2024 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标I 卷）
数学
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项
是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.已知集合A={x|-5<x3<5},B={-3,-1,0,2,3},则A∩B=( )
A.{-1,0}
B.{2,3}
C.{-3,-1,0}
D.{-1,0,2}
【答案】 A
【解析】 解法一(直接法):因为A={x|-3√5<x<3√5},B={-3,-1,0,2,3},且注意到1<3√5<2,所以A∩B={-1,0}.故选
A.
解法二(验证法):由题意可知-1∈B,(-1)3=-1∈A;0∈B,03=0∈A,所以A∩B={-1,0},故选A.
2.若z
z -1=1+i,则z=( )
A.-1-i
B.-1+i
C.1-i
D.1+i
【答案】 C
【解析】 解法一(解方程法):因为z
z -1=1+i,所以z=(z-1)(1+i),即z=z-1+zi-i,即zi=1+i,所以z=1+i
i
=(1+i)(-i)
i(-i)
=1-i,故选C.
解法二(取倒数法):因为z
z -1=1+i,所以z -1
z
= 1
1+i ,即1-1
z =
1-i
(1+i)(1-i)=1
2-1
2i,即1
z =1
2+1
2i=1+i
2 ,所以z= 2
1+i
=1-i,故选C.
3.已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x=( )
A.-2
B.-1
C.1
D.2
【答案】 D
【解析】 解法一(向量法+坐标法):因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,即b2=4a·b.因为a=(0,1),b=(2,x),所以
b2=4+x2,a·b=x,得4+x2=4x,所以(x-2)2=0,解得x=2.故选D.
解法二(坐标法):因为a=(0,1),b=(2,x),所以b-4a=(2,x)-4(0,1)=(2,x)-(0,4)=(2,x-4).因为b⊥(b-4a),所以
b·(b-4a)=0,所以2×2+x(x-4)=0,所以(x-2)2=0,解得x=2,故选D.
4.已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)=( )
A.-3m
B.-m
3
C.m
3
D.3m
【答案】 A
【解析】 由tan αtan β=2,得sin α sin β
cos α cos β =2,即sin αsin β=2cos αcos β,由cos(α+β)=cos αcos β-sinαsin β=m,
可得cos αcos β=-m,sin αsin β=-2m,所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-3m.故选A.
5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为√3,则圆锥的体积为( )
A.2√3π
B.3√3π
C.6√3π
D.9√3π
【答案】 B
【解析】 设圆柱和圆锥的底面半径均为r,因为它们的高均为√3,且侧面积相等,所以2πr×√3=πr√(√3)
2+r
2
,得r2=9,所以圆锥的体积V=1
3πr2×√3=3√3π.故选B.
6.已知函数f(x)={
- x
2-2ax -a, x<0,
e
x+ ln( x +1), x ≥0 在R 上单调递增,则a 的取值范围是( )
A.(-∞,0]
B.[-1,0]
C.[-1,1]
D.[0,+∞)
【答案】 B
【解析】 因为函数f(x)在R 上单调递增,且当x<0 时,f(x)=-x2-2ax-a,所以f(x)=-x2-2ax-a 在(-∞,0)上单调递增,
所以-a≥0,即a≤0;当x≥0 时,f(x)=ex+ln(x+1),所以函数f(x)在[0,+∞)上单调递增.若函数f(x)在R 上单调递增,
则-a≤f(0)=1,即a≥-1.综上,实数a 的取值范围是[-1,0].故选B.
7.当x∈[0,2π]时,曲线y=sin x 与y=2sin(3 x - π
6)的交点个数为( )
A.3
B.4
C.6
D.8
【答案】 C
【解析】 因为函数y=2sin(3 x - π
6)的最小正周期T=2π
3 ,所以函数y=2sin(3 x - π
6)在[0,2π]上的图象恰好
是三个周期的图象,所以作出函数y=2sin(3 x - π
6)与y=sin x 在[0,2π]上的图象如图所示,由图可知,这两个图
象共有6 个交点,故选C.
