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7-3 导数与函数的极值、最值
1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.
2.会用导数求函数的极大值、极小值.
3.会求闭区间上函数的最大值、最小值．
7-3 导数与函数的极值、最值......................................................1
一、主干知识................................................................1
考点1：极值的定义：.....................................................2
考点2：极值的性质：.....................................................2
考点3：判别f（x0）是极大、极小值的方法：................................2
考点4：求函数f（x）的极值的步骤：.......................................2
【常用结论总结】.........................................................2
二、分类题型................................................................3
题型一 利用导数求函数的极值问题..........................................4
命题点1 根据函数图象判断极值........................................4
命题点2 求已知函数的极值............................................4
命题点3 已知极值(点)求参数..........................................5
题型二 利用导数求函数最值................................................5
三、分层训练：课堂知识巩固..................................................6
1
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一、主干知识
考点1：极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0 附近有定义，如果对x0 附近的所有的点，都有f（x）＜f
（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y 极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0 附近有定义，如果对x0 附近的所有的点，都有f（x）＞f
（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y 极小值＝f（x0），x0是极小值点．
考点2：极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最
小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值
的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
考点3：判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，
并且如果f′（x）在x0 两侧满足“左正右负”，则x0 是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′
（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
考点4：求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0 的根；
（3）用函数的导数为0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方
程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在
这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
2
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【常用结论总结】
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．
一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也
就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没
有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必
有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续
且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0 的点，但导数为0 的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值
点，也可能不是极值点．
3
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二、分类题型
题型一 利用导数求函数的极值问题
命题点1 根据函数图象判断极值
【例题精析1】
如图为定义在R 上的函数
的图象，则关于它的导函数
的说法错误的是（ ）
A．
存在对称轴
B．
的单调递减区间为
C．
在
上单调递增
D．
存在极大值
【解答】由题可知，
为二次函数，可知函数
的极大值点为
，极小值点为1，可得
，且两根分别是
和1．所以
存在极小值，对称轴
，
单调递减区间为
，单调递增区间为
．A，B，C 正确．故选：D.
4
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【点睛】本题考查根据三次函数的图象研究其导数的性质，考查数形结合思想，属于基础题.
【例题精析2】
（2023·上海松江·校考模拟预测）设a、b、c、d
，若函数
的部分图像如
图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【解答】
，由图象可知，函数有两个极值点，并且函数是先增后减再增，所以极大值点
大于极小值点，所以导函数的图象如图所示，
由导函数的图象可知，
，
，并且极值点的和
，
得
.故选：D
【例题精析3】
（2023 春·福建莆田·高二莆田第二十五中学校考期中）已知函数
的大
致图象如图所示，则（ ）
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A．
B．
C．
D．
所以函数
图象开口方向朝上，且于x 轴有两个交点，故
；又函数
的极大值点
在y 轴左侧，极小值点在y 轴右侧，且极大值点离y 轴较近，所以方程
的两根
满足
，即
，得
，因此
.故选；B.
【对点精练1】
（多选）函数
的定义域为R，它的导函数
的部分图象如图所示，则下面结论
正确的是（ ）
A．在
上函数
为增函数
B．在
上函数
为增函数
C．在
上函数
有极大值
D．
是函数
在区间
上的极小值点
【解答】由图象可知
在区间
和
上
，
递增；在区间
上
，
递减.所以A 选项正确，B 选项错误.在区间
上，
有极大值为
，C 选项正确.在区间
上，
是
的极小值点，D 选项错误.故选：AC
【对点精练2】
（多选）（2023·全国·高三专题练习）如果函数
的导函数
的图象如图所示，
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则以下关于函数
的判断正确的是（ ）
A．在区间
内单调递减
B．在区间
内单调递增
C．
是极小值点
D．
是极大值点
【解答】解：
．函数
在区间
内
，则函数单调递增；故
不正确，
．函数
在区间
的导数为
，
在区间
上单调递增，
正确；
．由
图象知当
时，函数
取得极小值，但是函数
没有取得极小值，故
错误，
．
时，
，当
时，
，
为增函数，
，此时
此时函数
为减函数，则
函数
内有极大值，
是极大值点；故
正确，故选：
．
【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数单调性和导数，极值和导数之间的关系，考查学生的识
图和用图的能力．属于中档题．
【对点精练3】
（2021 秋·安徽马鞍山·高二马鞍山二中校考期末）已知定义在
上的函数
，其导函数
的大致图像如图所示，则下列叙述正确的是（ ）
①
；②函数
在
处取得极小值，在
处取得极大值；
③函数
在
处取得极大值，在
处取得极小值；④函数
的最小值为
.
