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9.4 抛物线（精讲）
一．抛物线的概念
(1)定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l(l 不经过点F)的距离相等的点的轨迹．
(2)焦点：点F 叫做抛物线的焦点．
(3)准线：直线l 叫做抛物线的准线．
2.抛物线的标准方程与几何性质
图形
标准方程
y2＝2px (p>0)
y2＝－2px (p>0)
x2＝2py (p>0)
x2＝－2py
(p>0)
p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离
性
质
顶点
O(0，0)
对称轴
y＝0
x＝0
焦点
F
F
F
F
离心率
e＝1
1
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准线方程
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
一．抛物线的定义及标准方程
1.由抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可相互转化．
2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确
定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．
二．与抛物线有关的最值问题
1.将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，“三角形两边
之和大于第三边”，使问题得以解决．
2.将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理
解决．
三．常用的结论
1．与焦点弦有关的常用结论
如图，倾斜角为θ 的直线AB 与抛物线y2＝2px(p>0)交于A，B 两点，F 为抛物线的焦点，设A(x1，y1)，
B(x2，y2)．则有
(1)x1·x2＝.
(2)y1·y2＝－p2.
(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝(α 是直线AB 的倾斜角).
(4)＋＝为定值(F 是抛物线的焦点).
（5）以弦AB 为直径的圆与准线相切；以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切．
2
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（6）．若A，B 为抛物线y2＝2px(p＞0)上两点，且OA⊥OB，则直线AB 过定点(2p，0)．
考点一 抛物线的定义及标准方程
【例1-1】（2023 秋·北京丰台·高三北京丰台二中开学考试）已知抛物线
的焦点为
，点
在
上．若
到直线
的距离为3，则
（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】A
【解析】如下图所示：
根据题意可得抛物线的准线方程为
，
若
到直线
的距离为
，则
到抛物线的准线
的距离为
，
利用抛物线定义可知
.
故选：A
【例1-2】（2023·新疆·统考三模）已知抛物线
上任意一点到焦点F 的距离比到y 轴的距离
大1，则抛物线的标准方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意抛物线
上任意一点到焦点F 的距离与它到直线
的距离相，因此
3
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，
，抛物线方程为
．
故选：C．
【一隅三反】
1．（2023 秋·福建福州·高三统考开学考试）已知点
在抛物线C：
上，则P 到C 的准线的距
离为（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】C
【解析】抛物线
的准线为
，
将
代入
得
，
故P 到准线的距离为2，
故选：C．
2．（2023 秋·山东青岛·高三统考开学考试）设抛物线
：
的焦点为
，
在
上，
，则
的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】抛物线
的开口向上，
由于
在
上，且
，
根据抛物线的定义可知
，
所以抛物线
的方程为
.
故选：A
3．（2023·四川成都·校联考模拟预测）已知点
是抛物线C：
的焦点，点M 在抛物线
4
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C 上，点
，且
，则点M 到y 轴的距离为（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
【答案】B
【解析】因为点
是抛物线C：
的焦点，所以
，
．
又因为
，所以
，
设
，则
，
所以
，故点M 到y 轴的距离为8．
故选：B
考点二 抛物线有关的最值问题
【例2-1】（2023·四川成都·校联考二模）已知点
是抛物线
的焦点，点
，且
点
为抛物线
上任意一点，则
的最小值为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【答案】C
【解析】因为点
是抛物线
的焦点，所以
，解得
，所以抛物线
的方程
为：
．
5
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由抛物线的定义知：点
到点
的距离等于点
到准线
的距离，
结合点
与抛物线
的位置关系可知，
的最小值是点
到准线
的距离，故
的最小值为7．
故选：C.
【例2-2】（2022 秋·广东东莞·高三校考阶段练习）抛物线
的顶点为原点，焦点为
，则点
到
抛物线
上动点
的距离最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】抛物线
的焦点为
，所以抛物线
的方程为
，
且
，所以抛物线
的方程为
，
设
，则
，
所以当
时，
取得最小值为
.
故选：B
【一隅三反】
1．（2023·全国· 专题练习）已知抛物线
的焦点为F，点P 在C 上，若点
，则
周
长的最小值为（ ）．
A．13
B．12
C．10
D．8
6
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【答案】A
【解析】
，故
,
记抛物线
的准线为，则：
，
记点
到的距离为
，点
到的距离为
，
则
.
故选：A.
2．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知抛物线
，圆
，P 为E 上一点，Q 为
C 上一点，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．
D．3
【答案】B
【解析】由题意知
,设
，则
,
所以当
时,
，又因为圆
的半径为1，所以
.
故选：B.
