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专题07 静电场
电场的综合应用
1．（2024·德阳一模）空间某区域存在静电场如图所示，实线为等势线，相邻等势面间电势差相等。某质
子运动轨迹如图虚线所示，
、
是轨迹上的两个点，下列说法正确的是（ ）
A．
点的电场强度比
点大
B．
、
两点电场强度的方向相同
C．质子从
点运动到
点，电场力做正功
D．质子处于
、
两点时，其电势能在
点时较小
【答案】C
【详解】A．等差等势面越密集的地方场强越大，故
点的电场强度比
点小，故A 错误；
B．电场线与等势面垂直，且指向低等势面，如图为
、
两点电场强度的方向
可知
、
两点电场强度的方向不同，故B 错误；
C．曲线运动的受力方向指向曲线的凹测，受力与电场强度方向相同，质子从
点运动到
点，力与位移的
夹角为锐角，所以电场力做正功，故C 正确；
D．根据
质子处于
、
两点时，其电势能在
点时较大，故D 错误；
故选C。
2．（2024·自贡一模）如图甲、乙、丙所示为三种带电体产生的电场线和等差等势面示意图，下列说法正
确的是（ ）
A．甲图中
点和
点电场强度相同
B．乙图中带电体表面上
点和
点电势相等，电场强度大小相等
C．丙图中
点的电势小于
点电势
D．丙图中电子在
点的电势能大于在
点的电势能
【答案】D
【详解】A．电场强度是矢量，甲图中A 点和B 点电场强度大小相等，方向不同，所以电场强度不相同，
故A 错误；
B．孤立的带电导体本身是一个等势体，其表面是一个等势面，所以乙图中带电体表面上C 点和D 点电势
相等，由电场线疏密程度知电场强度大小不相等，故B 错误；
C．丙图中下极板带正电，上极板带负电，电场线方向向上，沿电场线方向电势降低，所以丙图中F 点电
势高于E 点电势，故C 错误；
D．根据
可知，负电荷在电势高的地方电势能小，所以电子在F 点电势能比较小，故D 正确。
故选D。
3．（2024·德阳一模）边长为2L 的正方形abcd，点M、N、P、S 分别为边ab、cd、ad、bc 的中点，点O
为直线PS 和MN 的交点，a、M、b、N、d 五点处固定有电荷量为
的点电荷，点c 处固定有电荷量为
的点电荷，已知
、
、
分别表示点P、O、S 三点处的电势，E 表示点O 处的电场强度大小，静
电力常量为k，则（ ）
A．
B．
C．将一带负电的检验电荷沿着直线PS 从P 点移动到S 点过程中电场力先不做功再做负功
D．将一带正电的检验电荷沿着直线PS 从P 点移动到S 点过程中电场力先做正功再做负功
【答案】B
【详解】A．b、c 两点的等量异种电荷形成的电场中，P 点和O 点电势相等，另外四个正电荷形成的电场
中，在P 点和O 点的电势也相等，所以
B．根据对称性M、N 两点的正电荷形成的电场在O 点场强为0，同理b、d 两点的正电荷在O 点的场强也
为0；O 点场强等于a、c 两点的等量异种电荷在O 场强的场强
故B 正确；
C．将一带负电的检验电荷沿着直线PS 从P 点移动到S 点过程中，b、c 两点的等量异种电荷形成的电场对
其不做功，再根据对称性，另外四个正电荷对此负电荷的电场力先做正功再做负功，C 错误；
D．同理，将一带正电的检验电荷沿着直线PS 从P 点移动到S 点过程中，电场力先做负功再做正功，D 错
误；
故选B。
4．（2024·巴中一模）两个带等量正电的点电荷，固定在图中P、Q 两点，MN 为PQ 连线的中垂线，交
PQ 于O 点，A、
为MN 上的两点，关于O 点对称，一带负电的试探电荷q，从A 点由静止释放，仅在静
电力作用下运动，取无限远处的电势为零，则（ ）
A．q 由A 向O 的运动过程中加速度先增大后减小
B．q 由A 向O 运动的过程电势能逐渐增大
C．q 运动到O 点时的动能最大
D．q 在A 与
之间做简谐运动
【答案】C
【详解】A．两等量正电荷周围部分电场线如图所示
其中P、Q 连线的中垂线MN 上，从无穷远到O 过程中电场强度先增大后减小，但A 点到O 不一定是先增
大后减小的，可能是一直减小，故加速度可能一直减小，A 错误；
B．电场力方向与AO 方向一致，电场力做正功，电势能逐渐减小，B 错误；
C．从A 到O 做加速直线运动，在O 点，场强为零，电场力为零，加速度为零，速度最大，动能最大，C
正确；
D．质点做简谐振动时回复力始终指向平衡位置，且和位移成正比，q 在A 与
之间受到的电场力始终指
向O 点，但它的大小与位移不成正比，所以它的运动不是简谐振动。D 错误。
故选C。
5．（2024·绵阳一模）如图所示，a、b、c、d 为四个质量均为m 的带电小球（可视为点电荷），小球a、
b、c 在光滑绝缘水平面内的半径为R 同一圆周上处于静止状态，O 点为圆心，三小球所在位置恰好将圆周
三等分。d 小球位于圆心O 点正上方距离为R 处，d 小球在外力和静电力的作用下处于静止状态，重力加
速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．a、b、c 三个小球带等量同种电荷
B．O 点处电场强度为零
C．a、b、c 所在圆周上各点电势都相等
D．a、d 两小球的电荷量之比为
：4
【答案】AD
【详解】A．由题意可知，a、b、c 三个小球受力情况相同，即受到其他两个球的库仑斥力和d 球的库仑引
力，所a、b、c 三个小球带等量同种电荷，故A 正确；
B．a、b、c 三个小球带等量同种电荷在O 点的合场强为0，d 球在O 点的电场沿竖直方向，不为零，故B
错误；
C．d 球在a、b、c 所在圆周上各点电势都相等，但a、b、c 三个小球在圆周上各点的电势不等，所以a、
