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8.1 平面向量的线性运算及基本定理
1
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2
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3
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考点一 平面向量概念的辨析
【例1】（2024 陕西渭南·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．平行向量不一定是共线向量
C．对于任意向量
，必有
D．若
满足
且
与
同向，则
【答案】C
【解析】依题意，
对于A，单位向量模都相等，方向不一定相同，故错误；
对于B，平行向量就是共线向量，故错误；
对于C，若
同向共线，
，
若
反向共线，
，
若
不共线，根据向量加法的三角形法则及
两边之和大于第三边知
.
综上可知对于任意向量
，必有
，故正确；
对于D，两个向量不能比较大小，故错误.
故选：C.
【一隅三反】
1（2024 重庆北碚·期中）（多选）下列说法错误的是（ ）
A．
就是
所在的直线平行于
所在的直线
B．长度相等的向量叫相等向量
C．零向量的长度等于0
D．
【答案】AB
4
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【解析】对于A，若
，则
的方向相同或相反，
所在的直线与
所在的直线平行或在同一直
线上，故A 不正确；
对于B，长度相等且方向相同的向量叫相等向量，故B 不正确；
对于C，长度为0 的向量为零向量，故C 正确；
对于D，
，故D 正确.
故选：AB.
2．（2024 广东江门·阶段练习）设
是非零向量，则
是
成立的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】对于非零向量
，
由
可知向量
共线，但不一定是
，所以充分性不成立；
由
，可知向量
共线同向，则
，所以必要性成立，
所以设
是非零向量，则
是
成立的必要不充分条件，
故选：C.
3．（2024 安徽黄山 ）以下说法正确的是（ ）
A．零向量与任意非零向量平行
B．若
，
，则
C．若
(
为实数)，
则必为零
D．
和
都是单位向量，则
【答案】A
【解析】对于A,零向量与任意向量平行，故A 正确；
对于B，
时，满足
，
，但
不一定成立，故错误；
对于C,
时，
或
，故错误；
5
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对于D，
和
都是单位向量，则
，但
不一定成立，故错误．
故选：A．
4．（2023·全国·模拟预测）（多选）有关平面向量的说法，下列错误的是（ ）
A．若
，
，则
B．若
与
共线且模长相等，则
C．若
且
与
方向相同，则
D．
恒成立
【答案】ABC
【解析】对于A 选项，取
，满足
，
，但
、不一定共线，A 错；
对于B 选项，若
与
共线且模长相等，则
或
，B 错；
对于C 选项，任何两个向量不能比大小，C 错；
对于D 选项，
恒成立，D 对.
故选：ABC.
考点二 平面向量的基本定理
【例2-1】（2024·广东汕头·三模）已知四边形
是平行四边形，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】在
中，由
，
，
得
.
故选：A
【例2-2】（2024·河北廊坊·模拟预测）如图，在矩形
中，
是
的中点，
是
上的
一点，且
，则下列说法正确的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】
，故A 正确，B 错误；
因为
，
所以
，故C 错误，D 正确.
故选：AD.
【例2-3】．（2024·江西·二模）在
中，已知
，
为线段
的中点，若
，则
．
【答案】
【解析】根据题意，在
中，已知
，则
，
由于
为线段
的中点，
则
，
又
，
、
不共线，故
，
，
所以
．
故答案为：
．
7
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【一隅三反】
1．（2024·江苏南通·模拟预测）在梯形
中，
，且
，点
是
的中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】依题意可得
．
故选：D
2．（2024 广东）已知
分别为
的边
上的中线，设
，
,则
＝（ ）
A．
＋
B．
＋
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C．
D．
＋
【答案】B
【解析】
分别为
的边
上的中线,
则
,
,
由于
，
，所以
,
故解得
故选：B
3．（2024·上海·模拟预测）如图，矩形
中，
为
中点，
与
交于点
，若将
，
作为平面向量的一个基，则向量
可表示为 （用
表示）.
【答案】
【解析】由已知
，
则
，
所以
，
所以
.
故答案为：
.
