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1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 2025-2026 学年高二下学期期中模拟卷01 数 学 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A 版（数列+导数+计数原理+概率） 第一部分（选择题 共58 分） 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1．下列求导正确的（ ） A． B． C． D． 2．已知函数 的导函数为 ，满足 ，则 （ ） A． B． C．3 D．8 3．某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3 个班各有2 名同学获奖，现将这6 人站成一排拍照，其中甲班的 2 名同学相邻，且乙班的2 名同学不相邻的站法种数共有（ ） A．36 种 B．72 种 C．144 种 D．288 种 4．设数列 满足 ，且 ，则 （ ） A． B． C． D．3 5．学校要从5 名男生和3 名女生中选择2 人组成“研学团”，在男生甲被选中的条件下，研学团中男生人 数多于女生的概率为（ ） 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 6．已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．已知数列 满足 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．已知实数 ， 满足 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分． 9．数列 的前n 项和为 ，且 ，下列说法正确的是（ ） A．若 为等差数列，则 的公差为1 B．若 为等差数列，则 的首项为1 C． D． 10．有三个相同的箱子，分别编号1，2，3，其中1 号箱内装有4 个绿球、1 个红球，2 号箱内装有2 个绿 球、3 个红球，3 号箱内装有5 个绿球，这些球除颜色外完全相同.某人等可能从三个箱子中任取一箱并从 中摸出一个球，事件 表示“取到号箱 ”，事件 表示“摸到绿球”，事件 表示“摸到红 球”，则（ ） A． B． C． D． 11．设函数 ，则（ ） A．当 时， 有三个零点 B．当 时， 是 的极大值点 3 / 5 学科网（北京）股份有限公司 C．存在 ，使得 为曲线 的对称轴 D．存在 ，使得点 为曲线 的对称中心 第二部分（非选择题 共92 分） 三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分． 12． 的展开式中 的系数为______ 13．已知等比数列 的前 项和 （ 是常数），则 的值为______． 14．若不等式 对 恒成立，则 的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分）已知 的展开式中，第5 项与第3 项的系数之比为7:6. (1)求n 的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项； (3)若 ，求 的值. 16．（15 分）甲、乙、丙三人投篮，甲每次投中的概率为 ，乙每次投中的概率为 ，丙每次投中的概率 为 ，设每人每次投篮是否命中相互之间没有影响. (1)甲、乙每人投3 次，试比较甲恰好投中1 次的概率与乙恰好投中1 次的概率的大小； (2)丙投篮3 次，当 为何值时，丙恰好投中1 次的概率最大，并求出最大值. 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 17．（15 分）已知数列 中， ，且满足 ． (1)证明：数列 为等比数列； (2)求 的通项公式； (3)令 ， 为数列 的前n 项和，证明： ． 18．（17 分）已知函数 ， . (1)当 时，求 的单调区间； (2)若 ，求 的取值范围； (3)若 有两个实数解 ， ，证明： . 19．（17 分）已知函数 ． (1)当 时，求函数 在 处的切线方程； 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 (2) 时； （ⅰ）若 ，求 的取值范围； （ⅱ）证明： ．