专题1.1 集合（举一反三复习讲义）
【全国通用】
考点要求
(1)集合的概念
(2)集合间的基本关系
(3)集合的基本运算
高考真题
考点
2023 年
2024 年
2025 年
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统计
集合
新课标I 卷：第1 题，5
分
新课标Ⅱ卷：第2 题，5
分
新课标I 卷：第1 题，5
分
全国一卷：第2 题，5
分
全国二卷：第3 题，5
分
北京卷：第1 题，4 分
天津卷：第1 题，5 分
命题规律
分析
1、集合
集合是高考数学中的必考考点和热点问题，新高考对集合的考查相对稳
定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大。高考中常见以一元一次、一
元二次不等式的形式，结合有限集、无限集来考查集合的交、并、补集等运
算，偶尔涉及集合的符号辨识；一般出现在高考的单选题的前3 题中，高考
中一般只考1 题，以基础题为主。
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知识点1
集合的概念
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
知识点2
集合间的基本关系
1．集合的基本关系
(1)子集：若对于任意的x∈A 都有x∈B，则A⊆B；
(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A⫋B；
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B；
(4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
知识点3
集合的基本运算
1．集合的基本运算
表示
运算
文字语言
集合语言
图形语言
记法
交集
属于A 且属于B 的所有元素组
成的集合
{x|x∈A，且x∈B}
A∩B
并集
属于A 或属于B 的元素组成的
集合
{x|x∈A，或x∈B}
A∪B
补集
全集U 中不属于A 的元素组成
的集合称为集合A 相对于集合
U 的补集
{x|x∈U，x∉A}
∁UA
2．集合的运算性质
(1) A
A
A
，A
，A
B
B
A
．
(2) A
A
A
，A
A
，A
B
B
A
．
(3)
(
)
U
A
C A
，
(
)
U
A
C A
U
，
(
)
U
U
C
C A
A
．
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【常用结论】
(1)若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有2
1
n 个，非空子集有2
1
n 个，非空真子集
有2
2
n
个．
(2)空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．
(3)
U
U
A
B
A
B
A
A
B
B
C B
C A
．
(4)
(
)
(
)
(
)
U
U
U
C
A
B
C A
C B
,
(
)
(
)
(
)
U
U
U
C
A
B
C A
C B
．
【题型1
元素与集合的关系】
【例1】（2026·湖南长沙·模拟预测）已知元素�∈0,1,2,3 ，且�∉0,1,3 ，则�的值为（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【变式1-1】（2026·河南·模拟预测）已知集合�=
2�+ 1|�∈�，则（
）
A．2 + 1 ∉�
B．2 ∈�
C．1 ∈�
D．1 −
2 ∈�
【变式1-2】（2026·辽宁·二模）设集合�= �|2�−1 > �.若2 ∈�，则�的取值范围是（
）
A．�≤3
B．�≥3
C．�< 3
D．�> 3
【变式1-3】（2025·江苏连云港·模拟预测）已知集合1,2, �, 4 的最大元素等于该集合的所有元素之和，则
实数�=（
）
A．−4
B．−3
C．−2
D．−1
【题型2
集合中元素的个数问题】
【例2】（2025·宁夏银川·一模）已知集合�= 0,1,2 ，则集合�=
�, �∣�≤�, �∈�, �∈�中元素的个数是
（
）
A．1
B．3
C．6
D．9
【变式2-1】（2026·四川乐山·三模）已知集合�= −1,0,1 , �= 1,2 , �= �∣�= �+ �, �∈�, �∈�，则集
合�的元素个数为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【变式2-2】（2026·福建宁德·二模）已知集合�= �∣1 ≤�≤3 ，集合�= −1,0,1,2,3,4 ，则�∩�中元素的
个数为（
）
A．5
B．4
C．3
D．2
【变式2-3】（2024·四川乐山·三模）已知集合�=
�, ��2 + �2 ≤10 , �∈N∗, �∈N∗，则集合A 的元素个
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数为（
）
A．9
B．8
C．6
D．5
【题型3
求集合的子集（真子集）的个数】
【例3】（2026·四川成都·模拟预测）若�= 0, −1,1 ，则A 的真子集个数为（
）
A．3
B．8
C．7
D．6