8.已知函数f(x)的定义域为R,f(x)>f(x-1)+f(x-2),且当x<3 时,f(x)=x,则下列结论中一定正确的是( )
A.f(10)>100
B.f(20)>1 000
C.f(10)<1 000
D.f(20)<10 000
【答案】 B
【解析】 因为当x<3 时,f(x)=x,所以f(1)=1,f(2)=2.对于f(x)>f(x-1)+f(x-2),令x=3,得f(3)>f(2)+f(1)=2+1=3;令
x=4,得f(4)>f(3)+f(2)>3+2=5;依次类推,得
f(5)>f(4)+f(3)>5+3=8;f(6)>f(5)+f(4)>8+5=13;f(7)>f(6)+f(5)>13+8=21;f(8)>f(7)+f(6)>21+13=34;f(9)>f(8)+f(7)>34+
21=55;f(10)>f(9)+f(8)>55+34=89;f(11)>f(10)+f(9)>89+55=144;f(12)>f(11)+f(10)>144+89=233;f(13)>f(12)+f(11)>
233+144=377;f(14) >f(13)+f(12)>377+233=610;f(15)>f(14)+f(13)>610+377=987;….显然f(16)>1 000,所以
f(20)>1 000,故选B.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0 分.
9.随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入(单
位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值x=2.1,样本方差s2=0.01.已知该种植区
以往的亩收入X 服从正态分布N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入Y 服从正态分布N(x,s2),则( ).(若随机
变量Z 服从正态分布N(μ,σ2),则P(Z<μ+σ)≈0.8 413)( )
A.P(X>2)>0.2
B.P(X>2)<0.5
C.P(Y>2)>0.5
D.P(Y>2)<0.8
【答案】 BC
【解析】 由题意可知,X~N(1.8,0.12),所以P(X>2)<P(X>1.8)=0.5,P(X<1.9)≈0.841 3,所以P(X>2)<P(X≥1.9)=1-
P(X<1.9)≈1-0.841 3=0.158 7<0.2,所以A 错误,B 正确.因为Y~N(2.1,0.12),所以P(Y<2.2)≈0.841
3,P(Y>2)>P(Y>2.1)=0.5,所以P(2<Y<2.1)=P(2.1<Y<2.2)=P(Y<2.2)-P(Y≤2.1)≈0.841 3-0.5=0.341 3,所以
P(Y>2)=P(2<Y<2.1)+P(Y≥2.1)≈0.341 3+0.5=0.841 3>0.8,所以C 正确,D 错误.综上,选BC.
10.设函数f(x)=(x-1)2(x-4),则( )
A.x=3 是f(x)的极小值点
B.当0<x<1 时,f(x)<f(x2)
C.当1<x<2 时,-4<f(2x-1)<0
D.当-1<x<0 时,f(2-x)>f(x)
【答案】 ACD
【解析】 因为f(x)=(x-1)2(x-4),所以f'(x)=2(x-1)(x-4)+(x-1)2=3(x-1)(x-3),令f'(x)=0,解得x=1 或x=3,当x<1 或
x>3 时,f'(x)>0,当1<x<3 时,f'(x)<0,所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,1),(3,+∞),单调递减区间为(1,3),故x=1 是
函数f(x)的极大值点,x=3 是函数f(x)的极小值点,所以A 正确.当0<x<1 时,x-x2=x(1-x)>0,即0<x2<x<1,又函数
f(x)在(0,1)上单调递增,所以f(x2)<f(x),所以B 错误.当1<x<2 时,1<2x-1<3,函数f(x)在(1,3)上单调递减,所
以-4=f(3)<f(2x-1)<f(1)=0,所以C 正确.当-1<x<0 时,f(2-x)-f(x)=(2-x-1)2(2-x-4)-(x-1)2(x-4)=(x-1)2(-x-2)-
(x-1)2(x-4)=(x-1)2(-2x+2)=-2(x-1)3>0,所以f(2-x)>f(x),所以D 正确.综上,选ACD.
11.设计一条美丽的丝带,其造型
可以看作图中的曲线C 的一部分,已知C 过坐标原点O,且C 上的点满足：
横坐标大于-2,到点F(2,0)的距离与到定直线x=a(a<0)的距离之积为4,则( )
A.a=-2
B.点(2√2,0)在C 上
C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1
D.当点(x0,y0)在C 上时,y0≤
4
x0+2
【答案】 ABD
【解析】 因为坐标原点O 在曲线C 上,所以2×|a|=4,又a<0,所以a=-2,所以A 正确.因为点(2√2,0)到点
F(2,0)的距离与到定直线x=-2 的距离之积为(2√2-2)(2√2+2)=4,所以点(2√2,0)在曲线C 上,所以B 正确.设
P(x,y)(x>0,y>0)是曲线C 在第一象限的点,则有√( x -2)
2+ y
2(x+2)=4,所以y2=
16
( x +2)
2-(x-2)2,令f(x)=
16
( x +2)
2-
(x-2)2,则f'(x)=-
32
( x +2)
3-2(x-2),因为f(2)=1,且f'(2)<0,所以函数f(x)在x=2 附近单调递减,即必定存在一小区间
(2-ε,2+ε)使得f(x)单调递减,所以在区间(2-ε,2)上均有f(x)>1,所以P(x,y)的纵坐标的最大值一定大于1,所以C
错误.因为点(x0,y0)在C 上,所以x0>-2 且√( x0-2)
2+ y0
2(x0+2)=4,得y0
2=
16
( x0+2)
2-(x0-2)2≤
16
( x0+2)
2,所以y0≤|y0|
≤√
16
( x0+2)
2=
4
x0+2,所以D 正确.综上,选ABD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12.设双曲线C: x
2
a
2- y
2
b
2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作平行于y 轴的直线交C 于A,B 两点,若|
F1A|=13,|AB|=10,则C 的离心率为________.