A．③
B．①②
C．③④
D．④
7
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【解答】由
的图像可得，当
时，
单调递增；当
时，
单调递
减；当
时，
单调递增．
对于①，由题意可得
，所以①不正确．
对于②，由题意得函数
在
处取得极大值，在
处取得极小值，故②不正确．
对于③，由②的分析可得正确．对于④，由题意可得
不是最小值，故④不正确．
综上可得③正确．故选：A．
【点睛】此题考查由导函数的图像判函数的极值和最值，属于基础题.
【对点精练4】
已知函数
，则函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】由题
，
导函数有两个变号零点即原函数有两个极值点
，
且
，只有B 图符合.故选：B.
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命题点2 求已知函数的极值
【例题精析4】
（2023·广西·统考模拟预测）函数
在
处取得极小值，则极小值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【解答】依题意，
，因为函数
在
处取得极小值，则
，解得
，
此时
，当
或
时，
，当
，时
，因此函数
在
上单调递增，在
上单调递减，所以函数
在
处取得极小值
.故选：C
【例题精析5】
（2023·四川成都·统考二模）函数
的极大值为______．
【解答】依题意，因为
，所以
，所以
，
所以在
上，
，
单调递增；在
上，
，
单调递减.所以
在
处取得极大值：
.故答案为：1.
【例题精析6】
（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知实数
成等比数列，且函数
，当
时取到极大值，则
等于______.
【解答】令
，
则函数
的定义域为
，导函数
，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
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所以当
时，函数
取极大值，极大值为，
所以
，故
，
又
成等比数列，所以
，故答案为：
.
【对点精练5】
（2023·全国·高三专题练习）已知函数
的极值点为1，且
，则
的极小值为（ ）
A．
B．
C．b
D．4
【解答】
，
，
，所以
，解得：
，
，
所以
，得
，
时，
，
，
，所以
是函数的极小值点，
.故选：D
【对点精练6】
（2023·全国·高三专题练习）已知函数
的定义域为
，其导函数为
，
，
，则
（ ）
A．无极值
B．有极大值，也有极小值
C．有极大值，无极小值
D．有极小值，无极大值
【解答】由已知
知
，又
，所以
，令
，则
，
又
，令
，
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所以
，
所以
在
上单调递增，又
，
所以当
时，
，
，
单调递减；
当
时，
，
，
单调递增，
所以
的极小值为
，无极大值，故选：D.
【对点精练7】
（2022·山东济南·统考模拟预测）若
是函数
的极值点．则
的极小值为（ ）
A．-3
B．
C．
D．0
【解答】函数
，求导得：
，
因
是函数
的极值点，即
，解得
，
，当
或
时，
，当
时，
，即
是函数
的极值点，函数
在
处取得极小值
.
故选：A
【对点精练8】
函数
在
___处取得极小值，且极小值为___.
【解答】
，则
，
当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增，
则
时
取得极小值，且极小值为
；故答案为：2，
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命题点3 已知极值(点)求参数
【例题精析7】
（2023·吉林延边·统考二模）若函数
在
处有极小值，则的值为______．
【解答】因为
，所以
，又因为函数
在
处有极小
值，所以
，解得
或
，
当
时，
，所以
时，
，
时，
，所以函数
在
处取得极小值；当
时，
，所以
时，
，
时，
，
所以函数
在
处取得极大值，不合题意，舍去， 故答案为：.