【变式3-1】（2025·江西景德镇·模拟预测）满足0 ⊆�−1, 0, 1 的集合�的个数为（
）
A．3
B．4
C．7
D．8
【变式3-2】（2026·湖北襄阳·二模）已知集合�= {�∈�|
1
2 < 2�< 8} ，�⫋�则符合条件的集合B 的个数为
（
）
A．2
B．6
C．7
D．8
【变式3-3】（2026·贵州六盘水·一模）集合�= �∈�
12
�∈�的子集的个数为（
）
A．64
B．16
C．6
D．4
【题型4
判断集合间的关系】
【例4】（2026·山东青岛·三模）若集合�= ��=
�
2 , �∈Z ，�= ��=
�
4 , �∈Z ，则（
）
A．�⊆�
B．�⊆�
C．�= �
D．�∩�= ∅
【变式4-1】（2026·浙江杭州·模拟预测）设全集�= Z，集合�= ��= 3�−1, �∈Z , �= ��= 6�−1, �∈
Z ，则（
）
A．�⊆�
B．�⊆�
C．�= �
D．�∩�= �
【变式4-2】（2025·河北唐山·模拟预测）已知集合�= ��2 > 1 ，�= {��<−1 或�> 1}，则（
）
A．�= �
B．0∈�
C．�∩�= ∅
D．�∪�= R
【变式4-3】（2025·贵州遵义·模拟预测）设集合�= ��= 2�+ 1, �∈�，�= ��= �+ 2, �∈�，则（
）
A．�⊆�
B．�⊆�
C．�= �
D．�∩�= ∅
【题型5
与集合间的关系有关的含参问题】
【例5】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设集合�= 1,2 ，�= {�|��−2 = 0}，若�⊆�，则由实数�组成
的集合为（
）
A．0,1
B．0,2
C．1,2
D．0,1,2
【变式5-1】（2026·河南·二模）已知集合�= ��≤�，�= ��−2 < 0 ，若�⊆�，则实数�的取值范
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围是（
）
A．0,2
B．0,2
C．−∞, 2
D．−∞, 2
【变式5-2】（2026·江苏徐州·模拟预测）已知集合�= −1,0 ，�= ��2 + ��+ �= 0 ，若�= �，则��=
（
）
A．2
B．1
C．0
D．−1
【变式5-3】（2026·广东广州·模拟预测）已知集合�= 3,4 , �= ��< �< 2�，若�⊆�，则�的取值范围
是（
）
A．−2,3
B．−3,2
C．0,2
D．2,3
【题型6
集合的交、并、补集运算】
【例6】（2026·河北雄安·三模）已知集合�= ��−3 ≤0 ，�= ��> 1 ，则�∩�=（
）
A．−1, + ∞
B．0,3
C．1,3
D．−1, + ∞
【变式6-1】（2026·甘肃白银·三模）已知集合�= 0,1 ，�= 1,2,3 ，则�∪�=（
）
A．1
B．0,1,2
C．0,2,3
D．0,1,2,3
【变式6-2】（2025·辽宁丹东·模拟预测）已知集合�= −1,0,1,2,3 ，�= 1,3,5 ，则�∩�中元素的个数为
（
）
A．0
B．1
C．2
D．3
【变式6-3】（2026·天津河西·三模）已知集合�= 1,2,3,4,5 ，�= 1,3,4 ，�= 1,3,5 ，则∁��∪�=（
）
A．2
B．1,3
C．2,4,5
D．1,3,4,5
【题型7
与集合的运算有关的含参问题】
【例7】（2025·全国·模拟预测）集合�= 1, �2, −3 ，集合�= {0,9}，若�∩�= {9}，则�=（
）
A．3
B．−3
C．±3
D．9
【变式7-1】（2026·陕西西安·三模）已知集合�= 2,5,6 ，�= 2, �−2 ，若�∪�= �，则a 的取值集合是
（
）
A．8
B．7,8
C．4,7,8
D．7
【变式7-2】（2026·陕西西安·模拟预测）若集合�= {�| −1 ≤�≤5}，�= {�|��≤�3}，且�∩�= {�|2 ≤�≤
5}，则�=（
）
A．2
B．−
2
C．±
2
D．2或0
【变式7-3】（2025·辽宁本溪·模拟预测）已知集合�= �∈�| �−2
�−3 ≤0}, �= {�|��−2 = 0 ,若�∪
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�= �，则a 的取值构成的集合为（
）
A．0
B．0,1
C．1,
2
3
D．0,1,
2
3
【题型8
集合中的新定义问题】
【例8】（2026·上海闵行·一模）已知�= 0,1 , �= 1,2 ，若�−�= {�|�∈�，且�∉�}，则�−�=（
）
A．{2}
B．{1}
C．{0}
D．{0,1,2}
【变式8-1】（2026·辽宁·三模）定义集合运算：�⊗�= ��= ��, �∈�, �∈�，设集合�= 0,1 ，�= 2,3 ，
则集合�⊗�的所有元素之和为（
）
A．0
B．2
C．3
D．5
【变式8-2】（2025·浙江绍兴·模拟预测）设�、�为两个实数集，定义集合�+ �= {�+ ��∈�, �∈�}，若
�= {0,1,2}, �= {1,2}，则�+ �的子集个数为（
）
A．15
B．16
C．31
D．32
【变式8-3】（2026·河南开封·二模）定义集合�−�= �|�∈�且�∉�，已知集合�= 1, �，�= 2, �，
若�−�= 1 ，则下列一定成立的是（
）
A．�= 2
B．�≠1
C．�∩�= 2
