文档文本内容
易错08 .静电场
易错点1 不注意电场强度是矢量运算，不会用补偿、微元、对称等方法
求非点电荷的电场强度。
易错典题
【例1】图所示， M、N 和P 是以
为直径的半圈弧上的三点，O 点为半圆弧的圆心，
．电荷量相等、符号相反的两个点电荷分别置于M、N 两点，这时O 点电场强度的大小为
；若将N 点处的点电荷移至P 点，则O 点的场场强大小变为
，
与
之比为（ ）
A． 1:1 B．
C．
D．
【错因分析】许多同学认为因M 点和P 点的点电荷在O 点产生的场强大小仍相等，所以错选A。
错因分析：错误的原因在于用代数法求O 点的场场强，因电场强度是矢量，应该用平行四边形定则来求合
场强。
.【答案】B
【详解】两个点电荷分别在M 点和N 点时，每个点电荷在O 点产生的场强大小相等、方向相同，所以EM
＋EN＝E1，得EM＝EN＝.将N 点处的点电荷移至P 点时，假设M 点的电荷为正
电
荷，则O 点的场强如图7 所示．M 点和P 点的点电荷在O 点产生的场强大小仍
相
等，夹角为120°，所以O 点场强E2＝EM＝，即＝，所以选项B 正确。
避错攻略
目录
第一部分 易错点剖析
易错典题
避错攻略
举一反三
易错点1 不注意电场强度是矢量运算，不会用补偿、微元、对称等方法求非点电荷的电
场强度
易错点2 误认为电场线可以相交、闭合,带电粒子的运动轨迹与电场重合
易错点3 不理解电势和电势差与电势 能的物理意义不同，不会找等势面
易错点4 误认为作类平抛运动的带电粒子在竖直方向的位移与水平初速度无关
易错点5 电容器的动态分析问题分不清是哪些物理量变化，哪些不变
易错点6 带电粒子在竖直平面内圆周运动问题混淆“几何最高点”和“物理最高点”
第二部分 易错题闯关
M
O
N
P
60°
【知识链接】1.电场强度的三个公式的比较
2.求解特殊带电体电场强度的计算方法
等效法
在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景
对称法
空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性
补偿法
将有缺损的带电空腔球补全为全球，或将缺口的带电圆环补全为圆环，或将半
球面补全为球面等
微元法
可将带电圆环、带电平面等分成许多微元电荷，每个微元电荷可看成点电荷，
再利用公式和电场强度叠加原理求出合电场强度
举一反三
【变式1-1】（2025·湖北·高考真题）如图所示，在xOy 平面内有一以O 点为中心的正五边形，
顶点到O 点的距离为R。在正五边形的顶点上顺时针方向依次固定电荷量为q、2q、3q、4q、
5q 的正点电荷，且电荷量为3q 的电荷在y 轴正半轴上。静电力常量为k，则O 点处的电场强
度（ ）
（ ）
A．方向沿x 轴负方向
B．方向与x 轴负方向成
夹角斜向下
C．大小为
D．大小为
.【答案】AD
【详解】由题意可知，如图
将五个点电荷等效成
五个点电荷与O 点距离为R，设
则O 点场强大小为
代入可得
方向沿x 轴负方向；
故选AD。
【变式1-2】（多选）（2025·山东·高考真题）球心为O，半径为R 的半球形光滑绝缘碗固定于水平地面
上，带电量分别为+2q和+q的小球甲、乙刚好静止于碗内壁A、B 两点，过O、A、B 的截面如图所示，
C、D 均为圆弧上的点，OC 沿竖直方向，∠AOC = 45°，OD⊥AB，A、B 两点间距离为❑√3 R，E、F 为
AB 连线的三等分点。下列说法正确的是（ ）
A．甲的质量小于乙的质量
B．C 点电势高于D 点电势
C．E、F 两点电场强度大小相等，方向相同
D．沿直线从O 点到D 点，电势先升高后降低
【答案】BD
【详解】A．对甲、乙两小球受力分析如图所示，甲、乙两小球分别受到重力、支持力、库仑力作用保持
平衡。
设OC与AB线段交点为G点，由几何关系2 R cos∠OAB = ❑√3 R
解得∠OAB =∠OBA =30°
因此有∠OGA =105°，∠OGB =75°
根据正弦定理，对甲有m甲g
sin30° =
F电
sin 45°
对乙有m乙g
sin30° =
F电
'
sin75°
因为sin45°<sin75°
F电与F电
'是一对相互作用力，可得m甲>m乙
A 错误；
B．根据点电荷场强公式E = kQ
r
2 ，由场强叠加知识，可知C 到D 之间的圆弧上各点场强方向都向右下方，
若有一正试探电荷从C 运动到D 的过程中，电场力做正功，电势能减小，故可判断C 点电势高于D 点电势，
B 正确；
C．两带电小球连线上的电场分布可以等效成一对等量异种点电荷的电场和在A点带电量为3q的正点电荷
的电场相互叠加的电场。在等量异种点电荷的电场中E、F 两点电场强度大小相等，方向相同。但是A点
带电量为3q的正点电荷在E、F 两点的电场强度不同。E、F 两点电场强度大小不同，C 错误；
D．电势是标量，OD与AB线段的交点距离两带电小球最近，所以该点电势最大，那么沿直线从O 点到D
点，电势先升高后降低，D 正确。
故选BD。
【变式1-3】（2024·河北·高考真题）如图，真空中有两个电荷量均为q(q>0)的点电荷，分别固定在正
三角形ABC的顶点B、C．M 为三角形ABC的中心，沿AM的中垂线对称放置一根与三角形共面的均匀带
电细杆，电荷量为q
2．已知正三角形ABC的边长为a,M 点的电场强度为0，静电力常量的k．顶点A 处的
电场强度大小为（ ）
A．2❑√3kq
a
2
B．kq
a
2 (6+ ❑√3)
C．kq
a
2 (3 ❑√3+1)
D．kq
a
2 (3+ ❑√3)
【答案】D
【详解】B 点C 点的电荷在M 的场强的合场强为
E =2
kq
(
❑√3
3 a)
2 cos60° = 3kq
a
2
因M 点的合场强为零，因此带电细杆在M 点的场强EM = E，由对称性可知带电细杆在A 点的场强为
E A = EM = E，方向竖直向上，因此A 点合场强为
E合= E A+2 kq
a
2 cos30° = kq
a
2 (❑√3+3)
故选D。
易错点2 误认为电场线可以相交、闭合,带电粒子的运动轨迹与电场重合
易错典题
【例2】（2025·陕晋青宁卷·高考真题）某同学绘制了四幅静电场的电场线分布图，其中可能正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【错因分析】误认为电场线相交错选A，错认为电场线是闭事曲线而错选C
【答案】B
【详解】ABC．静电场中电场线不相交、不闭合，故B 正确、故AC 错误；
D．若电场线相互平行，应等间距，故D 错误。
