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第06 讲一元二次方程根与系数关系（知识点+4 题型）
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 直接求两根之和与两根之积
题型2 已知一根，求另一根及未知系数
题型3 求与两根有关的代数式的值
题型4 根与系数的关系与完全平方公式
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
一元二次方程根与系
数的关系
韦达定理的推导
两根代数式的变形
韦达定理的基本应用
根的判别式与韦达定
理的综合利用根构造
一元二次方程
1. 经历一元二次方程根与系数关系（韦达定理）的推导过程，理解定理的内
容及成立的前提条件（Δ =ܾ
ʹ −Ͷth ≥Ͳ），掌握对于一元二次方程tݔʹ +ܾݔ+
h = Ͳ(t ≠Ͳ)，两根满足ݔͳ + ݔʹ =−ܾt，ݔͳݔʹ =
h
t。2. 掌握韦达定理的基本应
用：已知方程的一个根，求另一个根及方程中的未知参数；不解方程，求两
根常见代数式（如ݔͳ
ʹ + ݔʹ
ʹ、
ͳ
ݔͳ +
ͳ
ݔʹ、(ݔͳ −ݔʹ)ʹ）的值。3. 了解利用根与系数
的关系构造一元二次方程的方法，能根据给定的两个实数根，写出对应的一
元二次方程。4. 能综合运用根的判别式和韦达定理解决含参数的一元二次方
程问题，养成“先判断判别式，再应用韦达定理”的解题习惯，体会整体代
入和分类讨论的数学思想。
学习重点：韦达定理的内容及其基本应用，根的判别式与韦达定理的综合应用。
学习难点：两根代数式的灵活变形技巧，含参数问题中判别式的前置判断，以及韦达定理在复杂几何、
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实际问题中的综合应用。
知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）
内容：对于一元二次方程tݔʹ +ܾݔ+ h = Ͳ（t ≠Ͳ），当判别式Δ =ܾ
ʹ −Ͷth ≥Ͳ 时，方程的两个实数根ݔͳ、
ݔʹ满足：
两根之和：ݔͳ + ݔʹ =−ܾt
两根之积：ݔͳݔʹ =
h
t
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数学语言：
∵方程tݔʹ +ܾݔ+ h = Ͳ（t ≠Ͳ）有两个实数根ݔͳ、ݔʹ
∴ݔͳ + ݔʹ =−ܾt，ݔͳݔʹ =
h
t
即时即练
1．已知一元二次方程ݔʹ −͵ݔ+ t = Ͳ 的一个根为2，则另一个根为（
）
A．−͵
B．−ͳ
C．2
D．1
【易错提醒】
必须同时满足两个前提条件：①是一元二次方程（t ≠Ͳ）；②方程有实数根（Δ ≥Ͳ），缺一不可。
两根之和的公式中有负号，是−ܾt，不是ܾt，这是本节最高频易错点。
系数t、ܾ、h 包含前面的符号，如方程ʹݔʹ −ͷݔ−͵ = Ͳ 中，ܾ=−ͷ，h =−͵，因此ݔͳ + ݔʹ =
ͷ
ʹ，ݔͳݔʹ =−
͵
ʹ。
知识点02
二次项系数为1 的一元二次方程的根与系数关系
特殊形式：对于一元二次方程ݔʹ + ݔ+ ݍ= Ͳ（、ݍ为常数），当Δ = ʹ −Ͷݍ≥Ͳ 时，两根ݔͳ、ݔʹ满足：
ݔͳ + ݔʹ =−，ݔͳݔʹ = ݍ
