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易混易错1 混淆相近名词致误（小题狂练）
一．单选题.
【混淆代表元素的定义域和值域致误 2025 江西宜春阶段练习】
1．已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据对数函数的定义域、指数函数的值域求得
，
，进而求得
.
【详解】由
，解得
，所以
，
而
，所以
，
所以
.
故选：C.
【易错指导】利用描述法表示集合时，首先要搞清其代表元素代表的意义，如
解决本题的关键是根据对数函数的定义域、指数函数的值域求得
，
，进而
求得
.
【混淆充分条件和必要条件致误 2024 云南一模】
2．已知
，使得命题“曲线
在点
处的切线与曲线
没有公
共点”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求出曲线
在点
处的切线方程，联立
得
，使方程无解即可求出实数
的范围，再根据充分不必要条件的定义
即可确定选项.
【详解】因为
，所以
，则切线斜率
，
故曲线
在点
处的切线方程为
，即
，
联立
，得
，
因为切线
与曲线
没有公共点，
所以方程
没有实数解，
当
时，方程
有唯一解，不满足题意，
当
时，
，可得
.
综上所述，
，
由
是
的真子集，符合题意.
故选：B.
【易错指导】本题的易错之处有二：一是忘记讨论二次项系数为0 的情形导致
错误；二是对充分条件和必要条件理解不清导致推理方向错误.
【混淆互斥事件与对立事件致误 2025 上海期中】
3．对于一个古典概型的样本空间
和事件
、
、
、
，其中
，
，
，
，
，
，
，
，则
（ ）（注：
表示集合
的元素个数）
A．
与
不互斥
B．
与
互斥但不对立
C．
与
互斥
D．
与
相互独立
【答案】D
【分析】由已知条件结合事件的运算判断事件间的互斥、对立关系，根据
的关系判断事件是否独立.
【详解】对于A，因为
，
，
，
则
，故A、B 互斥，A 错误；
对于B，因为
，所以A、D 互斥且对立，B 错误；
对于C，因为
，
，A、D 对立，
则
，C 与D 不互斥，C 错误；
对于D，由
，
，
，
所以
，即A 与C 相互独立，D 正确.
故选：D.
【易错指导】经典错解错在互斥事件和对立事件的概念和关系没有理解透彻.要
做到真正理解概念：互斥事件是指在一次试验中不可能同时发生的两个事件，
对立事件是指两个互斥事件中，如果在一次试验中必有一个要发生，则这两个
互斥事件是对立事件.可见，互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是
互斥事件.
【混淆实数集与复数集致误 24 高三全国课后作业】
4．在复数范围内，方程
的解的个数为（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】C
【分析】设
，代入方程后利用复数的运算法则列方程组求得
，即可
得解.
【详解】设
，那么原方程即为
，
得
故
或
或
所以
，故方程
的解的个数为6.
故选：C
【易错指导】在实数中我们经常用到
，有时因为这种代换而产生巧解，
但在复数中它是不成立的，因此在学习过程中要辨析数集由实数集扩展到复数
集后一些运算及性质是否仍然适用．
【混淆条件概率
与积事件的概率
致误 2025 辽宁辽阳期末】
5．在某次电子竞技大赛中，甲、乙进入决赛，决赛采取五局三胜的冠亚军争夺赛制．已知
甲在每局比赛中获胜的概率均为
，比赛无平局且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠
军的条件下，比赛进行了五局的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先求出甲获得冠军的概率，再利用条件概率公式即可求解.
【详解】若比赛进行了三局，甲获得冠军的概率为
；
若比赛进行了四局，甲获得冠军的概率为
；
若比赛进行了五局，甲第五场赢，甲获得冠军的概率为
．
设甲获得冠军为事件
，比赛进行了五局为事件
，
所以甲获得冠军的概率为
，
比赛进行了五局且甲获得冠军的概率为
,
故甲获得冠军的条件下，比赛进行了五局的概率为
．
故选：A
【易错指导】正确理解条件概率的概率公式，求积事件的概率是解决问题的关
键，要正确理解积事件的含义.
【混淆回归系数与回归常数致误 2024 年河南南阳期中】
6．某电脑公司有3 名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表所示：
推销员编号
1
2
3
工作年限
年
3
5
10
推销金额
万元
2
3
4
由表中数据算出经验回归方程
中的
.若第4 名推销员的工作年限为7 年，则
估计他的年推销金额为（ ）
A．3.08 万元
B．3.14 万元
C．3.21 万元
D．3.27 万元
【答案】D
【分析】利用表格求出
，代入经验回归方程
，求得
，即得回归方程，最后
代入年限即可求得.