b、c 所在圆周上各点电势不相等，故C 错误；
D．设a、b、c 三个小球所带电荷量为q，则a 球受到b、c 两球的库仑斥力的合力为
设d 球的电荷量为Q，则a 球受到d 球库仑引力
解得
故D 正确。
故选AD。
6．（2024·巴中一模）如图所示，在正方体中
面的
边的中点放一电荷量为
的点电荷，在
面的
的中点放另一电荷量为
的点电荷，下列说法正确的是（ ）
A．
点的电场强度与点的电场强度相同
B．
点的电势等于
点的电势
C．负电荷沿
棱从到
电势能先增大后减小
D．正电荷沿
棱从
到
电场力一直做正功
【答案】A
【详解】A．
、
、、
四个点处在两电荷连线的垂直平分面上，且到两电荷连线中点处的距离相等，
所以四个点处的电场强度相等，故A 正确；
B．
点离
更近，所以其电势高于
点电势，故B 错误；
C．负电荷沿
棱从到
的过程中，电场力一直做正功，所以电势能一直在减小，故C 错误；
D．正电荷沿
棱从
到
的过程中，电场力一直做负功，故D 错误。
故选A。
7．（2024·成都一模）如图所示，两固定斜面
粗糙、
光滑，两物块
，
通过铰链与轻杆相连，
不带电，
带正电，且都静止于斜面上，杆垂直于
。当在整个空间加竖直向下的匀强电场时（ ）
A．
向上滑动
B．
仍静止
C．
与
间的摩擦力增大
D．
沿斜面向下运动
【答案】B
【详解】BD．设
的质量为
，杆对
的弹力为
，
对
的支持力为
，其力的矢量图如图所示
由几何知识可知
现
受竖直向下的电场力，杆和
的支持力等比例增大，合力仍为零，
仍静止，故B 正确，D 错误；
AC．杆对
的力始终垂直斜面
，
始终静止，摩擦力
不变，故AC 错误。
故选B。
8．（2024·雅安一模）如图所示，实线表示某电场一簇等差等势面的分布情况，虚线表示该电场中一带电
粒子的运动轨迹，
、
、
分别为带电粒子的运动轨迹与等势面的交点，带电粒子的重力忽略不计。
从M 点运动到P 点的过程中，带电粒子（ ）
A．动能先减小后增大
B．电场力一直增大
C．经过
点和
点的速度相同
D．在
点的电势能大于
点的电势能
【答案】D
【详解】A．根据沿着电场线方向电势逐渐降低可知电场线方向大致指向中心，所以场源电荷为负电荷，
粒子从M 到N 作曲线运动，受到引力作用，所以粒子带正电，由此可知粒子从M 到N 再到P 一直受到引
力作用，所以从M 点运动到P 点的过程中电场力对粒子先做正功后做负功，粒子动能先增大后减小，故A
错误；
B．等差等势面越密的地方场强越大，由图可知从M 点运动到P 点的过程中，场强先增大后减小，所以带
电粒子受到的电场力先增大后减小，故B 错误；
C．
点和
点的电势相等，从N 点运动到P 点的过程中电场力做的合功为零，根据动能定理可知粒子经
过
点和
点的速度大小相同，但方向不同，故C 错误；
D．从M 点运动到P 点的过程中，电势逐渐降低，因为粒子带正电，所以带电粒子在M 点的电势能大于P
点的电势能，故D 正确。
故选D。
9．（2024·巴中一模）一电场在x 轴上各点的电场强度分布如图所示。现将一带正电的粒子（不计重力）
从O 点静止释放，仅在电场力的作用下，沿x 轴正方向运动，则关于该电场在x 轴上各点的电势φ、带电
粒子的动能Ek、电势能Ep以及动能与电势能之和E0随x 变化的图像，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】A．带正电的粒子（不计重力）从O 点静止释放，仅在电场力的作用下，带电粒子沿x 轴运动，
则电场力方向沿x 轴正方向，电场线方向沿x 轴正方向。沿电场线方向电势降低，A 错误；
B．由图可知，场强先减小后增大，由Ek − x 图像斜率大小代表电场力大小，斜率正负代表电场力方向，
方向一直为正方向，电场力
先减小后增大，一直为正方向，与题中电场强度沿x 轴变化一致，B 正确；
C．Ep − x 斜率代表电场力，所以斜率应该先减小后增大，C 错误；
D．由能量守恒
动能与电势能之和E0不变，D 正确。
故选BD。
10．（2024·四川一模）如图，在匀强电场中，有边长为8cm 的圆内接等边三角形ABC，三角形所在平面
与匀强电场的电场线平行，O 点为该三角形的中心，三角形各顶点的电势分别为
，
DE 是平行于AB 过O 点的直线，DE 是直线与圆周的两个交点。下列说法正确的是（ ）
A．O 点电势为4V
B．匀强电场的场强大小为75V/m，方向由A 指向C
C．在三角形ABC 的外切圆上的E 点电势最低
D．将电子由D 点移到E 点，电子的电势能减少了
【答案】D
【详解】A．由题意，AB 中点电势为
由几何关系可知，O 点电势为5V，A 错误；
B．AB 与CO 连线垂直，匀强电场的场强大小为
电场线由高电势指向低电势，则电场方向由A 指向B，B 错误；
C．D 点和E 点是圆上沿电场线方向电势最低点和最高点，C 错误；
D．由几何关系，圆形半径为
D 点和E 点的电势差为
将电子由D 点移到E 点，电势升高，电子的电势能减少
D 正确。
故选D。
11．（2024·南充一模）两个固定的点电荷P、Q 所形成电场的等势线如图中的虚线所示，一带电粒子以某
一初速度从图中的d 点进入电场，仅在静电力的作用下运动，运动轨迹如图中的实线所示。下列说法正确
的是（ ）
A．点电荷P、Q 带有等量同种电荷，粒子带负电
B．粒子从d 点到a 点的运动过程中，静电力先做正功后做负功
C．粒子从d 点到a 点运动的过程中，电势能先增大后减小
D．粒子经过a 点和d 点时的速度相同
【答案】AC
【详解】A．靠近点电荷P、Q 处的等势面电势高，说明点电荷P、Q 均带正电，则点电荷P、Q 带同种电