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考点三 平面向量共线定理
【例3-1】（2024·浙江·模拟预测）已知向量
，
是平面上两个不共线的单位向量，且
，
，
，则（ ）
A．
、
、
三点共线
B．
、
、
三点共线
C．
、
、
三点共线
D．
、
、
三点共线
【答案】C
【解析】对A，因为
，
，不存在实数
使得
，故
、
、
三点不共线，
故A 错误；
对B，因为
，
，不存在实数
使得
，故
、
、
三点不共线，故B 错误；
对C，因为
，
，则
，故
、
、
三点共线，故C 正确；
对D，因为
，
，不存在实数
使得
，故
、
、
三点不共线，故D 错误.
故选：C
【例3-2】（2024·广东·二模）已知向量
与
能作为平面向量的一组基底，若
与
共线（
），则k 的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】若
与
共线，则设
，
因为向量
与
能作为平面向量的一组基底，
所以
，所以
，解得
.
故选：B.
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【例3-3】（2024·宁夏银川·模拟预测）在
中，
，过点
的直线分别交直线
、
于点
、
，且
，其中
，
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如下图所示：
因为
，易知
，
又
，所以
，
易知
三点共线，利用共线定理可得
，
又
，
，
所以
；
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为.
故选：C
【一隅三反】
1 ．（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量
、
，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的
是（ ）
A．
和
B．
和
C．
和
D．
和
【答案】C
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【解析】对A：不存在实数
，使得
，
故
和
不共线，可作基底；
对B：不存在实数
，使得
，
故
和
不共线，可作基底；
对C：对
和
，因为
是不共线的两个非零向量，
且存在实数
，使得
，
故
和
共线，不可作基底；
对D：不存在实数
，使得
，故
和
不共线，可作基底.
故选：C.
2 ．（23-24 海南省直辖县级单位·阶段练习）
是平面内不共线两向量，已知
，若
三点共线，则k 的值是（ ）
A．2
B．－3
C．－2
D．3
【答案】A
【解析】
，由
三点共线，故存在实数
，使
，
即
，即
，解得
.
故选：A.
3．（2024·云南楚雄·模拟预测）已知
，
，
是直线上不同的三点，点
在外，若
，则
（ ）
A．3
B．2
C．
D．
【答案】A
【解析】由已知得
，
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故
，
易知
，
，
是直线上不同的三点，故
，
，
三点共线，
必有
，解得
，
故选：A
考点四 平面向量的坐标运算
【例4】（23-24 湖北武汉·期中）（多选）已知向量
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】因为
，
，
所以
，
对于A，因为
，所以
与
不垂直，所以A 错误，
对于B，因为
，
，所以
，所以
，所以B 正确，
对于C，因为
，所以
，所以
，所以C
错误，
对于D，因为
，所以
，所以
，所以D 正确.
故选：BD
【一隅三反】
1．（23-24 江苏宿迁·期中）（多选）已知空间向量，
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
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【解析】对于A 项，
，则
，则
与
不平行，故A
项错误；
对于B 项，
，
则
，
则
不成立，故B 项错误；
对于C 项，
，故C 项正确；
对于D 项，
，故D 项正确，
故选：CD
2．（23-24 湖南岳阳·期末）（多选）下列运算结果正确的是（ ）.
A．已知
，若
，则
B．已知点
，则向量
在
方向上的投影数量为
C．已知向量
，若
，则
D．
向量不共线，点
在线段
上，且
，则
【答案】ABCD
【解析】对A：由
，则有
，即
，故A 正确；
对B：
，
，则
，故B 正确；
对C：
，
，由
，
则有
，解得
，故C 正确；
对D：由
，则有
，
14
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即
，又
向量不共线，点
在线段
上，
故
，解得
，此时有
，
即点
在线段
靠近
点的三等分点上，符合要求，故D 正确.
故选：ABCD.