【详解】由题表中数据得
，
由经验回归直线
过点
.又
，所以
，
所以
，则当
时，
3.27，
所以估计第4 名推销员的年推销金额为3.27 万元.
故选：D.
【易错指导】关于线性回归问题．要注意判定两个变量线性相关性的方法以及
线性回归方程的求解与应用，应特别注意系数的计算，尤其是在计算量比较大
时，特别容易出现错误．
【混淆充分、必要条件致误 2024 湖北省七州市调研】
7．已知椭圆
，则“
”是“椭圆
的离心率为
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据椭圆离心率定义，对参数
的取值进行分类讨论即可判断出结论.
【详解】由
可得椭圆
，此时离心率为
，
此时充分性成立；
若椭圆
的离心率为
，当
时，可得离心率为
，解得
，
即必要性不成立；
综上可知，“
”是“椭圆
的离心率为
”的充分不必要条件.
故选：A
【易错指导】正确理解光分性、必要性的含义，力避判定时方向颠倒．充分必
要条件的判断，关键是分清条件和结论，由条件可推出结论，条件是结论成立
的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件.
【混淆二次项系数与项的系数 原创】
8．在
的展开式中，含
的项的系数为（ ）
A．-120
B．-40
C．-30
D．200
【答案】C
【分析】将
整理为
，根据二项展开式
分析可得
，对每种情况再根据二项展开式理解运算.
【详解】
，其展开式为：
根据题意可得：
当
时，则
，
展开式为：
∴
，则
的项的系数为
当
时，则
，
展开式为：
∴
，则
的项的系数为
当
时，则
，
展开式为：
∴
，则
的项的系数为
综上所述：含
的项的系数为
故选：C．
【易错指导】
为二项式系数，所求为项的系数，不要漏乘2，注意二项式系
数与项的系数的区别，二项式系数为
，根据组合数的性质即可
求解相关问题，项的系数为展开式中各项字母所乘的数式
【混淆单调区间与在区间上单调 原创】
9．若函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】将题干问题转化为
在区间
上恒成立，参变分离得
，
利用对勾函数单调性求得
，即可得解.
【详解】由已知得
，
函数
在区间
上单调递增，
在区间
上恒成立．
对于
恒成立．
而由对勾函数的单调性可知
在区间
上单调递减，
．
的取值范围是
．
故选：D
【易错指导】若含参函数
在区间
上单调递增（单调递减），则
在区间
上恒成立，当然，也可以先求出函数的单调递增
（单调递减）区间，利用
求解，注意不是
【混淆函数的极值点与导数的零点 原创】
10．已知函数
在
处取得极值0，则
（ ）
A．6
B．12
C．24
D．12 或24
【答案】C
【分析】根据
在
处取得极值0 可得
，解出
即可.
【详解】由题意知，
，又
在
处取得极值0，
则
，解得
或
，
当
时，
，
函数
在R 上单调递增，无极值，不符合题意；
当
时，
，
令
或
，
，
所以
在
、
上单调递增，在
上单调递减，
故
在
处取得极小值，符合题意，
所以
，
，
则
.
故选：C.
【易错指导】导数值为零的点不一定是极值点，例如，函数
，
但是0 不是函数
的极值点，对于可导函数来说，
是
为函数极值
点的必要不充分条件，因此要进行检验
【混淆恒成立与能成立 原创】
11．已知函数
在
上存在单调递减区间，则实数
的取值范
围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意可知
在
上有解，整理可得
，构建
，利用导数求最值即可得结果.
【详解】由题意可知：
，
因为函数
在
上存在单调递减区间，
则
在
上有解，可得
，
所以
．
令
，则
，
显然
，可知函数
单调递增，则
，
即
，所以实数
的取值范围是
.
故选：C．
【易错指导】“有解”问题即“能成立”问题，即在
上
，注意与
“恒成立”区分，此处若为恒成立，则在
上
【混淆均匀分组与不均匀分组 2024 山东潍坊一中模拟】
12．某市新冠疫情封闭管理期间，为了更好的保障社区居民的日常生活，选派
名志愿者
到甲、乙、丙三个社区进行服务，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派
方案共有（ ）
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
【答案】A
【分析】首先将
名志愿者分成组，再分配到个社区.