荷；根据曲线运动的合外力指向轨迹的凹侧，段合外力方向大致向下，段电场强度方向垂直等势面向上，
可知粒子带负电，故A 正确；
BC．粒子从d 点到a 点运动的过程中，电势先减小后增大，粒子带负电，电场力先做负功后做正功，动能
先减小后增大，电势能先增大后减小，故B 错误，C 正确；
D．a 点和d 点的电势相等，即
，则粒子从d 点到a 点电场力所做总功为零，故粒子在a 点和d 点的
速度大小相等，但速度的方向不同，则两点的速度不相同，故D 错误。
故选AC。
12．（2024·甘孜一模）一带负电的粒子只在电场力作用下沿
轴正向运动，其电势能
随位移
变化的关
系如图所示，其中
段是对称的曲线，
段是直线，则下列说法不正确的是（ ）
A．
处电场强度为正值
B．
处电势
的关系为
C．粒子在
段做匀变速运动，
段做匀速直线运动
D．
段是匀强电场
【答案】AC
【详解】A．在
图像中，图像的斜率表示电场力的大小，可知
处斜率为零，因此电场强度为零，A
不正确；
B．根据
可知负电荷在电势越高的位置，电势能越小，因此
，B 正确；
C．在
段，电场力为变力，在
段，电场力保持不变，因此粒子在
段做变加速直线运动，
在
段做匀变速直线运动，C 不正确；
D．由于在
段电场力大小和方向保持不变，因此
段是匀强电场，D 正确。
故不正确的选AC。
13．（2024·成都一模）一个带电粒子（不计重力）射入一点电荷的电场中，粒子运动的轨迹如图实线
所示，图中虚线是同心圆弧，表示电场中的等势面，下列判断正确的是（ ）
A．粒子在a 点的电势能一定小于在b 点的电势能
B．粒子在b 点的速率一定大于在a 点的速率
C．粒子在a 点和c 点的动能相等
D．粒子在b 点所受的电场力小于在a 点所受的电场力
【答案】AC
【详解】D．该电场为点电荷的电场，粒子在
点距离点电荷更近，因此粒子在
点所受的电场力大于在
点所受的电场力，D 错误；
AB．粒子运动轨迹为曲线，受力的方向指向轨迹凹侧，因此该粒子受到向外的斥力，从
到
的运动过程
中，电场力做负功，电势能增加，动能减小，故粒子在a 点的电势能一定小于在b 点的电势能，粒子在b
点的速率一定小于在a 点的速率，A 正确，B 错误；
C．由于
处于同一等势面上，从
到过程中，电场力做功为零，因此粒子在
点和点的动能相等，
C 正确。
故选AC。
14．（2024·雅安一模）如图所示，一带正电小球用绝缘丝线悬挂在
点，同时在竖直平面内加上匀强电场，
使小球始终保持平衡，此时丝线绷直且与竖直方向间夹角为
。已知小球的质量为
、电量为
，
整个过程中带电小球电荷量始终不变，重力加速度取
。关于所加电场，下列判断正确的是（ ）
A．电场的方向可能竖直向上
B．若所加电场的电场强度大小为
，那么电场的方向是唯一确定的
C．若所加电场的方向为水平向右时，电场的电场强度刚好为最小值
D．若所加电场的电场强度大小一定时，丝线上的拉力大小可能有不同值
【答案】AD
【详解】A．若电场的方向竖直向上，且电场力等于小球的重力时，小球可在该位置平衡，选项A 正确；
BC．当电场力的方向垂直与细线方向时电场力最小，则电场力最小值
若所加电场的电场强度大小为
，则电场力
那么电场的方向不是唯一确定的，选项BC 错误；
D．若电场力
，则电场力对应着两个方向，即所加电场的电场强度大小一定时，丝线上的拉
力大小可能有不同值，选项D 正确。
故选AD。
15．（2024·成都一模）如图所示，光滑绝缘圆轨道竖直放置，半径为
，电场与水平方向成
斜向右上，
质量为
，电荷量为
的带电小球恰好能静止于与圆心等高的
点处，现将该小球带上等量的负电
从
点静止释放，求：
（1）带负电的小球在水平方向和竖直方向的加速度分别是多大；
（2）从释放到小球第一次与圆轨道撞击时的速度和电势能的改变量。
【答案】（1）
，
；（2）
【详解】（1）带正电的小球能静止在
点，则
对带负电的小球，由牛顿第二定律得
（2）小球的水平位移
竖直位移
即小球水平位移和竖直位移的关系为
由几何关系得
解得
由动能定理有
解得
电场力做正功，电势能的减少了
即电势能的改变量为
。
电容 电容器
16．（2024·南充一模）电容器储能已经广泛应用于电动汽车，风光发电储能，电力系统中电能质量调节。
电容器储能的原理是，当电容器充电后，所带电荷量为Q，两极板间的电势差为U，则板间储存了电能。
如图是电容为C 的电容器两极板间电势差u 和所带电荷量q 的
图像，则（ ）
A．该电容器的电容C 随电荷量q 增大而增大
B．图像中直线的斜率等于该电容器电容C
C．电源对该电容器充电为Q 时，电源对该电容器做的功为QU
D．电源对该电容器充电为Q 时，该电容器储存的电能为
【答案】D
【详解】A．电容器的电容由电容器本身来决定，与所带电荷量及两端所加电压无关，故A 错误；
B．根据电容的定义式可得
即图像的斜率为电容器电容的倒数，故B 错误；
CD．根据电功的计算公式
图像的面积表示电功，即储存的电能
解得
故C 错误，D 正确。
故选D。
17．（2023·德阳一模）如图所示，电路中A、B 为两块正对的水平金属板，G 为静电计。金属板A 带正电，
一根串有单向导电二极管的导线将金属板A 和静电计的金属球相连。初始状态，静电计指针张开一个角度，
板间的带电油漓悬浮在两板之间静止不动。不考虑静电计电荷量变化对两极板电荷量的影响，下列说法正
确的是（ ）
A．若仅将B 板水平向右缓慢平移一小段距离，则油滴将向下运动
B．若仅将B 板竖直向上缓慢平移一小段距离，则静电计指针的张角将不变
C．若仅将B 板水平向左缓慢平移一小段距离，则静电计指针的张角将不变
D．若油滴固定不动，仅将B 板竖直向下缓慢平移一小段距离，带电油滴的电势能将增大