即时即练
2．已知ݔͳ、ݔʹ是一元二次方程ݔʹ + ʹͲݔ+ ͳͷ = Ͳ 的两个实数根，则ݔͳݔʹ + ݔͳ + ݔʹ =______．
【易错提醒】
此公式是一般形式的特例（t = ͳ），计算更简便，但仅适用于二次项系数为1 的方程。
同样注意符号：一次项系数前面有负号，如方程ݔʹ + ͵ݔ−Ͷ = Ͳ 中，ݔͳ + ݔʹ =−͵，ݔͳݔʹ =−Ͷ。
知识点03
根与系数关系的常见应用
1.已知一根求另一根及参数值
方法：将已知根代入原方程求参数，再利用根与系数关系求另一根；或直接利用两根之积/之和求
另一根，再求参数。
示例：已知方程ݔʹ −6ݔ+݉
= Ͳ 的一个根是2，求另一根和݉
的值。
解：设另一根为ݔͳ，则ʹ + ݔͳ = 6，得ݔͳ = Ͷ；݉
= ʹ × Ͷ = 8。
2.求两根的对称式的值
核心思路：将所求代数式转化为只含ݔͳ + ݔʹ和ݔͳݔʹ的形式，再整体代入求值。
教材常用变形公式：
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ݔͳ
ʹ + ݔʹ
ʹ = (ݔͳ + ݔʹ)ʹ −ʹݔͳݔʹ
ͳ
ݔͳ
+ ͳ
ݔʹ
= ݔͳ + ݔʹ
ݔͳݔʹ
(ݔͳ −ݔʹ)ʹ = (ݔͳ + ݔʹ)ʹ −Ͷݔͳݔʹ
|ݔͳ −ݔʹ| =
(ݔͳ + ݔʹ)ʹ −Ͷݔͳݔʹ
3.已知两根构造一元二次方程
方法：若已知方程的两个根为ݔͳ、ݔʹ，则以这两个数为根的最简一元二次方程（二次项系数为1）
为：
ݔʹ −(ݔͳ + ݔʹ)ݔ+ ݔͳݔʹ = Ͳ
即时即练
3．已知关于x 的一元二次方程ݔʹ + ͳ −݉
ݔ+݉
−ʹ = Ͳ．
(1)求证：不论m 为何值，方程总有实数根；
(2)若方程的两个根分别为ݔͳǡݔʹ，ݔͳ
ʹ + ݔʹ
ʹ + ͵ݔͳݔʹ = ͳ，求m 的值．
【易错提醒】
已知一根求参数时，必须检验Δ ≥Ͳ，否则可能得到不符合题意的参数值。
求对称式时，不要直接代入求根公式计算，不仅计算量大，还容易出错，优先使用整体代入法。
构造方程时，注意一次项系数是−(ݔͳ + ݔʹ)，不要漏写负号；二次项系数可以取任意非零数，通常取1。
题型1 直接求两根之和与两根之积
【例1】已知方程ݔʹ −ʹݔ−͵ = Ͳ，则该方程根的情况判断正确的是（
）
A．两实数根之和为−ʹ
B．两实数根之和为2
C．两实数根之积为3
D．没有实数根
【技巧归纳】
先将方程化为标准一般式tݔʹ +ܾݔ+ h = Ͳ（t ≠Ͳ）
韦达定理：ݔͳ + ݔʹ =−ܾt，ݔͳݔʹ =
h
t
重中之重：系数带符号代入，如ݔʹ −ͷݔ+ 6 = Ͳ 中ܾ
=−ͷ，故ݔͳ + ݔʹ = ͷ
隐含前提：方程有实数根（Δ ≥Ͳ），无实根时不能用韦达定理
【变式1-1】
1．关于方程x2+2x﹣4＝0 的根的情况，下列结论错误的是（
）
A．有两个不相等的实数根
B．两实数根的和为﹣2
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C．没有实数根
D．两实数根的积为﹣4
【变式1-2】
2．关于一元二次方程ݔʹ −ʹݔ+ ͵ = Ͳ 的根的说法，正确的是（
）
A．有两个相等实数根
B．没有实数根
C．两根之和为−ʹ
D．两根之积为−͵
题型2 已知一根，求另一根及未知系数
