或 （舍），所以 . 10 / 16 学科网（北京）股份有限公司 （2）解：由（1）知二项式 ， 根据二项展开式的性质，可得展开式中的底6 项的二项式系数最大， 所以展开式中二项式系数最大的项为 . （3）解：由（1）知，二项展开式的通项为 ， 当 时，展开式的项的系数为负； 当 时，展开式的项的系数为正， 所以 令 ，可得 ， 即 . 16．（15 分）甲、乙、丙三人投篮，甲每次投中的概率为 ，乙每次投中的概率为 ，丙每次投中的概率 为 ，设每人每次投篮是否命中相互之间没有影响. (1)甲、乙每人投3 次，试比较甲恰好投中1 次的概率与乙恰好投中1 次的概率的大小； (2)丙投篮3 次，当 为何值时，丙恰好投中1 次的概率最大，并求出最大值. 【答案】(1)甲恰好投中1 次的概率大. (2) ，最大值为 . 【分析】（1）分别求出甲乙各命中1 次的概率，即可求解. （2）求出丙恰好投中1 次的概率为 ，再令 ，然后利用 导数求出最值，即可求解. 【详解】（1）甲恰好投中1 次的概率为 ， 乙恰好投中1 次的概率为 ， 所以甲恰好投中1 次的概率大. （2）丙恰好投中1 次的概率为 . 令 . 求导得： . 11 / 16 学科网（北京）股份有限公司 由 ，解得 ，故 在 上单调递增： 由 ，解得 ，故 在 上单调递减， 所以 . 所以当 时，丙恰好投中1 次的概率最大，最大值为 . 17．（15 分）已知数列 中， ，且满足 ． (1)证明：数列 为等比数列； (2)求 的通项公式； (3)令 ， 为数列 的前n 项和，证明： ． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题意，可得 ，结合等比数列的定义即可证明； （2）由（1），根据等比数列的通项公式计算即可求解； （3）由（2）可得 ，利用裂项相消求和法可得 ，结 合作差法即可证明. 【详解】（1）由题意知 ，所以 ， 由于 ，故 ， 12 / 16 学科网（北京）股份有限公司 故 ， 故数列 是以3 为首项，公比为3 的等比数列； （2）由（1）知，数列 是以3 为首项，公比为3 的等比数列， 所以 ，故 （3）由（2）知． ， 所以 ，- 故 由于 ，故 ， 18．（17 分）已知函数 ， . (1)当 时，求 的单调区间； (2)若 ，求 的取值范围； (3)若 有两个实数解 ， ，证明： . 【答案】(1)单调减区间为 ，单调增区间在为 . (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的正负求解原函数的单调区间； （2） 等价变形为 ，构造函数 求最值即可； （3）由（2）知方程 要有两实数解，则 ，即 ，欲证 ，转化为证明 13 / 16 学科网（北京）股份有限公司 即可，通过构造函数，利用函数的单调性来证明. 【详解】（1）（1）当 时， ，则 令 ， 当 时, 在 上单调递减， 当 时, 在 上单调递增， 所以 单调减区间为 ，单调增区间在为 . （2）由 可知， ， ， 即 在 上恒成立， 设 ， ， 当 时， ， 在 单调递减； 当 时， ， 在 单调递增， 所以 时， 取得最小值，最小值为 ， 由题意知 ，即 ，故 的取值范围为 ； （3）方程 有两实数解 ， ， 即 有两实数解，不妨设 ， 由（2）知方程 要有两实数解，则 ，即 ， 同时 ， ， ， ，则 ， 在 单调递减， 欲证 ，即证 ， ， 等价于 ，即 ， 14 / 16 学科网（北京）股份有限公司 等价于 ， 整理得 ①， 令 ，①式为 ，又 在 单调递增， 故①式等价于 ，即 ， 令 ， ， 当 时， ， 在 单调递增， 又 ， ，即 ， 所以 ，则 . 19．（17 分）已知函数 ． (1)当 时，求函数 在 处的切线方程； (2) 时； （ⅰ）若 ，求 的取值范围； （ⅱ）证明： ． 【答案】(1) (2) （ⅰ） （ⅱ）证明见解析 【分析】（1）令 时，利用导数的几何意义求出斜率，进行计算求出切线方程即可. （2）（ⅰ）设 由 得 ，再证明此时满足 . （ⅱ）根据（ⅰ）结论判断出 在 上单调递增， 即 15 / 16 学科网（北京）股份有限公司 【详解】（1）当 时， 所以切线方程为： 即 （2）（ⅰ） 即 ， 设 又 是 的一个必要条件，即 下证 时，满足 又 ， 设 在 上单调递减， 所以 ， 又 即 在 单调递增. 时， ； 下面证明 时不满足 ， ， 令 ， 则 ， ， ∴ 在 为增函数， 令 满足 ， 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 则 ， 又 ∴ ,使得 ， 当 时， ， ∴此时 在 为减函数， 当 时， ， ∴ 时，不满足 恒成立. 综上 . （ⅱ）设 由（ⅰ）知 ， 在 上单调递增， 即 【点睛】关键点点睛：本题考查导数，解题关键是进行必要性探路，然后证明充分性，得到所要求的参数 范围即可．