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1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 2025-2026 学年高二下学期期中模拟卷01 数学·参考答案 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 D A C C B B A A 二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分． 9 10 11 AD ACD ABD 三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13 分） 【详解】（1）解：由二项式 展开式的通项公式为 ，（2 分） 因为第5 项与第3 项的系数之比为 ，可得 ，（3 分） 即 ，解得 或 （舍），所以 .（4 分） （2）解：由（1）知二项式 ，（5 分） 根据二项展开式的性质，可得展开式中的底6 项的二项式系数最大，（7 分） 所以展开式中二项式系数最大的项为 .（8 分） （3）解：由（1）知，二项展开式的通项为 ，（9 分） 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 当 时，展开式的项的系数为负； 当 时，展开式的项的系数为正，（11 分） 所以 令 ，可得 ， 即 .（13 分） 16．（15 分） 【详解】（1）甲恰好投中1 次的概率为 ，（2 分） 乙恰好投中1 次的概率为 ，（4 分） 所以甲恰好投中1 次的概率大.（5 分） （2）丙恰好投中1 次的概率为 .（7 分） 令 .（9 分） 求导得： .（10 分） 由 ，解得 ，故 在 上单调递增： 由 ，解得 ，故 在 上单调递减， 所以 .（14 分） 所以当 时，丙恰好投中1 次的概率最大，最大值为 .（15 分） 17．（15 分） 【详解】（1）由题意知 ，所以 ，（2 分） 由于 ，故 ， 3 / 6 学科网（北京）股份有限公司 故 ，（3 分） 故数列 是以3 为首项，公比为3 的等比数列；（4 分） （2）由（1）知，数列 是以3 为首项，公比为3 的等比数列， 所以 ，故 （7 分） （3）由（2）知． ， 所以 ，（10 分） 故 （13 分） 由于 ，故 ，（15 分） 18．（17 分） 【详解】（1）（1）当 时， ，（1 分） 则 ，令 ，（2 分） 当 时, 在 上单调递减， 当 时, 在 上单调递增， 所以 单调减区间为 ，单调增区间在为 .（4 分） （2）由 可知， ， ，（5 分） 即 在 上恒成立， 4 / 6 学科网（北京）股份有限公司 设 ， ，（7 分） 当 时， ， 在 单调递减； 当 时， ， 在 单调递增， 所以 时， 取得最小值，最小值为 ， （9 分） 由题意知 ，即 ，故 的取值范围为 ；（10 分） （3）方程 有两实数解 ， ， 即 有两实数解，不妨设 ， 由（2）知方程 要有两实数解，则 ，即 ， 同时 ， ， ， （11 分） ，则 ， 在 单调递减， 欲证 ，即证 ， ， 等价于 ，即 ， 等价于 ， 整理得 ①， （13 分） 令 ，①式为 ，又 在 单调递增， 故①式等价于 ，即 ，（15 分） 令 ， ， 当 时， ， 在 单调递增， 又 ， ，即 ， 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 所以 ，则 .（17 分） 19．（17 分） 【详解】（1）当 时， 所以切线方程为： 即 （3 分） （2）（ⅰ） 即 ， 设 又 是 的一个必要条件，即 （5 分） 下证 时，满足 又 ， 设 在 上单调递减， 所以 ， 又 即 在 单调递增. 时， ；（8 分） 下面证明 时不满足 ， ， 令 ， 则 ， ， 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 在 为增函数，（10 分） 令 满足 ， 则 ， 又 ∴ ,使得 ， 当 时， ， ∴此时 在 为减函数， 当 时， ， ∴ 时，不满足 恒成立. 综上 .（12 分） （ⅱ）设 （15 分） 由（ⅰ）知 ， 在 上单调递增， 即 （17 分）