【答案】B
【详解】A ．将B 板缓慢平移一些后，电容器处于断路，电容器的电荷量不变，电场力为
以上各式联立，解得
所以，仅将B 板水平向右缓慢平移一小段距离后，正对面积S 减小，电场力变大，油滴将向上移动，故A
错误；
B．由A 选项可得，当B 板竖直向上缓慢平移一小段距离后，油滴所受电场力不变，两板间的电场强度也
不变。而AB 板的距离减小，由
可得，AB 板的电势差减小，静电计应向平行板电容器充电，但由
于有二极管，静电计的电荷量不能流入平行板电容器，则根据
其中C′、Q′为静电计的电容和所带的电荷量，可知静电计的指针不变，故B 正确；
C．将B 板水平向左缓慢平移一小段距离后，根据
可得，电容C 变小，由
可得，两板间的
电势差变大，所以静电计指针的张角变大，故C 错误；
D．由A 选项可得，将B 板竖直向下缓慢平移一小段距离后，油滴所受电场力不变电场强度不变，根据
油滴到A 板的距离不变，故油滴与A 板间的电势差不变，A 板的电势差为0，所以油滴所在位置的电势不
变，则油滴的电势能不变，故D 错误。
故选B。
18．（2023·眉山一模）在研究平行板电容器所带电荷量Q 和两板间的电势差U 的关系时，某老师在演示
实验中运用电荷均分法确定各次实验中电荷量的关系，并利用采集到的数据，做出了图示甲、乙两个电容
器的
关系图像。下列判定正确的是（ ）
A．甲、乙的电容之比为
B．甲、乙的电容之比为
C．若甲、乙两板正对面积和板间绝缘介质均相同，则甲两板的间距较大
D．若甲、乙两板的间距和板间绝缘介质均相同，则甲两板的正对面积较大
【答案】BD
【详解】AB．根据平行板电容器所带电荷量与两极板间的电势差关系
可知
图像的斜率表示电容器的电容，由图像可得
故A 错误，B 正确；
CD．根据
可知，若甲、乙两板正对面积和板间绝缘介质
均相同，由于
，可得电容器
两板的间距
同理，若甲、乙两板的间距
和板间绝缘介质
均相同，则两板的正对面积较大
故C 错误，D 正确。
故选BD。
【点睛】
19．（2024·巴中一模）矩形线圈在匀强磁场中匀速转动，产生交变电流的电动势e=220
sin（100
t）
V，下列说法正确的是（ ）
A．该交流电压有效值为220
V
B．该交流电每1 秒钟电流方向改变100 次
C．电容器铭牌标注“220V，100
F”接入该交流可以正常工作
D．在t=
s 时刻，电动势瞬时值为220
V
【答案】B
【详解】A．该交流电压有效值为
故A 错误；
B．周期
频率
则该交流电每1 秒钟电流方向改变100 次，故B 正确；
C．由于该交流的最大值
大于电容器的耐压值220V，电容器铭牌标注“220V，100
F”接入该交
流不可以正常工作，故C 错误；
D．在t=
s 时刻，电动势瞬时值为
e=220
sin（100
×
）V=220V
故D 错误。
故选B。
20．（2024·雅安一模）在如图所示电路中，电源电动势为
，内阻为
为电阻箱，
为定值电阻，
两平行金属板
水平放置。闭合开关
，待电路稳定后，一带电油滴从金属板左侧中点处水平射入板间，
油滴恰能沿水平直线通过，不考虑空气阻力，运动过程中油滴电荷量始终保持不变。下列说法中正确的是
（ ）
A．油滴一定带负电
B．仅将
阻值调为零时，油滴仍可沿水平直线通过
C．仅将
板向下平移少许，油滴一定向上运动
D．仅断开开关
，油滴仍恰能沿水平直线通过
【答案】AC
【详解】A．由图可知电容器上极板带正电，油滴受重力与电场力作用，沿水平直线运动，则电场力与重
力平衡，方向向上，可知油滴一定带负电，故A 正确；
B．仅将
阻值调为零时，电容器的电势差为0，油滴只受重力作用，不会沿水平直线通过，故B 错误；
C．仅将
板向下平移少许，电容器的电势差不变，根据
可知电场力增大，油滴一定向上运动，故C 正确；
D．仅断开开关
，电容器放电，电势差逐渐减小，则油滴向下运动，故D 错误；
故选AC。
21．（2024·遂宁市蓬溪一模）如图所示的静电计与带电平行板电容器（右板带正电，左板带负电）相连，
把一块薄板向下插入平行板的正中央，规定大地的电势为零，则插入薄板前后，下列说法正确的是（ ）
A．静电计是测量电容器带电量的装置
B．指针的电势与外壳电势相等
C．若薄板是玻璃，则插入后指针的偏角小于插入前
D．若薄板是金属板，则插入后的电容小于插入前
【答案】C
【详解】A．静电计是测量电容器两板间电压的装置，不是测量电容器带电量的装置，故A 错误；
B．静电器指针与外壳绝缘，指针的电势等于右极板的电势，外壳的电势等于左板的电势，则两者的电势
不相等，故B 错误；
C．若薄板是陶瓷，则插入后电容增大，电量不变，电压减小，指针的偏角变小，故C 正确；
D．若薄板是金属板，相当于变成两个电容器，每个电容器的间距变成原来的一半，每个电容器的电容变
为原来的两倍，即插入后的电容大于插入前，故D 错误。
故选C。
电荷在电场中的运动
22．（2024·德阳一模）如图所示，一根轻质的不可伸长的细线两端分别系在水平天花板上的A、B 两点，
有一质量及大小均不计的光滑动滑轮跨在细线上，滑轮通过绝缘细线悬挂一带正电且可视为质点的物块。
空间存在竖直向下的匀强电场，物块处于静止状态。现将电场强度方向由竖直向下缓慢逆时针转动到水平
向右，A、B 间细线的张力大小为F1，滑轮与物块之间细线张力大小为F2，则（ ）
A．F1逐渐增大
B．F1逐渐减小
C．F2逐渐增大
D．F2先减小后增大
【答案】B
【详解】一根绳上的力大小处处相等，则初始时合力的方向为竖直向下，则设A、B 间细线与竖直方向夹
角为θ，则
初始时，物块受到的重力和电场力之和（看作等效重力）等于滑轮与物块之间细线张力
AB 绳上的张力