【例题精析8】
（2023·广西柳州·高三柳州高级中学校联考阶段练习）已知函数
，若
函数
在
上有极值，则实数a 的取值范围为___．
【解答】因为
，所以
，
为二次函数，且对称轴为
，所以函数
在
单调递增，
则函数
在
单调递增，
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因为函数
在
上有极值，所以
在
有解，
根据零点的存在性定理可知
，即
，
解得
，故答案为：
.
【例题精析9】
（2022·内蒙古赤峰·校考模拟预测）已知函数
在
处取得极值，则
在
上的极小值为______．
【解答】由题意，函数
，可得
，
因为
在
处取得极值，可得
，即
，解得
，
所以
，可得
，
令
，得
或
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以当
时
取得极小值，极小值为
．故答案为：
.
根据函数的极值(点)求参数的两个要领
(1)列式：根据极值点处导数为0 和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；
(2)验证：求解后验证根的合理性．
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【对点精练9】
（2022 秋·湖南邵阳·高三统考期中）已知函数
，若
时，
取得极值0，则
___________.
【解答】由
，得
，
因为
时，
取得极值0，所以
，
，
解得
或
，当
时，
，此时函数在
在
处取不到极
值，经检验
时，函数
在
处取得极值，
所以
，所以
.故答案为：18
【对点精练10】
（2022 秋·辽宁葫芦岛·高三兴城市高级中学校考期末）已知函数
的最小值
为
，函数
的零点与极小值点相同，则
___________.
【解答】由
可得
，
因为
的最小值为
，所以
是
的极值点，所以
，所以
；
当
时，
，由二次函数的性质可知该函数无极小值点，不符合题意；
由
可得
，令
，可得
或
，
当
时，
，由
可得
或
；由
可得
，
所以
在
单调递增，在
单调递减，在
单调递增，
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所以
的极小值点为
，由题意可得
，解得
，此时
；
当
时，当
时，
，不合题意；所以
.故答案为：.
【对点精练11】
（2023·全国·高三专题练习）若函数
在区间
内有极小值，则
的取值
范围为________．
【解答】由
可得
，当
时，
恒成立，所以
在
上单调递增，无极值；当
时，令
可得
或
；
令
可得：
，所以
时，
在
处取得极小值，
若函数
在区间
内有极小值，则
，解得
，综上所述：
的取值范围
为
；故答案为：
.
【对点精练12】
（2023 春·山东聊城·高二校考阶段练习）函数
既有极大值，又
有极小值，则
的取值范围是_________．
【解答】
，
，
因为函数
既有极大值，又有极小值，所以
，
即
，
，解得
或
，故
的取值范围为
，故答案为：
.
题型二 利用导数求函数最值
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【例题精析10】
（北京·高考真题）已知函数
(1)求
的单调减区间；
(2)若
在区间
上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
【解答】（1）由
，求导可得
,
由
，可得
或
，
所以函数
的单调减区间为
，
；
（2）因为
，
令
，解得
或
可得下表：
则
，
分别是
在区间
上的最大值和最小值，
所以
，解得
，
从而得函数
在
上的最小值为
.
【例题精析11】
（2021·北京·统考高考真题）已知函数
．
（1）若
，求曲线
在点
处的切线方程；
（2）若
在
处取得极值，求
的单调区间，以及其最大值与最小值．
【解答】（1）当
时，
，则
，
，
，
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此时，曲线
在点
处的切线方程为
，即
；
（2）因为
，则
，
由题意可得
，解得
，
故
，
，列表如下：
增
极大
值
减
极小值
增
所以，函数
的增区间为
、
，单调递减区间为
.
当
时，
；当
时，
.
所以，
，
.
【例题精析12】
（海南·高考真题）设函数
(1)讨论
的单调性；
(2)求
在区间
的最大值和最小值．
【解答】（1）函数
的定义域为
，
又
.
令
，解得
或
；令
，解得
.