【例2】已知方程ݔʹ −͵ݔ+݉
= Ͳ 有两个不相等的实数根．
(1)求实数m 的取值范围；
(2)已知方程的一个根是4，求m 的值，并求出方程的另一个根．
【技巧归纳】
求另一根：已知ݔͳ，则ݔʹ =
h
t ÷ ݔͳ（优先用，一步到位）
求未知系数：
方法1：将已知根代入原方程，解关于系数的方程
方法2：利用ݔͳ + ݔʹ =−ܾt 列方程求解
两种方法结果一致，可互相验证
【变式2-1】
1．已知关于ݔ的一元二次方程ݔʹ + ʹ(݉
−ͳ)ݔ+݉
ʹ −ͳ = Ͳ．
(ͳ)若方程有两个不相等的实数根，求实数݉
的取值范围；
(ʹ)若方程的一个根为Ͳ，求出݉
的值及方程的另一个根．
【变式2-2】
2．已知关于x 的方程x2－2x－2m＝0 有两个不相等的实数根．
(1)求m 的取值范围；
(2)若方程的一个根为4，求方程的另一个根和m 的值．
题型3 求与两根有关的代数式的值
【例3】阅读下列材料，完成相应任务．
材料一十六世纪的法国数学家弗朗索瓦·韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判
别式Δ ≥Ͳ 时，关于x 的一元二次方程tݔʹ +ܾݔ+ h = Ͳ(t ≠Ͳ)的两个根ݔͳ，ݔʹ有如下关系：ݔͳ + ݔʹ =−ܾt，
ݔͳݔʹ =
h
t”．此关系通常被称为“韦达定理”．
材料二若ݔͳ，ݔʹ是一元二次方程ʹݔʹ + Ͷݔ−ͳ = Ͳ 的两个根，求ݔͳ
ʹ + ݔʹ
ʹ的值．
解： ݔͳ，ݔʹ是一元二次方程ʹݔʹ + Ͷݔ−ͳ = Ͳ 的两个根，
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ݔͳ + ݔʹ =−
Ͷ
ʹ =−ʹ，ݔͳݔʹ =−
ͳ
ʹ．
ݔͳ
ʹ + ݔʹ
ʹ = ݔͳ + ݔʹ ʹ −ʹݔͳݔʹ = ( −ʹ)ʹ −ʹ × −
ͳ
ʹ = ͷ．
任务：
(1)材料理解：若一元二次方程ݔʹ + ʹݔ−ͳ = Ͳ 的两个实数根为ݔͳ，ݔʹ，则ݔͳ + ݔʹ =__________，
ݔͳݔʹ =__________．
(2)拓展应用：已知关于x 的方程ݔʹ + (ʹ݉
−ͳ)ݔ+݉
ʹ = Ͳ 有两个实数根．
①求m 的取值范围；
②若此方程的两根分别为ߙ，ߚ，且ߙߚ+ ߙ+ ߚ= ͻ，求m 的值．
【技巧归纳】
通用步骤：先算ݔͳ + ݔʹ 和ݔͳݔʹ →变形所求代数式→代入求值
必考变形公式（必须背熟）：
平方和：ݔͳ
ʹ + ݔʹ
ʹ = (ݔͳ + ݔʹ)ʹ −ʹݔͳݔʹ
倒数和：
ͳ
ݔͳ +
ͳ
ݔʹ =
ݔͳ+ݔʹ
ݔͳݔʹ
差的绝对值：|ݔͳ −ݔʹ| =
(ݔͳ + ݔʹ)ʹ −Ͷݔͳݔʹ
两根差的平方：(ݔͳ −ݔʹ)ʹ = (ݔͳ + ݔʹ)ʹ −Ͷݔͳݔʹ
【变式3-1】
1．阅读材料：
如果ݔͳ，ݔʹ是一元二次方程tݔʹ +ܾݔ+ h = Ͳ 的两根，那么有：ݔͳ + ݔʹ =−ܾt，ݔͳݔʹ =
h
t．这是一元二次方程
根与系数的关系，我们利用它可以用来解题．
例：ݔͳ，ݔʹ是方程ݔʹ + 6ݔ−͵ = Ͳ 的两根，求ݔͳ
ʹ + ݔʹ
ʹ的值．
解 ݔͳ，ݔʹ是方程ݔʹ + 6ݔ−͵ = Ͳ 的两根
ݔͳ + ݔʹ =−6，ݔͳݔʹ =−͵
ݔͳ
ʹ + ݔʹ
ʹ = ݔͳ + ݔʹ ʹ −ʹݔͳݔʹ = ( −6)ʹ −ʹ × ( −͵) = Ͷʹ．