随着电场强度方向由竖直向下缓慢逆时针转动到水平向右，电场力也逐渐逆时针转动到水平向右，随着电
场力和重力夹角增大，等效重力G′逐渐减小，即F2逐渐减小，AB 细绳与等效重力方向之间的夹角也在逐
渐减小，如图中θ′，则cosθ′ > cosθ，可知F1在逐渐减小。
故选B。
23．（2024·四川一模）如图所示，在水平面上A、B 物块通过轻弹簧相连，其中A 物体带电量为+q、质量
为m1，B 物体不带电、质量为m2，弹簧劲度系数为k，原长为L。水平面处于水平向右的匀强电场中，电
场强度为E，A、B 一起向右做匀加速直线运动，A、B 与地面的动摩擦因数均为μ，则此时A、B 的距离
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】A、B 一起向右做匀加速直线运动，对A、B 和轻弹簧看成一个整体进行分析，则有
得
A、B 一起向右做匀加速直线运动，对B 进行分析，则有
而
联立解得
故选C。
24．（2024·四川一模）三角形OPN 是一光滑绝缘斜面，斜面足够长，斜面倾角为
，以O 点为坐标原点，
沿斜面向下为
轴正方向，如图1 所示，沿斜面加一静电场，其电场强度
随
变化的关系如图2 所示，
设
轴正方向为电场强度的正方向。现将一质量为
，电荷量为
的带电小球从O 静止释放，且小球释放
后沿斜面向下运动，已知
。则下列说法正确的是（ ）
A．小球一定带负电
B．小球在
处的动能为
C．小球沿斜面向下运动过程中最大速度为
D．小球沿斜面向下运动的最大位移为
【答案】AC
【详解】A．由题知，取沿斜面向下为
轴正方向，故最开始的电场强度方向沿斜面向上，若小球带正电，
则最开始所受电场力沿斜面向上，又
大于重力沿斜面向下的分力
，故小球刚开始不
可能沿斜面向下运动，所以小球带负电，故A 正确；
B．当小球运动
处时，电场强度为0，根据动能定理有
解得此时的动能为
故B 错误；
C．小球沿斜面向下运动过程中，当有最大速度时加速度为零，则有
解得
由图2 可知，设此时电场强度对应的横坐标为x，则有
解得
从最开始到最大速度，根据动能定理有
解得
故C 正确；
D．当小球的速度为零时，小球沿斜面向下运动到最大位移，设为
，对应的电场强度为
，由图2 可知
从最开始运动到最大位移，根据动能定理有
联立解得
故D 错误。
故选AC。
25．（2024·凉山一模）如图所示，在竖直平面内建立直角坐标系xoy，整个空间存在平行xoy 平面与y 轴
正方向成45°角的匀强电场E。质量为m 的带电小球从坐标原点O 沿x 轴的正方向以速度v 水平抛出，经过
一段时间小球以
v 的速度穿过y 轴正半轴某点（图中未画出），不计空气阻力，则（ ）
A．小球可能带负电
B．小球所受电场力的大小为
mg
C．小球电势能最大时动能最小
D．小球电势能最大时水平速度等于竖直速度
【答案】BD
【详解】A．从抛出到穿过y 轴正半轴的过程中，重力做负功，动能增加，电场力做正功，小球沿着电场
线的方向运动了一段距离，因此小球带正电，A 错误；
B．将电场强度分解到水平方向和竖直方向，则在水平方向上
在竖直方向上
而
联立解得
B 正确；
CD．小球抛出后，当速度方向与电场线垂直斜向上时，克服电场力做功最多，电势能最大，此时电场力
的方向与速度方向垂直，而重力的方向与速度方向夹角为钝角，接下来小球的速度会继续减小，并非此时
是动能最小的时刻，C 错误，D 正确。
故选BD。
26．（2024·成都一模）如图所示，竖直平面内有固定的光滑绝缘圆形轨道，匀强电场的方向平行于轨道平
面水平向左，
分别为轨道上的最高点和最低点，
是轨道上与圆心
等高的点。质量为
、电
荷量为
的带正电的小球（可视为质点）在轨道内能做完整的圆周运动，已知重力加速度为
，电场强度
大小
，则下列说法正确的是（ ）
A．小球在轨道上运动时，动能最小的位置在
之间，且此处小球的电势能最大
B．小球在轨道上运动时，机械能最小的位置在
点
C．小球经过
两点时所受轨道弹力大小的差值为
D．小球经过
两点时所受轨道弹力大小的差值为
【答案】BC
【详解】本题考查带电物体在重力场和电场中的运动。对于竖直面内的圆周运动，当只处于重力场中时，
最高点、最低点是比较好确定的，本题小球处于重力与电场力的复合场中，合力不沿竖直方向，所以“等
效最高点”与“等效最低点”的位置就发生了变化，是平行于合力方向的直径与圆的两个交点，在最高点
的动能最小，最低点的动能最大，要想恰好完成完整的圆周运动，在最高点必须恰好满足重力与电场力的
合力提供向心力。
【解答】A．设小球所受重力与电场力的合力与
方向的夹角为
，则有
故等效最低点在
之间，等效最高点在
之间。根据圆周运动的规律，小球在等效最高点时动能最小，
小球从
运动
的过程中电场力做正功，电势能减小，故小球电势能最大的位置在
点，故A 错误；
B．小球在轨道上运动的过程中，总能量守恒，小球在
点的电势能最大，故小球在
点时的机械能最小，
故B 正确；
CD．设圆形轨道的半径为
，在
点有
在
点有
根据动能定理，小球从
运动到
有
联立解得
故C 正确，D 错误。
故选BC。
27．（2024·成都一模）如图甲所示，真空中有一平行板电容器水平放置，两极板所加电压如图乙所示，板
长
，板间距为d。
时，带电粒子
靠近下极板，从左侧以
的速度水平射入，
粒子恰好不会
打在上极板上。若质量和电量相同的
粒子以
的水平速度从相同位置射入，恰好从下极板的右侧边缘
飞离极板，粒子可视为质点且不计重力。下列说法正确的是（ ）
A．
粒子飞离极板时的速度等于进入时的速度
B．
粒子飞离极板时竖直偏移量为
C．
粒子进入极板的时刻可能为
D．
粒子进入极板的时刻可能为
【答案】ABC