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所以函数
在
上单调递增；在
上单调递减；
（2）由（1）可得：函数
在区间
内单调递减，在
内单调递增.
所以当
时，函数
取得最小值
，
又
，
，
而
，
所以当
时，函数
取得最大值为：
.
即
在区间
上的最大值为
，最小值为
.
(1)求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值
f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值．
(2)若所给的闭区间[a，b]含参数，则需对函数f(x)求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单
调性，从而得到函数f(x)的最值．
【对点精练13】
（湖南·高考真题）已知函数
，其中
，e 为自然对数的底数．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)求函数
在区间
上的最大值．
【解答】（1）
，函数定义域为
，
．
当
时，令
，得
．
若
，则
，从而
在
上单调递增；
18
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若
，则
，从而
在
上单调递减．
当
时，令
，得
，解得
或
，有
．
若
，则
或
，从而
在
和
上单调递减；
若
，则
，从而
在
上单调递增；
（2）由（1）中求得单调性可知，
当
时，
在区间
上单调递增，最大值是
．
当
时，
在区间
上单调递增，最大值是
．
当
时，
在区间
上单调递增，在区间
单调递减，最大值是
．
【对点精练14】
（2021·全国·高考真题）设函数
，其中
.
（1）讨论
的单调性；
（2）若
的图象与
轴没有公共点，求a 的取值范围.
【解答】（1）函数的定义域为
，
又
，
因为
，故
，
当
时，
；当
时，
；
所以
的减区间为
，增区间为
.
（2）因为
且
的图与
轴没有公共点，
所以
的图象在
轴的上方，
由（1）中函数的单调性可得
，
19
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故
即
.
【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转
化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化.
【对点精练15】
（2023·广东佛山·校考模拟预测）已知函数
.
(1)求函数
在区间
上的最小值；
(2)判断函数
的零点个数，并证明.
【解答】（1）
的定义域为
，故
，
令
，
，
当
时，
，
所以
在
上单调递减，且
，
，
所以由零点存在定理可知，在区间
存在唯一的
，使
又当
时，
；当
时，
；
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
又因为
，
，
所以函数
在区间
上的最小值为
.
（2）
有个零点，证明如下：
因为
，
，
若
，
，
20
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所以
在区间
上单调递增，又
，
，
结合零点存在定理可知，
在区间
有且仅有一个零点，
若
，则
，则
，
若
，因为
，所以
，
综上，函数
在
有且仅有一个零点.
【对点精练16】
（2024 秋·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）设函数
，
(1)求
、
的值；
(2)求
在
上的最值．
【解答】（1）因为
，
所以
，取
，则有
，即
；
所以
，取
，则有
，即
．
故
，
．
（2）由（1）知
，
，
则
，
所以
、
与
，
的关系如下表：
0
1
2
0
单调递增
极大值
单调递减
故
，
．
21
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三、分层训练：课堂知识巩固
1．（2023•禅城区模拟）已知函数
有唯一零点，则
A．
B．
C．
D．2
【解答】解：
，
22
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令
，则
为偶函数，图象关于
对称，
若
有唯一零点，则根据偶函数的性质可知
，
所以
．
故选：
．
【点评】本题主要考查了利用偶函数的 对称性求解参数的值，解题的关键是灵活利用偶函数对称性的性
质．
2．（2023•石嘴山一模）若函数
有两个不同的极值点，则实数
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为
有两个不同的极值点，
所以
在
上有2 个不同的零点，且零点两侧异号，
所以
在
有2 个不同的实数根
，
，且根据二次函数的性质可知这两根的两侧函数
值异号，
所以
，解得
．
故选：
．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于中档题．
3．（2023•翠屏区校级模拟）若函数
在
处有极大值，则实数
的值为
A．1
B．
或
C．
D．
【解答】解：函数
，
，
函数
在
处有极大值，可得
（1）
，解得
或
，
当
时，
，
23
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时，
，
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