故选B。
D。
避错攻略
【知识链接】
1．电场线的应用
(1)判断电场强度的大小：电场线密集处电场强度大，电场线稀疏处电场强度小。
(2)判断静电力的方向：正电荷受力方向与电场线在该点切线方向相同，负电荷受力方向与电
场线在该点切线方向相反。
(3)判断电势的高低与电势降低得快慢：沿电场线方向电势降低最快，且电场线密集处比稀疏
处降低得更快。
2．两种等量点电荷电场线的比较
比较
等量异种点电荷
等量正点电荷
电场线分布图
电荷连线上的电场强度
沿连线先变小后变大
O 点最小，但不为0
O 点为0
中垂线上的电场强度
O 点最大，向外逐渐减小
O 点最小，向外先变大后变
小
关于O 点对称位置的电场强
度
A 与A′、B 与B′、C 与C′
等大同向
等大反向
3.电场线、带电粒子运动轨迹判断
（1）判断速度方向：带电粒子轨迹的切线方向为该点处的速度方向。
（2）判断电场力(或场强)的方向：带电粒子所受电场力方向(仅受电场力作用)指向轨迹曲线的凹侧，再
根据粒子的正、负判断场强的方向。
（3）.判断电场力做功的正、负及电势能的增、减：若电场力与速度方向成锐角，则电场力做正功，电势
能减少；若电场力与速度方向成钝角，则电场力做负功，电势能增加。
举一反三
【变式2-1】（2025·甘肃·高考真题）如图，两极板不平行的电容器与直流电源相连，极板间形成非匀强
电场，实线为电场线，虚线表示等势面。M、N 点在同一等势面上，N、P 点在同一电场线上。下列说法正
确的是（ ）
A．M 点的电势比P 点的低
B．M 点的电场强度比N 点的小
C．负电荷从M 点运动到P 点，速度增大D．负电荷从M 点运动到P 点，电场力做负功
【答案】D
【详解】A．MN 两点电势相等，电场线由上到下，NP 在同一电场线上，沿电场线电势逐渐降低，可知N
点电势高于P 点，可知M 点电势高于P 点，选项A 错误；
B．M 点电场线分布比N 点密集，可知M 点电场强度比N 点大，选项B 错误；
CD．负电荷从M 点运动到P 点，电势能增加，则电场力做负功，动能减小，速度减小，选项C 错误，D
正确；
故选D。
【变式2-2】2025·云南昆明·模拟预测）两个固定等量同种正点电荷所形成电场的电场线如图
实线所示。其中A 与A'、B 与B'、C 与C'均关于两点电荷连线中点O 对称。则以下说法正确
的是（ ）
A．C 与C'两点一定在同一等势面上
B．A 点与B 点电场强度有可能相同
C．电子在B 点获得一个合适初速度，将可能做匀速圆周运动
D．电子在B 点获得沿BO 方向的初速度后，将在BB'间做往复运动
【答案】AC
【详解】A．根据等量同种电荷等势线分布的对称性，可知C 与C'两点的电势大小相等，两
点一定在同一等势面上，故A 正确；
B．根据等量同种电荷电场线分布情况和对称性，可知A 点的场强的方向水平向右，而B 点
的场强的方向竖直向上，故B 错误；
C．电子在B 点获得一个合适初速度，若该电子速度的方向与该平面垂直，而且满足电场力
刚好等于所需向心力，将可能做匀速圆周运动，故C 正确；
D．根据等量同种电荷等势线分布的对称性，可知B 与B'两点的电势大小相等，两点一定在
同一等势面上，所以电子在B 点获得沿BO 方向的初速度后，到达B'后仍然具有速度将继续
向下运动，所以电子不可能在BB'间做往复运动，故D 错误。
故选AC。
【变式2-3】】（2025·浙江·高考真题）三个点电荷的电场线和等势线如图所示，其中的d，e 与e，f 两点
间的距离相等，则（ ）
A．a 点电势高于b 点电势
B．a、c 两点的电场强度相同
C．d、f 间电势差为d、e 间电势差的两倍
D．从a 到b 与从f 到b，电场力对电子做功相等
【答案】D
【详解】A．电场线从高等势面指向低等势面，即电场线从图中的正电荷指向负电荷，因此b 点所在的等
势面高于a 点所在的等势面，A 错误；
B．a、c 两点电场强度方向不同，电场强度不同，B 错误；
C．从d→e→f 电场强度逐渐减小，间距相等，结合U = Ed可知0<U fe<U ed，则U fd<2U ed，C 错误；
D．a 点与f 点在同一等势面上，a、b 两点和f、b 两点的电势差相等，根据电场力做功W =qU可知从a 到
b 与从f 到b，电场力对电子做功相等，D 正确。
故选D。
易错点3 不理解电势和电势差与电势 能的物理意义不同，不会找等势
面
易错典题
【例3】某电场中的A、B 两点间移动电量为q 的电荷时，电荷的电势能变化∆E跟电荷量q 的比值
为5.0V，如在A、B 间移动电量为2q 的电荷时，A、B 两点间电势差为多少？如果没有在A、B 间移动电
荷，这时A、B 是电势差为多少？
【错因分析】错误答案为2.5V；0V，错解在于没有真正理解电势能和电势差这两个不同概念的物理意
义，错误地把电势差定义式U = ∆E
q
理解为电场中两点的电势差U 与被移动电荷的电量成反比，与移动电
荷时电势能改变量成正比。因为电势差在数值上等于移送单位电量（1C）电荷时电势的改变量，根据U 与
q 成反比这一错误的前提，得出移送2C 电量的电荷时，U 变为2。5V 的结论，其次，错误地认为如果在
A、B 间没有移动电荷，即q =0，故无所谓电势能的改变（∆E=0 ），故A、B 间的电势差为零。
【答案】5.0V，5.0V
【详解】根据电势差的定义式，有比值∆E
q =5.0V ，说明在电场中A、B 两点间移送1C 电量时，电荷的电
势能的改变量为5.0J，移送2C 电量时，电势能的改变则为10J，∆E 与q 两者之比仍为5.0V，而不移送电
荷时，电势能的改变为零，但A、B 间的电势差仍客观存在，依然为5.0V。
避错攻略
【知识链接】
1．电势高低的判断
判断依据
判断方法
电场线方向
沿电场线方向电势逐渐降低
场源电荷的正负
取无穷远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负
值；靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低
电势能的高低
正电荷在电势较高处电势能大，负电荷在电势较低处电势能大
电场力做功
根据UAB＝，将WAB、q 的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低
2．电势能大小的判断
判断方法
方法解读
公式法
将电荷量、电势连同正负号一起代入公式Ep＝qφ，正Ep的绝对值越大，电
势能越大；负Ep的绝对值越大，电势能越小
电势法
正电荷在电势高的地方电势能大
负电荷在电势低的地方电势能大
做功法