7
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3．（2023 春·四川南充 ）已知
是抛物线
上的一个动点，则点
到直线
和
的距离之和的最小值是（ ）
A．3
B．4
C．
D．6
【答案】B
【解析】由
消去
得
，
因为
，所以方程
无解，
即直线
与抛物线无交点；
过点
作
于点
，
于点
，记抛物线
的焦点为
，连接
，
因为
点
到直线
的距离为
,
为抛物线
的准线，根据抛物的定
义可得，
，
则
到直线和
的距离之和为
，
若
，
，
三点不共线，则有
，
当
，
，
三点共线，且
位于
之间时，
，
则
，
8
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又
，
所以
，即所求距离和的最小值为
.
故选：
.
4．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）已知
为抛物线
的焦点，直线
与
交于
，
两点，则
的最小值是（ ）
A．10
B．9
C．8
D．5
【答案】B
【解析】设
，
，
联立
得
，
则
.
所以
.
当且仅当
，即
，
时，上式取等号，
故
.
故选：B
考点三 直线与抛物线的位置关系
【例3-1】（2023 秋·课时练习）（多选）已知直线l 过定点
，则与抛物线
有且只有一个公共
9
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点的直线l 的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】（1）当过点
的直线l 的斜率存在时，设其方程为
，
由方程组
消去y 得
，
①若
，则
，解得
，此时直线与抛物线只有一个交点，直线l 的方程为
，A 正确；
②若
，令
，解得
，此时直线与抛物线相切，只有一个交点，直线l 的方
程为
，即
，B 正确.
（2）当过点
的直线l 的斜率不存在时，方程为
，与抛物线相切，只有一个交点，C 正确．
综上，直线l 的方程为
，
或
.
故选：ABC.
【一隅三反】
1．（2023 秋·课时练习）已知直线与抛物线
只有一个公共点，则直线与抛物线的位置关
系是（ ）
A．相交
B．相切
C．相离
D．相交或相切
10
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【答案】D
【解析】直线与抛物线的对称轴平行或与抛物线相切时有一个公共点，
所以D 选项正确.
故选：D
2．（2023 秋·课时练习）（多选）设抛物线
的准线与x 轴交于点Q，若过点Q 的直线l 与抛物线有
公共点，则直线l 的斜率可以是（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】BC
【解析】
抛物线
的准线与x 轴交于点Q，
准线为
，Q 点的坐标
，
又直线l 过点Q，且斜率必存在，
可设l：
，
联立
，可得
，
当
时，得
，即交点为
，
当
时，由
得，即
，
解得，
或
，
综上，k 的取值范围是
．
故选：BC.
3．（2023 秋课时练习）过点
与抛物线
只有一个公共点的直线有 条．
【答案】3
【解析】①当斜率不存在时，过点
的直线为y 轴，显然符合题意．
②当斜率存在时，设直线方程为
．
11
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联立
得
，
当
时，解得
，此时方程有唯一实数解，符合题意；
当
时，由
解得
，此时方程有唯一实数解，符合题意．
综上共有3 条直线．
故答案为：3
4．（2023 秋云南）已知抛物线方程为
，若过点
的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜
率的取值范围是 .
【答案】
【解析】依题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为
，
由
消去
并化简得
①，
当
时，①可化为
，此时
，即直线与抛物线相交于
.
当
时，由于①有解，
所以
，
即
，解得
且
.
综上所述，直线l 的斜率的取值范围是
.
故答案为：
考点四 弦长
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【例4-1】（2023·北京大兴·校考三模）已知抛物线顶点在原点，焦点为
，过
作直线交抛物线于
、
两点，若线段
的中点横坐标为2，则线段
的长为
【答案】6
【解析】
是抛物线
的焦点，
准线方程
，
设
，线段
的中点横坐标为2,
.
，
线段
的长为6.
故答案为：6.
【例4-2】（2023 秋·辽宁鞍山·高三统考阶段练习）（多选）已知抛物线
的焦点为
，准线为，
过
的直线与抛物线
交于
、
两点，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则弦
最短长度为4
C．存在以
为直径的圆与相交
D．若直线
，且
点在
轴的上方，则
【答案】BD
【解析】对于A，若
，则
，故
，故A 错误，
对于B，若
，则
，则抛物线方程为
，
设过点
的直线方程为
，联立其与抛物线的方程可得
，
设
，则
故
，
故当
时，此时弦
最短长度为4，故B 正确，
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对于C， 设
的中点为
，设过点
的直线方程为
，
联立其与抛物线的方程可得
，
设
，
因为
，故
，
则点
到准线
的距离为
，
而
，
故以
为直径的圆与相切，故C 错误，
对于D，联立
与抛物线方程可得
，解得
或
，
由于
点在
轴的上方，所以
故
，
又
，则
，
所以
，D 正确，
故选：BD
【一隅三反】
1．（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）经过抛物线
的焦点
，作斜率为
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的直线与抛物线
交于
两点，若
，则
（ ）
A．
B．
或3
C．
或2
D．3
【答案】C
【解析】由题意可知
直线的方程为
，
由
，可得
，解得
或
，或者
.
故选：C.