在
处有极小值，不合题意．
当
时，
，
时
，
时
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
在
处有极大值，符合题意．
综上可得，
．
故选：
．
【点评】本题主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，属于中档题．
4．（2023•宜春模拟）若函数
有两个极值点
，
，且
，则
的取值范围
为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：因为
，所以
，
若函数
有两个极值点
，
，
则
，所以
，且
，
所以
，
令函数
，
则
在
上恒成立，
故
在
上单调递增，则
，
即
的取值范围为
，
故选：
．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的极值和最值问题，属于中档题．
24
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5．（2023•梅河口市校级一模）已知函数
有两个大于1 的零点，则
的取值范围可以是
A．
，
B．
C．
D．
，
【解答】解：已知函数
有两个大于1 的零点，
所以
在
不单调，
可得
，
当
时，
恒成立，
所以
在
上单调递增，不符合题意；
当
时，
易知
在
上单调递增，
又
（1）
，
当
，
时，
（1）
，
所以
在
上单调递增，不符合题意，排除选项
；
当
时，
因为
（1）
，
（a）
，
所以存在
，使得
，
即
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
25
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所以
在
处取得极小值，也是最小值，
因为
（1）
，
当
趋向正无穷时，
趋向正无穷，
所以当函数
有两个大于1 的零点时，只需满足
即可，
因为
，
不妨设
，函数定义域为
，
可得
，
所以
单调递增；
不妨设
，
可得
，
当
时，
，
单调递减，
对于选项
，当
，
时，
由
可知
，
当
时，
，
所以
，满足题意．
故选：
．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了逻辑推理和运算能力．
6 ．（2023• 湖北模拟）已知定义域为
的函数
满足
，
（1 ）
，
，若
，则
的极值情况是
26
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A．有极大值，无极小值
B．有极小值，无极大值
C．既有极大值，又有极小值
D．既无极小值，也无极大值
【解答】解：
，
，
取
可得，
（1）
，
由
，令
，得
（1）
（1）
，
（1）
，可得
（1）
，
，则
，
．
令
，则
；
令
，
，
易知
时，
，
在
上单调递减；
时，
，
在
上单
调递增，
当
时，
取最小值
，
又
，当
时，
，
时，
，
存在
，
，使得
，
不妨设
，则当
时，
，当
时，
，当
时，
．
在
上单调递增，在
，
上单调递减，在
，
上单调递增，
既有极大值，又有极小值．
27
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故选：
．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于中档题．
7．（2023•梅河口市校级模拟）若函数
有两个极值点
，
，且
，
则
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由函数
，可得
，
因为函数
存在两个极值点
，
，所以
，
是方程
的两个正根，
即
的两个正根为
，
．
所以
，即
，
所以
，
，
所以
，可得
，因为
，所以
．
故选：
．
【点评】本题考查函数导数的应用，函数的极值的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
8．（2023•广陵区校级模拟）已知正方形
的中心在坐标原点，四个顶点都在函数
的图
象上．若正方形
唯一确定，则实数
的值为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：法一：因为四边形
为正方形，
为其中心，
所以
于点
，且
，
28
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不妨设直线
的方程为
，则直线
的方程为
，
设点
，
，
，
，则
，
，
，
，
当
时，
，
在
上单调递增，与
仅有1 个交点为原点，不合题意，
当
时，联立直线
与曲线方程，得到
，解得
，
联立直线
与曲线方程，得到
，解得
，
因为
，所以
，
整理得
，即
，
设
，该函数在
上单调递增，值域为
，
要使符合题意的正方形只有1 个，则必有
有两个相等的实数根，
即△
，解得
，正根舍去，
此时
，解得
，负根舍去，
所以
；
法二：不妨设点
在第一象限，且
，
，
，
四点逆时针排布，
设
，
，
则
，
29
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由题意得两点存在曲线
上，
所以
，
由①得
，由②得
，
联立两式得
，
因为
，
，
故
，
，
又
，
，所以只有
时，才能使得两式恒成立，
故
，
由基本不等式可得
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