【答案】 3
2
【解析】 解法一(直接法):由|AB|=10 及双曲线的对称性得|AF2|=| AB|
2
=5,因为|AF1|=13,所以2a=|AF1|-|AF2|
=13-5=8,2c=|F1F2|=√|A F1|
2-|A F2|
2=√13
2-5
2=12,所以a=4,c=6,则C 的离心率e=c
a=6
4 =3
2.
解法二(二级结论):因为|AB|=10,所以2b
2
a =10,所以b
2
a =c
2-a
2
a
=5,又|AF1|=13,所以|F1F2|=2c=
√|A F1|
2-(
| AB|
2 )
2
=12,得c=6,所以a2+5a-36=0,得a=4,所以C 的离心率e=c
a=6
4 =3
2.
13.若曲线y=ex+x 在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a 的切线,则a=________.
【答案】 ln 2
【解析】 由题,令f(x)=ex+x,则f'(x)=ex+1,所以f'(0)=2,所以曲线y=ex+x 在点(0,1)处的切线方程为y=2x+1.令
g(x)=ln(x+1)+a,则g'(x)= 1
x +1,设直线y=2x+1 与曲线y=g(x)相切于点(x0,y0),则
1
x0+1=2,得x0=-1
2,则y0=2x0+1=0,
所以0=ln(- 1
2 +1)+a,所以a=ln 2.
14.甲、乙两人各有四张卡片,每张卡片上标有一个数字,甲的卡片上分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标
有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛,在每轮比赛中,两个各自从自己持有的卡片中随机选一张,并比较所选卡片
上数字的大小,数字大的人得1 分,数字小的人得0 分,然后各自弃置此轮所选的卡片(弃置的卡片在此后的轮
次中不能使用).则四轮比赛后,甲的总得分不小于2 的概率为________.
【答案】 1
2
【解析】 因为甲出卡片1 一定输,出其他卡片有可能赢,所以四轮比赛后,甲的总得分最多为3.若甲的总得
分为3,则甲出卡片3,5,7 时都赢,所以只有1 种组合:3-2,5-4,7-6,1-8.若甲的总得分为2,有以下三类情况:第一类,
当甲出卡片3 和5 时赢,只有1 种组合,为3-2,5-4,1-6,7-8;第二类,当甲出卡片3 和7 时赢,有3-2,7-4,1-6,5-8 或
3-2,7-4,1-8,5-6 或3-2,7-6,1-4,5-8,共3 种组合;第三类,当甲出卡片5 和7 时赢,有5-2,7-4,1-6,3-8 或5-2,7-4,1-
8,3-6 或5-4,7-2,1-6,3-8 或5-4,7-2,1-8,3-6 或5-2,7-6,1-4,3-8 或5-2,7-6,1-8,3-4 或5-4,7-6,1-2,3-8,共7 种组合.综
上,甲的总得分不小于2 共有12 种组合,而所有不同的组合共有4×3×2×1=24(种),所以甲的总得分不小于2 的
概率P=12
24 =1
2.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13 分）记△ABC 的内角A,B,C 的对分分别为a,b,c,已知sin C=√2cos B,a2+b2-c2=√2ab.
(1)求B;
(2)若△ABC 的面积为3+√3,求c.
【解】 由余弦定理得cos C=a
2+b
2-c
2
2ab
=√2
2 ,又0<C<π,所以C=π
4 .所以√2cos B=sin C=√2
2 ,所以cos B=1
2,又
0<B<π,所以B=π
3 .