D．�−�= 2
一、单选题
1．（2025·河北沧州·一模）已知集合�= �∣�+ 2 ≤2 ，�= −4, −2,1,2,5 ，则�∩�=（
）
A．−4, −2,1,2
B．−2,1,2
C．1,2
D．−2,1
2．（25-26 高一上·江苏苏州·阶段检测）已知集合�= �−2, �2 + 4�, 12 ，且−3 ∈�，则�等于（
）
A．−1
B．−3
C．3
D．−3 或−1
3．（2025·辽宁·三模）已知集合�= 1,2 , �= �2 −�2∣�, �∈�，则下列判断错误的是（
）
A．1 ∈�
B．0 ∈�
C．3 ∈�
D．−3 ∈�
4．（2025·广东广州·模拟预测）已知集合�= 1,3, �2 , �= 3, �+ 2 ，且�⊆�，则实数�=（
）
A．−1
B．0
C．1
D．2
5．（2025·广东江门·模拟预测）设�, �∈�, �= 1, −�, �= −1, �，若�= �，则�+ �=（
）
A．−2
B．0
C．1
D．2
6．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）已知集合�= �2 + 1, �, �= 1,2,3 ，若�∩�= 1 ，则�=（
）
A．0
B．1
C．2
D．0 或1
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7．（2025·广东·模拟预测）已知集合�= 2,4, �, �= �, 2�，若�⊆�，则�=（
）
A．−1
B．0
C．1
D．2
8．（2025·江苏·模拟预测）已知集合�= ��2 ≤2 , �= 0,1,2,3 ，则�∩�中元素的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
二、多选题
9．（2025·江西·模拟预测）已知集合�= ���≤6 ，�= 2,3 ，下列结论正确的是（
）
A．若�= 0，则�= �
B．若�= 0，则�= ∅
C．若�⊆�，则�≤2
D．若�⊆�，则�可以取3
10．（2025·河南·三模）已知全集�= ��< 4, �∈�，集合�= −1,2, �2 ，�= −1,1,2, �，�= −3, −
1,2,3 ，若�⊆�，则（
）
A．�的取值有3 个
B．�∩�= −1,2
C．�∪�= −3, −1,0,1,2,3
D．∁��∩∁��所有子集的个数为4
11．
（2025·河南新乡·三模）已知非空数集M 具有如下性质：①若�, �∈�，则
�
�∈�；②若�, �∈�，则�+ �∈�.
下列说法中正确的有（
）
A．−1 ∈�.
B．2025 ∈�.
C．若�, �∈�，则��∈�.
D．若�, �∈�，则�−�∈�.
三、填空题
12．（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合�= 1, �−1 , �+ 2 ，且2 ∈�，则实数�的值为__________．
13．（2025·上海嘉定·一模）已知集合�= −2,2 ，�= −3, −1 ∪1, + ∞，则�∪�= __________．
14．（2025·河北秦皇岛·一模）已知集合�= 1,3,5,7 ，集合�= 1,2,3,4,5,6,7 ，若集合�满足�⫋�⊆�，
则这样的集合�共有__________个.
四、解答题
15．（2025 高一上·安徽六安·专题练习）已知集合�= ���2 + 2�+ 1 = 0, �∈R, �∈R ．
(1)若1 ∈�，求�的值；
(2)若集合�至多有两个子集，求�的取值范围．
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16．（25-26 高三上·江西·阶段检测）已知集合�= ���= 1 ，�= ��2 −��+ �= 0 .
(1)若�= 2，且�⊆�，求�的值；
(2)当�2 ≥4��≠0 时，若�⊆�，求�，�的值.
17．（25-26 高一上·辽宁大连·期中）已知集合�= �
5�
2�−3 ≤1 ，集合�= ��−1 ≤�≤2�+ 1 ．
(1)若�= 2，求�∩�和∁R�∪�．
(2)若�∩�= �，求实数�的取值范围．
18．
（2025·湖北武汉·二模）已知集合�= ��= �+
3�, �∈�, �∈�，集合B 满足�= ��∈�且
1
�∈�．
(1)判断2 +
3，3 −
3，0，7 + 4 3中的哪些元素属于B；
(2)证明：若�∈�，�∈�，则��∈�；
(3)证明：若�= �+
3�∈�, �∈�, �∈�，则�2 −3�2 = 1．
19．（2025·湖北·模拟预测）已知集合�= 1,2, ⋯, �，�∈�∗，�、�是�的非空子集.记集合�+ �=
�+ �
除以�的余数�∈�, �∈�.若正整数�满足：存在非空集合�、�，使得�+ �两两的交集为空集，且�∪�∪
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�+ �= 0,1,2, ⋯, �−1 ，则称�为“好的”.
(1)设�= 1 ，�= 2,4 ，当�= 5 时，求�+ �，并直接判断�= 5 是否为“好的”；
(2)证明：�= 8 是“好的”，�= 16 是“好的”；
(3)求所有“好的”正整数.
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