电场力做正功，电势能减小
电场力做负功，电势能增加
能量守恒法
在电场中，若只有电场力做功时，电荷的动能和电势能相互转化，动能增
加，电势能减小，反之，动能减小，电势能增加
3.匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)电势差与电场强度的关系式：U＝Ed，其中d 为电场中两点间沿电场方向的距离。
(2)电场强度的方向和大小：电场中，电场强度方向是指电势降低最快的方向。在匀强电场中，电场强度在
数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势。
（3）由E＝U
d 可推出的两个重要推论
推论1：如图甲所示，匀强电场中任一线段AB 的中点C 的电势，φC＝φ A＋φB
2
。
推论2：如图乙所示，若匀强电场中两线段AB＝CD 且AB∥CD，则φA－φB＝φC－φD。
举一反三
【变式3-1】】（2025·河南·高考真题）如图，在与纸面平行的匀强电场中有a、b、c 三点，其电势分别
为6 V、4 V、2V；a、b、c 分别位于纸面内一等边三角形的顶点上。下列图中箭头表示a 点电场的方向，
则正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
匀强电场中任意两点间的中点电势等于这两点的平均值，可知ac 中点d 的电势与b 点相同，bd 的连线为该
匀强电场的等势面。电场线垂直于等势面且由高电势指向低电势，故电场线沿ac 方向且由a 指向c，C 选
项正确。故选C。
【变式3-2】（2025·云南·高考真题）某介电电泳实验使用非匀强电场，该电场的等势线分布如图所示。
a、b、c、d 四点分别位于电势为－2V、－1V、1V、2V 的等势线上，则（ ）
A．a、b、c、d 中a 点电场强度最小
B．a、b、c、d 中d 点电场强度最大
C．一个电子从b 点移动到c 点电场力做功为2eV
D．一个电子从a 点移动到d 点电势能增加了4eV
【答案】C
【详解】AB．根据等势面越密集电场强度越大，可知a、b、c、d 中a 点电场强度最大，故AB 错误；
C．一个电子从b 点移动到c 点电场力做功为Wbc = －eUbc = 2eV
故C 正确；
D．一个电子从a 点移动到d 点电场力做功为Wad = －eUad = 4eV
由于电场力做正功电势能减小，则一个电子从a 点移动到d 点电势能减小了4eV，故D 错误。
故选C。
【变式3-3】．（2025·北京·高考真题）某小山坡的等高线如图，M 表示山顶，
是同一
等高线上两点，
分别是沿左、右坡面的直滑道。山顶的小球沿滑道从静止滑下，不
考虑阻力，则（ ）
A．小球沿
运动的加速度比沿
的大
B．小球分别运动到
点时速度大小不同
C．若把等高线看成某静电场的等势线，则A 点电场强度比B 点大
D．若把等高线看成某静电场的等势线，则右侧电势比左侧降落得快
【答案】D
【详解】A．等高线越密集，坡面越陡，根据牛顿第二定律可得
（
为坡面与水平
面夹角），MB 对应的等高线更密集，坡面更陡，小球沿着MB 运动时加速度比沿着MA 运动
时加速度大，A 错误；
B．A、B 在同一等高线，小球下落高度相同，根据机械能守恒，运动到A、B 点时速度大小
相同，B 错误；
C．等势线越密集，电场强度越大，B 处等势线更密集，A 点电场强度比B 点小，C 错误；
D．等势线越密集，电势降落越快，右侧等势线更密集，右侧电势比左侧降落得快，D 正确。
故选D。
.易错点4 误认为作类平抛运动的带电粒子在竖直方向的位移与水平初速度无关
易错典题
【例4】电子被电压为U 的电场加速后，垂直于场强方向飞入一个偏转电场，飞入时动能为
，飞
出时动能加到飞入时的2 倍。如果加速电场的电压增为4U，此电子飞出同一偏转电场时的动能变为多少？
【错解1】：对电子的加速，原来有
；后来有
。
因为在同一电场中偏转，飞出时动能都增为原来的2 倍，所以第2 次电子飞出的动能
。
【错解2】：对电子的加速，原来有
；后来有
对电子的偏转，由动能定理W =ΔEk ，得 原来情况：
解得
【错因分析】两个误解的根子都在于对带粒子在电场中偏转的功能问题不甚明了。
错解1 以为同一偏转电场总是使电子动能增至原来的2 倍。没有物理规律可作依据，纯属“臆想”，
实为学习物理的大忌。
错解2 以为同一偏转电场对电子做功都是
，反映了对公式
缺乏了解，用于本题时便将公
式中的U 理解为偏转电压，导致科学性错误。
事实上，在
中，U 系指与做功过程相关的初、末两个位置间的电势差。在本题中应是电子飞
出点和飞入点间的电势差。不一定就是偏转电压。电子飞入动能不同时，它在偏转电场中的轨迹不同，飞
离电场的点便不同，
的值不相等。
因此，因偏转电场为匀强电场，电场力的功可改用
来算，式中S 在本题中就是电子
横向偏移
。问题归结到两次横向偏移的值即可得解。
【答案】
【详解】若能认清两次偏转的区别，就可以正解此题
对电子的加速，原来有
；后来有
电子动能从
时，速度从
电子在偏转电场中运动时间
。对同一偏转电场，飞入速
从
时，运动时间从
；电
子在同一偏转电场中横向运动的加速
相同，则先后横向移值为
，即
。
设场强为
，由W =ΔEk 得
解得
避错攻略
【知识链接】
1.带电粒子在匀强电场中的偏转运动（v0⊥E）
（1）沿初速度方向做匀速直线运动：t＝l
v0
（如图所示）。
（2）沿静电力方向做初速度为零的匀加速直线运动：
①加速度：a＝F
m＝qE
m ＝qU
md 。
②离开电场时的偏移量：y＝1
2at2＝qU l
2
2md v0
2 。
③离开电场时的偏转角：tan θ＝v y
v0
＝at
v0
＝qUl
md v0
2 。
2.求解电偏转问题的两种思路
以示波管模型为例,带电粒子经加速电场U1加速,再经偏转电场U2偏转后,需再经历一段匀速直线运动才
会打到荧光屏上而显示亮点P,如图所示。
(1)确定最终偏移距离OP 的两种方法
方法1:
方法2:
(2)确定粒子经偏转电场后的动能(或速度)的两种方法
3.两个重要结论
（1）速度偏角正切值tan θ 是位移偏角正切值tan α 的2 倍。
（2）粒子经电场偏转后射出时，瞬时速度的反向延长线与初速度延长线的交点为粒子水平位移的中点，
即该交点到偏转电场边缘的距离为l
2。
4.利用功能关系分析带电粒子的偏转
当讨论带电粒子的末速度v 时也可以从能量的角度进行求解，qUy＝1
2mv2－1
2mv0
2，其中Uy＝U
d y，指初、
末位置间的电势差。
举一反三
【变式4-1】．（2025·重庆·高考真题）某兴趣小组用人工智能模拟带电粒子在电场中的运动，如图所示