3．（23-24 湖北武汉 ）（多选）已知向量
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
与
的夹角为
D．
在
上的投影向量为
【答案】CD
【解析】对于A，
，故A 错误，
对于B,
,而
，故
与
不共线，故B 错误，
对于C，
，由于
，故
与
的夹角为
，C 正确，
对于D，
在
上的投影向量为
，故D 正确，故选：CD
5．（23-24 浙江丽水·期末）（多选）已知向量
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．向量
在向量上的投影向量为
【答案】BD
【解析】对于A 选项，因为
，
，不存在实数
使得
成立，故A 错误；
对于B 选项，因为
，所以
，故B 正确；
对于C 选项，因为
，所以
，故C 错误；
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对于D 选项，向量
在向量上的投影向量为
，故D
正确，故选：BD
一．单选题
1．（2024·辽宁·模拟预测）在平行四边形
中，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图，由题意
,可知
是
的中点，
所以
．
故选：C．
2．（2024·陕西铜川·模拟预测）在△ABC 中，点D 为线段BC 的中点，点E 满足
，若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为点D 为线段BC 的中点，点E 满足
，
所以
，所以
，
16
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消去
，得
，
所以
，
所以
，
，所以
．
故选：D．
3．（2023 四川资阳·期中）已知
为不共线向量，
，则（ ）
A．
三点共线
B．
三点共线
C．
三点共线
D．
三点共线
【答案】A
【解析】因为
，所以
三点共线，
故选：A．
4．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知
是边长为1 的正三角形，
是
上一点且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【解析】
，
，且
，
而
三点共线，
，即
，
，
17
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所以
.
故选：A.
5．（2024·四川遂宁·模拟预测）在
中，点F 为线段BC 上任一点（不含端点），若
，则
的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．8
D．9
【答案】D
【解析】因为点F 为线段BC 上任一点（不含端点），
所以设
，故
，
即
，
又
，
故
，
故
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
故
的最小值为9.
故选：D
6．（2024·江苏扬州·模拟预测）在
中，
为线段
的中点，过
的直线分别与线段
交于
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】B
【解析】
如图，因
则
,即
（*），
又
,
,代入（*）得，
,
即
，因
三点共线，故
，解得，
.
故选：B.
7．（2024·安徽马鞍山·三模）已知平面向量
，
不共线，
，
，且
，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．
【答案】A
【解析】因为
，
且
，
所以
，即
，
又
，
不共线，
所以
，解得
.
故选：A
8．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在
中，
为线段
的中点，
为线段
上一点，
，
过点
的直线分别交直线
，
于
，
两点．设
，
，则
的
最小值为（ ）
19
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A．
B．
C．3
D．6
【答案】B
【解析】因为
为线段
的中点，所以
，又因为
，所以
，
又
，
，则
，
而
，
，
三点共线，所以
，即
，
则
，
当且仅当
，即
，
时取等号．
故选：B．
二．多选题
9．（23-24 浙江宁波 ）已知平面向量
，
，则（ ）
A．当
时，
B．若
，则
C．若
，则
D．若
与
的夹角为钝角，则
【答案】ACD
【解析】对A，当
时，
，所以
，故A 正确；
20
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对B，若
，则
，解得
，故B 错误；
对C，若
，则
，解得
，故C 正确；
对D，若
与
的夹角为钝角，则
且
与
不共线，
解得
且
，即
，故D 正确，
故选：ACD
10．（2024 山东泰安·期末）如图，在四边形ABCD 中，
为BC 边上一
点，且
为AE 的中点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】由
，
由向量加法的三角形法则得
，
又F 为AE 的中点，则
，故A 正确；
，故B 正确；
，故D 正确；
，故C 错误.
21
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故选：ABD
11．（2023·湖南·模拟预测）给出下面四个结论，其中正确的结论是（ ）
A．若线段
，则向量
B．若向量
，则线段
C．若向量
与
共线，则线段
D．若向量
与
反向共线，则
【答案】AD
【解析】选项A：由
得点B 在线段
上，则
，A 正确：
选项B；三角形
，
，但
，B 错误；
对于C：
，
反向共线时，
，故
，C 错误；
选项D：
,
反向共线时，
，故D 正确．故选：AD．
三．填空题
12．（2023·天津红桥·一模）如图所示，在
中，点
为
边上一点，且
，过点
的直线
与直线
相交于
点，与直线
相交于
点（
，
交两点不重合）.若
，则
，若
，
，则
的最小值为 .
【答案】
【解析】在
中，
，
，则
，
22
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故
，
故
；
又
，而
，
，
所以
，则
，
又
三点共线，所以
，结合已知可知
，
故
，
当且仅当
，结合
，即
时，取等号；
即
的最小值为
，
故答案为：
；
13．（23-24 高三上·天津南开·阶段练习）如图，在
中，
，
，CD 与BE 交于点P，
，
，
，则
的值为 ；过点P 的直线l 交AB，AC 于点M，N，设
，
（
，
），则
的最小值为 .