2．（2023·云南昭通·校联考模拟预测）（多选）已知A，B 是抛物线
：
上两动点，
为抛物线
的焦点，则（ ）
A．直线AB 过焦点F 时，
最小值为4
B．直线AB 过焦点F 且倾斜角为
时，
C．若AB 中点M 的横坐标为2，则
最大值为5
D．
【答案】BC
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【解析】对于A 项，过点
分别作准线
的垂线，垂足分别为
，
过点
分别作
轴的垂线，垂足分别为
，准线与
轴的交点为
，
设直线
的倾斜角为
，画图为：
根据抛物线的定义：
，从图可知
，
，
，在
中，
，
所以
，同理
，
则
，故当
时
，
故
最小值为
，此时
垂直于
轴，所以A 不正确；
对于B 项，由A 可知，
，故B 正确；
对于C 项，
，
当且仅当直线
过焦点
时等号成立，所以
最大值为5，故C 正确；
当直线
过焦点
时，
，
16
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当直线
不过焦点
时，
不是定值，
举例当
时，此时
，
，
即
，
，
，故D 错误；
故选：BC.
3．（2023·江西九江·统考一模）已知点
分别是抛物线
和圆
上的
动点，点
到直线
的距离为
，则
的最小值为 ．
【答案】
【解析】如图所示：
由圆
的标准方程为
可知圆心
，半径为
，
抛物线
的焦点为
，准线方程为
，
由抛物线定义可知
，
圆外一点到圆上点的距离满足
，即
；
所以
，
当且仅当
三点共线时，等号成立；
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即
的最小值为
．
故答案为：
考点五 直线与抛物线的综合问题
【例5】（2023 秋·湖南·高三临澧县第一中学校联考开学考试）已知抛物线
的焦点为
，
抛物线
的焦点为
，且
．
(1)求
的值；
(2)若直线l 与
交于M，N 两点，与
交于P，Q 两点，M，P 在第一象限，N，Q 在第四象限，且
，证明：
为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由题意知
，
，
所以
，
解得
．
（2）由（1）知
，
．
设直线
，
，
，
，
，
根据题意结合图形可知
，且
．
联立
，得
，
18
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则
，
同理联立
，得
，
则
．
由
可得，
，
又
，
，
所以
，
即
，化简得
，即
，
又因为
，
，所以
，
再由
，得
．
联立
，解得
，
所以
，
，
．
故
，
所以
为定值.
19
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【一隅三反】
1．（2023 秋·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）直角坐标系
中，已知动点
到定点
的距离
比动点
到定直线
的距离小1，记动点
的轨迹为
.
(1)求轨迹
的方程；
(2)点
是曲线
上位于直线
的上方的点，过点
作曲线
的切线交于点
，若
，证明：
为定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由题意，动点
到定点
的距离与动点
到定直线
的距离相等，
满足抛物线
定义，则
，得
，
则
的方程为
；
（2）设
，则
，
，则
.
20
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即
，
由
，有
，过点
的切线的斜率为
，
则切线
的方程为
，
同理切线
的方程为
，
联立方程组解得
，
由点
是曲线
上位于直线
的上方的点，可知
，
则
，
，
则
21
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代入
，得
，
即
为定值.
2．（2023 秋·广东深圳·高三校考阶段练习）已知抛物线
的焦点为
，点
在
上，
．
(1)求
；
(2)过点
作直线，与
交于
，
两点，
关于
轴的对称点为
．判断直线
是否过定点？
若是，求出定点坐标；若不是，说明理出．
【答案】(1)
(2)过定点
【解析】（1）因为点
在
上，所以
①，
因为
，所以由焦半径公式得
②，
由①②解得
（负值舍去），所以
.
（2）由（1）知抛物线的方程为
，
依题意直线的斜率存在，设直线的方程为
，
，
，则
，
22
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由
消去
得
，
，则
，
所以
，
，
所以
，
则直线
的方程为
，即
，
即
，即
，令
，可得
，
所以直线
恒过定点
.
3．（2023·全国·高三专题练习）设抛物线
的焦点为F，过F 且斜率为1 的直线l 与E 交
于A，B 两点，且
．
(1)求抛物线E 的方程；
(2)设
为E 上一点，E 在P 处的切线与x 轴交于Q，过Q 的直线与E 交于M，N 两点，直线PM 和PN
的斜率分别为
和
．求证：
为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）由题意，
，直线l 的方程为
，代入
，得
．于是
23
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，∴焦点弦
，解得p＝2．故抛物线E 的方程为
．
（2）因
在E 上，∴m＝2．设E 在P 处的切线方程为
，代入
，得
．由
，解得t＝1，∴P 处的切线方程为y＝x＋1，从而得
．
易知直线MN 的斜率存在，设其方程为
，设
，
．
将
代入
，得
．于是
，
，且
，
．
∴
．
故为定值2．
24