【详解】首先将
名志愿者分成组，再分配到个社区，可分为种情况，
第一类：
名志愿者分成
，共有
（种）选派方案，
第二类：
名志愿者分成
，共有
（种）选派方案，
第三类：
名志愿者分成
，共有
（种）选派方案，
所以共
（种）选派方案，
故选：A.
【易错指导】注意区分均匀分组与不均匀分组、此处是“局部均匀与分组”，
要注意“局部消序”，即由于其中的两组人数相等，为均匀分组，所以要除以
二．多选题.
【混淆正态分布中的方差与标准差致错 2024 下甘肃兰州期末】
13．已知在体能测试中，某校学生的成绩服从正态分布
，其中60 分为及格线，则
下列结论中正确的有（ ）（附：随机变量
，则
A．该校学生成绩的均值为70
B．该校学生成绩的标准差为4
C．该校学生成绩的标准差为16
D．该校学生成绩及格率超过95%
【答案】ABD
【分析】根据题意得
，再结合正态分布的性质逐个分析判断即可.
【详解】因为该校学生的成绩服从正态分布
，
所以
，
所以该校学生成绩的均值为70，标准差为4，
所以AB 正确，C 错误，
对于D，因为
，
所以
，所以D 正确.
故选：ABD
【忽视向量的平方和复数平方致误 2024 湖南长沙开学考试】
14．【多选题】设
，
，
为复数，下列命题中正确的是（ ）
A．
B．
C．若
，则
为纯虚数
D．若
，且
，则
【答案】BD
【分析】负数的模长计算，错误命题取特值举出反例即可.
【详解】选项A，取
，则
，故A 错误；
选项B，设
，则
，
∴
∴
,故B 正确；
选项C，取
为实数，故C 错误；
选项D,
，
，
，又
，
故D 正确
故选：BD．
【易错指导】高中数学中，向量
平方就是向量模的平方，它一个实数，而复
数的平方就是两个相同复数的乘积，它们的积仍然是一个复数.【对于复数
，
，这和
完全不一样，不能将向量的平方与
复数的平方混为一谈.
【混淆基本事件的“等可能性”与“非等可能性”致误 2024 下浙江期中】
15．一个不透明的口袋中有8 个大小相同的球，其中红球5 个，白球2 个，黑球1 个，则
下列选项正确的有（ ）
A．从该口袋中任取3 个球，设取出的红球个数为
，则数学期望
B．每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3 次，设取出的红球
次数为
，则方差
C．从该口袋中任取3 个球，设取出的球的颜色有X 种，则数学期望
D．每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的白球的个数为Y，则数
学期望
【答案】ABD
【分析】对选项A，
的可能取值为0，1，2，3，求出概率，再由公式求得
；对选项
B，
，再由二项分布的方差公式求得
；对选项C，X 的可能取值为1，2，
3，求出概率，再由公式求得
；对选项D，Y 的可能取值为0，1，2，求出概率，再
由公式求得
【详解】对选项A，从该口袋中任取3 个球，取出的红球个数
的可能取值为0，1，2，
3，
则
，
，
，
，
则
，故A 正确；
对选项B，每次从该口袋中任取一个球，是红球的概率为
，则取出的红球次数为
，
则方差
，故B 正确;
对选项C，从该口袋中任取3 个球，取出的球的颜色有X 种，X 的可能取值为1，2，3，
则
，
，则
，
则
，故C 错误；
对选项D，每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，拿出白球的个数Y 的可
能取值为0，1，2，
则
，
，
，
则
，故D 正确；
故选：ABD
【易错指导】在解决古典概型问题时要分清事件与基本事件，每个基本事件发
生的概率都是相等的，而某个事件可能包含几个基本事件，要注意区分，避免
出错.
【混淆互斥事件和独立事件致误 2025 广东佛山阶段练习】
16．下列说法正确的是（ ）
A．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件
“第一枚硬币正面朝上”，事件
“第二
枚硬币反面朝上”，则
与
互斥
B．互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
C．事件
与事件
中至少有一个发生的概率可以等于
与
中恰有一个发生的概率
D．一个袋子中有大小和质地完全相同的4 个球（标号为
），从袋中不放回地依次
随机摸出2 个球.设事件
“第一次摸到标号小于3 的球” 事件
､
“第二次摸到标号小
于3 的球”，则
与
相互独立
【答案】BC
【分析】根据互斥、对立事件的定义及事件描述判断A、B；以事件
与事件
互斥为例判
断C；应用列举法及独立事件的判定判断D.