由题意，
有唯一解，故
．
故选：
．
【点评】本题考查函数性质的综合运用，考查运算求解能力，属于难题．
30
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9．（2023•长沙模拟）已知函数
，若不等式
的解集中恰有两个不同的正整数
解，则实数
的取值范围
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【解答】解：函数
，不等式
化为：
．
分别令
，
．
．
可得：函数
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减．
，
（2）
．如图所示．
不等式
的解集中恰有两个不同的正整数解，
正整数解为1，2，
，即
．
解得：
．
数
的取值范围是
，
．
故选：
．
31
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【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、不等式的解法、数形结合方法、等价转化方
法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
10．（2023•遵义模拟）已知函数
在
处取得极值0，则
A．
B．0
C．1
D．2
【解答】解：
，
有
，得
，
，
所以
．
故选：
．
【点评】本题考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于基础题．
11．（2023•河南三模）已知函数
在
处取得极大值4，则
A．8
B．
C．2
D．
【解答】解：因为
，所以
，
所以
（1）
，
（1）
，解得
，
，
经检验，符合题意，所以
．
故选：
．
【点评】本题考查函数极值相关知识，属于中档题．
12．（2023•阜新模拟）已知函数
，则
的极大值为
A．
B．1
C．27
D．
32
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【解答】解：
，
，
，解得
（2）
，
，
，
当
或
时，
；当
时，
，
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，
取得极大值27．
故选：
．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，属中档题．
13．（2023•广西模拟）函数
在区间
上存在极值点，则整数
的值为
A．
，0
B．
，
C．
，
D．
，0
【解答】解：函数
，可得
，
当
和
时，
，当
时，
，
则
在
和
上单调递增，在
上单调递减．
若
在
上无极值点，则
或
或
，
，
，
．
时，
在
上无极值点，
，
，
时，
在
上存在极值点．
因为
是整数，故
或
，
故选：
．
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的判断，是中档题．
14．（2023•雁塔区校级模拟）已知函数
有两个零点
，
，且存在唯一的整数
，
33
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，则实数
的取值范围为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意函数
，
有两个零点
，
，
即
，得
有两个正实根，
设
，则
，
令
，解得
，当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
上单调递减；
故当
时，函数取得极大值，且
，
又
时，
；当
时，
；
当
时，
，
，
，
作出函数
的大致图象，如图所示：
直线
与
的图象的两个交点的横坐标即分别为
，
，
由题意知
，又
，
因为存在唯一的整数
，
，所以
，
又直线
与
的图象有两个交点，
34
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由图可知：
（2）
（1），
，即
，
故选：
．
【点评】本题考查导数的综合应用，函数的零点问题，数形结合思想，化归转化思想，属难题．
15．（2023•平罗县校级模拟）若函数
在
上存在两个零点，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：函数
在
上存在两个零点，
即方程
在
上存在两个根，
即方程
在
上存在两个根，
设
，
，
则
，
令
得，
，
，
当
，
时，
，
单调递增；当
，
时，
，
单调递减，
，
又
，
（e）
，且
，
在
，
上的大致图象，如图所示：
35
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方程
在
上存在两个根，等价于
与
有两个交点，
由图象可知，
，
即
的取值范围是
，
．
故选：
．
【点评】本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查了利用导数研究函数的单调性和极值，同时考
查了数形结合的数学思想，属于中档题．
16．（2023•阿勒泰地区三模）函数
的极值点是
A．0
B．1
C．
D．
【解答】解：
，令
，得
，
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减，
故当
时，函数取极大值，所以，函数
的极值点是1．
故选：