的矩形区域OMPQ 内分布有平行于OQ 的匀强电场，N 为QP 的中点。模拟动画显示，带电粒子a、b 分别
从Q 点和O 点垂直于OQ 同时进入电场，沿图中所示轨迹同时到达M、N 点，K 为轨迹交点。忽略粒子所
受重力和粒子间的相互作用，则可推断a、b（ ）
A．具有不同比荷
B．电势能均随时间逐渐增大
C．到达M、N 的速度大小相等
D．到达K 所用时间之比为1:2
【答案】D
【详解】根据题意可知，带电粒子在电场中做类平抛运动，带电粒子a、b 分别从Q 点和O 点同时进入电
场，沿图中所示轨迹同时到达M、N 点，可知，运动时间相等，由图可知，沿初速度方向位移之比为
，
则初速度之比为
，位移大小相等，由
可知，粒子运动的加速度大小相等，（结论3）由牛顿第
二定律有
，可得
可知，带电粒子具有相同比荷，故A 错误。带电粒子运动过程中，电场力
均做正功，电势能均随时
间逐渐减小，故B 错误。由公式
可知，到达M、N 的竖直分速度大小相等，由于初速度之比为
，
则到达M、N 的速度大小不相等，故C 错误。由图可知，带电粒子a、b 到达K 的水平位移相等，由于带电
粒子a、b 初速度之比为
，则所用时间之比为
，故D 正确。
。
【变式4-2】（2025·湖南·一模）某静电除尘装置的原理截面图如图，一对间距为d，极板长为L的平行金
属板，下板中点为O，两板接多挡位稳压电源；均匀分布在A、B两点间的n个（数量很多）带负电灰尘颗
粒物，均以水平向右的初速度v0从左侧进入两板间。颗粒物可视为质点，其质量均为m，电荷量均为-q，
板间视为匀强电场。若不计重力、空气阻力和颗粒物之间的相互作用力，且颗粒物能够全部被收集在下极
板，则（ ）
A．上极板带正电
B．电源电压至少为mv0
2d
2
q L
2
C．电源电压为U时，净化过程中电场力对颗粒物做的总功为1
2 nqU
D．O点左侧和右侧收集到的颗粒数之比可能为1 4∶
【答案】C
【详解】A．颗粒物要被下板收集，则所受电场力方向必向下，因其带负电，故场强方向向上，故上板应
带负电，故A 错误；
B．电源电压最小时，沿上板边缘进入的颗粒物恰好落到下板右端，设其在板间运动的时间为t，加速度大
小为a，则沿极板方向有L= v0t
垂直极板方向有d = 1
2 at
2
又ma=qE = qU 0
d
联立解得U 0= 2md
2v0
2
q L
2
故B 错误；
C．因初始时刻颗粒物均匀分布，由W =q(U +U +...+U n)= qU
d ( y1+ y2...+ yn)= qU
d × 1
2
(0+d)n
可得净化过程中电场力对颗粒物做的总功为W = 1
2 nqU
故C 正确；
D．电源电压最小时，O 点左侧和右侧收集到的颗粒数之比最小，沿极板方向由x = v0t
可知，落到O 点和下板右端的颗粒在板间运动的时间之比为1:2
垂直极板方向，由y = 1
2 at
2
可知，落到O 点和下板右端的颗粒的初始高度之比为1:4
因初始时刻颗粒物均匀分布，故O 点左侧和右侧收集到的颗粒数之比最少为1:(4 -1)=1:3
故D 错误。
故选C。
.【变式4-3】 如图，氕（H）和氘（H）两种原子核由静止经同一加速电场加速后，沿OO′方向射入
偏转电场，粒子射出偏转电场后都能打在圆筒感光纸上并留下感光点，若圆筒不转动，两种原子核
（ ）
A. 离开加速电场时，动能相等
B. 离开加速电场时，动量相等
C. 离开偏转电场后，在感光纸上留下1 个感光点
D. 离开偏转电场后，在感光纸上留下2 个感光点
【答案】AC
【解析】粒子在电场中做匀加速直线运动，有
粒子在偏转电场中做类平抛运动，有
所以
由此可知，粒子离开偏转电场时竖直位移相同，且速度方向相同，所以在感光纸上留下1 个感光点，故C
正确，D 错误；离开加速电场时的动能为
故A 正确；离开加速电场时的动量为
由于两粒子动能相等，而质量不等，所以动量不相等，故B 错误
易错点5 电容器的动态分析问题分不清是哪些物理量变化，哪些不变
易错典题
【例5】 （2022·重庆·高考真题）如图为某同学采用平行板电容器测量材料竖直方向尺度随温度变化的装
置示意图，电容器上极板固定，下极板可随材料尺度的变化上下移动，两极板间电压不变。若材料温度降
低时，极板上所带电荷量变少，则（ ）
A．材料竖直方向尺度减小
B．极板间电场强度不变
C．极板间电场强度变大
D．电容器电容变大
【错因分析】误选BC 的原因：没有结合具体情境，判断出两极板间的距离减小，从而距离电场强度和电
势差的关系，判断电场强度的变化情况。
误选D 的原因：没有结合具体情境，判断出两极板间的距离减小，进一步结合平行板电容器电容的因素决
定式，判断电容如何变.．
【答案】A
【解析】D．根据题意可知极板之间电压
不变，极板上所带电荷量
变少，根据电容定义式
可知
电容器得电容
减小，D 错误；
BC．根据电容的决定式
可知极板间距
增大，极板之间形成匀强电场，根据
可知极板间
电场强度
减小，BC 错误；
A．极板间距
增大，材料竖直方向尺度减小，A 正确。
故选A。
避错攻略
【知识链接】
平行板电容器两类动态的分析思路
1．平行板电容器动态的分析思路
2.平行板电容器的动态分析问题的两种情况
(1)平行板电容器充电后,保持电容器的两极板与电池的两极相连接:
(2)平行板电容器充电后,切断与电池的连接:
举一反三
【变式5-1】（2025·黑吉辽蒙卷·高考真题）如图，某压力传感器中平行板电容器内的绝缘弹性结构是模
仿犰狳设计的，逐渐增大施加于两极板压力F 的过程中，F 较小时弹性结构易被压缩，极板间距d 容易减
小；F 较大时弹性结构闭合，d 难以减小。将该电容器充电后断开电源，极板间电势差U 与F 的关系曲线
可能正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】根据公式Q =CU和电容的决定式C =
εS
4 πkd
可得U = 4 πkQ
εS
⋅d
根据题意F 较小时易被压缩，故可知当F 较小时，随着F 的增大，d 在减小，且减小的越来越慢，与电源
断开后Q 不变，故此时极板间的电势差U 在减小，且减小的越来越慢；当F 增大到一定程度时，再增大F
后，d 基本不变，故此时U 保持不变，结合图像，最符合情境的是D 选项。故选D。
【变式5-2】（2024·浙江·高考真题 ）图示是“研究电容器两极板间距对电容大小的影响”实验，保持
电荷量不变，当极板间距增大时，静电计指针张角增大，则 （ ）
A．极板间电势差减小
B．电容器的电容增大
C．极板间电场强度增大
D．电容器储存能量增大