【详解】A．加电场后，竖直方向上的加速度大小为
变换电场方向时速度大小为
时变换电场方向，做减速运动，则经过
速度减为0，后从
反
向加速速度大小为
如图所示
由于
，可知粒子飞离极板所需时间为
则由
图可知
粒子飞离极板时竖直方向的分速度为零，
粒子飞离极板时的速度与进入时相同，故A
正确；
B．由竖直方向的速度图像可得，从
到
竖直方向的位移
从
到
竖直方向的位移
a 粒子飞离极板时竖直偏移量
故B 正确；
CD．设极板长度为l，a 粒子在水平方向的位移
设
粒子在电场中运动时间为
，其水平方向的位移
解得
设
内的时刻，
粒子从下极板左端下边缘进入电场，然后从下极板右端边缘飞离极板，则
解得
故C 正确，D 错误。
故选ABC。
28．（2024·成都一模）如图所示，用绝缘支架将带电荷量为+Q 的小球a 固定在O 点，一粗糙绝缘直杆与
水平方向的夹角θ=30°，直杆与小球a 位于同一竖直面内，杆上有A、B、C 三点，C 与O 两点位于同一水
平线上，B 为AC 的中点，OA=OC=L。小球b 质量为m，带电荷量为–q，套在直杆上，从A 点由静止开始
下滑，第一次经过B 点时速度为v，运动到C 点时速度为0。在+Q 产生的电场中取C 点的电势为0，重力
加速度为g，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确 的是（ ）
A．小球a 在A、B 两点处产生的电场强度大小之比为1：2
B．小球b 从A 点到C 点过程中产生的内能为
mgL
C．小球b 的电势能最小值为–
mv2
D．小球b 到C 点后又能从C 点返回到A 点
【答案】C
【详解】A．小球a 在A、B 两点处产生的电场强度大小之比为
A 错误；
B．小球b 从A 点到C 点过程中由能量守恒定律得
即产生的内能为
，B 错误；
D．根据点电荷周围产生的电场和电势对称分布可知，A 点和C 点的电势相等，则小球b 从A 到C 点电场
力做功为零，由动能定理有
可得
而从C 点假设能回到A 点，有
到达A 点的动能为负，故小球不能回到A 点，D 错误；
C．小球在B 点左右两侧关于B 点对称的点的支持力相等，因此摩擦力相同，即AB 段和BC 段摩擦力做功
相等， B 点离正场源电荷最近，且电势最高，则负电小球b 在B 点的电势能最低，由动能定理有
结合
可知，小球b 的电势能最小值为
，C 正确；
故选C。
29．（2024·雅安一模）如图所示，倾角
的绝缘倾斜传送带
长
，以
的速度顺
时针匀速转动，传送带与半径可调的绝缘竖直光滑圆弧轨道
平滑连接，其中
段为光滑管道，对
应圆心角
点所在半径始终在竖直方向上，过
点的竖直虚线右侧空间（包含虚线边界）存在水
平向右的匀强电场，电场强度
。一带电小物块在传送带最上端
处无初速释放后，沿传送
带运动。已知小物块的质量
、电量
，与传送带间的动摩擦因数
，整个过程
中小物块电量始终保持不变，忽略空气阻力，取重力加速度
。
(1)求小物块第一次到达
点时的速度大小；
(2)当轨道半径
，求小物块经过
点瞬间对圆弧轨道的压力大小；
(3)要使小物块第一次沿圆弧轨道向上运动过程中，不脱离轨道也不从
点飞出，求圆轨道半径
的取值范
围。
【答案】(1)
(2)
(3)
；
【详解】（1）对物体受力分析，由牛顿第二定律得
代入数据得
假设物块与传送带共速，则共速时间
，则
则该过程中物块沿传送带下滑的位移为
，则
物块与传送带 后，所受摩擦力发生突变，对物块受力分析，由牛顿第二定律得
代入数据得
对两者共速之后物块到
点的过程，由运动学公式
代入数据得
（2）对物块在
点时受力分析，受重力、电场力和支持力，如下图所示
设电场力和重力的合力为
,其方向与竖直方向的夹角为
，设此力为等效重力，则由勾股定理
由几何关系
即
即
点为接下来做圆周运动的最低点，则过
点和圆心的反向延长线，交于圆周点，为等效最高点。
在
点，设物体的支持力为
，由向心力公式
联立各式代入数据得
由牛顿第三定律可知，小物块经过
点瞬间对圆弧轨道的压力大小
。
（3）过圆心做直径
的垂线交于圆周于
点，如下图
则由分析可知，当小物块第一次沿圆弧轨道到达
点时，速度为零，小物块不脱离轨道也不从
点飞出，
由动能定理可知
代入数据得
即圆轨道半径的取值范围为
由分析可知，当圆轨道半径较小时，小物块第一次沿圆弧轨道点时，速度为零，小物块不脱离轨道也不
从
点飞出，由动能定理可知
代入数据得
即圆轨道半径的取值范围为
假设第一次沿圆弧轨道到达
点时, 与轨道之间弹力为零，设此时速度为
，则
由动能定理可知
代入数据得
即圆轨道半径的取值范围为
30．（2024·攀枝花一模）如图所示，高
的光滑倾斜轨道
与长
的粗糙水平轨道
在
B 点处平滑连接，半径
的光滑四分之一圆弧轨道
与水平轨道相切于C 点，整个轨道处在同一
竖直平面内，B 点所在竖直面
右侧存在水平向右的匀强电场。绝缘带电滑块P、Q 分别位于倾斜轨道的
顶端和水平轨道的最左端，滑块Q 恰能保持静止。由静止释放滑块P，经一段时间后与Q 发生碰撞。已知
P、Q 的质量分别为
、
，与水平面之间的动摩擦因数
均为0.2，Q 的电荷量
，重力加速度
取
，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，碰撞过程时间极短且无机械能
损失和电荷转移，P、Q 可视为质点，求：
(1)匀强电场的场强大小
；
(2)滑块Q 碰后上升的最大高度
。
【答案】(1)
V/m
(2)0.84m
【详解】（1）对Q，由平衡条件有
代入数据得:
V/m
（2）设滑块P 刚到斜面底端时的速度大小为
，对滑块从A 到B，由动能定理有
滑块P、Q 在B 点发生弹性碰撞，有