．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于基础题．
17．（2023•湖北二模）设函数
恰有两个极值点，则实数的取值范围是
A．
，
B．
，
36
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C．
，
，
D．
，
，
【解答】解：函数
，
，
，
函数
恰有两个极值点，
方程
恰有两个正根，
显然
是方程
的一个正根，
方程
有唯一正根，即方程
有唯一正根，
等价于函数
与函数
在
上只有一个交点，且交点横坐标不等于1，
，
函数
在
上单调递增，
又
，
（1）
，
函数
的图象如图所示：，
且
，
故选：
．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的极值，考查了函数零点与方程根的关系，是中档题．
18．（2023•全国）已知函数
在
处取得极小值1，则
A．
B．0
C．1
D．2
37
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【解答】解：
，
则
，
函数
在
处取得极小值1，
，解得
，
故
，
，
令
，解得
或
，
在
，在
上单调递增，在
，
上单调递减，
故
在
处取得极小值，
故
，符合题意．
故选：
．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，属于中档题．
19．（2023•重庆模拟）已知函数
有三个零点，则实数
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：易知
的定义域是
，
由已知
，
若△
，即
，则
恒成立，
单调递增，不合题意，
若
，则在
上
恒成立，
单调递增，不合题意，
若
，则
存在两个实根
，
，且
，因此
，
，
38
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不妨设
，即
，
当
或
时，
，
时，
，
因此
在
和
，
上都是单调递增，在
，
上单调递减，
在
，
上
（1）
，有一个零点，因此
，
，
取
，由于
，因此
，
设
，则
，
设
，则
，
设
，则
，所以
即
是增函数，
时，
（2）
，
所以
即
在
上是增函数，从而
时，
（2）
，
所以
时，
是增函数，
（2）
，
综上，
，因此
，
在
上有唯一零点，也即在
，
上有唯一零点，
同理取
，由于
，因此有
，
从而
在
，
即在
上有唯一零点，
所以
有三个零点，所以
的取值范围是
．
故选：
．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查函数的零点与方程根的关系，考查转化思想与运算
求解能力，属于中档题．
20．（2023•商洛三模）若函数
无极值，则
的取值范围为
39
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A．
，
B．
C．
，
，
D．
，
，
【解答】解：
，
，
函数
在
上无极值，
函数
在
上是单调函数，
没有两个不等的根，
即△
，
解得
，
故选：
．
【点评】本题考查了利用导数研究三次多项式函数的单调性，从而求参数
的取值范围，属于中档题，解
题时应该注意导函数等于0 的等根的情形，以免出现只一个零点的误解．
21．（2023•青羊区校级模拟）函数
，定义域为
，
有唯一极值点，则实数
的取值范围为
A．
B．
C．
D．
【解答】解：函数
，可得
，
函数
，定义域为
，
有唯一极值点，
就是方程
在
内有唯一解，
即
在
内有唯一解，
40
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就是
与
的图象在
内由一个交点，如图：
可得
，
解得
．
故选：
．
【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值的判断，考查数形结合以及函数与方程的综合应用，是
中档题．
22．（2023•成都模拟）已知函数
有三个零点
，
，
，其中
，则
的取
值范围是
A．
B．
C．
D．
【解答】解：定义域为
，显然
，
若是零点，则
，
，
所以
也是零点，函数
有三个零点
，
，
，
不妨设
，则
，
，
41
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所以
，
，
当
时，结合定义域和判别式易知
恒成立，
即函数
在
上单调递增，不符合题意；
当
时，设
的两根分别为
，
，
易知
，所以函数
在
上单调递增，
在
，
上单调递减，在
，
上单调递增，
当
时，
，
（1）
，
（1）
，当
，
，
所以由零点存在定理易知有三个零点，满足题意．
综上，
的取值范围是
．
故选：
．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，函数的零点与方程根的关系，考查转化思想与运算求解
能力，属于中档题．
23．（2023•广西模拟）函数
在
处取得极小值，则极小值为
A．1
B．2
C．
D．
【解答】解：依题意，
，因为函数
在
处取得极小值，则
（1）
，解得
，
此时
，当
或
时，
，当
，时
，
因此函数
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
所以函数
在
处取得极小值
（1）
．
故选：
．
42
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【点评】本题考查函数极值相关知识，属于中档题．