【答案】D
【详解】AB．根据Q =CU，C =
εS
4 πkd 可得当极板间距增大时电容减小，由于电容器的带电量不变，故极
板间电势差增大，故AB 错误；
C．根据E = U
d 得
E = 4 πkQ
εS
故场强不变，故C 错误；
D．移动极板的过程中要克服电场力做功，故电容器储存能量增大，故D 正确。
故选D。
【变式5-3】（2025·湖南省郴州市九校联盟高三适应考试）预测物理试题）如图所示，G 为静电计，M、
N 为平行板电容器的金属板，开始时开关S 闭合，静电计指针张开一定角度。若不考虑静电计引起的电荷
量变化，则下列说法正确的是（ ）
A．保持开关S 闭合，将两极板间距减小，两极板间的电场强度
增大
B．保持开关S 闭合，将滑动变阻器R 的滑片P 向左移动，静电计指针张开角度变大
C．断开开关S 后，紧贴N 极板插入金属板，静电计指针张开角度变小
D．断开开关S 后，将两极板间距增大，两极板间的电势差U 减小
【答案】.AC
【详解】 保持开关S 闭合，滑动变阻器R 仅仅充当导线功能，电容器两极板间的电势差U 不变，滑动变
阻器R 的滑片P 向左移动不会影响静电计指针张角，静电计指针张开角度不变，将两极板间距d 减小，由
可知两极板间的电场强度
增大，故A 正确，B 错误；
断开开关S 后，电容器的带电量Q 不变，若紧贴N 极板插入金属板，相当于两极板间距d 减小，根据
可知电容C 增大，根据
可知两极板间的电势差U 减小，静电计指针张开角度变小，若将
两极板间距d 增大，电容C 减小，两极板间电势差U 增大，故C 正确，D 错误
易错点六 带电粒子在竖直平面内圆周运动问题混淆“几何最高点”和
“物理最高点”
易错典题
【例6】 .如图细线一端系住质量为m 的小球，以另一端O 为圆心，使小球在竖
直面内作半径为R 的圆周运动。若球带正电，空间有场强为E 竖直向上的匀强电场，为
了使小球能完整圆整运动，在最低点A 小球应有多大的速度？
【错解1】小球在最高点B 的临界速度V
gR
。从A B，由W =ΔEk ，
得
qE ×2 R−mg ×2 R=1
2 mv 2−1
2 mv A
2
解得
v A=√
(5 mg −4qE )
m
【错解2】带点球在最高点B 时
2v
mg
T
qE
m R
当拉力T=0 时，临界速度
(
)
mg
qE R
V
m
从A B，由W =ΔEk ，
得
qE ×2 R−mg ×2 R=1
2 mv 2−1
2 mv A
2
解得
v A=√
5(mg −qE )R
m
【错因分析】错解1 死记一个结论：“在竖直平面能作完整圆周运动的物体在最高点的临界速度
v
Rg
“。但没有细想这个结论是有前提条件的，即只有重力场时才成立。现在存在着竖直方向的电场，
圆周运动临界速度的情况需要另作讨论。
错解2 能认识到这一点，所作讨论的方法也对路，但此误解对问题的认识仍不全面、不深刻。表现为：
（1）仍将出现临界速度的情况界定与最高点；（2）没有想到要比较qE 和mg 的大小作进一步考虑。其实
错解2 所得临界速度
(
)
mg
qE R
v
m
中，已经隐含qE<mg 这个条件，否则v 无意义，由于对竖直平面
内圆周运动在新情况中的临界速度认识有误，两个误解的结论不是错误，就是不完整。
【答案】
v A=√
5(mg −qE )R
m
或
v A=√
(qE −mg )R
m
【详解】当qE
mg
时，小球在最高点B 的临界速度是
(
)
mg
qE R
v
M
从A B，由W =ΔEk ，得
qE ×2 R−mg ×2 R=1
2 mv 2−1
2 mv A
2
·
·
E
O
B
A
解得
v A=√
5(mg −qE )R
m
此即小球在A 处最小速度。 当qE
mg
时，
小球在最低处A 有临界速度v A ，此时有
2
A
V
qE
mg
m
R
此即小球在A 处最小速度
v A=√
(qE −mg )R
m
。
。
避错攻略
【知识链接】
1.“等效重力场”
在匀强电场和重力场的共存区域，可以将重力场与电场合二为一，称之为“等效重力场”。
2.“等效重力场”的理解
3.带电小球在“等效重力场”中两种圆周运动图例
。
举一反三
【变式6-1】（2025·广东中山·高三期末）空间中有竖直向上的匀强电场，电场强度
。绝
缘圆形轨道竖直放置，O 点是它的圆心、半径为R，A、C 为圆轨道的最低点和最高点，B、D 为
与圆心O 等高的两点，如图所示。在轨道A 点放置一质量为m、带电量为+q 的光滑小球。现给小
球一初速度v0（v0≠0），重力加速度为g，则下列说法正确的是（ ）
A．无论v0多大，小球不会脱离轨道
B．只有
，小球才不会脱离轨道
C．v0越大，小球在A、C 两点对轨道的压力差也越大
D．若将小球无初速度从D 点释放，小球一定会沿轨道经过C 点
【答案】 D
【解析】由题意可知小球所受电场力与重力的合力方向竖直向上，大小为
若要使小球不脱离轨道，设其在A 点所具有的的最小速度为vmin，根据牛顿第二定律有
，
解得
所以只有当
时，小球才不会脱离轨道，故AB 错误；假设小球可以在轨道中做完整的圆
周运动，在C 点的速度大小为v1，根据动能定理有
在A、C 点小球所受轨道的支持力大小分别为F0和F1，根据牛顿第二定律有
联立以上三式解得
根据牛顿第三定律可知小球在A、C 两点对轨道的压力差等于12mg，与v0的大小无关，故C
错误；若将小球无初速度从D 点释放，由于F 向上，所以小球一定能沿DC 轨道经过C 点，
故D 正确
【变式6-2】（2025·云南昆明·三模）匀强电场中，质量为m、带电量为q（q>0）且可视
为质点的小球在长为L 的绝缘轻绳拉力作用下绕固定点O 在竖直平面内做圆周运动，M 点和
N 点分别为圆周上的最低点和最高点，电场方向平行于圆周平面。已知运动过程中小球速度
最小值为
（g 为重力加速度），此时绳子拉力恰好为零。小球运动到M 点时速度大小为
且大于小球经过N 点时的速度，不计空气阻力。若O 点电势为零，下列说法正确的是
（ ）
A．小球受到的电场力与重力的夹角为30°角
B．匀强电场的场强大小为
C．M 点的电势为
D．小球从速度最小到速度最大的过程中，电场力做的功为2mgL
【答案】BC
【详解】AB．因运动过程中小球速度最小值为
，此时绳子拉力恰好为零，可知小球受
的合力为
因重力竖直向下，可知电场力大小也为mg 与重力夹角为120°，根据
可知匀强电场的场强大小为
选项A 错误，B 正确；
C．因MO 两点的电势差为
O 点电势为零，M 点的电势为
选项C 正确；
D．小球从速度最小到速度最大的过程中，即从等效最高点Q 到等效最低点P 的过程中，电