请你根据以上解法解答下题：
（1）已知：关于ݔ的一元二次方程ݔʹ −݉
+ ͵ ݔ+݉
= Ͳ．
①求证：无论݉
取什么实数值，方程总有两个不相等的实数根；
②若ݔͳ，ݔʹ是原方程的两个实数根，且满足ݔͳ ڄ ݔʹ ڄ ݔͳ + ݔʹ −ʹ = ݔͳ ڄ ݔʹ，求݉
的值．
（2）设݉
、݊
是方程ݔʹ + ݔ−ʹͲʹͳ = Ͳ 的两个实数根，求݉
ʹ + ʹ݉
+݊
的值．
【变式3-2】
2．已知关于x 的一元二次方程ݔʹ +݉
ݔ+݉
−ʹ = Ͳ．
(1)求证：无论m 取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
(2)设ݔʹ +݉
ݔ+݉
−ʹ = Ͳ 的两个实数根为ݔͳ，ݔʹ，若ݕ= ݔͳ
ʹ + ݔʹ
ʹ + Ͷݔͳݔʹ，求出y 与m 的函数关系式；
(3)在（2）的条件下，若−ʹ ݉
ʹ 时，求y 的取值范围．
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题型4 根与系数的关系与完全平方公式
【例4】已知Rt ᇞܣ䳌䁨的两条直角边t，ܾ分别是一元二次方程ݔʹ + ݔ+ ݍ= Ͳ 的两个根，且tʹ +ܾ
ʹ = ʹͷ，
t −ܾ
= ͳ，则和ݍ的值分别为（
）
A．−ͳ，ͷ
B．−，ͳʹ
C．͵，Ͷ
D．，−ͳʹ
【技巧归纳】
核心公式：(ݔͳ −ݔʹ)ʹ = (ݔͳ + ݔʹ)ʹ −Ͷݔͳݔʹ =ܾ
ʹ−Ͷth
tʹ
=
Δ
tʹ
直接结论：|ݔͳ −ݔʹ| =
Δ
|t|（求两根距离、抛物线截x 轴线段长直接用）
已知ݔͳ −ݔʹ 的值，可直接平方后转化为韦达定理形式求参数
【变式4-1】
1．若实数t，ܾ
满足tʹ −͵t −ͷ = Ͳ，ܾʹ −͵ܾ−ͷ = Ͳ，且t ≠ܾ
，则t −ܾ
的值为（
）
A．േ͵ ͵
B．േʹ
C．േ
ʹͻ
D．
ͳ+ ͳ͵
ʹ
或
ͳ−ͳ͵
ʹ
【变式4-2】
2．解答下列各题：
(1)已知实数t，ܾ
是方程ݔʹ −ݔ= ͳ 的两根，求tʹ +ܾ
ʹ的值；
(2)已知实数t，ܾ
满足tʹ −t = ͳ，ܾʹ −͵ܾ
= ͻ，且ܾ
≠͵t，求tܾ的值；
(3)若两个不相等的实数，ݍ满足ʹ +݉
−ͳ = ݍ，ݍʹ +݉
ݍ−ͳ = ，求ݍ−݉
的值．
一、单选题
1．关于x 的一元二次方程ݔʹ +݇
ݔ−ͳ = Ͳ 的根的情况描述正确的是（
）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．两实数根互为倒数
D．没有实数根
2．已知t、ܾ
是一元二次方程ݔʹ −ݔ−͵ = Ͳ 的两个根，则ܾt +
tܾ的值为（
）
A．-3
B．1
C．−
͵
D．
ͷ
ʹ
3．一元二次方程ݔʹ −ʹݔ−͵ = Ͳ 的两个实数根为ݔͳ，ݔʹ，则下列结论正确的是（
）
A．ݔͳ + ݔʹ =−͵
B．ݔͳ + ݔʹ = ͵
C．ݔͳ + ݔʹ =−ʹ
D．ݔͳ + ݔʹ = ʹ
4．已知关于ݔ的一元二次方程ݔʹ −ʹݔ−ͷ = Ͳ 的两个根为ݔͳ，ݔʹ，则ݔͳݔʹ的值为（
）
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A．−ͷ
B．5
C．2
D．−ʹ
