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西城区高三统一测试试卷
数学 2023.3
本试卷共6页，150分.考试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
.
C D.
的
2. 下列函数中，在区间 上为增函数 是（ ）
A. B.
C. D.
3. 设 ， ， ，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 在 的展开式中， 的系数为 （ ）
A. B.
C. D.
5. 已知 为 所在平面内一点， ，则（ ）A. B.
C. D.
6. 函数 是（ ）
A. 奇函数，且最小值为 B. 奇函数，且最大值为
C. 偶函数，且最小值为 D. 偶函数，且最大值为
7. 已知双曲线 的中心在原点，以坐标轴为对称轴．则“ 的离心率为 ”是“ 的一条渐近线为 ”
的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度 和燃料的质量 以及火箭（除燃料外）的
质量 间的关系为 ．若火箭的最大速度为 ，则下列各数中与 最接近的是（
）（参考数据： ）
A. B.
C. D.
9. 设 ，函数 若 恰有一个零点，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
10. 名学生参加某次测试，测试由 道题组成．若一道题至少有 名学生未解出来，则称此题为难题；若一名学生至少解出了 道题，则该生本次测试成绩合格．如果这次测试至少有 名学生成绩合格，
且测试中至少有 道题为难题，那么 的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 复数 ，则 __________________.
12. 已知抛物线 的顶点为 ，且过点 ．若 是边长为 的等边三角形，则
____．
13. 已知数列 的通项公式为 ， 的通项公式为 ．记数列 的前 项和为
，则 ____； 的最小值为____．
14. 设 ，其中 ．当 时， ____；当 时，
的一个取值为____．
15. 如图，在棱长为 的正方体 中，点 ， 分别在线段 和 上．
给出下列四个结论：① 的最小值为 ；
②四面体 的体积为 ；
③有且仅有一条直线 与 垂直；
④存在点 ， ，使 为等边三角形．
其中所有正确结论的序号是____．
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 如图，在 中， ， ， 平分 交 于点 ， ．
（1）求 的值；
（2）求 的面积．
17. 根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）：
立定跳远单项等级 高三男生 高三女生
优秀 及以上 及以上
良好 ~ ~
及格 ~ ~
不及格 及以下 及以下
从某校高三男生和女生中各随机抽取 名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到 ）：
男生
女生
假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立．
（1）分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率；（2）从该校全体高三男生中随机抽取 人，全体高三女生中随机抽取 人，设 为这 人中立定跳远单项
等级为优秀的人数，估计 的数学期望 ；
（3）从该校全体高三女生中随机抽取 人，设“这 人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件 ，
“这 人的立定跳远单项至多有 个是优秀”为事件 ．判断 与 是否相互独立．（结论不要求证明）
18. 如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， ，
． 为棱 上一点，平面 与棱 交于点 ．再从条件①、条件②这两个条
件中选择一个作为已知，完成下列两个问题
（1）求证： 为 的中点；
（2）求二面角 的余弦值．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
19. 已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
在
（2）设 ，证明： 上单调递增；
（3）判断 与 的大小关系，并加以证明．
20. 已知椭圆 ，点 在椭圆 上，且 （ 为原点）．设 的中点为 ，射线 交椭圆 于点 ．
（1）当直线 与 轴垂直时，求直线 的方程；
（2）求 的取值范围．
的
21. 给定正整数 ，设集合 ．对于集合 中 任意元
素 和 ，记 ．设 ，且集合
，对于 中任意元素 ，若 则称 具有性质
．
（1）判断集合 是否具有性质 ？说明理由；
的
（2）判断是否存在具有性质 集合 ，并加以证明；
（3）若集合 具有性质 ，证明： ．