对滑块Q 从B 点到D 点，由动能定理有
滑块Q 从D 点飞出后在竖直方向上做竖直上抛运动，一直到最高点有
解得
H=0.84 m
31．（2024·自贡一模）如图所示，完全相同的极板
，其长度
，平行正对相距
，水
平放置，外接电压为
的恒压电源，
为极板右边界，
的右侧竖直放置着一个光滑绝缘圆弧轨道
点在
上，圆弧
对应的圆心角为为
四分之一的圆弧，圆弧半径
，且半径
水平，竖直半径
的右侧有一足够大的水平向右的匀强电场，电场强度大小为
。现有一带电
小球以大小为
的水平速度从极板左边界飞入极板
之间，飞离极板时恰好从
点沿圆弧切
线方向进入轨道。已知小球质量
，带电荷量
，重力加速度
取
，
，不计空气阻力。求：（结果可用根式表示）
(1)求
之间电压
(2)小球在
右侧运动过程中离
点多高的时候速度最小，最小速度为多少？
(3)小球在
右侧运动过程中，将通过
连线上的
点（未画出），则小球通过
点时的速度为多少？
【答案】(1)
(2)
，
(3)
【详解】（1）根据题意可知，小球过
点时的竖直分速度
由
由牛顿第二定理得
在电场中
联立求得
（2）在
点，有
从
到
，由机械能守恒定律知
从
到
，由动能定理知
右侧有电场，等效重力为
方向
斜向右下方，则有
设速度最小时，小球在
点，则从
到
，在竖直方向，根据速度一位移公式有
故
（3）从C 到D，小球的运动时间为
由运动学知识可知
有C 到D，由动能定理知
得
32．（2024·四川一模）如图所示，绝缘水平面右侧锁定有一水平绝缘台阶，其上固定有两平行正对金属薄
板A、B，相距为d，台阶左侧有一小车，小车上表面绝缘且与台阶齐平，小车与台阶紧贴无粘连，车上固
定有两平行正对金属薄板C、D，相距也为d，车和C、D 板总质量为m，一质量为m 的金属小球（视为质
点）紧贴A 板下端，此时小球电荷量为q，静止释放，不计一切摩擦，B 板和C 板下端开有略大于小球直
径的小孔，A、B、C、D 板均带电，仅考虑A、B 板之间形成的电场
和C、D 板之间形成的电场
，且
，忽略边缘效应，求：
（1）小球经过B 板时速度大小；
（2）小球经过C 板小孔的同时撤去小车右边的所有装置，并关闭C 板下端小孔，在小球第一次从C 板运
动到D 板的过程，小车对地位移的大小；
（3）在第二问基础上，设小球与D 板碰撞时间极短且无机械能损失，同时小球立即带上与该板同种的电
荷，电荷量仍为q，两板的带电量可认为不变，试推出相邻的两次碰撞之间的时间间隔需满足的规律。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
（n 取正整数）
【详解】（1）小球经过B 板时速度大小为
，对小球从A 板到B 板的过程中，由动能定理
可得，小球经过B 板时速度大小为
（2）设小球在A、B 板之间运动时的加速度大小为
，在C、D 板之间运动时的加速度大小为
，小车运
动的加速度大小为
，对小球和小车分别受力分析，由牛顿第二定律可得，在A、B 之间运动时，对小球
有
在C、D 之间运动时，对小球有
由牛顿第三定律可知小车受到的反作用力F 与小球受到的电场力等大反向，则对小车有
联立可得
为简化令
，设小球在A、B 板之间运动的时间为
，第一次从C 到D 板的运动时
间为
，由运动学规律得，小球在A、B 板之间运动的位移为
联立可得
小球在第一次从C 运动到D 板过程中，小球和小车的位移大小关系满足
其中
整理可得
或
（舍去）
由运动学规律，在小球第一次从C 板运动到D 板的过程中，小车对地位移大小为
其中
对比可得
（3）设小球从C 板下端小孔进入时刻为计时起点，第一次与板相碰时刻为
，第二次相碰时刻为
，……
第n 次相碰时刻为
，由题意可知小球第一次与D 相碰后再与C 相碰的时间为第一个时间间隔，可得出第
一个相邻碰撞之间时间间隔为
第二个相邻碰撞之间时间间隔为
设小球与板碰撞前小球和车的速度分别为
、
，碰后小球和小车的速度分别为
、
，当小球进入
小车后，小球和小车构成的系统由于所受合外力为零，对碰撞前后由动量守恒定律得
由机械能守恒定律得
联立解得
，
两者速度发生交换，由题意分析得，小球进入C 板小孔后，小球与板碰撞前后小球和小车的加速度大小不
变均为
，方向反向，作出小球进入C 板小孔后小球和小车的速度—时间图像如下
由位移关系可知，小球从一块板到另一块板的过程，小球和小车路程之和为d，由运动学公式和图像物理
意义可得：在
时间内有
在
时间内有
由时间关系可知
联立解得
其中n 取正整数。
33．（2024·南充一模）如图，足够长的光滑绝缘水平台面左端固定一被压缩的绝缘轻质弹簧，一个质量
的可视为质点的带电小球与弹簧接触但不栓接，小球带电荷量
。某一瞬间释放弹
簧弹出小球，小球从水平台面右端
点飞出，恰好能以
的速率没有碰撞地落到粗糙倾斜轨道的最
高点
，并沿轨道滑下。已知倾斜轨道与水平方向夹角为
、倾斜轨道长为
，带电小球与
倾斜轨道间的动摩擦因数
。倾斜轨道通过光滑水平轨道CD 与半径
的光滑过山车模型的竖
直圆轨道相连，小球在
点没有机械能损失，运动过程小球的电荷量保持不变。竖直圆轨道处在范围足够
大的竖直向下的匀强电场中，圆轨道上的一点
位于圆轨道最低点
的右侧，距水平轨道高为
（
，
，取
）。求：
（1）AB 间的竖直距离及被释放前弹簧的弹性势能
；
（2）要使小球不脱离轨道（水平轨道足够长），电场强度
所满足的条件；
（3）如果
，小球进入轨道后，能够通过
点的次数。
【答案】（1）0.45m，0.4J；（2）
或
；（3）4 次
【详解】（1）小球从
到
做平抛运动，
点处竖直分速度
点处速度
由自由落体运动公式可得
弹簧的弹性势能