5．若一元二次方程ݔʹ + ʹݔ−͵ = Ͳ 的两根之和与两根之积分别为݉
，݊，则点݉
ǡ݊
在平面直角坐标系中位
于（
）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
6．在物理实验中，一个物体的运动可以用一元二次方程ݔʹ −ͷݔ+ 6 = Ͳ 来描述其位移−时间关系（其中ݔ
代表位移相关量），该方程的两个实数根为ݔͳ，ݔʹ．在后续的数据分析中，需要用到两根的关系，下列结
论正确的是（
）
A．ݔͳ + ݔʹ =−ͷ B．ݔͳ + ݔʹ = 6
C．ݔͳݔʹ = ͷ
D．ݔͳݔʹ = 6
7．一元二次方程ݔʹ + ʹݔ+ t = Ͳ 两根异号，则a 的取值范围是（
）
A．t ㈠ͳ
B．t 㠶ͳ
C．t ㈠Ͳ
D．Ͳ ㈠t ㈠ͳ
8．已知ݔͳ、ݔʹ是一元二次方程͵ݔʹ + ʹݔ−6 = Ͳ 的两根，则ݔͳ + ͳ
ݔʹ + ͳ 的值是（
）
A．−
Ͷ
͵
B．
8
͵
C．−
ͷ
͵
D．
Ͷ
͵
9．已知方程ݔʹ +ܾݔ+ ͵ = Ͳ 的一根为ͷ +
ʹ，则方程的另一根为（
）
A．ͷ −
ʹ
B．ͷ +
ʹ
C．ʹ −
ͷ
D．3
10．嘉嘉在求解关于ݔ的一元二次方程ʹݔʹ +݇
ݔ−ͳ = Ͳ 时，抄错了݇
的正负号，解出ݔ的一个根为−ʹ，
则下列结论说法正确的是结论一：原方程有两个不相等的实数根；结论二：原方程的两根之和为−
Ͷ（
）
A．结论一正确，结论二不正确
B．结论一不正确，结论二正确
C．结论一正确，结论二正确
D．结论一不正确，结论二不正确
11．如果关于ݔ的一元二次方程tݔʹ +ܾݔ+ h = Ͳ t ≠Ͳ 有两个实数根，且其中一个根是另一个根的݊
倍，
则称这样的方程为“݊
倍方程”，以下关于݊
倍方程说法
①方程ݔʹ −͵ݔ+ ʹ = Ͳ 是2 倍方程；
②若ݔ−͵݉
ݔ+ ͳ = Ͳ 为3 倍方程，则݉
=−
ͳ
ͻ；
③若p，q 满足ݍ= 8，则关于x 的方程ݔʹ −6ݔ+ ݍ= Ͳ 为2 倍方程；
④若关于ݔ的方程tݔʹ +ܾݔ+ h = Ͳ 为݊
倍方程，则ܾ݊
ʹ =݊
+ ͳ ʹth．
正确的个数有（
）个
A．1
B．2
C．3
D．4
12．下列说法正确的是（
）
①最简二次根式tʹ −͵与ʹt是同类二次根式，则t = ͵；
②若m 是ʹ的小数部分，则݉
ʹ +
ͳ݉
ʹ −ʹ = ʹ；
③若Rt ᇞܣ䳌䁨的斜边长h = ͵，另两边长a，b 恰好是关于x 的方程ݔʹ −݇
+ ʹ ݔ+ ʹ݇
= Ͳ 的两个根，则݇
=േ
ͷ；
④若关于x 的方程ݔʹ +݉
ʹ −͵ ݔ+݉
+ ͳ = Ͳ 的两根互为相反数，则m 的值是േ
͵．
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A．①②
B．①②④
C．③④
D．②③④
二、填空题
1．已知一元二次方程ݔʹ + ݔ−ʹͲʹ6 = Ͳ 的两根分别为m，n，则݉݊
的值为______．
2．一元二次方程ݔʹ −ʹͷ = Ͳ 的根为ݔͳ和ݔʹ，则代数式ݔͳ ڄ ݔʹ的值为______．
3．已知α，β是方程ݔʹ −ʹݔ−ͳ = Ͳ 的两个根，则ߙ+ ߚ=______．
4．已知一元二次方程ݔʹ + tݔ+ܾ
= Ͳ 的两个根为ݔͳ，ݔʹ，且ݔͳ + ݔʹ = Ͷ，ݔͳݔʹ = ͵，那么这个一元二次方
程是_____.