场力做的功为
选项D 错误。
【变式6-3】（2025·湖南岳阳第一中学模拟）如图，空间中有一匀强电场，大小为
，方向与水平方
向成
角，现有一光滑绝缘大圆环固定在竖直平面内，O 点为环心，将质量为m、带电荷量为
的小圆
环套在大圆环的M 点并同时给小圆环一个向右的水平初速度，小圆环恰好能够沿大圆环做完整的圆周运动，
重力加速度为g，则小圆环（ ）
A 从M 点到Q 点动能减小
B. 在M 点和N 点的电势能相等
C. 从M 点到Q 点电场力做负功
D. 动能最大处的电势低于动能最小处的电势
【答案】D
【解析】小圆环带正电，从M 点到Q 点电场力做正功，C 错误；
B．作出等势面如图：
沿电场线方向电势降低，则在M 点的电势高于N 点的电势，正电荷在电势高的地方电势能大，所以在M
点的电势能大于N 点的电势能，B 错误；小圆环受到的电场力
受力如图：
则小圆环运动的等效最高点和等效最低点分别为A 点和B 点，在A 点速度最小，在B 点速度最大，则从M
点到Q 点动能先增大后减小，A 错误；根据沿电场线方向电势降低，则在B 点
电势低于A 点的电势，即
动能最大处的电势低于动能最小处的电势，D 正确。
1.（2024·江苏·高考真题）在静电场中的A、B 两点放置试探电荷，其受到的静电力F 与试探电荷的电荷量
q 的关系，分别如图中直线a、b所示。A、B两点的电场强度之比为（ ）
A． 1:1
B． 2:1
C． 3:1
D． 4:1
【答案】D
【详解】设F -q图像的横坐标单位长度电荷量为q0,纵坐标单位长度的力大小为F0根据
E = F
q
可知F -q图像斜率表示电场强度，由图可知
Ea= 4 F0
q0
= 4 F0
q0
Eb= 4 F0
4 q0
= F0
q0
可得
Ea
Eb
= 4:1
故选D。
2．（2024·甘肃·高考真题 ）一平行板电容器充放电电路如图所示。开关S 接1，电源E 给电容器C 充电；
开关S 接2，电容器C 对电阻R 放电。下列说法正确的是（ ）
A．充电过程中，电容器两极板间电势差增加，充电电流增加
B．充电过程中，电容器的上极板带正电荷、流过电阻R 的电流由M 点流向N 点
C．放电过程中，电容器两极板间电势差减小，放电电流减小
D．放电过程中，电容器的上极板带负电荷，流过电阻R 的电流由N 点流向M 点
【答案】C
【详解】A．充电过程中，随着电容器带电量的增加，电容器两极板间电势差增加，充电电流在减小，故
A 错误；
B．根据电路图可知，充电过程中，电容器的上极板带正电荷、流过电阻R 的电流由N 点流向M 点，故B
错误；
C．放电过程中，随着电容器带电量的减小，电容器两极板间电势差减小，放电电流在减小，故C 正确；
D．根据电路图可知，放电过程中，电容器的上极板带正电荷，流过电阻R 的电流由M 点流向N 点，故D
错误。
故选C。
3．（2024·辽宁·高考真题）某种不导电溶液的相对介电常数εr与浓度C m的关系曲线如图（a）所示，将平
行板电容器的两极板全部插入该溶液中，并与恒压电源，电流表等构成如图（b）所示的电路，闭合开关S
后，若降低溶液浓度，则（ ）
A．电容器的电容减小
B．电容器所带的电荷量增大
C．电容器两极板之间的电势差增大
D．溶液浓度降低过程中电流方向为M→N
【答案】B
【详解】A．降低溶液浓度，不导电溶液的相对介电常数εr增大，根据电容器的决定式C = εr S
4 πkd 可知电容
器的电容增大，故A 错误；
BC．溶液不导电没有形成闭合回路，电容器两端的电压不变，根据Q =CU结合A 选项分析可知电容器所
带的电荷量增大，故B 正确，C 错误；
D．根据B 选项分析可知电容器所带的电荷量增大，则给电容器充电，结合题图可知电路中电流方向为
N →M，故D 错误。
故选B。
4.（2025·全国卷·高考真题）匀强电场中，一带正电的点电荷仅在电场力的作用下以某一初速度开始运动，
则运动过程中，其（ ）
A．所处位置的电势一定不断降低
B．所处位置的电势一定不断升高
C．轨迹可能是与电场线平行的直线
D．轨迹可能是与电场线垂直的直线
【答案】C
【详解】在匀强电场中，带正电的点电荷所受电场力恒定，方向与电场线方向一致，加速度恒定。分析各
选项：
A．若初速度方向与电场力方向相反（如初速度向左，电场力向右），电荷会先减速至零再反向加速。在
减速阶段，电荷沿电场线反方向运动，电势升高。因此电势不一定一直降低，故A 错误；
B．若初速度方向与电场力方向相同（如初速度向右，电场力向右），电荷将一直加速，电势不断降低，
因此电势不一定升高，故B 错误；
C．若初速度方向与电场力方向共线（同向或反向），电荷将做匀变速直线运动，轨迹与电场线平行，故
C 正确；
D．若轨迹与电场线垂直，则电荷初速度方向与电场力方向垂直。但电场力大小方向恒定，此时电荷将做
类平抛运动，轨迹是曲线，故D 错误。故选C
5.（2024·北京·高考真题 ）如图所示，两个等量异种点电荷分别位于M、N 两点，P、Q 是MN 连线上的两
点，且MP =QN。下列说法正确的是（ ）
A．P 点电场强度比Q 点电场强度大
B．P 点电势与Q 点电势相等
C．若两点电荷的电荷量均变为原来的2 倍，P 点电场强度大小也变为原来的2 倍
D．若两点电荷的电荷量均变为原来的2 倍，P、Q 两点间电势差不变
【答案】C
【详解】A．由等量异种点电荷的电场线分布特点知，P、Q 两点电场强度大小相等，A 错误；
B．由沿电场线方向电势越来越低知，P 点电势高于Q 点电势，B 错误；
CD．由电场叠加得P 点电场强度
E =k
Q
M P
2 +k
Q
N P
2
若仅两点电荷的电荷量均变为原来的2 倍，则P 点电场强度大小也变为原来的2 倍，同理Q 点电场强度大
小也变为原来的2 倍，而PQ 间距不变，根据U = Ed定性分析可知P、Q 两点间电势差变大，C 正确，D 错
误。故选C。
6．（2024·海南·高考真题 ）（多选）真空中有两个点电荷，电荷量均为−q（q ≥ 0），固定于相距为2r
的P1、P2两点，O 是P1P2连线的中点，M 点在P1P2连线的中垂线上，距离O 点为r，N 点在P1P2连线上，
距离O 点为x（x << r），已知静电力常量为k，则下列说法正确的是（ ）
A．P1P2中垂线上电场强度最大的点到O 点的距离为
❑√3
3 r
B．P1P2中垂线上电场强度的最大值为4 ❑√3kq
9r
2
C．在M 点放入一电子，从静止释放，电子的加速度一直减小
D．在N 点放入一电子，从静止释放，电子的运动可视为简谐运动
【答案】BCD