(2)由(1)得A=π-B-C=5 π
12 ,由正弦定理
a
sin A =
c
sin C ,得
a
√2+√6
4
=
c
√2
2
,所以a=1+√3
2
c.所以△ABC 的面积S=
1
2acsin B=1+√3
4
c2×√3
2 =3+√3,得c=2√2.
16.（15 分）已知A(0,3)和P(3, 3
2)为椭圆C: x
2
a
2+ y
2
b
2 =1(a>b>0)上两点.
(1)求C 的离心率;
(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B,且△ABP 的面积为9,求l 的方程.
【解】 (1)由题知{
9
b
2 =1,
9
a
2 + 9
4 b
2 =1,
解得{
a=2√3,
b=3, 所以c=√a
2-b
2=√3,所以C 的离心率e=c
a=1
2.
(2)|PA|=√
3
2+(- 3
2)
2
=3√5
2 ,设点B 到直线PA 的距离为h,则△ABP 的面积为S=1
2|PA|·h=9,解得h=12√5
5
.易
知直线PA:x+2y-6=0,设B(x,y),则{
|x +2 y -6|
√5
= 12√5
5
,
x
2
12 + y
2
9 =1,
解得{
x =0,
y =-3 或{
x =-3,
y =- 3
2 ,所以B(0,-3)或B(-3,- 3
2)
,故l:y=3
2x-3 或y=1
2x.
17.（15 分）如图,四棱锥P-ABCD 中,PA⊥底面ABCD,PA=AC=2,BC=1,AB=√3.
(1)若AD⊥PB,证明:AD∥平面PBC;
(2)若AD⊥DC,且二面角A-CP-D 的正弦值为√42
7 ,求AD.
【解】 (1)由于PA⊥底面ABCD,AD⊂底面ABCD,所以PA⊥AD,又AD⊥PB,PA∩PB=P,PA,PB⊂平面PAB,所
以AD⊥平面PAB,又AB⊂平面PAB,所以AD⊥AB.因为AB2+BC2=AC2,所以AB⊥BC,所以BC∥AD,因为AD⊄
平面PBC,BC⊂平面PBC,所以AD∥平面PBC.
(2)由题意知DC,AD,AP 两两垂直,以D 为坐标原点,AD 所在直线为x 轴,DC 所在直线为y 轴,过点D 且平行于
AP 的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),设A(a,0,0),a>0,则CD=√4 -a
2,C(0,√4 -a
2
,0),P(a,0,2),⃗CD=(0,-√4 -a
2,0),⃗AC=(-a,√4 -a
2,0),⃗CP=(a,-√4 -a
2,2).设平面CPD 的法向量为n=(x,y,z),则
{⃗
CD·n=0,⃗
CP·n=0, 即{
-√4 -a
2 y =0,
ax -√4 -a
2 y +2 z =0,
可取n=(2,0,-a).设平面ACP 的法向量为m=(x1,y1,z1),则
{
m·⃗CP =0,
m·⃗AC =0, 即{
a x1-√4 -a
2 y1+2 z1=0,
-a x1+√4 -a
2 y1=0,
可取m=(√4 -a
2,a,0).因为二面角A-CP-D 的正弦值为√42
7 ,所以余
弦值的绝对值为√7
7 ,故|cos<m,n>|=|m·n|
|m|·|n| =
2√4 -a
2
√4 -a
2+a
2·√4+a
2=√7
7 ,又a>0,所以a=√3,即AD=√3.
18.(17 分)已知函数f(x)=ln x
2- x +ax+b(x-1)3.
(1)若b=0,且f'(x)≥0,求a 的最小值;
(2)证明:曲线y=f(x)是中心对称图形;
(3)若f(x)>-2,当且仅当1<x<2,求b 的取值范围.
【解】 f(x)的定义域为(0,2),若b=0,则f(x)=ln x
2- x +ax,f'(x)=2- x
x
· (2- x)+ x
(2- x)
2 +a=
2
x(2- x)+a,当x∈(0,2)时,
x(2-x)∈(0,1],f'(x)min=2+a≥0,则a≥-2,故a 的最小值为-2.
(2)f(2-x)=ln2- x
x
+a(2-x)+b(1-x)3=-ln x
2- x -ax-b(x-1)3+2a=-f(x)+2a,故曲线y=f(x)关于点(1,a)中心对称.