5．一元二次方程͵ݔʹ + 6ݔ− = Ͳ 的两根为ݔͳ，ݔʹ，则ݔͳ + ݔʹ = _______________，ݔͳݔʹ = _______________．
6．在方程͵ݔʹ + 6ݔ−t = Ͳ 中，小金解得ݔͳ + ݔʹ −ݔͳݔʹ = ͵，则t =______．
7．若݉
，݊
是方程ݔʹ −ͳͲݔ−ͳ = Ͳ 的两个实数根，则代数式݉
ʹ −ͻ݉
+݊
的值为________．
8．若ߙ、ߚ是方程ݔʹ + ͵ݔ−ʹ8 = Ͳ 的两个实数根，则ߙʹ + Ͷߙ+ ߚ的值为__________．
9．设关于ݔ的方程ݔʹ −t −ʹ ݔ−͵t − = Ͳ 的两根分别是ݔͳ、ݔʹ，则代数式͵ ݔͳ + ݔʹ + ݔͳݔʹ的值为
_______．
10．已知一元二次方程ݔʹ −6ݔ+ ͷ = Ͳ 的两根为ݔͳ，ݔʹ，则
ͳ
ݔͳ +
ͳ
ݔʹ的值是_______．
11．已知一元二次方程ݔʹ + Ͷݔ−͵ = Ͳ 的两根是ݔͳ，ݔʹ，则ݔͳ
ʹ + ݔʹ
ʹ的值为_______．
12．已知关于x 的一元二次方程ݔʹ +
͵݇−ͳݔ+݇
−ʹ = Ͳ 的两根ݔͳ和ݔʹ满足ݔͳ
ʹ + ݔʹ
ʹ = (ݔͳݔʹ)ʹ −，则k
的值为________．
13．已知ݔͳ，ݔʹ是一元二次方程ݔʹ −͵ݔ+݉
= Ͳ 的两个根，若͵ݔͳ
ʹ −8ݔͳ = 6 −ݔʹ，则݉
的值为______．
14．已知一元二次方程tݔʹ +ܾݔ−ʹ = Ͳ 的两个实根为ݔͳ，ݔʹ，若
ͳ
ݔͳ +
ͳ
ݔʹ = ʹ，则t 的取值范围为______．
15．已知a，b 是方程ݔʹ + ͷݔ+ ͵ = Ͳ 的两个根，则ܾܾ
t + t
tܾ的值________
三、解答题
1．已知方程ݔʹ −͵ݔ+݉
= Ͳ 有两个不相等的实数根，方程的一个根是4，求݉
的值，并求出方程的另一
个根．
2．不解方程，求下列各方程的两根之和与两根之积．
(1)ݔʹ + ͵ݔ+ ͳ = Ͳ；
(2)͵ݔʹ −ʹݔ−ͳ = Ͳ；
(3)ʹݔʹ + 6ݔ+ Ͷ = Ͳ．
3．若关于x 的一元二次方程ݔʹ −ʹݔ+ ʹ݇+ ͳ = Ͳ 有两个不相等的实数根ݔͳ、ݔʹ．
(1)求实数k 应满足的条件．
(2)当k 取最大整数时，求ݔͳ + ݔʹ −ݔͳ ڄ ݔʹ的值．
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4．关于x 的一元二次方程ݔʹ −ʹ݇+ ͳ ݔ+݇
ʹ +݇
−ʹ = Ͳ．
(1)求证：方程有两个不相等的实数根．
(2)已知方程的两个实数根分别为ݔͳ，ݔʹ，且ݔͳ = ʹݔʹ，求k 的值．
5．已知关于x 的一元二次方程ݔʹ −݇
+ ͳ ݔ+݇
= Ͳ．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根x₁，x₂满足
ݔͳ + ͳ
ݔʹ + ͳ = 8，求k 的值．
6．规定t
hܾ݀= t݀
−ܾ
h，回答以下问题：