（2）若小球恰能到达圆轨道最高点时速度
满足
小球从
恰好运动到圆轨道最高点时，由动能定理得
解得
若小球从
恰好运动到圆轨道圆心等高处时，由动能定理得
解得
可知电场强度
所满足的条件
或
（3）小球从
点到达圆轨道上最大高度
处的过程中，由动能定理可得
解得
小球从第一次所能到达的圆轨道上最大高度
处滑下后，冲上斜面到达斜面最大高度处的过程中
小球从斜面最大高度处滑下，第二次到达圆轨道上最大高度
处的过程中
可得
则有
当
时，可知
故小球能够通过
点4 次。
34．（2024·南充一模）如图，竖直平面内存在竖直向上、电场强度大小为E 的匀强电场，绝缘水平地面与
圆心为O、半径为R 的竖直固定的半圆形绝缘轨道AB 平滑相接于A 点。一质量为m、电荷量为q 的带正电
的光滑小球在水平面上以大小为
的速度向右运动，小球经A 点沿轨道向上运动，恰好能通过B 点。已知
，小球可视为质点，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．小球通过B 点时的速度大小为
B．
的大小为
C．小球从脱离半圆轨道至落地，在空中运动的时间为
D．小球落地前一瞬间速度与竖直方向夹角的正切值为
【答案】BD
【详解】A．小球恰好能通过B 点，则轨道对小球的支持力恰好为零，根据其受力情况结合牛顿第二定律
可得
结合题意，解得B 点的速度为
故A 错误；
B．小球从A 到B 的过程中，由动能定理可得
代入数据可得
故B 正确；
C．小球脱离轨道后做类平抛运动，在竖直方向上有
，
代入数据可得
故C 错误；
D．小球落地瞬间竖直方向速度为
小球在空中运动时，水平方向做匀速运动，故小球落地前一瞬间速度与竖直方向夹角的正切值为
故D 正确。
故选BD。
35．（2024·自贡一模）如图，在竖直平面内，固定有半径R1=1m 和半径R2=0.3m 的光滑圆形轨道，他们轨
道弧长分别占圆周的
和
，圆轨道与水平轨道分别相切于B 点和D 点，且平滑连接。某时刻，让质量为
m1=0.1kg，不带电的绝缘小滑块P 从A 点静止释放，经圆轨道滑至B 点，从B 点进入水平轨道，与静止在
C 点的带电小滑块Q 发生弹性碰撞，滑块Q 的质量为m2=0.1kg，电荷量为q=+1C。整个过程中滑块Q 的电
荷量始终保持不变，滑块P、Q 均可视为质点，与水平轨道BC 间的动摩擦因数均为μ=0.1，BC 间距
x=2m，CD 段光滑。滑块Q 从D 点进入光滑轨道DMN 时，此时加入水平向右范围足够大的匀强电场，场
强大小
。已知重力加速度g=10m/s2。求：
（1）小滑块P 刚到
滑道最低点B 时对圆轨道的压力；
（2）小滑块P 与小滑块Q 碰撞后Q 的速度大小为多少？
（3）通过计算判断当Q 进入光滑绝缘半圆轨道DMN 后是否会脱离轨道？若不会，则求经过N 点的速度大
小；若会，试求Q 离开半圆轨道时的速度大小为多少？（计算结果可用根式表示）
【答案】（1）3N，方向竖直向下；（2）
；（3）会，
【详解】（1）设P 从A 到B 点时的速度为v1，A 到B 过程中由动能定理得
代入数据解得
在B 点，由牛顿第二定律得
代入数据解得
由牛顿第三定律得：对圆轨道的压力大小为3N，方向：竖直向下
（2）设P 运动到C 时的速度为v2，B 到C 过程中由动能定理得
设P 与Q 碰撞后的速度分别为v3、v4，由动量守恒定律和机械能守恒定律得
联立以上方程并代入数据解得碰撞后Q 的速度大小为
（3）假设Q 进入轨道DMN 后不会脱离轨道，并设经过N 点的速度大小为vN，此时受到轨道的弹力为F，
由牛顿第二定律和动能定理得
C 到N 过程中
代入数据解得
则假设不成立；
说明Q 会脱离轨道
设Q 在S 点脱离轨道时的速度大小为v5，
，由牛顿第二定律和动能定理得
C 到S 过程中
联立以上方程并代入数据解得Q 离开轨道时的速度大小为
36．（2024·凉山一模）如图所示，两个等高滑板C、D 放在粗糙水平面上，相距L=2m。底面粗糙的小物
块A 带电量为+0.2C，质量mA=2kg，放在C 板上某处，A 与C、D 板间动摩擦因数均为μ1=0.5。底面光滑
的小物块B 放在D 板左端，B、C、D 均不带电且绝缘，质量均为m=1kg，C、D 板与地面间动摩擦因数均
为μ2=0.2。初始时A、B、C、D 都静止，现加一水平向右的匀强电场E=110N/C，一段时间后，C 与D 相
碰粘在一起，同时A 与B 也正好相碰，A 与B 碰撞时间极短，且没有机械能损失。之后，A 与B 能够在D
板上再次相碰，g 取10m/s2。求：
（1）碰撞前A、C 的加速度分别为多大；
（2）碰撞后A、B 的速度分别为多少；
（3）A 与B 发生两次碰撞时间内，整个系统摩擦产生的热。
【答案】（1）
，
；（2）2m/s，8m/s；（3）160J
【详解】（1）A 与C 之间的滑动摩擦力大小
碰撞前A 的加速度
C 板与地面间的滑动摩擦力大小
碰撞前C 的加速度
（2）根据
得从C 开始运动到C 与D 相碰需要时间
此时A 速度
A 与B 相碰，根据动量守恒
根据能量守恒
联立解得，碰撞后A、B 的速度分别为
（3）设C 与D 碰前的速度为
，碰后C 与D 的共同速度为
，则
得
由于
所以，C、D 板碰撞后粘在一起，以共同速度
做匀速直线运动。又由于碰后C 与D 的共同速度
所以A 和B 都相对C、D 向右滑动。A 做初速度为
加速度为
的匀加速运动，B 做速度为
的匀速运动。设从A 与B 第一次碰撞到第二次碰撞经过的时间为
，通过的距离都是
，C 与D 一起通过
的距离是为
，则
解得
A 与B 第二次碰撞前，A 与D 板摩擦产生的热为Q，则
C、D 板与地面摩擦产生的热
整个系统摩擦产生的热