24．（2023•南宁模拟）已知
在
处取得极大值，则
的值为
A．2
B．
C．
D．
【解答】解：由已知可得
，
，
（1）
，得
，
此时
，
，
令
，得
或
，
令
，得
，
故
在
上单调递减，在
，
上单调递增，
故
在
处取得极大值，符合题意．
则
的值为
．
故选：
．
【点评】本题主要考查了导数与极值关系的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
25．（2023•江西二模）已知函数
的定义域为
，其导函数为
，
，
（1）
（1），则
A．无极值
B．有极大值，也有极小值
C．有极大值，无极小值
D．有极小值，无极大值
【解答】解：由已知
知
（1）
（1）
，
又
（1）
（1），所以
（1）
（1）
，
令
，则
，
又
，
43
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令
，
所以
，
所以
在
上单调递增，又
（1）
（1）
（1）
，
所以当
时，
，
，
单调递减；
当
时，
，
，
单调递增，
所以
的极小值为
（1）
，无极大值．
故选：
．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于中档题．
26．（2023•大庆三模）函数
，则方程
解的个数为
A．0
B．1
C．2
D．3
【解答】解：
，定义域为
，
则
，
令
，得
或
，
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增，
又因为
，
，且当
时，
；当
时，
；当
时，
；当
时，
，
所以画出
的大致图象，如图所示：
44
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方程
解的个数，等价于函数
与
的图象的交点个数，
由图象可知，函数
与
的图象的交点个数为0 个，
即方程
解的个数为0．
故选：
．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了函数的零点与方程根的关系，同时考
查了数形结合的数学思想，属于中档题．
27．（2023•上饶二模）已知函数
有3 个不同的零点分别为
，
，
，且
，
，
成等比数列，则实数
的值为
A．11
B．12
C．13
D．14
【解答】解：设
，则常数项为：
，
因为
，
，
成等比数列，
所以
，
所以
，即
，解得
，
把
代入
，
所以
（2）
，解得
．
故选：
．
【点评】本题主要考查函数的零点与方程根的关系，等比数列的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
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28．（2023•南宁二模）已知函数
的极值点为1，且
（2）
，则
的极小值为
A．
B．
C．
D．4
【解答】解：
，
（1）
，
（2）
，
所以
，解得：
，
，
，
所以
，得
，
时，
，
，
，
所以
是函数的极小值点，
（1）
．
故选：
．
【点评】考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于中档题．
29．（2023•汉滨区校级模拟）函数
在
内有极值，则实数
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
，
【解答】解：
，
依题意，
在
上有变号零点，令
，则
，
设
，则
在
上恒成立，
在
上单调递减，
又
（1）
，
时，
，
．
故选：
．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．
30．（2023•贵州模拟）已知函数
在
处取得极小值，则实数
的取值范围为
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A．
，
B．
C．
，
D．
【解答】解：
，
，
，
要使函数
在
处取得极小值，则
，
故选：
．
【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，属基础题．
31．（2023•贵州模拟）已知函数
在
处取得极小值，则实数
的取值范围为
A．
B．
，
C．
D．
，
【解答】解：由
，
得
，
要使函数
在
处取得极小值，则
，
且当
，
，
时，
，当
时，
，
即
的增区间为
，
，减区间为
，
可得
，
故选：
．
【点评】本题主要考查导数与极值，考查学生逻辑推理和数学运算的核心素养，是基础题．
32．（2023•成都模拟）已知函数
有两个极值点，则的取值范围为
A．
，
B．
C．
D．
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【解答】解：
，
因为函数
有两个极值点，
则
有两个变号正的零点，
因为
（1）
，
令
，
则
在
，
，
上有一个零点，
又
（2）
，
所以
在
，
，
上有一个零点等价于方程
在
，
，
上有一个根，
令
，
，
，
，
，
所以在
，
，
上
，
单调递减，
在
上
，
单调递增，
，
（1）
，
（3）
，
所以
且
，
所以的取值范围为
，
，
，
故选：
．
【点评】本题考查函数的极值点，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
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