【详解】A：由题意，第一枚硬币正面朝上，第二枚硬币反面朝上可以同时发生，故
与
不互斥，错；
B：根据互斥、对立事件的定义知，互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥
事件，对；
C：当事件
与事件
互斥时，它们中至少有一个发生，与
、
恰有一个发生的概率相等，
对；
D：由题意，摸出2 个球的所有情况有
，共12 种，
其中第一次摸到标号小于3 的球
，共6 种，
第二次摸到标号小于3 的球
，共6 种，
第一和第二次摸到都小于3 的球
，共2 种，
所以
，错；
故选：BC
【易错指导】互斥事件与相互独立事件是有区别的．两事件互斥是指同一次试
验中两事件不能同时发生；两事件相互独立是指不同试验下，二者互不影响；
两个相互独立事件不一定互斥，即可能同时发生，而互斥事件不可能同时发生．
【混淆任意与存在 2024 安徽合肥模拟】
17．已知函数
，则下列说法正确的有（ ）
A．
，函数
是奇函数
B．
，使得过原点
至少可以作
的一条切线
C．
，方程
一定有实根
D．
，使得方程
有实根
【答案】AD
【分析】选项A，由奇函数的定义判断；选项B，通过联立方程组判断切线是否存在；选
项C，由正弦函数的有界性判断方程的解；选项D，特殊值法判断存在性.
【详解】函数
，定义域
，且
，函数
是奇函数，A 选项正确；
设直线
，联立方程：
，得
，
，直
线
不可能是
的一条切线， B 选项错误；
若
，
，则
，得
，
即
，由
的有界性，显然
不一定有解，C 选项错误；
当
，
，显然存在
，
，使方程
有解，D 选项正确.
故选：AD
【易错指导】注意区分任意与存在的含义，此处表示函数
是奇函数
恒成立，对于存在性问题，只有在某些情况下满足条件
【混淆过一点的切线和在某点处的切线致误 2025 浙江开学考试】
18．三次函数
叙述正确的是（ ）
A．函数
可能只有一个极值点
B．当
时，函数
的图象关于点
中心对称
C．当
时，过点
的切线可能有一条或者两条
D．当
时，在点
处的切线与函数
的图象有且仅有两个交点
【答案】BD
【分析】求导，令
，利用
结合二次函数的图象可判断A；利用
是奇函
数，可判断B；设切点
，切线方程为
，结合已知可得
，求解可判断C；在点
处的切线为
，与曲线方程联立方程求解可判断D.
【详解】对于A 选项：
，令
，
即
，
当
时，方程
有两个不同根，
有两个极值点；
当
时，
无个极值点，故A 错误；
对于B 选项：
，又
是奇函数，关于点
对称，
所以函数
的图象关于点
中心对称，故B 正确；
对于C 选项：设切点
，则切线方程为
，
因为过点
，所以
，
即
，
整理得
，所以
，或
，由于
，
则两根相等，即只有一个切点，即只有一条切线，故C 错误；
对于D 选项：在点
处的切线为
，
与曲线联立方程组
化简得，
，
所以
，或
，由于
，则方程组有两个不同解，
即有两个不同交点，故D 正确.
故选：BD.
【易错指导】在某点处的切线方程与过某点的切线方程是两个不同的概念，在
某点处的切线方程只有一条，过某点的切线方程有可能多条，如图所示：
如上图：点P 处的切线（只有一条） 如上图：过P 处的切线（2 条
或更多）
三．填空题.
【混淆命题的否定和否命题致误 2025 甘肃武威期中】
19．下列说法正确的是 ．
①如果命题“
”与命题“p 或q”都是真命题，那么命题q 一定是真命题．
②命题
，
，则
，
③存在量词命题“
，使
”是真命题．
④命题“若
，则
”的否命题是：“若
，则
”
【答案】①②④
【分析】①由命题的真假进行逻辑推理便可得出结论；②根据特称命题的否定的定义即可
得结论；③
，所以方程无解，得出结论；④由否命题的定义便可得出结论.
【详解】①
时真命题，则p 是假命题；p 或q 是真命题，所以命题q 一定是真命题，①
正确；
②特称命题的否定，先
，再否定结论，所以②正确；
③
，所以方程无解，所以③不正确；
④命题的否命题即否定条件又否定结论，命题“若
，则
”的否命题是：“若
，则
”，所以④正确.
故答案为：①②④.