【详解】AB．设P1处的点电荷在P1P2中垂线上某点A 处产生的场强与竖直向下的夹角为θ，则根据场强的
叠加原理可知，A 点的合场强为
E =k 2q
r
2 sin
2θcosθ
根据均值不等式可知当cosθ =
❑√3
3 时E 有最大值，且最大值为
E = 4 ❑√3kq
9r
2
再根据几何关系可知A 点到O 点的距离为
y =
❑√2
2 r
故A 错误，B 正确；
C．在M 点放入一电子，从静止释放，由于
r >
❑√2
2 r
可知电子向上运动的过程中电场力一直减小，则电子的加速度一直减小，故C 正确；
D．根据等量同种电荷的电场线分布可知，电子运动过程中，O 点为平衡位置，可知当发生位移x 时，粒
子受到的电场力为
F =keq⋅- 4 rx
(r + x)
2(r - x)
2
由于x << r，整理后有
F =- 4 keq
r
3
⋅x
在N 点放入一电子，从静止释放，电子将以O 点为平衡位置做简谐运动，故D 正确。
故选BCD。
7．（2025·湖南·高考）（多选）一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内A 点和B 点的位置如图所示。
电荷量为+q、-q和+2q的三个试探电荷先后分别置于O 点、A 点和B 点时，电势能均为Ep(Ep>0)。
下列说法正确的是（ ）
A．OA中点的电势为零
B．电场的方向与x 轴正方向成60°角
C．电场强度的大小为
❑√2 EP
qd
D．电场强度的大小为2❑√2 Ep
qd
【答案】AD
【详解】A．根据题意可知O 点、A 点和B 点的电势分别为φO= Ep
q ，φ A =- Ep
q ，φB= Ep
2q ，故OA中点
的电势为φM = φO+φ A
2
=0，故A 正确；
B．如图，设N 点为AB 的三等分点，同理易知N 点电势为0，连接MN 为一条等势线，过A 点做MN 的
垂线，可知电场线沿该垂线方向，指向右下方，由AM = AN可知∠NMA = 45°，故电场的方向与x 轴
正方向成45°角，故B 错误；
CD．电场强度的大小为E =
0-(- Ep
q )
1
2 d ⋅cos 45°
= 2❑√2 Ep
qd
，故C 错误，D 正确。
故选AD。
8．（2024·湖南·高考）真空中有电荷量为+ 4 q和-q的两个点电荷，分别固定在x 轴上-1和0 处。设无限
远处电势为0，x 正半轴上各点电势φ随x 变化的图像正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】根据点电荷周围的电势公式φ=k Q
r ，设x
'处 (x
'>0)的电势为0，得k 4 q
1+ x' +k -q
x' =0，解得
x
' = 1
3，故可知当0< x< 1
3时，φ<0；当x> 1
3时，φ>0。
故选D。
8．（2025·河北·高考真题）《汉书》记载“姑句家矛端生火”，表明古人很早就发现了尖端放电现象。若
带电长矛尖端附近某条电场线如图，则
四点中电势最高的是（ ）
A．a 点
B．b 点
C．c 点
D．d 点
【答案】D
【详解】根据电场线的性质：沿电场线方向，电势逐渐降低。观察图中电场线，可判断电场线方向（假设
从电势高处指向低处）。比较a、b、c、d 四点，d 点位于电场线“上游”，沿电场线方向电势依次降低，
即d 点电势高于c 点，c 点高于b 点，b 点高于a 点。因此电势最高的是d 点。
故选D。
9．（2024·全国甲卷·高考真题）在电荷量为Q 的点电荷产生的电场中，将无限远处的电势规定为零时，距
离该点电荷r 处的电势为
，其中k 为静电力常量，多个点电荷产生的电场中某点的电势，等于每个点电
荷单独存在的该点的电势的代数和。电荷量分别为
和
的两个点电荷产生的电场的等势线如图中曲线所
示（图中数字的单位是伏特），则（ ）
A．
，
B．
，
B．C．
，
D．
，
【答案】B
【详解】根据两点电荷周围的电势分布可知
带正电，
带负电；由图中电势为0 的等势线可知
由图中距离关系可知
联立解得
故选B。
10.（2024·甘肃·高考真题）（多选）某带电体产生电场的等势面分布如图中实线所示，虚线是一带电粒子
仅在此电场作用下的运动轨迹，M、N 分别是运动轨迹与等势面b、a 的交点，下列说法正确的是（ ）
A．粒子带负电荷
B．M 点的电场强度比N 点的小
C．粒子在运动轨迹上存在动能最小的点D．粒子在M 点的电势能大于在N 点的电势能
【答案】BCD
【详解】A．根据粒子所受电场力指向曲线轨迹的凹侧可知，带电粒子带正电，故A 错误；
B．等差等势面越密集的地方场强越大，故M 点的电场强度比N 点的小，故B 正确；
CD．粒子带正电，因为M 点的电势大于在N 点的电势，故粒子在M 点的电势能大于在N 点的电势能；由
于带电粒子仅在电场作用下运动，电势能与动能总和不变，故可知当电势能最大时动能最小，故粒子在运
动轨迹上到达最大电势处时动能最小，故CD 正确。
故选BCD。
11．（2025·福建·高考真题）某种静电分析器简化图如图所示，在两条半圆形圆弧板组成的管
道中加上径向电场。现将一电子a 自A 点垂直电场射出，恰好做圆周运动，运动轨迹为
ABC，半径为r。另一电子b 自A 点垂直电场射出，轨迹为弧APQ，其中PBO 共线，已知BP
电势差为U，|CQ|=2|BP|，a 粒子入射动能为Ek，则（ ）
A．B 点的电场强度
B．P 点场强大于C 点场强
C．b 粒子在P 点动能小于Q 点动能
D．b 粒子全程的克服电场力做功小于2eU
【答案】D
【详解】A．a 粒子入射动能为Ek，根据动能的表达式有
，粒子恰好做圆周运动，
则
，联立解得
，故A 错误；
B．由图可知，P 点电场线密度较稀疏，则场强小于C 点场强，故B 错误；
C．已知|CQ|=2|BP|，因为BC 在同一等势线上，且沿电场方向电势降低，则Q 点电势小于P
点，电子在电势低处电势能大，则b 粒子在Q 点电势能大，根据能量守恒可知，b 粒子在Q
点动能较小，故C 错误；
D．由电场线密度分布情况可知，沿径向向外电场强度减小，则BP 之间平均电场强度大小大
于CQ 之间的平均电场强度大小，根据
，则
，则b 粒子全程的克服电场
力做功
，故D 正确。
故选 D。
12．（2023·湖南·高考）如图，真空中有三个点电荷固定在同一直线上，电荷量分别为Q1、Q2和Q3，P 点
和三个点电荷的连线与点电荷所在直线的夹角分别为90°、60°、和30°。若P 点处的电场强度为零，q >
0，则三个点电荷的电荷量可能为（ ）
A．Q1= q，Q2= ❑√2q，Q3= q
B．Q1= －q，Q2=- 4 ❑√3
3