（3）由题知f(1)=a=-2,此时f(x)=ln x
2- x -2x+b(x-1)3,f'(x)=2- x
x
· (2- x)+ x
(2- x)
2 -2+3b(x-1)2=
2
x(2- x)
-2+3b(x-1)2=(x-1)2[
2
x(2- x) +3b].记g(x)=
2
x(2- x)+3b,x∈(0,2),易知g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,2)上单调递
增,g(1)=2+3b,当b≥-2
3时,g(x)≥0,f'(x)≥0,f(x)在(0,2)上单调递增,又f(1)=-2,故符合题意.当b<-2
3时,
g(1)<0,g(x)=
2
x(2- x)+3b=-3b x
2+6bx +2
x(2- x)
,令g(x)=0,得x=1±√1+ 2
3b
,因为b<-2
3,所以√1+ 2
3b
∈(0,1),故1+
√1+ 2
3b∈(1,2),1-√1+ 2
3b∈(0,1),所以当x∈(1,1+√1+ 2
3b)时,g(x)<0,f'(x)<0,f(x)在(1,1+√1+ 2
3b)上单调递
减,故f(1+√1+ 2
3b)<f(1)=-2,不符合题意.综上,b 的取值范围为[- 2
3 ,+∞).
19.（17 分）设m 为正整数,数列a1,a2,…,a4m+2是公差不为0 的等差数列,若从中删去两项ai和aj(i<j)后剩余的
4m 项可被平均分为m 组,且每组的4 个数都能构成等差数列,则称数列a1,a2,…,a4m+2是(i,j)——可分数列.
(1)写出所有的(i,j),1≤i<j≤6,使得数列a1,a2,…,a6是(i,j)—可分数列;
(2)当m≥3 时,证明:数列a1,a2,…,a4m+2是(2,13)—可分数列;
(3)从1,2,…,4m+2 中一次任取两个数i 和j(i<j),记数列a1,a2,…,a4m+2是(i,j)—可分数列的概率为Pm,证明:Pm>1
8.
【解】 (1)(1,2),(1,6),(5,6).
(2)当m=3 时,删去a2,a13,其余项可分为以下3 组:a1,a4,a7,a10为第1 组,a3,a6,a9,a12为第2 组,a5,a8,a11,a14为第3 组,
当m>3 时,删去a2,a13,其余项可分为以下m 组:a1,a4,a7,a10为第10 组,a3,a6,a9,a12为第2 组,a5,a8,a11,a14为第3 组,
a15,a16,a17,a18为第4 组,a19,a20,a21,a22为第5 组,……,a4m-1,a4m,a4m+1,a4m+2为第m 组,可知每组的4 个数都能构成等
差数列,故数列a1,a2,…,a4m+2是(2,13)—可分数列.
(3)易知a1,a2,…,a4m+2是(i,j)—可分数列⇒1,2,…,4m+2 是(4p+1,4q+2)—可分数列,其中p,q∈{0,1,…,m}.当
0≤p≤q≤m 时,删去4p+1,4q+2,其余项从小到大,每4 项分为1 组,可知每组的4 个数都能构成等差数列,故数
列1,2,…,4m+2 是(4p+1,4q+2)—可分数列,可分为(1,2,3,4),…,(4p-3,4p-2,4p-1,4p),…,(4(q+1)-
1,4(q+1),4(q+1)+1,4(q+1)+2),…,(4m-1,4m,4m+1,4m+2).p,q 的可能取值方法为Cm+1
2
+m+1=(m+1)(m+2)
2
.易知
a1,a2,…,a4m+2是(i,j)—可分数列⇒1,2,…,4m+2 是(4p+2,4q+1)—可分数列,其中p,q∈{0,1,…,m}.当q-p>1 时,删去
4p+2,4q+1,将1~4p 与4q+3~4m+2 从小到大,每4 项分为1 组,可知每组的4 个数成等差数列.考虑
4p+1,4p+3,4p+4,…,4q,4q+2 是否可分,等同于考虑1,3,4,…,4t,4t+2 是否可分,其中t=q-p>1,可分为
(1,t+1,2t+1,3t+1),(3,t+3,2t+3,3t+3),(4,t+4,2t+4,3t+4),…,(t,2t,3t,4t),(t+2,2t+2,3t+2,4t+2),每组4 个数都能构成等
差数列.故数列1,2,…,4m+2 是(4p+2,4q+1)—可分数列,p,q 且q-p>1 的可能取值方法数为Cm+1
2
-m=(m-1)m
2
.从
而Pm≥
(m+1)(m+2)
2
+ (m-1)m
2
C4 m+2
2
= m
2+m+1
8m
2+6m+1
>1
8.