(1)计算
͵
Ͷ
6
͵
=________．
(2)已知ݔͳ，ݔʹ是一元二次方程ݔʹ + 6ݔ+݇
= Ͳ 的两个根，且ݔͳ
͵
ͳ
ݔʹ
=
͵，求
ͳ
ݔͳ +
ͳ
ݔʹ的值．
7．定义：若关于ݔ的一元二次方程有两个实数根ݔͳǡݔʹ，且满足ݔͳ + ݔʹ = ݔͳ ڄ ݔʹ ，则称此类方程为“和积
方程”．
例如：ݔʹ −
ͻ
ʹ ݔ+
ͻ
ʹ = Ͳ，即ݔ−͵
ݔ−
͵
ʹ = Ͳ，解得ݔͳ = ͵ǡݔʹ =
͵
ʹ，
͵ +
͵
ʹ = ͵ ×
͵
ʹ ， ݔʹ −
ͻ
ʹ ݔ+
ͻ
ʹ = Ͳ 是“和积方程”．
(1)方程ݔʹ −ͷݔ+ 6 = Ͳ______（填是或不是）“和积方程”；
(2)关于ݔ的方程ݔʹ −݊
+ ͵ ݔ+ ͵݊
= Ͳ 是“和积方程”，则݊
=______；
(3)若关于ݔ的一元二次方程ݔʹ + ʹ݉
+ ͳ ݔ+݉
ʹ + ʹ݉
= Ͳ 是“和积方程”，求݉
的值．
8．学习完一元二次方程的知识后，数学兴趣小组对关于x 的一元二次方程ݔʹ + ݔ−݉
= Ͳ 开展探究．
(1)当݉
= ͳ 时，该方程的正根称为“黄金分割数”，求“黄金分割数”；
(2)若实数a，b 满足tʹ + t −݉
= Ͳ，ܾʹ + ͵ܾ−ͻ݉
= Ͳ，且͵t ≠ܾ
，求͵t +ܾ
的值；
(3)若两个不相等的实数p，q 满足ʹ + −݉
=݉
ݍ，ݍʹ + ݍ−݉
=݉
，求证：ݍ=݉
ʹ．
9．定义：若关于ݔ的一元二次方程tݔʹ +ܾݔ+ h = Ͳ t ≠Ͳ 中的常数项h 是该方程的一个根，则称该一元
二次方程为理想方程．
(1)已知关于ݔ的方程ݔʹ + ʹݔ+ h = Ͳ 是理想方程，求h 的值；
(2)当ܾ
，h 满足什么条件时，方程ݔʹ +ܾݔ+ h = Ͳ 是理想方程；
(3)关于ݔ的理想方程tݔʹ +ܾݔ+ h = Ͳ 的两个实根为ݔͳ，ݔʹ，若h = ʹt，求ݔͳ + ݔʹ的取值范围．
10．新定义：关于x 的一元二次方程䁨ͳǣhݔʹ +݉
ݔ+݊
= Ͳ 与䁨ʹǣhݔʹ −݉
ݔ+݊
= Ͳ 互为“师梅方程”．
(1)根据上述定义，判断以下三组方程是否互为“师梅方程”（在题后相应的括号中，是打“√”，不是打“×”）；
①ݔʹ + ʹݔ= Ͳ 与ݔʹ −ʹݔ= Ͳ（
）
②ʹݔʹ + Ͷ = Ͳ 与ʹݔʹ −Ͷ = Ͳ（
）
③ݔʹ + ͵ݔ−ʹ = Ͳ 与ݔʹ −͵ݔ−ʹ = Ͳ（
）
(2)若关于x 的一元二次方程䁨ͳǣ(t + ͳ)ݔʹ + (t + ͳ)ݔ+
ʹ−͵
Ͷ
= Ͳ 的两实数根ݔͳ = ݔʹ = ．
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①求a 的值；
②记方程䁨ͳ的“师梅方程”为方程䁨ʹ，q 是方程䁨ʹ的一个实数根，求+ ݍ的值．
(3)若关于x 的一元二次方程(ݔ−ͳ)ʹ + (݇+ ʹ)(ݔ−ͳ) + ʹ݇
= Ͳ 与它的“师梅方程”有且只有一个公共实数根，
求k 的值．