【易错指导】否命题是对原命题的条件与结论都作否定，否命题与原命题可同
真同假，也可一真一假．而命题的否定是（1）在不考虑命题的条件与结论的情
况下对整个命题作否定，此时只需在原命题前加“并非”即可．（2）如果考虑
命题的条件与结论，则仅仅对命题的结论作否定．任何一个命题与该命题的否
定必定是一真一假．
【互斥与对立混淆致误 2025 上海阶段性练习】
20．从一批产品中取出三件产品，设A：三件产品全不是正品，B：三件产品全是正品，
C：三件产品不全是正品．①A 与C 对立；②B 与C 互斥；③任何两个均互斥；④任何两
个均不互斥.则以上结论中正确的序号是 ．
【答案】②
【分析】利用互斥、对立事件的定义判断即可.
【详解】事件A 与C 能同时发生， A 与C 不互斥，不对立，①③错误；
事件B 与C 不能同时发生， B 与C 互斥，②正确，④错误.
所以给定结论中正确的序号是②.
故答案为：②
【易错指导】对于互斥事件要抓住如下的特征进行理解：第一，互斥事件研究
的是两个事件之间的关系；第二，所研究的两个事件是在一次试验中涉及的；
第三，两个事件互斥是在试验的结果不能同时出现来确定的．对立事件是互斥
事件的一种特殊情况，是指在一次试验中有且仅有一个发生的两个事件，集合
A 的对立事件记作
．分类讨论思想是解决互斥事件中有一个发生的概率的一
个重要的指导思想．
【混淆直线的夹角和平面向量的夹角致误 2024 重庆阶段练习】
21．设向量
、
满足
，
，且
、
的夹角为
，若向量
与向量
的夹角为钝角，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】由
与
的数量积小于0 且不共线即可求得实数的取值范围.
【详解】解：向量
、
满足
，
，且
、
的夹角为
，
故
.
因为
与向量
的夹角为钝角，
所以
且向量
与向量
不共线，
所以
且
，
解之得：
且
，
故实数的取值范围为
.
故答案为：
.
【易错指导】两个向量所成角
范围是
，两个向量所成的角为钝角，容易
误认为两向量所成角为
时，所成的角也是钝角，导致所求的结果范围扩大．
，不一定得到
，但
可以得到
．
是向量与平行的
充分而不必要条件，当为锐角时，
，且，不同向，
是为锐
角的必要非充分条件；当为钝角时，
，且，不反向，
是为
钝角的必要非充分条件．
【混淆二项式系数和项的系数致误 2024 山西太原阶段练习】
22．
的展开式中第3 项与第7 项的二项式系数相等，则
的展开式中所
有项系数之和为 .
【答案】
【分析】根据二项式系数的性质，求得
，得到二项式
，令
，即可求得
展开式中所有项系数之和.
【详解】由二项式
的展开式中第3 项与第7 项的二项式系数相等，
可得
，所以
，所以二项式
，即为
，
令
，可得
，
即
的展开式中所有项系数之和为
.
故答案为：
.
【易错指导】二项式定理
的问题要注意：项的系数与二项式系数的区别与
联系（求所有项的系数只要令字母值为1 即可.
【混淆“过
点”与“点
处”的切线致误 2024 山东德州一模】
23．过点
与曲线
相切的直线方程为 ．
【答案】
【分析】由导数的几何意义得出切线方程
，进而由切点的位置得出
，从而得出切线方程.
【详解】设切点坐标为
，
，
.
则切线方程为
，因为
在切线上，
所以
，即
又
，所以
，
令
，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，
所以方程
只有唯一解为
.
即切点坐标为
，故所求切线方程为
，即
.
故答案为：
【易错指导】正确理解“过
点”与“点
处”的切线的区别，此处会误认为点
为曲线
的切点．注意：过点作曲线的切线，这个点可以是切点，也可
以不是切点，需要根据导数的意义求切点．
1.试题特点分析：相近名词包括相近概念、类似方法等，在一个题目中同时出
现，往往容易引起混淆而导致出现错误，要求考生依据题目提供的信息，正确
理解相关概念，联系所学的知识和方法灵活进行解题.
2.解题方法阐述：首先要对题目中涉及的相关概念进行辨析，明确各概念的内
涵或外延；其次真正理解相近概念的联系和区别，明确它们的相同点和相似点，
尤其是解决方法的区别；
3.解题经验分享：第一、概念是解题的基础，要正确记忆相关概念； 第二、准
确把握相关概念的内涵和外延，才能进行后续的解题步骤；第三、识别相近名
词的区别，正确利用相关方法进行解题.