q，Q3= －4q
C．Q1= －q，Q2= ❑√2q，Q3= －q
D．Q1= q，Q2=- 4 ❑√3
3
q，Q3= 4q
【答案】D
【详解】AB．选项AB 的电荷均为正和均为负，则根据电场强度的叠加法则可知，P 点的场强不可能
为零，AB 错误；
C．设P、Q1间的距离为r，则Q1、Q3在P 点产生的合场强大小有cos120
∘=
( kq
r
2 )
2
+( kq
4 r
2 )
2
- E
2
2⋅k
2q
2
4 r
4
，解
得E =
❑√21kq
4 r
2
而Q2产生的场强大小为E = 3 ❑√2kq
4 r
2
，则P 点的场强不可能为零，C 错误；
D．设P、Q1间的距离为r，则Q1、Q3在P 点产生的合场强大小有cos120
∘=
( kq
r
2 )
2
+( 4 kq
4 r
2 )
2
- E
2
2⋅4 k
2q
2
4 r
4
，解
得E =
❑√3kq
r
2
而Q2产生的场强大小为E =
❑√3kq
r
2
，则P 点的场强可能为零，D 正确。
故选D。
13.（2025·河南·高考真题）流式细胞仪可对不同类型的细胞进行分类收集，其原理如图所示。仅含有一个
A 细胞或B 细胞的小液滴从喷嘴喷出（另有一些液滴不含细胞），液滴质量均为m=2.0×10
-10kg。当液
滴穿过激光束、充电环时被分类充电，使含A、B 细胞的液滴分别带上正、负电荷，电荷量均为
q =1.0×10
-13C。随后，液滴以v =2.0 m /s的速度竖直进入长度为l =2.0×10
-2m的电极板间，板间电场
均匀、方向水平向右，电场强度大小为E =2.0×10
5 N /C。含细胞的液滴最终被分别收集在极板下方
h=0.1m处的A、B 收集管中。不计重力、空气阻力以及带电液滴间的作用。求：
(1)含A 细胞的液滴离开电场时偏转的距离；
(2)A、B 细胞收集管的间距。
【答案】(1)5×10
-3 m
(2)0.11m
【详解】（1）由题意可知含A 细胞的液滴在电场中做类平抛运动，垂直于电场方向则l = v t1
沿电场方向x1= 1
2 at1
2
由牛顿第二定律qE =ma
解得含A 细胞的液滴离开电场时偏转的距离为x1=5×10
-3 m
（2）含A 细胞的液滴离开电场后做匀速直线运动，则h= v t2
则x2=at1t2
联立解得x2=0.05 m
有对称性可知则A、B 细胞收集管的间距Δ x =2( x1+ x2)=2×(0.005+0.05)m =0.11m
14.（2025·甘肃·高考真题）离子注入机是研究材料辐照效应的重要设备，其工作原理如图1 所示。从离子
源S 释放的正离子（初速度视为零）经电压为U 1的电场加速后，沿OO
'方向射入电压为U 2的电场（OO
'
为平行于两极板的中轴线）。极板长度为l、间距为d，U 2-t关系如图2 所示。长度为a 的样品垂直放置
在距U 2极板L 处，样品中心位于O
'点。假设单个离子在通过U 2区域的极短时间内，电压U 2可视为不变，
当U 2=±U m时。离子恰好从两极板的边缘射出。不计重力及离子之间的相互作用。下列说法正确的是
（ ）
A．U 2的最大值U m= d
2
l
2 U 1
B．当U 2=±U m且L= (a-d )l
2d
时，离子恰好能打到样品边缘
C．若其他条件不变，要增大样品的辐照范围，需增大U 1
D．在t1和t2时刻射入U 2的离子，有可能分别打在A 和B 点
【答案】B
【详解】A．粒子在加速电场中被加速时U 1q = 1
2 mv0
2
在偏转电场中做类平抛运动，则l = v0t d
2 = 1
2 ⋅U mq
dm t
2
解得U m= 2d
2
l
2 U 1
选项A 错误；
B．当U 2=±U m时粒子从板的边缘射出，恰能打到样品边缘时，则
d
2
a
2
=
l
2
l
2 + L
解得L= (a-d)l
2d
选项B 正确；
C．根据y = 1
2 ⋅U mq
dm t
2= U ml
2
4 d U 1
若其它条件不变，要增加样品的辐照范围，则需减小U1，选项C 错误；
D ．由图可知t1时刻所加的向上电场电压小于t2时刻所加的向下的电场的电压，则t1时刻射入的粒子打到
A 点时的竖直位移小于打到B 点时的竖直位移，则选项D 错误。
故选B。
15．（2024·河北·高考真题）如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L 的绝缘细线系住一带电小球，在竖
直平面内绕O 点做圆周运动。图中A、B 为圆周上的两点，A 点为最低点，B 点与O 点等高。当小球运动
到A 点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为
、质量为m，A、B 两点间的电势差
为U，重力加速度大小为g，求：
（1）电场强度E 的大小。
（2）小球在A、B 两点的速度大小。
【答案】（1）
；（2）
，
【详解】（1）在匀强电场中，根据公式可得场强为
（2）在A 点细线对小球的拉力为0，根据牛顿第二定律得
A 到B 过程根据动能定理得
联立解得
16．．（2025·江苏·高考真题）如图所示，在电场强度为E，方向竖直向下的匀强电场中，两个相同的带
正电粒子a、b 同时从O 点以初速度v0射出，速度方向与水平方向夹角均为θ。已知粒子的质量为m。电荷
量为q，不计重力及粒子间相互作用。求：
(1) a 运动到最高点的时间t；
(2) a 到达最高点时，a、b 间的距离H。
【答案】(1)m v0sinθ
qE
(2)2mv0
2sin
2θ
qE
【详解】（1）根据题意，不计重力及粒子间相互作用，则竖直方向上，由对a球，根据牛顿第二定律有
qE =ma
a 运动到最高点的时间，由运动学公式有v0sinθ =at
联立解得t = mv0sinθ
qE
（2）方法一、根据题意可知，两个小球均在水平方向上做匀速直线运动，且水平方向上的初速度均为
v0cosθ，则两小球一直在同一竖直线上，斜上抛的小球竖直方向上运动的位移为
x1= (v0sinθ)
2
2a
= m v0
2sin
2θ
2qE
斜下抛的小球竖直方向上运动位移为x2= v0t sinθ+ 1
2 at
2= m v0
2sin
2θ
qE
+ m v0
2sin
2θ
2qE
则小球a 到达最高点时与小球b 之间的距离x = x1+ x2= 2mv0
2sin
2θ
qE
方法二、两个小球均受到相同电场力，以a 球为参考系，b球以2v0sinθ的速度向下做匀速直线运动，则a
到达最高点时，a、b 间的距离H =2v0sinθt = 2m v0
2sin
2θ
qE