【答案】 2
【解析】在
中，
，
，设
，
23
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则
，
由
三点共线，得
，解得
，因此
，
因为
，
，
，于是
，解得
；
因为
，
，
，则有
，
而
三点共线，因此
，则
，当且仅当
，即
取等号，
所以当
时，
取得最小值
.
故答案为：
；
14．（2023·河南开封·模拟预测）折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做
扇面的能折叠的扇子，如图1．其展开几何图是如图2 的扇形
，其中
，
，
，点
在
上，则
的最小值是 ．
【答案】
【解析】如下图，
，
若
为
中点，且
，则
，
24
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则
，
要使其最小，只需
共线，
此时，由图知此时
.
故答案为：
.
四．解答题
15．（23-24 高三上·江苏徐州·阶段练习）在
中，E 为AC 的中点，D 为边BC 上靠近点B 的三等分点．
(1)分别用向量
，
表示向量
，
；
(2)若点N 满足
，证明：B，N，E 三点共线．
【答案】(1)
，
(2)证明见解析
【解析】（1）因为E 为AC 的中点，D 为边BC 上靠近点B 的三等分点，
所以
，
则
，
.
（2）因为
，所以
，
则
，
所以
，即
，所以
，
25
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又因为
有公共点
，
所以
，
，
三点共线.
16．（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，已知正方形ABCD 的边长为2，过中心O 的直线l 与两边AB，CD 分别
交于点M，N．
(1)若Q 是BC 的中点，求
的取值范围；
(2)若P 是平面上一点，且满足
，求
的最小值．
【答案】(1)
；
(2)
．
【解析】（1）因为直线l 过中心O 且与两边AB、CD 分别交于点M、N．
所以O 为MN 的中点，所以
，
所以
．
因为Q 是BC 的中点，所以
，
，
所以
，
即的
取值范围为
；
（2）令
，则
，
26
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∴
，即：
∴
∴点T 在BC 上，
又因为O 为MN 的中点，
所以
，从而
，
，
因为
，
所以
，
即
的最小值为
．
17．（204·陕西·模拟预测）等边
外接圆圆心为
，半径为
上有点
．
(1)若
为弧
中点，求
；
(2)求
最大值．
【答案】(1)
；
(2)
．
【解析】（1）设
是
的中点，则
，且
三点共线，
若
为弧
中点，则
四点共线，
由于
，
所以三角形
和三角形
是等边三角形，所以
，
所以四边形
是菱形，
，
所以
，
所以
.
27
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（2）因为
，
所以
，
，
，
所以当
同向时，
取得最大值为
.
18．（2023·四川成都·模拟预测）如图，A，B 是单位圆（圆心为O）上两动点，C 是劣弧
（含端点）上的
动点．记
（
，
均为实数）．
(1)若O 到弦AB 的距离是
，求
的取值范围；
(2)若
，向量
和向量
的夹角为
，求
的最小值．
28
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【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意知O 到弦AB 的距离是
，则
，
故
，且
，
记劣弧
的中点为D，
则
，
，
两式相加得
，
故
，
由于
，故
，
即
的取值范围为
；
（2）设
，
由
可得
，
即
，结合
可得
，
故
，
而
，
29
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由于向量
和向量
的夹角为
，
故
，
令
，则
在
上单调递增，
则
，
即
得最小值为
.
19．（2024 湖北）已知O 是线段
外一点，若
，
．
（1）设点
、
是线段
的三等分点，
、
及
的重心依次为
、
、
，试用向量
、
表示
；
（2）如果在线段
上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．
【答案】（1）
；（2）答案见解析.
【解析】（1）如图：
因为点
、
是线段
的三等分点，所以
，同理可得：
，
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；
（2）层次1：
设
是
的二等分点，则
；
；
设
、
、
是
的四等分点，则
；
设
是
的n 等分点，则
．
层次2：设
是
的n 等分点，
；
层次3：设
是
的n 等分点，
则
；
证明如下：
．
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